人教版新课标九年级上册二次函数讲义

第二十二章二次函数
22．1 二次函数的图象和性质
22．1.1 二次函数
1．设一个正方形的边长为x，则该正方形的面积y＝_______，其中变量是____，____是____的函数．
2．一般地，形如y＝ax2＋bx＋c(_________________)的函数，叫做二次函数，其中x是自变量，a，b，c分别为二次项系数、一次项系数、常数项．
知识点1：二次函数的定义
1．下列函数是二次函数的是( )
A．y＝2x＋1B．y＝－2x＋1 C．y＝x2＋2 D．y＝0.5x－2
2．下列说法中，正确的是()
A．二次函数中，自变量的取值范围是非零实数
B．在圆的面积公式S＝πr2中，S是r的二次函数
C．y＝1
2(x－1)(x＋4)不是二次函数
D．在y＝1－2x2中，一次项系数为1
3．若y＝(a＋3)x2－3x＋2是二次函数，则a的取值范围是_________．
4．已知二次函数y＝1－3x＋2x2，则二次项系数a＝_____，一次项系数b＝_____，常数项c＝_______．
5．已知两个变量x，y之间的关系式为y＝(a－2)x2＋(b＋2)x－3.
(1)当_________时，x，y之间是二次函数关系；
(2)当_______________时，x，y之间是一次函数关系．
6．已知两个变量x，y之间的关系为y＝(m－2)x m2－2＋x－1，若x，y之间是二次函数关系，求m的值．
知识点2：实际问题中的二次函数的解析式
7．某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价．若每件商品售价为x元，则可卖出(350－10x)件商品，那么商品所赚钱数y元与售价x元的函数关系式为( )
A．y＝－10x2－560x＋7350 B．y＝－10x2＋560x－7350
C．y＝－10x2＋350x＋7350 D．y＝－10x2＋350x－7350
8．某车的刹车距离y(m)与开始刹车时的速度x(m/s)之间满足二次函数y＝1
20x
2(x＞0)，若该车某次的刹车距离为5 m，则开始刹车时的速度为()
A．40 m/s B．20 m/s C．10 m/s D．5 m/s
9．某厂今年一月份新产品的研发资金为a元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年三月份新产品的研发资金y(元)关于x的函数关系式为y＝_________．
10．多边形的对角线条数d与边数n之间的关系式为____________，自变量n的取值范围是_______________；当d＝35时，多边形的边数n＝__________．11．如图，有一个长为24米的篱笆，一面利用墙(墙的最大长度a为10米)围成的中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米．
(1)求S与x的函数关系式；
(2)如果要围成面积为45平方米的花圃，AB的长为多少米？
12．已知二次函数y＝x2－2x－2，当x＝2时，y＝________；当x＝_______时，函数值为1.
13．边长为4 m的正方形中间挖去一个边长为x(m)(x＜4)的小正方形，剩余的四方框的面积为y(m2)，则y与x之间的函数关系式为________________，它是_________函数．14．设y＝y1－y2，y1与x成正比例，y2与x2成正比例，则y与x的函数关系是( ) A．正比例函数B．一次函数C．二次函数D．以上都不正确15．某种正方形合金板材的成本y(元)与它的面积成正比，设边长为x厘米，当x＝3时，y＝18，那么当成本为72元时，边长为( )
A．6厘米B．12厘米C．24厘米D．36厘米16．某高中学校为高一新生设计的学生单人桌的抽屉部分是长方体形，抽屉底面周长为180 cm，高为20 cm.设底面的宽为x，抽屉的体积为y时，求y与x之间的函数关系式．(材质及其厚度等暂忽略不计)
17．某商店经营一种小商品，进价为2.5元，据市场调查，销售单价是13.5元时，平均每天销售量是500件，而销售单价每降低1元，平均每天就可以多售出100件．假定每
件商品降价x元，商店每天销售这种小商品的利润是y元，请写出y与x之间的函数
关系式，并注明x的取值范围．
18．一块矩形的草坪，长为8 m，宽为6 m，若将长和宽都增加x m，设增加的面积为y m2.
