北京市西城区2021届高三上学期期末考试数学试卷及答案

北京市西城区2020—2021学年度第一学期期末试卷
高三数学
本试卷共5页，共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目
要求的一项。

（1）已知集合{|13}A x x =-<<，{|04}B x x =<≤，则A B =
（A ）(0,3)
（B ）(1,4)-
（C ）(0,4]
（D ）(1,4]-
解析：注意求的是并集，不是交集，选D.
（2）在复平面内，复数所对应的点的坐标为(1,1)-，则z z ⋅=
（A ）
（B ）2i -
（C
（D ）
解析：1z i =-，2(1)(1)12z z i i i ⋅=-⋅+=-=，选A. （3）已知()f x 为奇函数，其局部图象如图所示，那么
（A ）(2)2f = （B ）(2)2f =- （C ）(2)2f >- （D ）(2)2f <-
解析：1(2)2f <-<，奇函数，2(2)1f -<<-，选C. （4）已知(4,8)A ，(2,4)B ，(3,)C y 三点共线，则的值为
（A ）
（B ）
（C ）
（D ）
解析：三点共线，则AB AC k k =，即
84824243
y
--==--，解得6y =，选C. （5）已知双曲线22
221x y a b
-=的焦距等于实轴长的倍，则其渐近线的方程为
（A ）y =
（B ）2y x =±
（C ）y = （D ）1
2
y x =±
解析：2224c a a =⨯=，即2c a =，则b =，渐近线b
y x a
=±=，选A.
（6）已知半径为2的圆经过点(1,0)，其圆心到直线34120x y -+=的距离的最小值为
（A ） （B ） （C ） （D ）
21=，选B.
（7）已知函数()sin 2,[,]f x x x a b =∈，则“2
b a π
-≥
”是“()f x 的值域为[1,1]-”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件
解析：后推前，22T b a π-≥
=，正确；前推后，例如0a =，2
b π
=时，值域为[0,1]，选B. （8）被誉为信息论之父的香农提出了一个著名的公式：2log (1)S
C W N
=+
，其中为最大数据传输速率，单位为bit /s ；为信道带宽，单位为Hz ；S
N
为信噪比. 香农公式在5G 技术中发挥着举足轻重的作用.
当
99S N =，2000Hz W =时，最大数据传输速率记为1C ；当9999S N
=，3000Hz W =时，最大数据传输速率记为2C ，则2
1
C C 为 （A ） （B ）
52 （C ）15
4
（D ） 解析：122000log (199)C =+，223000log (19999)C =+，则2100133
log 100002322
C C =⨯=⨯=，D.
（9）设函数()f x 和()g x 的定义域为，若存在非零实数c D ∈，使得()()0f c g c +=，则称函数()f x 和()g x 在D 上具有性质P.
现有三组函数：
①()f x x =，2()g x x =
②()2x f x -=，()e x g x =-
③
2
()f x x =-，
()2x g x =
其中具有性质P 的是 （A ）①②
（B ）①③
（C ）②③
（D ）①②③
解析：由题，即()()g x f x =-有非零解，2x x =-，22x x =有非零解，1
()2
x x e =没有非零解，选B.
（10）在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，,M N 分别为111,BD B C 的中点，点在正方
体的表面上运动，且满足MP CN ⊥，则下列说法正确的是 （A ）点可以是棱1BB 的中点
（B ）线段MP （C ）点的轨迹是正方形
（D ）点轨迹的长度为解析：动点问题不如建系.
111(,,)222M ，1
(,1,1)2
N ，(0,1,0)C ，设(,,)P x y z ，
则1
11113(,0,1)(,,)0222224CN MP x y z x z ⋅=⋅---=+-=，线段MP 的最大值为MQ MH =， 选B.
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

（11）5(2)x -的展开式中的系数是_______. 解析：4145(2)80C x x ⋅⋅-=，故系数为80.
（12）数列{}n a 是公差为2-的等差数列，记{}n a 的前项和为n S ，且134,,a a a 成等比数列，则
1a =_______；n S =_______.
解析：由题，2111(4)(6)a a a -=⋅-，解得18a =； 故221(1)8(2)10()22
n n n n n
S na d n n n n N *--=+=+⨯-=-+∈.
（13）一个三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥中最长棱的
长度为_______.
=（14）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为，过点(1,4)M -作轴的垂线交抛物线于点，
且满足||||AF AM =，则抛物线的方程为_______；设直线AF 交抛物线于另一点，则点的纵坐标为______. 解析：北京抛物线大概率考定义. 由定义，
12
p
=，2p =，则抛物线的方程为24y x =； 焦点弦，212y y p ⋅=-，故242B y =-，所以1B y =-.
