2021-2022学年北京市101中学高二(上)期中数学试卷【答案版】

2021-2022学年北京市101中学高二（上）期中数学试卷
一、选择题（共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）
1．已知直线l 过点A （0，3），且与直线x +y +1＝0平行，则l 的方程是（ ） A ．x +y ﹣2＝0 B ．x ﹣y +2＝0 C ．x +y ﹣3＝0 D ．x ﹣y +3＝0
2．设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n B ．若m ∥α，m ∥β，则α∥β C ．若m ∥n ，m ⊥α，则n ⊥α D ．若m ∥α，α⊥β，则m ⊥β
3．已知点A （1，﹣1），B （﹣1，1），则以线段AB 为直径的圆的方程是（ ） A ．x 2+y 2＝2 B ．x 2+y 2=√2
C ．x 2+y 2＝1
D ．x 2+y 2＝4
4．设A ，B ，C ，D 是空间不共面的四点，且满足AB →
⋅BC →
=0，AD →
⋅AC →
=0，AB →
•AD →
=0，M 为BC 中点，则△AMD 是（ ） A ．钝角三角形 B ．锐角三角形 C ．直角三角形 D ．不确定
5．已知直线l ：x +ay ﹣1＝0（a ∈R ）是圆C ：x 2+y 2﹣4x ﹣2y +1＝0的对称轴，过点A （﹣4，a ）作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |＝（ ） A ．2 B ．4√2 C ．2√10 D ．6
6．对于空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，有OP →
=xOA →
+yOB →
+zOC →
（x ，y ，z ∈R ），则“x ＝2，y ＝﹣2，z ＝1”是“P ，A ，B ，C 四点共面”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．即不充分也不必要条件
7．如图，在平面四边形ABCD 中，设AB ＝AD ＝CD ＝1，BD =√2，BD ⊥CD ．将四边形ABCD 沿对角线BD 折成四面体A ′﹣BCD ．使A ′BD ⊥平面BCD ，则下列结论正确的是（ ） A ．A ′C ⊥BD
B ．∠BA ′
C ＝90°
C ．CA ′与平面A ′B
D 所成的角为60° D ．四面体A ′﹣BCD 的体积为13
8．在直角坐标系中，A 、B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以线段AB 为直径的圆C 与直线x +y ﹣4＝0相切，则圆C 面积的最小值为（ ） A ．4π B ．2π C ．π D ．1
2
π
9．如图，在三棱锥P ﹣ABC 中，AB ＝AC ＝PB ＝PC ＝5，P A ＝4，BC ＝6，点M 在平面PBC 内，且AM =√15，设异面直线AM 与BC 所成的角为α，则cos α的最大值为（ ）
A ．√25
B ．√35
C ．2
5
D ．√55
10．在平面斜坐标系xoy 中∠xoy ＝45°，点P 的斜坐标定义为：“若OP →
=x 0e 1→
+y 0e 2→
（其中e 1→
，e 2→
分别为与斜坐标系的x 轴，y 轴同方向的单位向量），则点P 的坐标为（x 0，y 0）”．若F 1（﹣1，0），F 2（1，0），且动点M （x ，y ）满足|MF →
1|=|MF →
2|，则点M 在斜坐标系中的轨迹方程为（ ） A ．x −√2y =0 B ．x +√2y =0 C ．√2x −y =0 D ．√2x +y =0
二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分）
11．过点P （2，1）且倾斜角比直线y ＝x ﹣101的倾斜角小π
4的直线的方程是 ．
12．已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果AB →=（2，﹣1，﹣4），AD →=（4，2，0），AP →
=（﹣1，2，﹣1）．对于结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP →是平面ABCD 的法向量；④AP →∥BD →