(1)求y与x的函数关系式；
(2)若使草坪的面积增加32 m2，求长和宽都增加多少米？
22．1.2 二次函数y ＝ax 2的图象和性质
1．由解析式画函数图象的步骤是________、________、_________． 2．一次函数y ＝kx ＋b(k ≠0)的图象是__________． 3．二次函数y ＝ax 2(a ≠0)的图象是一条_______，其对称轴为_____轴，顶点坐标为_______． 4．抛物线y ＝ax 2与y ＝－ax 2关于_____轴对称．抛物线y ＝ax 2，当a ＞0时，开口向____，顶点是它的最______点；当a ＜0时，开口向_______，顶点是它的最______点，随着|a|的增大，开口越来越______．
知识点1：二次函数y ＝ax 2
的图象及表达式的确定
1．已知二次函数y ＝x 2，则其图象经过下列点中的( )
A ．(－2，4)
B ．(－2，－4)
C ．(2，－4)
D ．(4，2) 2．2
_______________(2)将表格中的空格补全．
3．已知二次函数y ＝ax 2的图象经过点A(－1，－1
3)．
(1)求这个二次函数的解析式并画出其图象； (2)请说出这个二次函数的顶点坐标、对称轴．
知识点2：二次函数y ＝ax 2的图象和性质
4．对于函数y ＝4x 2，下列说法正确的是( )
A ．当x ＞0时，y 随x 的增大而减小
B ．当x ＜0时，y 随x 的增大而减小
C ．y 随x 的增大而减小
D ．y 随x 的增大而增大
5．已知点(－1，y 1)，(2，y 2)，(－3，y 3)都在函数y ＝x 2的图象上，则( )
A ．y 1＜y 2＜y 3
B ．y 1＜y 3＜y 2
C ．y 3＜y 2＜y 1
D ．y 2＜y 1＜y 3
6．已知二次函数y ＝(m －2)x 2的图象开口向下，则m 的取值范围是_________．
7．二次函数y＝－1
2x
2的图象是一条开口向_______的抛物线，对称轴是________，顶点坐
标是_________；当x______时，y随x的增大而减小；当x＝0时，函数y有_______(填“最大”或“最小”)值是_______．
8．如图是一个二次函数的图象，则它的解析式为_________，当x＝_____时，函数图象的最低点为__________．
9．已知二次函数y＝mxm2－2.
(1)求m的值；
(2)当m为何值时，二次函数有最小值？求出这个最小值，并指出x取何值时，y随x
的增大而减小；
(3)当m为何值时，二次函数的图象有最高点？求出这个最高点，并指出x取何值时，
y随x的增大而增大．
10．二次函数y ＝15x 2
和y ＝5x 2，以下说法：①它们的图象都是开口向上；②它们的对称轴
都是y 轴，顶点坐标都是原点(0，0)；③当x ＞0时，它们的函数值y 都是随着x 的增大而增大；④它们开口的大小是一样的．其中正确的说法有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
11．已知a ≠0，同一坐标系中，函数y ＝ax 与y ＝ax 2的图象有可能是( )
12．如图是下列二次函数的图象：①y ＝ax 2
；②y ＝bx 2
；③y ＝cx 2；④y ＝dx 2.比较a ，b ，c ，
d 的大小，用“＞”连接为_______________．
（第12题图) （第14题图)
13．当a ＝________时，抛物线y ＝ax 2与抛物线y ＝－4x 2关于x 轴对称；抛物线y ＝－7x 2
关于x 轴对称所得抛物线的解析式为___________；当a ＝_______时，抛物线y ＝ax 2与抛物线y ＝－2x 2的形状相同． 14．已知二次函数y ＝2x 2的图象如图所示，将x 轴沿y 轴向上平移2个单位长度后与抛物
线交于A ，B 两点，则△AOB 的面积为________． 15．已知正方形的周长为C(cm )，面积为S(cm 2)．
(1)求S 与C 之间的函数关系式； (2)画出所示函数的图象；
(3)根据函数图象，求出S ＝1 cm 2时正方形的周长； (4)根据列表或图象的性质，求出C 取何值时S ≥4 cm 2?
16．二次函数y＝ax2与直线y＝2x－1的图象交于点P(1，m)．
(1)求a，m的值；
(2)写出二次函数的表达式，并指出x取何值时，y随x的增大而增大；
(3)指出抛物线的顶点坐标和对称轴．
17．如图，抛物线y＝x2与直线y＝2x在第一象限内有一个交点A.
(1)你能求出A点坐标吗？
(2)在x轴上是否存在一点P，使△AOP为等腰三角形？若存在，请你求出点P的坐标；
若不存在，请说明理由．
22．1.3 二次函数y ＝a(x －h)2＋k 的图象和性质
22.1.3.1 二次函数y ＝ax 2＋k 的图象和性质
1．二次函数y ＝ax 2
＋k 的图象是一条_________．它与抛物线y ＝ax 2的________相同，只是________不同，它的对称轴为________轴，顶点坐标为________．
2．二次函数y ＝ax 2＋k 的图象可由抛物线y ＝ax 2__ ___得到，当k ＞0时，抛物线y ＝ax 2向上平移_______个单位得y ＝ax 2＋k ；当k ＜0时，抛物线y ＝ax 2向________平移|k|个单位得y ＝ax 2＋k.
知识点1：二次函数y ＝ax 2
＋k 的图象和性质 1．抛物线y ＝2x 2＋2的对称轴是___，顶点坐标是_____，它与抛物线y ＝2x 2的形状_____．
2．抛物线y ＝－3x 2
－2的开口向______，对称轴是_______，顶点坐标是_________．
3．若点(x 1，y 1)和(x 2，y 2)在二次函数y ＝－1
2x 2＋1的图象上，且x 1＜x 2＜0，则y 1与y 2的大小关系为_________．
4．对于二次函数y ＝x 2＋1，当x ＝______时，y 最______＝____；当x______时，y 随x 的增大而减小；当x______时，y 随x 的增大而增大． 5．已知二次函数y ＝－x 2＋4.