（15）炎炎夏日，冰激凌成为非常受欢迎的舌尖上的味道.某商店统计了一款冰激凌6月份前6天每天的供应量和销售量，结果如下表：
记()V t 为月日冰激凌的供应量，()W t 为月日冰激凌的销售量，其中1,2,,30t =.用
销售指数()(1)(1)
(,)100%()(1)(1)
W t W t W t n P t n V t V t V t n +++++-=
⨯+++
++-,(1,)n n ∈N ≥来评价从月
日开始连续天的冰激凌的销售情况. 当1n =时，(,1)P t 表示月日的日销售指数. 给出下列四个结论：
① 在月日至日这天中，(4,1)P 最小，(5,1)P 最大；
② 在月日至日这天中，日销售指数越大，说明该天冰激凌的销售量越大； ③ (1,3)(4,3)P P =；
④ 如果月日至日冰激凌每天的供应量和销售量与月日至日每天的供应量和 销售量对应相等，则对任意{1,2,3,4,5,6,7}t ∈，都有(,6)(1,12)P t P =. 其中所有正确结论的序号是______.
解析：此题送分题，就是计算，没时间的话，填个①，有时间再回头看②③④. 对于①，()(,1)()W t P t V t =
，最大为(5)(5,1)1(5)W P V ==，最小为(4)4
(4,1)(4)5
W P V ==，①正确； 对于②，由①，月2日和6月5日日销售指数不同，但该天销售量相同，②错误； 对于③，(1)(2)(3)255(1,3)(1)(2)(3)280W W W P V V V ++==++，(4)(5)(6)255
(4,3)(4)(5)(6)290
W W W P V V V ++==
++，③错误； 对于④，()(1)(5)
(,6)()(1)(5)W t W t W t P t V t V t V t +++++=
+++
++，(1)(2)(12)
(1,12)(1)(2)(12)
W W W P V V V +++=
++
+，
因为()V t 以2为周期，()W t 以3为周期，又623=⨯，故④正确； 综上，填①④.
三、解答题共6小题，共85分。

解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（16）（本小题13分）
如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，2AB AC ==，14AA =， AB AC ⊥，1BE AB ⊥交1AA 于点，为1CC 的中点.
（Ⅰ）求证：BE ⊥平面1AB C ； （Ⅱ）求二面角1C AB D --的余弦值.
解：（Ⅰ）因为三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，所以1AA ⊥平面
所以1AA AC ⊥. ……………1分
因为AC AB ⊥，1AB AA A =，所以AC ⊥平面11AA B B .
(3)
分
因为BE ⊂平面11AA B B ，所以AC BE ⊥.
因为1BE AB ⊥，1AC
AB A =，
所以BE ⊥平面1AB C . ……………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知1,,AB AC AA 两两垂直， 如图建立空间直角坐标系A xyz -．
则(000)A ，，,1(2,0,4)B ,(0,2,2)D ,(2,0,0)B .……7分
设(0,0,)E a ，所以1=(02,2)=(2,0,4)=(20,)AD AB BE a -,
，，,， 因为1AB BE ⊥，所以440a -=，即1a =.
……………8分 所以平面1AB C 的一个法向量为=(20,1)BE -,
． ……………9分
设平面1AB D 的法向量为(,,)x y z =n ，
所以1
0,0.AD AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 所以220,240.y z x z +=⎧⎨+=⎩ 即,2.y z x z =-⎧⎨=-⎩
……………10分
令1z =-，则2,1x y ==，所以平面1AB D 的一个法向量为(2,1,1)=-n . ……………11分 所以cos ,=||||6BE BE BE ⋅<>=
=n n n ……………12分
由已知，二面角1C AB D --为锐角，所以二面角1C AB D --.……13分
（17）（本小题13分）已知ABC △的面积为一个作为已知，求： （Ⅰ）和的值； （Ⅱ）sin()A B -的值．
条件①:6a =,1cos 3C =-；条件②:A C =,7cos 9
B =-.
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 若选择条件①：
解：（Ⅰ）在ABC △中，因为1
cos 3C =-，
所以(,)2
C π∈π，sin C ==……………2分
因为1
sin 2
S ab C ==6a =，所以2b =.
……………4分 由余弦定理，2222cos 48c a b ab C =+-=， ……………5分
所以c =……………6分
（Ⅱ）由正弦定理
sin sin sin a b c
A B C
==
，可得62sin sin A B ==. …………7分
所以sin A =
，sin B . ……………9分
因为,(0,)2
A B π
∈，所以cos A =，cos B =.
……………11分
所以sin()sin cos cos sin A B A B A B -=-==
.……13分 若选择条件②：
解：（Ⅰ）在ABC △中，因为A C =，所以a c =.
因为7cos 9B =-，所以(,)2B π
∈π，sin B =.