．其中正确的是 ．
13．在平面直角坐标系xOy 中，已知A （﹣3，3），B （9，﹣4），现沿x 轴将坐标平面折成90°的二面角，则折叠后A ，B 两点间的距离为 ．
14．如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，底面是以∠ABC 为直角的等腰三角形，AC ＝2，BB 1＝3，D 是A 1C 1的中点，点F 在线段AA 1上，当AF ＝ 时，CF ⊥平面B 1DF ．
15．已知点P 为圆O ：x 2+y 2＝4上任意一点，过点P 作两直线分别交圆OA ，B 两点， 且∠APB ＝60°，则|P A |2+|PB |2的取值范围是 ．
三、解答题（本大题共4小题，共45分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

16．已知过点A（﹣1，1）的直线l与直线l1：2x+y﹣6＝0相交于B点，且|AB|＝7，求直线l的方程．
17．（15分）如图，在棱长均为2的三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点C在平面A1ABB1内的射影O为AB1与A1B的交点，E，F分别为BC，A1C1的中点．
（Ⅰ）求证：四边形A1ABB1为正方形；
（Ⅱ）求直线EF与平面A1ACC1所成角的正弦值；
（Ⅲ）在线段AB1上存在一点D，使得直线EF与平面A1CD没有公共点，求AD
DB1
的值．
18．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M ：x 2+y 2﹣12x ﹣14y +60＝0及其上一点A （2，4）．
（1）设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x ＝6上，求圆N 的标准方程； （2）设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点，且|BC |＝|OA |，求直线l 的方程；
（3）设点T （t ，0）满足：存在圆M 上的两点P 和Q ，使得TA →
+TP →
=TQ →
，求实数t 的取值范围．
19．（10分）将边长为1的正三角形ABC的各边都n（n∈N且n≥2）等分，过各分点做平行于其他两边的直线，将这个三角形等分成小三角形，各小三角形的顶点称为结点，在每个结点处放置了一个实数，满足以下两个条件：①A，B，C三点上放置的数分别为a，b，c；②在每个由有公共边的两个小三角形组成的菱形中，两组相对顶点上放置的和相等．
（1）当n＝2，a＝1，b＝2，c＝3时，如图1，△ABC的三个结点处放置的三个实数分别为x，y，z，那么x+y+z＝（请直接写出答案）；
（2）当n≥3时，如图2，与△ABC的边平行的直线上的三个连续的结点上放置的数为x，y，z，那么求证：x+y+z＝2y．并求所有结点上最大数与最小数对应结点的距离r（规定当最大数与最小数相同时对应结点的距离为0）；
（3）求结点上所有数的和S．
2021-2022学年北京市101中学高二（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）
1．已知直线l 过点A （0，3），且与直线x +y +1＝0平行，则l 的方程是（ ） A ．x +y ﹣2＝0
B ．x ﹣y +2＝0
C ．x +y ﹣3＝0
D ．x ﹣y +3＝0
解：设过点A （0，3），且与直线x +y +1＝0平行的直线方程为x +y +t ＝0， 所以t ＝﹣3．
故直线的方程为x +y ﹣3＝0． 故选：C ．
2．设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n B ．若m ∥α，m ∥β，则α∥β C ．若m ∥n ，m ⊥α，则n ⊥α
D ．若m ∥α，α⊥β，则m ⊥β
解：A 、m ∥α，n ∥α，则m ∥n ，m 与n 可能相交也可能异面，所以A 不正确； B 、m ∥α，m ∥β，则α∥β，还有α与β可能相交，所以B 不正确； C 、m ∥n ，m ⊥α，则n ⊥α，满足直线与平面垂直的性质定理，故C 正确． D 、m ∥α，α⊥β，则m ⊥β，也可能m ∥β，也可能m ∩β＝A ，所以D 不正确； 故选：C ．
