四年级奥数(教案)第8讲：和差倍问题

现在的甲袋中有面粉：96÷（1＋3）=24（千克） 甲袋原来有面粉：24＋12=36（千克）
3 / 13
乙袋原来有面粉：96－36=60（千克）
答：甲袋原来有面粉 36 千克,乙袋原来有面粉 60 千克。
师：这种题大家在暑假都已经有过了接触,现在,为了加深大家对这种题型的印象,
请你们运用这个公式,来解答一下这一道题,请写在课堂练习本上,我请一位同学上
答：他们一共做了55道数学题。
师：这种解题思路领会了吗？
生：领会了。
师：嗯,不,我觉得还不一定呢,所以现在请你们继续完成练习三。同时我要请一位同
学上台板演,并要求会讲解,以此来考验你们,敢接受我的考验吗？
生：敢。
师：很好,那么请开始吧！
【课件出示练习题三。教师下台巡视指导学生完成。】
练习 3：（7 分）
以知道当甲班借来 10 本之后,乙班就比甲班少 40＋10=50（本）,而这时甲班的图书
本数是乙班的 3 倍；现在知道两班的本数差与倍数关系,根据差倍公式：小数=差÷
（倍数－1）可算出甲班和乙班各有图书的本数。
板书：
乙： （40＋10）÷（3－1）
甲：25×3－10=65（本）
=50÷2
=25（本）
本上。我请两位同学上台板演。
【课件出示练习二,请两位中上的学生上台板演,并请他们讲解自己的思路,台下学
生解答时,教师应多走动走动,指导不会的学生领会、理解。】
练习 2：（8 分）
乙班的图书本数比甲班少 40 本,甲班的图书本数是乙班的 3 倍少 10 本,甲班和
乙班各有图书多少本？
分析：
由“乙班的图书本数比甲班少 40 本,甲班的图书本数是乙班的 3 倍少 10 本”可
师：大家都喜欢看漫画吗？
生：喜欢。
师：卡尔和阿派两人也喜欢看漫画,他们收集了好多,我们一起去看看吧。请读题,
并找出有用的已知信息。
生：卡尔的漫画书的本数比阿派少 16 本。
师：很好,请坐。还有其他信息吗？
生：阿派漫画书的本数是卡尔的 3 倍少 8 本。
师：你感觉这道题与前面的学过的什么题一样？
生：差倍问题。
二、探索发现授课（42 分） （一）例题 3：（13 分）
甲、乙、丙三个同学做数学题,已知甲比乙多做 5 道题,丙做的是甲的 2 倍,比乙 多做 20 道。他们一共做了多少道数学题？ 师：同学们,请先把这道题读懂,找出这道题中的已知信息,找一找我们可以用哪些方 法把这些已知信息运用起来。 师：有谁有想法了吗？ 生:条件比较多,不好理解。 师：说得很好,为了便于理解题意,我们来画图分析。 师：怎么画图呢？ 生 1：因为乙做的最少,所以我们把乙作为 1 倍数。 生 2：因为“甲比乙多做 5 道题,丙做的是甲的 2 倍”所以我们可以用线段表示出甲 的数量和丙的数量。
【课件出示例题二,教师配合学生演示思路的变化过程,帮助学生理解。】
板书：
（16+8）÷（3-1）
=24÷2
=12（本）
12+16=28（本）
12+28=40（本）
答：卡尔和阿派一共有漫画书 40 本。
师：同学们,你学会这种题型的解题方法了吗？
生：学会了。
师：光会说可不行,我还要考考你们呢！现在请你们看看练习二,动笔写在课堂练习
还能迎刃而解吗？这节课我们一起来学习较复杂的和差倍问题。
1 / 13
（板书：和差倍问题）
2 / 13
二、探索发现授课（40 分） （一）例题 1：（13 分）