………2分
因为211sin 22S ac B c ===
所以a c ==.
……………4分 由余弦定理，2222cos 64b a c ac B =+-=，所以8b =.
……………6分
（Ⅱ）由正弦定理得
sin sin a b
A B
=
，
所以1
sin sin 3
a A B
b ===.
……………8分
因为(0,)2
A π
∈，所以cos A ==.
……………10分
所以sin()sin cos cos sin A B A B A B -=-
1723
()3927
=⨯-=-.
……………13分
（18）（本小题14分）防洪工程对防洪减灾起着重要作用，水库是我国广泛采用的防洪工程之一，既有滞洪作用又有蓄洪作用.北京地区2010年至2019年每年汛末（10月1日）水库的蓄水量数据如下：
（Ⅰ）从2010年至2019年的样本数据中随机选取连续两年的数据，求这两年蓄水量数据之
差的绝对值小于1亿立方米的概率；
（Ⅱ）从2014年至2019年的样本数据中随机选取两年的数据，设为蓄水量超过33亿立方
米的年份个数，求随机变量的分布列和数学期望；
（Ⅲ）由表中数据判断从哪年开始连续三年的水库蓄水量方差最大？（结论不要求证明） 解：（Ⅰ）设事件A 为“连续两年的蓄水量数据之差的绝对值小于亿立方米”， 从2010年到2019年的样本数据中随机选取连续两年共有9种可能，…2分
由图表可知，事件A 包含“2011年和2012年”，“2014年和2015年”，“2018年和2019年”.…
3分
所以31
()93
P A =
=. ……………4分
（Ⅱ）由表可知，2014到2019年的样本数据中，蓄水量超过33亿立方米有2年，蓄水量不超过33亿立方米有4年.随机变量的所有可能取值为0，1，2.
……………5分
022426C C 62(0)C 155P X ⋅====，112426C C 8(1)C 15P X ⋅===，20
24
2
6C C 1(2)C 15
P X ⋅===.
……………8分
所以随机变量X 的分布列为：
……9分
所以2812
()012515153
E X =⨯+⨯+⨯=.
……………11分 （Ⅲ）从2016年开始连续三年的水库蓄水量方差最大.
……………14分
三个数两两差距都相对较大 （19）（本小题15分）
已知函数3()f x x x =-.
（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间和极值； （Ⅲ）设函数()
()2sin f x t x x x
=-，(0,
)x ∈π，试判断()t x 的零点个数，并证明你的结论.
解：含三角问题，朝阳区的最爱.之前写过一篇文这种类型题的策略，链接在文章顶部. （Ⅰ）由3()f x x x =-，得 2()31f x x '=-．
……………1分
因为(1)0f =，(1)2f '=，
……………3分
所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为22y x =-. …………4分
（Ⅱ）令()0f x '=，得2310x -=，解得x =或x ．
当变化时，()f x 和()f x '变化情况如下表：
……………7分
所以，()f x 的单调递减区间是(-，单调递增区间是(,-∞，)+∞；
()f x 在x =x =处取得极小值……9分
（Ⅲ）(0,)x ∈π,()0t x =，即21
20sin x x
--=，等价于212sin 0x x --=.……10分
设2
()12sin g x x x =--,(0,)x ∈π，则()22cos g x x x '=-.
当[,)2x π∈π时，()0g x '>，()g x 在区间[,)2π
π上单调递增.
又2()3024
g ππ=-<，2
()10g π=π->，
所以()g x 在区间[,)2
π
π上有一个零点.
……………11分
当(0,)2
x π
∈时,设()()22cos h x g x x x '==-.
()22sin 0h x x '=+>，所以()g x '在区间(0,)2π
上单调递增. ………12分
又(0)20g '=-<，()02g π'=π>，所以存在0(0,)2
x π
∈，使得0()0g x '=.
所以，当0(0,)x x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减； 当0(,)2
x x π
∈时，()0g x '>，()g x 单调递增.
……………13分
又(0)10g =-<，2
()3024
g ππ=-<，
所以()g x 在区间(0,)2
π
上无零点.
……………14分 综上所述，函数()t x 在定义域内只有一个零点. ……………15分
（20）（本小题15分）
已知椭圆22
:142x y C +=. （Ⅰ）求椭圆的离心率和长轴长；
（Ⅱ）已知直线2y kx =+与椭圆有两个不同的交点,A B ，为轴上一点. 是否存在实数，使
得PAB △是以点为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出的值及点的坐标；若不存在，说明理由.
解：圆锥曲线左膀右臂：向量、斜率，说白了就是转化. （Ⅰ）由题意：24a =，22b =，所以2a =.