3．已知点A （1，﹣1），B （﹣1，1），则以线段AB 为直径的圆的方程是（ ） A ．x 2+y 2＝2
B ．x 2+y 2=√2
C ．x 2+y 2＝1
D ．x 2+y 2＝4
解：∵点A （1，﹣1），B （﹣1，1），
∴以线段AB 为直径的圆，圆心为AB 中点（0，0） 半径r =12|AB |=1
2×√(1+1)2+(−1−1)2=√2 因此，所求圆的方程为x 2+y 2＝2 故选：A ．
4．设A ，B ，C ，D 是空间不共面的四点，且满足AB →
⋅BC →
=0，AD →
⋅AC →
=0，AB →
•AD →
=0，M 为BC 中点，则△AMD 是（ ） A ．钝角三角形
B ．锐角三角形
C ．直角三角形
D ．不确定
解：因为M 为BC 中点，
所以AM →
=1
2（AB →+AC →
），
所以AD →
•AM →
=AD →
•1
2
（AB →+AC →
）=12（AD →•AB →+AD →•AC →）=1
2×（0+0）＝0，
所以AD ⊥AM ，即△AMD 为Rt △． 故选：C ．
5．已知直线l ：x +ay ﹣1＝0（a ∈R ）是圆C ：x 2+y 2﹣4x ﹣2y +1＝0的对称轴，过点A （﹣4，a ）作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |＝（ ） A ．2
B ．4√2
C ．2√10
D ．6
解：∵圆C ：x 2+y 2﹣4x ﹣2y +1＝0，即（x ﹣2）2+（y ﹣1）2＝4， 表示以C （2，1）为圆心、半径等于2的圆．
由题意可得，直线l ：x +ay ﹣1＝0经过圆C 的圆心（2，1）， 故有2+a ﹣1＝0，∴a ＝﹣1，点A （﹣4，﹣1）． ∵AC =√(−4−2)2+(−1−1)2=2√10，CB ＝R ＝2， ∴切线的长|AB |=√40−4=6． 故选：D ．
6．对于空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，有OP →
=xOA →
+yOB →
+zOC →
（x ，y ，z ∈R ），则“x ＝2，y ＝﹣2，z ＝1”是“P ，A ，B ，C 四点共面”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．即不充分也不必要条件
解：OP →
=xOA →
+yOB →
+zOC →
（x ，y ，z ∈R ），且P ，A ，B ，C 四点共面的等价条件是x +y +z ＝1． 若x ＝2，y ＝﹣2，z ＝1，满足x +y +z ＝2﹣2+1＝1，则P ，A ，B ，C 四点共面， 但P ，A ，B ，C 四点共面，不一定有x ＝2，y ＝﹣2，z ＝1，
故x ＝2，y ＝﹣2，z ＝1是P ，A ，B ，C 四点共面的充分不必要条件， 故选：A ．
7．如图，在平面四边形ABCD 中，设AB ＝AD ＝CD ＝1，BD =√2，BD ⊥CD ．将四边形ABCD 沿对角线BD 折成四面体A ′﹣BCD ．使A ′BD ⊥平面BCD ，则下列结论正确的是（ ）
A ．A ′C ⊥BD
B ．∠BA ′
C ＝90°
C ．CA ′与平面A ′B
D 所成的角为60° D ．四面体A ′﹣BCD 的体积为1
3
解：对于A ，假设A 对，A ′C ⊥BD ， 因为BD ⊥CD ，A ′C ∩CD ＝D ， 所以BD ⊥平面A ′CD ， 因为A ′D ⊂平面平面A ′CD ，
所以BD ⊥A ′D ，但∠A ′DB ＝45°，矛盾，所以A 错；
对于B ，因为平面A ′BD ⊥平面BCD ，所以BD 是A ′D 在平面BCD 内投影， 又因为BD ⊥CD ，所以CD ⊥A ′D ， 所以A ′C =√12+12=√2，
又因为A ′B ＝1，BC =√(√2)2+12=√3，
所以A ′C 2+A ′B 2＝BC 2，所以∠BA ′C ＝90°，所以B 对； 对于C ，因为CD ⊥BD ，CD ⊥A ′D ，所以CD ⊥平面A ′BD ， 所以CA ′与平面A ′BD 所成的角为∠CA ′D ＝45°，所以C 错； 对于D ，取BD 中点O ，连接A ′O ，A ′O ⊥BD ，