(1)当x 为何值时，y 随x 的增大而减小？ (2)当x 为何值时，y 随x 的增大而增大？
(3)当x 为何值时，y 有最大值？最大值是多少？ (4)求图象与x 轴、y 轴的交点坐标．
知识点2：二次函数y ＝ax 2＋k 与y ＝ax 2之间的平移
6．将二次函数y ＝x 2的图象向上平移1个单位，则平移后的抛物线的解析式是_______． 7．抛物线y ＝ax 2＋c 向下平移2个单位得到抛物线y ＝－3x 2＋2，则a ＝_____，c ＝_____．
8．在同一个直角坐标系中作出y ＝12x 2，y ＝1
2x 2－1的图象． (1)分别指出它们的开口方向、对称轴以及顶点坐标；
(2)抛物线y ＝12x 2－1与抛物线y ＝1
2x 2有什么关系？
知识点3：抛物线y ＝ax 2＋k 的应用
9．如图，小敏在某次投篮中，球的运动路线是抛物线y ＝－1
5x 2＋3.5的一部分．若命中篮圈中心，则她与篮底的距离l 是( B )
A ．3.5 m
B ．4 m
C ．4.5 m
D ．4.6 m
10．如果抛物线y ＝x 2
＋2向下平移1个单位，那么所得新抛物线的解析式是( )
A ．y ＝(x －1)2＋2
B ．y ＝(x ＋1)2＋2
C ．y ＝x 2＋1
D ．y ＝x 2＋3
11．已知y ＝ax 2＋k 的图象上有三点A(－3，y 1)，B(1，y 2)，C(2，y 3)，且y 2＜y 3＜y 1，则a 的
取值范围是( )
A ．a ＞0
B ．a ＜0
C ．a ≥0
D ．a ≤0
12．已知抛物线y ＝－x 2＋2与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，则△ABC 的面积为_______． 13．若抛物线y ＝ax 2＋c 与抛物线y ＝－4x 2＋3关于x 轴对称，则a ＝_____，c ＝_______．
14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋3与y 轴交于A ，过点A 作与x 轴平行的直
线交抛物线y ＝1
3
x 2于点B ，C ，则BC 的长度为_______．
15．直接写出符合下列条件的抛物线y ＝ax 2－1的函数关系式：
(1)经过点(－3，2)；
(2)与y ＝1
2
x 2的开口大小相同，方向相反；
(3)当x 的值由0增加到2时，函数值减少4.
16．把y ＝－1
2
x 2的图象向上平移2个单位．
(1)求新图象的解析式、顶点坐标和对称轴； (2)画出平移后的函数图象；
(3)求平移后的函数的最大值或最小值，并求对应的x 的值．
17．已知抛物线的对称轴是y 轴，顶点坐标是(0，2)，且经过(1，3)，求此抛物线的解析式．
18．若二次函数y＝ax2＋c，当x取x1，x2(x1≠x2)时，函数值相等，则当x取x1＋x2时，函数值为( )
A．a＋c B．a－c C．－c D．c
19．廊桥是我国古老的文化遗产，如图所示是一座抛物线形廊桥的示意图．已知抛物线对应的
函数关系式为y＝－1
40x
2＋10，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为8米的
点E，F处要安装两盏警示灯，求这两盏灯的水平距离．(5≈2.24，结果精确到1米)
22.1.3.2 二次函数y ＝a(x －h)2的图象和性质
1．二次函数y ＝a(x －h)2
的图象是______，它与抛物线y ＝ax 2的_____相同，只是____不
同；它的对称轴为直线_______，顶点坐标为________．
2．二次函数y ＝a(x －h)2的图象可由抛物线y ＝ax 2________得到，当h ＞0时，抛物线y
＝ax 向______平移h 个单位得y ＝a(x －h)2; 当h ＜0时，抛物线y ＝ax 2向_________平移|h|个单位得y ＝a(x －h)2.
知识点1：二次函数y ＝a(x －h)2的图象 1．将抛物线y ＝－x 2向左平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是( )
A ．y ＝－(x ＋2)2
B ．y ＝－x 2＋2
C ．y ＝－(x －2)2
D ．y ＝－x 2－2
2．抛物线y ＝－3(x ＋1)2不经过的象限是( )
A ．第一、二象限
B ．第二、四象限
C ．第三、四象限
D ．第二、三象限
3．已知二次函数y ＝a(x －h)2的图象是由抛物线y ＝－2x 2向左平移3个单位长度得到的，
则a ＝_________，h ＝________.