芭啦啦学校食堂有两袋面粉共重 96 千克,如果从甲袋取出 12 千克放入乙袋,则 乙袋的质量是甲袋的 3 倍,两袋原来各有面粉多少千克？ 【课件出示例题一。】 师：芭啦啦学校里的大厨打算包一些饺子给大家吃,他从甲袋中取了一些放入到乙 袋,导致现在他不知道原来两个袋子中各有面粉多少了,大家能帮助他解决这个问题 吗？ 生：可以。 师：同学们,请先认真地读一读这道题,然后找一找这道题中给出的已知信息有哪 些？ 生：“两袋面粉共重 96 千克,如果从甲袋取出 12 千克放入乙袋,则乙袋的质量是甲 袋的 3 倍。” 师：大家想一想,这个问题跟我们以前学习的什么比较像？ 生：和倍问题。 师：没错,现在乙袋的质量是甲袋的 3 倍。这时候我们可以怎么办？ 生：求出现在甲袋的面粉质量。 师：根据我们前面学习的和倍问题可以把甲袋面粉看作什么数？ 生：将甲袋面粉的质量看作 1 份数,则乙袋面粉的质量是这样的 3 份。 师：很好,那甲袋面粉和乙袋面粉总共是这样的几份？ 生：4 份。 师：没错,甲袋面粉和乙袋面粉总共是 4 份,而他们的总质量是 96 千克,我们可以求 出什么？ 生：可以求出一份的质量。 师：求出一份的质量,也就是什么的质量？ 生：现在甲袋中面粉的质量。用 96÷（1＋3）=24（千克） 【课件演示画线段示意图的过程,教师要结合学生的思路,一步一引导学生,配合课 件演示,加深学生理解。】 师：现在甲袋的面粉是 24 千克,那原来甲袋的面粉是多少呢？乙袋呢？ 生 1：因为从甲袋取出 12 千克放入乙袋,现在还回来,用 24＋12=36（千克）,甲袋原 来有面粉 36 千克。 生 2：乙袋原来有面粉就可以用 96－36=60（千克）。 师：解答和倍应用题的关键是要找出两数的和以及对应的倍数和,从而先求出 1 倍 数。数量关系可以这样表示: 两数和÷(倍数+1)=小数（1 倍数）； 小数×倍数=大 数（几倍数）； 两数和－小数=大数。 板书：
36÷（3+1）=9（只）
9×3=27（只）
答：小明家养的鸡有 27 只,兔有 9 只。
师：这是一个什么问题,它的公式你们还记得吗？
生：和倍：和÷（倍数+1）=小数,小数×倍数＝大数,和—小数＝大数。
3. 有甲、乙两个仓库,甲仓库放化肥是乙仓库的 3 倍,甲仓库比乙仓库多存放 520 吨,
甲、乙两仓库各存放化肥多少吨？
（50+4）÷2=27（个）
27-4=23（个）
答：排球有 27 个,足球有 23 个。
师：它的公式是什么大家还记得吗？
生：和差：（和＋差）÷2＝大数,（和—差）÷2＝小数。
师：很棒,我们一起进入下一关。
2. 小明家里共养鸡和兔 36 只,鸡的只数是兔的只数的 3 倍,问小明家养的鸡和兔各
有多少只？
张数是卡尔的 2 倍,卡尔、米德两人原来各有邮票多少张？
分析：
由“卡尔、米德两人共有邮票 180 张,如果卡尔送 20 张邮票给米德,那么米德的
邮票张数是卡尔的 2 倍”可求出现在卡尔的邮票张数 180÷（2＋1）=60（张）。由
此可求出卡尔原来有邮票 60＋20=80（张）,米德原来有邮票 180－80=100（张）。
520÷（3-1）＝260（吨）
260×3=780（吨）
答：甲仓库存放化肥 780 吨,乙仓库存放化肥 260 吨。
师：这是一个什么问题,它的公式你们还记得吗？
生：差倍：差÷（倍数-1）＝小数,小数×倍数＝大数,小数＋差＝大数。
师：我们已经学过了和倍、差倍和和差问题,那么将这三种类型题揉和成一道题,你
8 / 13
（二）例题 4：（13 分） 两个数相除,商 4 余 5,已知被除数、除数、商与余数的和是 144,被除数、除数