因为平面A ′BD ⊥平面BCD ，平面A ′BD ∩平面BCD ＝BD ，
所以A ′O ⊥平面BCD ，所以V A ′﹣BCD =13⋅1
2⋅√2⋅1⋅√2
2=1
6，所以A 错． 故选：B ．
8．在直角坐标系中，A 、B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以线段AB 为直径的圆C 与直线x +y ﹣4＝0相切，则圆C 面积的最小值为（ ） A ．4π
B ．2π
C ．π
D ．1
2π
解：∵AB 为直径，∠AOB ＝90°， ∴O 点必在圆C 上，
由O 向直线x +y ﹣4＝0作垂线，垂足为D ， 则当D 恰为圆与直线的切点时，圆C 的半径最小， 此时圆的直径为O （0，0）到直线x +y ﹣4＝0的距离d =4
√2
=2√2， ∴此时圆的半径r =√2，
∴圆C 面积最小值S min ＝πr 2＝2π． 故选：B ．
9．如图，在三棱锥P ﹣ABC 中，AB ＝AC ＝PB ＝PC ＝5，P A ＝4，BC ＝6，点M 在平面PBC 内，且AM =√15，设异面直线AM 与BC 所成的角为α，则cos α的最大值为（ ）
A ．
√25
B ．
√35
C ．2
5
D ．
√55
解：设线段BC 的中点为D ，连接AD ， ∵AB ＝AC ＝5，D 为BC 的中点，则AD ⊥BC ， ∵BC ＝5，则BD ＝CD ＝3，∴AD =√AB 2−BD 2=4， 同理可得PD ＝4，PD ⊥BC ， ∵PD ⋂AD ＝D ，∴BC ⊥平面P AD ，
过点P 在平面P AD 内作PO ⊥AD ，垂足为点O ，
因为P A ＝PD ＝AD ＝4，所以，△P AD 为等边三角形，故O 为AD 的中点， ∵BC ⊥平面P AD ，PO ⊂平面P AD ，则BC ⊥PO ， ∵PO ⊥AD ，AD ⋂BC ＝D ，∴PO ⊥平面ABC ，
以点O 为坐标原点，CB →
、AD →
、OP →
分别为x 、y 、z 轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系O ﹣xyz ，
因为△P AD 是边长为4的等边三角形，O 为AD 的中点，则OP =PAsin60°=2√3， 则A （0，﹣2，0）、B （3，2，0）、C （﹣3，2，0）、P(0，0，2√3)， 由于点M 在平面PBC 内，
可设BM →
=mBP →
+nBC →
=m(−3，−2，2√3)+n(−6，0，0)=(−3m −6n ，−2m ，2√3m)， 其中m ≥0，n ≥0且m +n ≤1，
从而AM →
=AB →
+BM →
=(3，4，0)+(−3m −6n ，−2m ，2√3m)=(3−3m −6n ，4−2m ，2√3m)， 因为|AM →|=√15，则（3﹣3m ﹣6n ）2+（4﹣2m ）2+12m 2＝15， 所以，（3﹣3m ﹣6n ）2＝﹣16m 2+16m ﹣1＝﹣（4m ﹣2）2+3， 故当m =1
2时，﹣16m 2+16m ﹣1有最大值3，即（3m +6n ﹣3）2≤3， 故−√3≤3m +6n −3≤√3，即3m +6n ﹣3有最大值√3， 所以，cosα=|cos ＜AM →
，BC →
＞|=|AM →⋅BC →
||AM →
|⋅|BC →
|
=
|6(3−3m−6n)|6√15≤63
6√15
=√55．
故选：D ．
10．在平面斜坐标系xoy 中∠xoy ＝45°，点P 的斜坐标定义为：“若OP →
=x 0e 1→
+y 0e 2→
（其中e 1→
，e 2→
分别为与斜坐标系的x 轴，y 轴同方向的单位向量），则点P 的坐标为（x 0，y 0）”．若F 1（﹣1，0），F 2（1，0），且动点M （x ，y ）满足|MF →
1|=|MF →
2|，则点M 在斜坐标系中的轨迹方程为（ ） A ．x −√2y =0
B ．x +√2y =0
C ．√2x −y =0
D ．√2x +y =0
解：设M （x ，y ），∵F 1（﹣1，0），F 2（1，0），
∴由定义知，MF 1→
=−[(x +1)e 1→+ye 2→
]，MF 2→
=−[(x −1)e 1→+ye 2→
]，
由|MF →1|=|MF →
2|，得：|(x +1)e 1→+ye 2→|＝|(x −1)e 1→+ye 2→