4．在同一平面直角坐标系中，画出函数y ＝x 2，y ＝(x ＋2)2，y ＝(x －2)2的图象，并写出对
称轴及顶点坐标．
知识点2：二次函数y ＝a(x －h)2的性质
5．二次函数y ＝15(x －1)2的最小值是( )
A ．－1
B ．1
C ．0
D ．没有最小值
6．如果二次函数y ＝a(x ＋3)2有最大值，那么a___0，当x ＝___时，函数的最大值是___．
7．对于抛物线y ＝－13(x －5)2，开口方向____，顶点坐标为______，对称轴为________．
8．二次函数y ＝－5(x ＋m)2中，当x ＜－5时，y 随x 的增大而增大，当x ＞－5时，y 随
x 的增大而减小，则m ＝_______，此时，二次函数的图象的顶点坐标为________，当x ＝____时，y 取最_____值，为_____．
9．已知A(－4，y 1)，B(－3，y 2)，C(3，y 3)三点都在二次函数y ＝－2(x ＋2)2的图象上，则
y 1，y 2，y 3的大小关系为_____________．
10．已知抛物线y ＝a(x －h)2，当x ＝2时，有最大值，此抛物线过点(1，－3)，求抛物线
的解析式，并指出当x 为何值时，y 随x 的增大而减小．
11．顶点为(－6，0)，开口向下，形状与函数y ＝12x 2的图象相同的抛物线的解析式是( ) A ．y ＝12(x －6)2 B ．y ＝12(x ＋6)2 C ．y ＝－12(x －6)2 D ．y ＝－12(x ＋6)2
12．平行于x 轴的直线与y ＝a(x －2)2的一个交点坐标为(－1，2)，则另一个交点坐标为( )
A ．(1，2)
B ．(1，－2)
C ．(5，2)
D ．(－1，4)
13．在同一直角坐标系中，一次函数y ＝ax ＋c 和二次函数y ＝a(x ＋c)2的图象大致为( )
14．已知二次函数y ＝3(x －a)2
的图象上，当x ＞2时，y 随x 的增大而增大，则a 的取值
范围是_________．
15．已知一条抛物线与抛物线y ＝－12
x 2＋3形状相同，开口方向相反，顶点坐标是(－5，0)，则该抛物线的解析式是____________．
16．已知抛物线y ＝a(x －h)2的对称轴为x ＝－2，且过点(1，－3)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)画出函数的图象；
(3)从图象上观察，当x 取何值时，y 随x 的增大而增大？当x 取何值时，函数有最大值(或最小值)?
17．已知一条抛物线的开口方向和形状大小与抛物线y ＝－8x 2都相同，并且它的顶点在抛
物线y ＝2(x ＋32)2的顶点上．
(1)求这条抛物线的解析式；
(2)求将(1)中的抛物线向左平移5个单位后得到的抛物线的解析式；
(3)将(2)中所求抛物线关于x 轴对称，求所得抛物线的解析式．
18．如图，在Rt △OAB 中，∠OAB ＝90°，O 为坐标原点，边OA 在x 轴上，OA ＝AB
＝1个单位长度，把Rt △OAB 沿x 轴正方向平移1个单位长度后得△AA 1B 1.
(1)求以A 为顶点，且经过点B 1的抛物线的解析式；
(2)若(1)中的抛物线与OB 交于点C ，与y 轴交于点D ，求点D ，C 的坐标．
22.1.3.3 二次函数y ＝a(x －h)2＋k 的图象和性质
1．抛物线y ＝a(x －h)2＋k 与y ＝ax 2
形状_____，位置_____，把抛物线y ＝ax 2向上(下)和
向左(右)平移，可以得到抛物线y ＝a(x －h)2＋k ，平移的方向、距离要根据________，_________的值来决定．
2．抛物线y ＝a(x －h)2＋k 有如下特点：①当a ＞0时，开口向________；当a ＜0时，开
口向________；②对称轴是直线_______；③顶点坐标是_________．
知识点1：二次函数y ＝a(x －h)2＋k 的图象
1．抛物线y ＝(x －1)2－3的对称轴是( )
A ．y 轴
B ．直线x ＝－1
C ．直线x ＝1
D ．直线x ＝－3
2．抛物线y ＝(x ＋2)2＋1的顶点坐标是( )
A ．(－2，1)
B ．(－2，－1)
C ．(2，1)
D ．(2，－1)
3．把抛物线y ＝－2x 2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得函数
的表达式为( )
A ．y ＝－2(x ＋1)2＋2
B ．y ＝－2(x ＋1)2－2
C ．y ＝－2(x －1)2＋2
D ．y ＝－2(x －1)2－2
4．写出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标：
(1)y ＝3(x －1)2＋2 (2)y ＝－13(x ＋1)2－5.