各是多少？ 师：同学们,请看下例题 4。说一说,这道题,跟我们之前遇到的那些题目有哪些特别 之处。 【课件展示例题四。】 生：特别之处在于没有具体的事例,直接出示被除数和除数。 师：说得非常准确。没有了具体事例,而是给了被除数和除数来直接让你计算了。这 该怎么办啊？用我们之前学的方法能解答得出来吗？ 生：能。/ 不能。 师：好的,先不探求能不能解的出来,我们先来试着分析一下。可以吧？ 生：可以。 师：好。首先,我们知道被除数、除数、商与余数的和是 144,这说明什么？ 生：说明被除数加上除数再加上商和余数等于 144。 师：我们在学习和倍问题的时候,就知道被除数和除数是有倍数关系的。那我们怎么 让这个数变成只和被除数与除数有关系的。 生：由题意可知,被除数与除数的和为 144－4－5=135。 师：那既然说到了这两个数有倍数关系,那我们知道它们俩是几倍关系吗？ 生：4 倍。 师：你是怎么知道的？ 生：因为两数的商是 4。 师：哦,这两个数的商是 4,但还有一个余数 5,这应该怎么办呢？ 生：用被除数与除数的和 135 减去 5 后,被除数就是除数的 4 倍。 师：真棒！那么,我们现在能计算这道题了吗？ 生：可以。 师：怎么算？ 生：先用 130 除以 5 就可以得到除数了。 师：为什么？ 生：因为商是 4,所以被除数和除数减去余数后剩下的数就一共有 5 份除数了。 师：没错,因为商是 4,这就说明了我们有一份除数,却有 4 份跟除数一样的被除数, 这样的话,总共就有了 5 份除数了。然后呢？ 生：然后,再用 130 除以 5 的商,乘 4 就可以得到被除数了。 师：确定吗? 生：还要加上余数,才能得到被除数。 师：非常好,我们要记得还要加上余数。其他同学听明白了吗？ 生：听明白了。 师：很好,你们真是太厉害了,那现在就根据你们自己的算法来计算一下这道题吧。 【教师根据学生的讲解,演示课件中的线段示意图,待学生理解透彻之后让学生自行
乙：
甲： 丙：
5道 20 道
？道
师：同学们分析得很有道理,观察图,我们如何分别求出他们做的数学题呢？ 生：我们可以先求出丙的一半。 师：怎么求呢？ 生：丙做的是甲做的 2 倍,因此,20-5=15（道）是丙做的一半。 师：非常棒,这一半可以看作是谁做的题呢？
7 / 13
生：甲做题的道数。
师：不错,现在我们知道了甲的做题数量为 15 道,丙的也就应该知道了,是多少？
差倍：差÷（倍数-1）＝小数,小数×倍数＝大数,小数＋差＝大数。 师：真棒,只要我们熟练运用这些公式,这种问题,对我们来说就不是那么难以解决 了。
6 / 13
第二课时（50 分） 一、复习导入（3 分） 师：大家上节课学习的都比较累了,我们一起来玩一个游戏吧。 生：（自由发言） 师：游戏的名字是拍七令 人数：无限制 方法：多人参加,从 1-99 报数,但有人数到含有“7”的数字或“7”的倍数时,不许 报数,要拍一下桌子,下一个人继续报数。如果有人报错数或拍错则罚表演节目。 师生参与。 师：大家发现没有,其实这样的游戏也是与倍数有关的,所以只要你们学习好数学。 师：游戏过后,继续我们的学习吧。 （出示 PPT)
板书：
180÷（2＋1）
卡尔：60＋20=80（张）
=180÷3
米德：180－80=100（张）
=60（张）
答：卡尔原来有邮票80张,米德原来有邮票100张。
（二）例题 2：（13 分）
卡尔和阿派两人都爱看漫画,卡尔的漫画书的本数比阿派少 16 本,而阿派漫画
书的本数是卡尔的 3 倍少 8 本。卡尔和阿派一共有漫画书多少本？
师：阿派的漫画书数量就比卡尔的漫画书多多少份？
生：3-1=2（份）。
师：根据这些我们可以求出什么？