|， ∴√(x +1)2+y 2+2(x +1)y ×2
2
=√(x −1)2+y 2+2(x −1)y ×
2
2
，
整理得：√2x +y ＝0． 故选：D ．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分）
11．过点P （2，1）且倾斜角比直线y ＝x ﹣101的倾斜角小π
4的直线的方程是 y ＝1 ．
解：∵直线y ＝x ﹣101的斜率为1， ∴可得倾斜角为π
4，
∴所求直线的倾斜角为π4
−
π4
=0，
又∵所求直线过点P （2，1）， ∴所求直线的方程为y ＝1． 故答案为：y ＝1．
12．已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果AB →
=（2，﹣1，﹣4），AD →
=（4，2，0），AP →
=（﹣1，2，﹣1）．对于结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP →
是平面ABCD 的法向量；④AP →
∥BD →
．其中正确的是 ①②③ ．
解：由AB →
=（2，﹣1，﹣4），AD →
=（4，2，0），AP →
=（﹣1，2，﹣1），知： 在①中，AP →
⋅AB →
=−2﹣2+4＝0，∴AP →
⊥AB →
，∴AP ⊥AB ，故①正确； 在②中，AP →
•AD →
=−4+4+0＝0，∴AP →
⊥AD →
，∴AP ⊥AD ，故②正确；
在③中，由AP ⊥AB ，AP ⊥AD ，AB ∩AD ＝A ，知AP →
是平面ABCD 的法向量，故③正确； 在④中，BD →
=AD →
−AB →
=（2，3，4），
假设存在λ使得AP →
=λBD →
，则{−1=2λ
2=3λ−1=4λ
，无解，
∴AP →与BD →
不可能平行．故④不正确； 综上可得：①②③正确． 故答案为：①②③．
13．在平面直角坐标系xOy 中，已知A （﹣3，3），B （9，﹣4），现沿x 轴将坐标平面折成90°的二面角，
则折叠后A ，B 两点间的距离为 13 ．
解：在平面直角坐标系中，A （﹣3，3），B （9，﹣4），
现沿x 轴将坐标平面折成90°的二面角后，点A 在平面xOy 上的射影为C （﹣3，0）， 作BD ⊥x 轴，交x 轴于点D （9，0），
所以AB →
=AC →
+CD →
+DB →
，AB →
2
=AC →
2
+CD →
2
+DB →
2
+2AC →
⋅CD →
+2AC →
⋅DB →
+2CD →
⋅DB →
= 32+122+42＝
169，
所以|AB |＝13． 故答案为：13．
14．如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，底面是以∠ABC 为直角的等腰三角形，AC ＝2，BB 1＝3，D 是A 1C 1的中点，点F 在线段AA 1上，当AF ＝ 1或2 时，CF ⊥平面B 1DF ．
解：由已知得A 1B 1＝B 1C 1，又D 是A 1C 1的中点， 所以B 1D ⊥A 1C 1，又侧棱AA 1⊥底面ABC ，
可得侧棱AA 1⊥平面A 1B 1C 1，又B 1D ⊂平面A 1B 1C 1， 所以AA 1⊥B 1D ，因为AA 1∩A 1C 1＝A 1， 所以B 1D ⊥平面AA 1C 1C ，
又CF ⊂平面AA 1C 1C ，所以B 1D ⊥CF ， 若CF ⊥平面B 1DF ，则必有CF ⊥DF ． 在平面AA 1C 1C 中，
设AF ＝x （0＜x ＜3），则A 1F ＝3﹣x ，
则CF 2＝x 2+4，
DF 2＝12+（3﹣x ）2，又CD 2＝12+32＝10， 所以10＝x 2+4+1+（3﹣x ）2， 解得x ＝1或2． 故答案为：1或2．
15．已知点P 为圆O ：x 2+y 2＝4上任意一点，过点P 作两直线分别交圆OA ，B 两点，且∠APB ＝60°，则|P A |2+|PB |2的取值范围是 （3，6] ．
解：根据圆的对称性，可设P （﹣1，0），∠APO ＝θ（0≤θ＜π
2）， 则∠AOx ＝2θ，∠BOx =
2π
3
−2θ， ∴A （cos2θ，sin2θ），B （cos （43
π+2θ），sin （43
π+2θ））． ∴|P A |2＝（cos2θ+1）2+（sin2θ）2＝2+2cos2θ，