知识点2：二次函数y ＝a(x －h)2＋k 的性质
5．在函数y ＝(x ＋1)2＋3中，y 随x 的增大而减小，则x 的取值范围为( )
A ．x ＞－1
B ．x ＞3
C ．x ＜－1
D ．x ＜3
6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的解析式为y ＝－2(x －h)2＋k ，则下列结论正确的
是( )
A ．h ＞0，k ＞0
B ．h ＜0，k ＞0
C ．h ＜0，k ＜0
D ．h ＞0，k ＜0
（第6题图) （第9题图)
7．一小球被抛出后，距离地面的高度h(米)和飞行时间t(秒)满足函数关系式h ＝－5(t －1)2
＋6，则小球距离地面的最大高度是( )
A ．1米
B ．5米
C ．6米
D ．7米
8．用长度一定的绳子围成一个矩形，如果矩形的一边长x(m )与面积y(m 2)满足函数关系式
y ＝－(x －12)2＋144(0＜x ＜24)，则该矩形面积的最大值为__ ___．
9．如图是二次函数y ＝a(x ＋1)2＋2图象的一部分，该图象在y 轴右侧与x 轴交点的坐标
是__ ___．
10．已知抛物线y ＝a(x －3)2＋2经过点(1，－2)．
(1)求a 的值；
(2)若点A(m ，y 1)，B(n ，y 2)(m ＜n ＜3)都在该抛物线上，试比较y 1与y 2的大小．
11．将抛物线y ＝－2x 2
＋1向右平移1个单位，再向上平移2个单位后所得到的抛物线为( )
A ．y ＝－2(x ＋1)2－1
B ．y ＝－2(x ＋1)2＋3
C ．y ＝－2(x －1)2＋1
D ．y ＝－2(x －1)2＋3
12．已知二次函数y ＝3(x －2)2＋1.下列说法：①其图象的开口向下；②其图象的对称轴为直线
x ＝－2；③其图象顶点坐标为(2，－1)；④当x ＜2时，y 随x 的增大而减小．则其中说法正确的有( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
13．二次函数y ＝a(x ＋m)2＋n 的图象如图，则一次函数y ＝mx ＋n 的图象经过( )
A ．第一、二、三象限
B ．第一、二、四象限
C ．第二、三、四象限
D ．第一、三、四象限
14．设A(－2，y 1)，B(1，y 2)，C(2，y 3)是抛物线y ＝－(x ＋1)2＋a 上三点，则y 1，y 2，y 3的大
小关系为( )
A ．y 1＞y 2＞y 3
B ．y 1＞y 3＞y 2
C ．y 3＞y 2＞y 1
D ．y 3＞y 1＞y 2
15．二次函数y ＝a(x ＋k)2＋k ，无论k 为何实数，其图象的顶点都在( )
A ．直线y ＝x 上
B ．直线y ＝－x 上
C ．x 轴上
D ．y 轴上
16．把二次函数y ＝a(x －h)2＋k 的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到二次
函数y ＝12
(x ＋1)2－1的图象． (1)试确定a ，h ，k 的值；
(2)指出二次函数y ＝a(x －h)2＋k 的开口方向、对称轴和顶点坐标．
17．某广场中心标志性建筑处有高低不同的各种喷泉，其中一支高度为1米的喷水管喷出的抛
物线水柱最大高度为3米，此时距喷水管的水平距离为12
米，求在如图所示的平面直角坐标系中抛物线水柱的解析式．(不要求写出自变量的取值范围)
18．已知抛物线y ＝－(x －m)2＋1与x 轴的交点为A ，B(B 在A 的右边)，与y 轴的交点为C.
(1)写出m ＝1时与抛物线有关的三个正确结论；
(2)当点B 在原点的右边，点C 在原点的下方时，是否存在△BOC 为等腰三角形的情形？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．
22．1.4 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质22.1.4.1 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质
1．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)通过配方可化为y＝a(x＋b
2a)2＋
4ac－b2
4a的形式，它的对
称轴是_______，顶点坐标是_______．如果a＞0，当x＜－b
2a时，y随x的增大而_______，
当x＞－b
2a时，y随x的增大而_______；如果a＜0，当x＜－b
2a时，y随x的增大而______，
当x＞－b
2a时，y随x的增大而_______．
2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与y＝ax2的图象_________，只是______不同；y ＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象可以看成是y＝ax2的图象平移得到的，对于抛物线的平移，要先化成顶点式，再利用“_____________________”的规则来平移．
知识点1：二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象和性质
1．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下，顶点坐标为(2，－3)，那么该二次函数有( ) A．最小值－3B．最大值－3 C．最小值2 D．最大值2