生：卡尔漫画书的数量。
师：那他们俩一共的漫画书数量是多少呢？
生：根据卡尔漫画书的数量就可以求出阿派的漫画书数量。用阿派的漫画书本数加
上卡尔的漫画书本数就是两人漫画书的总本数了。
师：非常好,我们一起看看是不是这样的呢？
第一课时（50 分钟）
一、导入（5 分)
师：在以前我们学习了和倍、和差、差倍问题,那么大家还会解决这些问题吗？
生：（自由回答）
师：现在我们来一个闯关比赛,看看哪组小伙伴掌握得最好。（按照小组合作的形式
进行比赛,回答正确多的获胜,获胜的小组可以获得奖励）
1. 学校有排球、足球共 50 个,排球比足球多 4 个,排球、足球各多少个？
某公司 1 月份收入比 3 月份多 4 万元,2 月份收入是 1 月份的 2 倍,比 3 月份多
56 万元。三个月总收入是多少万元？
分析：
3 月：
4 万元
1 月：
Hale Waihona Puke ？万元56 万元2 月： 从上图可以清楚看出,1 月份比 3 月份多 4 万元,2 月份收入是 1 月份的 2 倍,比 3 月份多 56 万元。因此,56-4=52（万元）是 2 月收入的一半,也就是 1 月的收入。2 月收入 52×2=104（万元）,3 月收入了 52-4=48（万元）。 板书： 1月份：56-4=52（万元） 3月份：52－4=48（万元） 2月份：52×2=104（万元） 三个月总收入：52＋104＋48=204（万元） 答：三个月总收入204万元。
答：甲班有图书 65 本,乙班有图书 25 本。
三、小结：（5 分）
5 / 13
师：我们在这节课的学习中接触到哪些内容？ 生：和倍、差倍的内容都有。 师：像这种需要通过转化而成为和倍、差倍问题的应用题叫做复杂的和差倍问题。 师：还记得我们主要是根据什么公式来求解的吗？ 生：和倍：和÷（倍数+1）=小数,小数×倍数＝大数,和—小数＝大数；
（ 四年级 ） 一、教学目标：
二、教学重点： 三、教学难点： 四、教学准备： 五、教学过程：
备课教员：××× 第 8 讲 和差倍问题 1. 理解“和差倍问题”四年级奥数（教案）第8讲：和差倍 问题和差倍问题的题目。 2. 掌握对应思路及转化思路,抓住不变量。 掌握对应思路及转化思路,抓住不变量,将复杂的问题转化为 一般的和倍、差倍应用题来解决。 能找到两个数的和与两个数的倍数的和的对应关系。 PPT
台板演。
【出示练习一,请一位中等程度的学生上台板书,教师下台巡视。】
师：根据这些我们可以画出线段图。
【课件演示画线段示意图的过程,教师要结合学生的思路,一步一步引导学生,配合
课件演示,加深学生理解。】
练习 1：（6 分）
卡尔、米德两人共有邮票 180 张,如果卡尔送 20 张邮票给米德,那么米德的邮票
生：丙做了 15×2=30（道）题。
师：那乙做的题是多少道呢？
生：用甲的数量 15 道减去甲比乙多的 5 道题,就可以知道乙做题的数量为 10 题。
师：他们一共做了多少道数学题呢？
生：用 30+15+10=55（道）题。
板书：
20-5=15（道）
15×2=30（道）
15-5=10（道）
30+15+10=55（道）
师：说一说你觉得该怎么解决这类问题？
生：当阿派借来 8 本之后,这时阿派漫画书本数是卡尔的 3 倍。
师：现在卡尔比阿派少多少本呢？
生：卡尔现在比阿派少 16＋8=24（本）
师：现在怎么解决呢？
4 / 13
生：因为现在阿派的漫画书本数是卡尔的 3 倍,我们可以把卡尔的漫画书看作 1 份,
阿派的漫画书就是这样的 3 份。