|PB |2＝（cos （4
3
π+2θ）+1）2+（sin （4
3
π+2θ））2＝2+2cos （4
3
π+2θ），
∴|P A |2+|PB |2＝4+cos2θ+√3sin2θ＝2sin （2θ+π
6）+4， ∵0≤θ＜π
2
，∴
π6
≤2θ+
π6≤76π，∴3＜2sin （2θ+π
6
）+4≤6， ∴|P A |2+|PB |2的取值范围是（3，6]． 故答案为：（3，6]．
三、解答题（本大题共4小题，共45分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

16．已知过点A （﹣1，1）的直线l 与直线l 1：2x +y ﹣6＝0相交于B 点，且|AB |＝7，求直线l 的方程． 解：设B （m ，n ），
因为点B 在直线l 1上，所以2m +n ﹣6＝0①， 因为|AB |＝7，所以√(m +1)2+(n −1)2=7②， 由①②，得5m 2﹣18m ﹣23＝0， 解得m =235，n =−16
5或m ＝﹣1，n ＝8，
当B （23
5，−165）时，直线l 的方程为y ﹣1=−165
−1235
+1
（x +1），即3x +4y ﹣1＝0；
当B （﹣1，8）时，直线l 的方程为x ＝﹣1， 故直线l 的方程为3x +4y ﹣1＝0或x ＝﹣1．
17．（15分）如图，在棱长均为2的三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，点C 在平面A 1ABB 1内的射影O 为AB 1与A 1B 的交点，E ，F 分别为BC ，A 1C 1的中点． （Ⅰ）求证：四边形A 1ABB 1为正方形；
（Ⅱ）求直线EF 与平面A 1ACC 1所成角的正弦值；
（Ⅲ）在线段AB 1上存在一点D ，使得直线EF 与平面A 1CD 没有公共点，求
AD DB 1
的值．
解：（Ⅰ）连结CO ．
∵C 在平面A 1ABB 1内的射影O 为AB 1与A 1B 的交点， ∴CO ⊥平面A 1ABB 1． ∴CO ⊥OB ，OC ⊥OA ，
由已知三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1各棱长均相等， 所以AC ＝BC ，且A 1ABB 1为菱形．
由勾股定理得OB =√BC 2−OC 2，OA =√AC 2−OC 2， ∴OA ＝OB ，即AB 1＝A 1B ． ∴四边形A 1ABB 1为正方形．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知CO ⊥平面A 1ABB 1，CO ⊥OA ，CO ⊥OA 1． 在正方形A 1ABB 1中，OA 1⊥OA ． 如图建立空间直角坐标系O ﹣xyz ．
由题意得O(0，0，0)，A 1(√2，0，0)，A(0，√2，0)，B(−√2，0，0)，C(0，0，√2)，C 1(√2，−√2，√2)，E(−√2
2，0，√2
2)，F(√2，−√2
2，√2
2)． 所以A 1A →
=(−√2，√2，0)，AC →
=(0，−√2，√2)． 设平面A 1ACC 1的法向量为m →
=（x ，y ，z ）， 则{
m →
⋅AA 1→
=0
m →
⋅AC →=0
，即{−√2x +√2y =0，−√2y +√2z =0. 令x ＝1，则y ＝1，z ＝1，于是m →
=（1，1，1）． 又因为EF →
=(
3√22，−√22
，0)， 设直线EF 与平面A 1ACC 1所成角为θ，则sin θ＝|cos ＜m →
，EF →
＞|=
|m →⋅EF →
||m →
||EF →
|
=
√2√3×√5
=
√30
15
．
所以直线EF 与平面A 1AC 所成角的正弦值为
√30
15
． （Ⅲ）直线EF 与平面A 1CD 没有公共点，即EF ∥平面A 1CD ． 设D 点坐标为（0，y 0，0），D 与O 重合时不合题意，所以y 0≠0． 因为A 1D →
=(−√2，y 0，0)，A 1C →
=(−√2，0，√2)． 设n →
=（x 1，y 1，z 1）为平面A 1CD 的法向量， 则{n →
⋅A 1D →
=0n →⋅A 1C →=0
，即{−√2x 1+y 0y 1=0，−√2x 1+√2z 1=0.