2．将二次函数y＝x2－2x＋3化为y＝(x－h)2＋k的形式，结果为( )
A．y＝(x＋1)2＋4 B．y＝(x＋1)2＋2 C．y＝(x－1)2＋4 D．y＝(x－1)2＋2 3．若抛物线y＝x2－2x＋c与y轴的交点为(0，－3)，则下列说法不正确的是( ) A．抛物线开口向上B．抛物线的对称轴是x＝1
C．当x＝1时，y的最大值为－4 D．抛物线与x轴的交点为(－1，0)，(3，0) 4．抛物线y＝x2＋4x＋5的顶点坐标是_______．
5．已知二次函数y＝－2x2－8x－6，当______时，y随x的增大而增大；当x＝______时，y有最_______值是_____．
知识点2：二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的变换
6．抛物线y＝－x2＋2x－2经过平移得到y＝－x2，平移方法是( )
A．向右平移1个单位，再向下平移1个单位
B．向右平移1个单位，再向上平移1个单位
C．向左平移1个单位，再向下平移1个单位
D．向左平移1个单位，再向上平移1个单位
7．把抛物线y＝x2＋bx＋c的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为y＝x2－3x＋5，则( )
A．b＝3，c＝7 B．b＝6，c＝3 C．b＝－9，c＝－5 D．b＝－9，c＝21 8．如图，抛物线y＝ax2－5ax＋4a与x轴相交于点A，B，且过点C(5，4)．
(1)求a的值和该抛物线顶点P的坐标；
(2)请你设计一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在第二象限，并写出平移后抛
物线的解析式．
9．已知抛物线y ＝ax 2
＋bx ＋c(a ≠0)与x 轴交于A ，B 两点．若点A 的坐标为(－2，0)，抛物
线的对称轴为直线x ＝2，则线段AB 的长为______．
10．二次函数y ＝2x 2＋mx ＋8的图象如图所示，则m 的值是( )
A ．－8
B ．8
C ．±8
D ．6
（第10题图) （第12题图)
11．已知二次函数y ＝－12x 2－7x ＋152
.若自变量x 分别取x 1，x 2，x 3，且0＜x 1＜x 2＜x 3，则对应的函数值y 1，y 2，y 3的大小关系正确的是( )
A ．y 1＞y 2＞y 3
B ．y 1＜y 2＜y 3
C ．y 2＞y 3＞y 1
D ．y 2＜y 3＜y 1
12．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ＜0)的图象如图，当－5≤x ≤0时，下列说法正确的是( )
A ．有最小值－5，最大值0
B ．有最小值－3，最大值6
C ．有最小值0，最大值6
D ．有最小值2，最大值6
13．如图，抛物线y ＝ax 2＋bx 和直线y ＝ax ＋b 在同一坐标系内的图象正确的是( )
14．已知二次函数y ＝x 2－2kx ＋k 2＋k －2.
(1)当实数k 为何值时，图象经过原点？
(2)当实数k 在何范围取值时，函数图象的顶点在第四象限内？
15．当k 分别取－1，1，2时，函数y ＝(k －1)x 2－4x ＋5－k 都有最大值吗？请写出你的判断，
并说明理由；若有，请求出最大值．
16．已知二次函数y ＝x 2－2mx ＋m 2－1.
(1)当二次函数的图象经过坐标原点O(0，0)时，求二次函数的解析式；
(2)如图，当m ＝2时，该抛物线与y 轴交于点C ，顶点为D ，求C ，D 两点的坐标；
(3)在(2)的条件下，x 轴上是否存在一点P ，使得PC ＋PD 最短？若P 点存在，求出P 点坐
标；若P 点不存在，请说明理由．
22.1.4.2 用待定系数法求二次函数的解析式
用待定系数法求二次函数的解析式的几种常见的形式：
(1)三点式：已知图象上的三个点的坐标，可设二次函数的解析式为______________．
(2)顶点式：已知抛物线的顶点坐标(h ，k)及图象上的一个点的坐标，可设二次函数的解析
式为__________________．以下有三种特殊情况：
①当已知抛物线的顶点在原点时，我们可设抛物线的解析式为____________；
②当已知抛物线的顶点在y 轴上或以y 轴为对称轴，但顶点不一定是原点时，可设抛物线的解析式为_________________；
③当已知抛物线的顶点在x 轴上，可设抛物线的解析式为_____________，其中(h ，0)为抛物线与x 轴的交点坐标．
(3)交点式：已知抛物线与x 轴的两个交点坐标(x 1，0)，(x 2，0)及图象上任意一点的坐标，可设抛物线的解析式为_____________________．
知识点1：利用“三点式”求二次函数的解析式
1．由表格中信息可知，2( )
A .y ＝x 2－C ．y ＝x 2－3x ＋3 D ．y ＝x 2－4x ＋8
2．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象经过点(－1，0)，(0，－2)，(1，－2)，则这个二次
函数的解析式为_________________．
3．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，当x ＝0时，y ＝1；当x ＝－1时，y ＝6；当x ＝1时，y