……………1分 因为222a b c =+，所以22c =
，c =……………2分
所以2
c e a =
=. ……………3分
，长轴长为. ……………4分
（Ⅱ）联立222,142
y kx x y =+⎧⎪⎨+
=⎪⎩ 消整理得：22
(21)840k x kx +++=.
……………5分
因为直线与椭圆交于,A B 两点，故0∆＞，解得21
2
k ＞.
……………6分
设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则122821k x x k -+=+，12
24
21
x x k =+.……………8分 设AB 中点00(,)G x y ，
则1202
4221x x k x k +-==+，0022
221
y kx k =+=+， 故2242
(
,)2121
k G k k -++. ……………9分
假设存在和点(,0)P m ，使得PAB △是以为直角顶点的等腰直角三角形， 则PG AB ⊥，故1PG AB k k ⋅=-，
所以
222
211421
k k k m k +⨯=---+，解得2221k m k -=+，故22(0)2+1k P k -，.…………10分
又因为2
APB π
∠=
，所以0PA PB ⋅=. 所以1122(,)(,)0x m y x m y -⋅-=，即1112()()0x m x m y y --+=. 整理得 221212(1)(2)()40k x x k m x x m ++-+++=. 所以222
2
48(1)(2)4021
21
k
k k m m k k +⋅--⋅
++=++， ……………12分 代入2
221
k
m k -=
+，整理得41k =，即21k =. ……………14分
当1k =-时，点坐标为2(,0)3；当1k =时，点坐标为2
(,0)3
-.
此时，PAB △是以为直角顶点的等腰直角三角形. (15)
（21）（本小题15分）对于数列{}n a ，定义1*
11,,1,.n n n n n a a a a a ++⎧=⎨-<⎩
≥ 设*{}n a 的前项和为*n S .
（Ⅰ）设2
n n n a =
，写出*1a ，*2a ，*3a ，*
4a ； （Ⅱ）证明：“对任意*n ∈N ，有*
11n n S a a +=-”的充要条件是“对任意*n ∈N ，有1||1n n a a +-=”；
（Ⅲ）已知首项为0，项数为1(2)m m +≥的数列{}n a 满足：
①对任意1n m ≤≤且*n ∈N ，有1{1,0,1}n n a a +-∈-；②*
m
m S a =. 求所有满足条件的数列{}n a 的个数.
解：21题，大部分学生的目标是10分.第一问4分必得，二三问放在一起目标分6分.不要直接放弃. （Ⅰ）因为112a =
，212a =，338a =，414a =，55
32
a =， 根据题意可得*1
1a =，*21a =-，*31a =-，*
41a =-. ……………4分
（Ⅱ）必要性：对1n =，有*121S a a =-，因此**
2111||||||1a a S a -===.
(5)
分
对任意*n ∈N 且2n ≥，有*11n n S a a +=-，*
11n n S a a -=-，
两式作差，得**11n n n n S S a a -+-=-，即*
1n
n n a a a +=-， 因此 *
1||||1n n n a a a +-==.
……………7分
综上，对任意*n ∈N ，有1||1n n a a +-=.
充分性：若对任意*n ∈N ，有1||1n n a a +-=，则*
1n
n n a a a +=-， 所以 ***
*
122132111()()()n n n n n S a a a a a a a a a a a ++=+++=-+-++-=-.
综上，“对任意*n ∈N ，*
11n n S a a +=-”的充要条件是“对任意*n ∈N ，
1||1n n a a +-=”.
……………10分
（Ⅲ）构造数列{}n b ：10b =，1111,||1,
1,0.n n n n n n n n a a a a b b a a ++++--=⎧-=⎨-=⎩
则对任意1n m ≤≤且*n ∈N ，有**
n n b a =，1||1n n b b +-=. 结合（Ⅱ）可知，***
***
*
1212111m
m m m m S a a a b b b b b b ++=+++=++
+=-=.
又*
m
m S a =，因此1m m b a +=. 设21321,,,m m a a a a a a +---中有项为，
则1121321()()()m m m a a a a a a a a ++=+-+-++- 121321()()()m m b b b b b b b k +=+-+-++--
1m b k +=- m a k =-. 即1m m a a k +-=-.
因为1{1,0,1}m m a a +-∈-，所以0k =或. ……………13分 若0k =，则10m m a a +-=， 与21321,,
,m m a a a a a a +---中有项为，即0k =矛盾，不符题意.
若1k =，则11m m a a +-=-.
所以，当11m m a a +-=-，21321,,
,m m a a a a a a ----中有一项为，
其余2m -项为1±时，数列{}n a 满足条件.
21321,,
,m m a a a a a a ----中有一项为，共1m -种取法；其余2m -项每项
有或1-两种取法，
所以，满足条件的数列{}n a 的个数为2
(1)2
m m --⋅. ……………15分。