令x 1＝1，则y 1=√2
y 0，z 1＝1，于是n →
=（1，√2
y 0，1）．
若EF ∥平面A 1CD ，n →
⋅EF →
=0． 又EF →
=(3√2
2，−√22
，0)， 所以
3√22−√22×√2y 0
=0，解得y 0=√23．
此时EF ⊄平面A 1CD ， 所以AD =2√23，DB 1=4√2
3． 所以
AD DB 1
=12
．
18．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M ：x 2+y 2﹣12x ﹣14y +60＝0及其上一点A （2，4）．
（1）设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x ＝6上，求圆N 的标准方程； （2）设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点，且|BC |＝|OA |，求直线l 的方程；
（3）设点T （t ，0）满足：存在圆M 上的两点P 和Q ，使得TA →
+TP →
=TQ →
，求实数t 的取值范围．
解：（1）∵N 在直线x ＝6上，∴设N （6，n ），
∵圆N 与x 轴相切，∴圆N 为：（x ﹣6）2+（y ﹣n ）2＝n 2，n ＞0，
又圆N 与圆M 外切，圆M ：x 2+y 2﹣12x ﹣14y +60＝0，即圆M ：（x ﹣6）2+（y ﹣7）2＝25， ∴|7﹣n |＝|n |+5，解得n ＝1，
∴圆N 的标准方程为（x ﹣6）2+（y ﹣1）2＝1． （2）由题意得OA ＝2√5，k OA ＝2，设l ：y ＝2x +b ， 则圆心M 到直线l 的距离：d =
|5+b|
5
， 则|BC |＝2√25−(5+b)2
5，BC ＝2√5，即2√25−(5+b)
2
5=2√5，
解得b ＝5或b ＝﹣15，
∴直线l 的方程为：y ＝2x +5或y ＝2x ﹣15． （3）TA →+TP →=TQ →，即TA →=TQ →−TP →=PQ →
，
又|PQ →
|≤10，即√(t −2)2+42≤10，解得t ∈[2﹣2√21，2+2√21]， 对于任意t ∈[2﹣2√21，2+2√21]，欲使TA →=TQ →−TP →=PQ →
，
此时，|TA →
|≤10，
只需要作直线TA 的平行线，使圆心到直线的距离为√25−|TA|
2
4
，
必然与圆交于P 、Q 两点，此时|TA →
|＝|PQ →
|，即TA →
=PQ →
， 因此实数t 的取值范围为t ∈[2﹣2√21，2+2√21]．
19．（10分）将边长为1的正三角形ABC 的各边都n （n ∈N 且n ≥2）等分，过各分点做平行于其他两边的直线，将这个三角形等分成小三角形，各小三角形的顶点称为结点，在每个结点处放置了一个实数，满足以下两个条件：①A ，B ，C 三点上放置的数分别为a ，b ，c ；②在每个由有公共边的两个小三角形组成的菱形中，两组相对顶点上放置的和相等．
（1）当n ＝2，a ＝1，b ＝2，c ＝3时，如图1，△ABC 的三个结点处放置的三个实数分别为x ，y ，z ，那么x +y +z ＝ 6 （请直接写出答案）；
（2）当n ≥3时，如图2，与△ABC 的边平行的直线上的三个连续的结点上放置的数为x ，y ，z ，那么求证：x +y +z ＝2y ．并求所有结点上最大数与最小数对应结点的距离r （规定当最大数与最小数相同时对应结点的距离为0）； （3）求结点上所有数的和S ．
（1）解：由题意可得{x +z =1+y
2+z =x +y x +3=y +z
，所以x +y +z ＝6；
（2）证明：条件②可叙述为：在所述菱形中，两相邻顶点上放置的数的差与另两个相邻顶点上放置的数的差相等，
由此在图2中同一条线上的三个连续的结点上放置的数成等差数列（因为有两个结点既与这三个连续结点的前两个构成菱形，也与后两个构成菱形）， 所以x +z ＝2y ；
由于等差数列的每一项都是首项与另一项的一次式，所以各结点上放置的数都是a ，b ，c 的一次式， 若a ＝b ＝c ＝1，那么所放置的数均相等，所以r ＝0，
若a ，b ，c 不相等，设a 最大，c 最小，由于等差数列中，最大（最小）的项是首项或末项，所以在所
放置的数中也是a最大，c最小，所以r＝1．
综上，a＝b＝c＝1，r＝0；a，b，c不相等，r＝1；
（3）解：当a，b，c任意两个字母互换时，相当于改变三角形的位置，所以总和S保持不变，即S是a，b，c的对称式（对称函数），
因此a，b，c的系数相等，即S＝k（a+b+c）+h，其中k，h为待定系数，
令a﹣b＝c＝0，这时所有结点上的数为0，S＝0，从而h＝0，
令a＝b＝c＝1，这时所有结点上的数为1，S等于结点的个数为1+2+…+（n+1）=(n+1)(n+2)
2
，
从而k=(n+1)(n+2)
6
，
所以S=(n+1)(n+2)
6
（a+b+c）．。