＝0.求这个二次函数的解析式．
知识点2：利用“顶点式”求二次函数的解析式
4．已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为( )
A ．y ＝2(x ＋1)2
＋8 B ．y ＝18(x ＋1)2－8
C ．y ＝29(x －1)2＋8
D ．y ＝2(x －1)2－8
5．已知抛物线的顶点坐标为(4，－1)，与y 轴交于点(0，3)，求这条抛物线的解析式．
知识点3：利用“交点式”求二次函数的解析式
6．如图，抛物线的函数表达式是( )
A ．y ＝12x 2－x ＋4
B ．y ＝－12
x 2－x ＋4 C ．y ＝12x 2＋x ＋4 D ．y ＝－12x 2＋x ＋4
7．已知一个二次函数的图象与x 轴的两个交点的坐标分别为(－1，0)和(2，0)，与y 轴的
交点坐标为(0，－2)，求这个二次函数的解析式．
8．抛物线的图象如图所示，根据图象可知，抛物线的解析式可能是( )
A ．y ＝x 2－x －2
B ．y ＝－12x 2－12x ＋2
C ．y ＝－12x 2－12x ＋1
D ．y ＝－x 2＋x ＋2
9．二次函数y ＝－x 2＋bx ＋c 的图象的最高点是(－1，－3)，则b ，c 的值分别是( )
A ．b ＝2，c ＝4
B ．b ＝2，c ＝－4
C ．b ＝－2，c ＝4
D ．b ＝－2，c ＝－4
10．抛物线y ＝2
从上表可知)
① 抛物线与x 轴的一个交点为(3，0)；
② 函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的最大值为6；
③ 抛物线的对称轴是x ＝0.5；
④在对称轴左侧，y 随x 增大而增大．
11．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的对称轴为x ＝1，且抛物线经过A(－1，0)，B(0，
－3)两点，则这条抛物线的解析式为_________________．
12．将二次函数y ＝(x －1)2＋2的图象沿x 轴对折后得到的图象的解析式为
_______________．
13．设抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)过A(0，2)，B(4，3)，C 三点，其中点C 在直线x ＝2
上，且点C 到抛物线对称轴的距离等于1，则抛物线的函数解析式为_______________________．
14．已知二次函数的图象的对称轴为x ＝1，函数的最大值为－6，且图象经过点(2，－8)，
求此二次函数的表达式．
15．已知二次函数的图象经过点(0，3)，(－3，0)，(2，－5)，且与x 轴交于A ，B 两点．
(1)试确定此二次函数的解析式；
(2)判断点P(－2，3)是否在这个二次函数的图象上？如果在，请求出△PAB 的面积；如果不在，试说明理由．
16．若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”．
(1)请写出两个为“同簇二次函数”的函数；
(2)已知关于x的二次函数y1＝2x2－4mx＋2m2＋1和y2＝ax2＋bx＋5，其中y1的图
象经过点A(1，1)，若y1＋y2与y1为“同簇二次函数”，求函数y2的解析式，并求出当0≤x≤3时，y2的最大值．
专题训练(三) 用待定系数法求二次函数解析式
一、已知三点求解析式
1．已知二次函数的图象经过(1，0)，(2，0)和(0，2)三点，则该函数的解析式是( )
A ．y ＝2x 2＋x ＋2
B ．y ＝x 2＋3x ＋2
C ．y ＝x 2－2x ＋3
D ．y ＝x 2－3x ＋2 2．如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象经过A ，B ，C 三点，求出抛物线的解析式．
二、已知顶点或对称轴求解析式
3．在直角坐标平面内，二次函数的图象顶点为A(1，－4)，且过点B(3，0)，求该二次函数的解析式．
4．已知抛物线经过两点A(1，0)，B(0，3)，且对称轴是直线x ＝2，求其解析式．
三、已知抛物线与x 轴的交点求解析式
5．已知抛物线与x 轴的交点是A(－2，0)，B(1，0)，且经过点C(2，8)，则该抛物线的解析式为_______________．
6．如图，抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 与x 轴的两个交点分别为A(1，0)，B(3，0)，求这条抛物线的解析式．
四、已知几何图形求解析式
7．如图，在平面直角坐标系xOy 中，边长为2的正方形OABC 的顶点A ，C 分别在x 轴、
y 轴的正半轴上，二次函数y ＝－2
3x 2＋bx ＋c 的图象经过B ，C 两点．求该二次函数的解析式．
五、已知面积求解析式
8．直线l过点A(4，0)和B(0，4)两点，它与二次函数y＝ax2的图象在第一象限内交于点
P，若S△AOP＝9
2，求二次函数关系式．
六、已知图形变换求解析式
9．已知抛物线C1：y＝ax2＋bx＋c经过点A(－1，0)，B(3，0)，C(0，－3)．
(1)求抛物线C1的解析式；
(2)将抛物线C1向左平移几个单位长度，可使所得的抛物线C2经过坐标原点，并写出
C2的解析式．
七、运用根与系数的关系求解析式
10．已知抛物线y＝－x2＋2mx－m2－m＋2.
(1)直线l：y＝－x＋2是否经过抛物线的顶点；
(2)设该抛物线与x轴交于M，N两点，当OM·ON＝4，且OM≠ON时，求出这条抛
物线的解析式．
22．2 二次函数与一元二次方程
22.2.1 二次函数与一元二次方程之间的关系
1．一元二次方程ax 2
＋bx ＋c ＝0的实数根，就是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，当_______时，自变量x 的值，它是二次函数的图象与x 轴交点的___________．
2．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交点个数与一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0根的判别式的关系：①当b 2－4ac ＜0时，抛物线与x 轴_______交点；②当b 2－4ac ＝0时，抛物线与x 轴有__________交点；③当b 2－4ac ＞0时，抛物线与x 轴有_________交点．
知识点1：二次函数与一元二次方程
1．抛物线y ＝－3x 2－x ＋2与坐标轴的交点个数是( )
A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
2．如图，已知抛物线与x 轴的一个交点A(2，0)，对称轴是x ＝－1，则该抛物线与x 轴的另一个交点的坐标是( )
A ．(－2，0)
B ．(－3，0)
C ．(－4，0)
D ．(－5，0)
3．抛物线y ＝x 2
＋6x ＋m 与x 轴只有一个公共点，则m 的值为________．
4．绿茵场上，足球运动员将球踢出，球的飞行高度h(米)与前行距离s(米)之间的关系为h
＝45s －2
125s 2，那么当足球落地时距离原来的位置有_______米．
知识点2：利用二次函数求一元二次方程的近似解
5．根据下列表格的对应值，判断方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0，a ，b ，c 为常数)一个解的范围是( )
A .2＜C ．2.24＜x ＜2.25 D ．2.25＜x ＜2.26
6．用图象法求一元二次方程2x 2－4x －1＝0的近似解．
知识点3：二次函数与不等式
7．二次函数y＝x2－x－2的图象如图所示，则函数值y＜0时x的取值范围是() A．x＜－1 B．x＞2 C．－1＜x＜2 D．x＜－1或x＞2
(第7题图) (第8题图)
8．如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象，由图象可知不等式ax2＋bx＋c＜0的解集是( )
A．－1＜x＜5 B．x＞5 C．x＜－1且x＞5 D．x＜－1或x＞5 9．已知二次函数2
则当y＜5时，_________
10．已知函数y＝x2＋2x－3，当x＝m时，y＜0，则m的值可能是( )
A．－4B．0C．2D．3
11．2)的根的个数是( )
x 5.17 5.18 5.19 5.20
ax2＋bx＋c 0.02 －0.01 0.02 0.04
A.0
12．抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象如图，则关于x的方程ax2＋bx＋c－2＝0的情况是( )
A．有两个不相等的实数根B．有两个异号的实数根
C．有两个相等的实数根D．没有实数根
13．抛物线y＝2(x＋3)(x－2)与x轴的交点坐标分别为_______________．
14．(1)用配方法把二次函数y＝x2－4x＋3化成y＝(x－h)2＋k的形式；
(2)在直角坐标系中画出y＝x2－4x＋3的图象；
(3)若A(x1，y1)，B(x2，y2)是函数y＝x2－4x＋3图象上的两点，且x1＜x2＜1，请比
较y1，y2的大小关系；(直接写结果)
(4)把方程x2－4x＋3＝2的根在函数y＝x2－4x＋3的图象上表示出来．
15．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图，根据图象解答下列问题：
(1)写出方程ax2＋bx＋c＝0的两个根；
(2)写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围；
(3)若方程ax2＋bx＋c＝k有两个不相等的实数根，求k的取值范围．
17．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)(x1＜x2)两点，与y轴交于点C，x1，x2是方程x2＋4x－5＝0的两根．
(1)若抛物线的顶点为D，求S△ABC∶S△ACD的值；
(2)若∠ADC＝90°，求二次函数的解析式．
22.2.2 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与字母系数的关系
抛物线y ＝ax 2
＋bx ＋c 的图象与字母系数a ，b ，c 之间的关系： (1) ①当a ＞0时，开口__________，
②当a ＜0时，开口__________；
(2) ①若对称轴在y 轴的左边，则a ，b________，
②若对称轴在y 轴的右边，则a ，b______； (3) ①若抛物线与y 轴的正半轴相交，则c_____0，
②若抛物线与y 轴的负半轴相交，则c____0， ③若抛物线经过原点，则c_____0；
(4) ①当x ＝1时，y ＝ax 2＋bx ＋c ＝a ＋b ＋c ；
②当x ＝－1时，y ＝ax 2＋bx ＋c ＝a －b ＋c ； ③ 当x ＝2时，y ＝ax 2＋bx ＋c ＝4a ＋2b ＋c ；
④当x ＝－2时，y ＝ax 2＋bx ＋c ＝4a －2b ＋c ；…；
(5) ①当对称轴x ＝1时，x ＝－b
2a ＝1，所以－b ＝2a ，此时2a ＋b ＝0;
②当对称轴x ＝－1时，x ＝－b
2a ＝－1，所以b ＝2a ，此时2a －b ＝0； (6) ①b 2－4ac ＞0⇔二次函数与横轴有两个交点；
②b 2－4ac ＝0⇔二次函数与横轴有一个交点； ③b 2－4ac ＜0⇔二次函数与横轴无交点．
知识点1：二次函数图象与字母系数的关系
1．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则下列关系式错误的是( )
A ．a ＞0
B ．c ＞0
C ．b 2－4ac ＞0
D ．a ＋b ＋c ＞0
(第1题图) (第2题图) (第4题图)
2．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象如图所示，下列结论正确的是( )
A ．a ＜0
B ．b 2－4ac ＜0
C ．当－1＜x ＜3时，y ＞0
D ．－b
2a ＝1
3．二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 中，若b ＋c ＝0，则它的图象一定过点( )
A ．(1，－1)
B ．(－1，1)
C ．(－1，－1)
D ．(1，1)
4．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象如图所示，若M ＝a ＋b －c ，N ＝4a －2b ＋c ，P ＝2a －b ，则M ，N ，P 中，值小于0的数有( )
A ．3个
B ．2个
C ．1个
D ．0个。