2014-2015学年高中数学基础巩固试题第一章《立体几何初步综合测试》A新人教B版必修2

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高中数学第一章立体几何初步综合测试A 新人教B版必修2
时间120分钟,满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)
1.(2014·广西南宁高一期末测试)用符号表示“点A在直线l上,l在平面α外”正确的是( )
A.A∈l,l⊄αB.A∈l,l∉α
C.A⊂l,l∉αD.A⊂l,l⊄α
[答案] A
[解析] 点在直线上用“∈”表示,直线在平面外用“⊄”表示,故选A.
2.(2014·河北邢台一中高一月考)若直线l不平行于平面α,且l⊄α,则( ) A.平面α内所有直线与l异面
B.平面α内存在惟一的直线与l平行
C.平面α内不存在与l平行的直线
D.平面α内的直线都与l相交
[答案] C
[解析] ∵直线l不平行于平面α,且l⊄α,∴l与平面α相交,故平面α内不存在与l平行的直线.
3.一长方体木料,沿图①所示平面EFGH截长方体,若AB⊥CD那么图②四个图形中是截面的是( )
[答案] A
[解析] 因为AB、MN两条交线所在平面(侧面)互相平行,故AB、MN无公共点,又AB、MN在平面EFGH内,故AB∥MN,同理易知AN∥BM.
又AB⊥CD,∴截面必为矩形.
4.(2014·湖南永州市东安天成实验中学高一月考)正方体ABCD-A1B1C1D1的体对角线AC1的长为3cm,则它的体积为( )
A.4cm3B.8cm3
C.112
72
cm3D.33cm3
[答案] D
[解析] 设正方体的棱长为a cm ,则3a 2
=9,∴a = 3.则正方体的体积V =(3)3
=33(cm 3
).
5.(2014·山东菏泽高一期末测试)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是( )
A .2π
B .4π
C .π
D .8π
[答案] C
[解析] 由三视图可知,该几何体是底面半径为1,高为2的圆柱的一半,其体积V =
1
2×π×12
×2=π.
6.将棱长为1的正方体木块切削成一个体积最大的球,则该球的体积为( ) A.π
6
B.2π
3 C.

2
D.
4π3
[答案] A
[解析] 将棱长为1的正方体木块切削成一个体积最大的球,球的直径应等于正方体的棱长,故球的半径为R =12,∴球的体积为V =43πR 3
=43π×(12)3=π6
.
7.设α表示平面,a 、b 、l 表示直线,给出下列命题,


⎪⎬⎪
⎫a ⊥l b ⊥l
a ⊂α
b ⊂α⇒l ⊥α; ②

⎪⎬⎪⎫a ∥αa ⊥b
⇒b ⊥α; ③

⎪⎬⎪

a ⊄α
b ⊂αa ⊥b ⇒a ⊥α;
④直线l 与平面α内无数条直线垂直,则l ⊥α.
其中正确结论的个数为( ) A .0 B .1 C .2 D .3
[答案] A
[解析] ①错,缺a 与b 相交的条件;
②错,在a ∥α,a ⊥b 条件下,b ⊂α,b ∥α,b 与 α斜交,b ⊥α都有可能; ③错,只有当b 是平面α内任意一条直线时,才能得出a ⊥α,对于特定直线b ⊂α,错误;
④错,l 只要与α内一条直线m 垂直,则平面内与m 平行的所有直线就都与l 垂直,又
l 垂直于平面内的一条直线是得不出l ⊥α的.
8.若某几何体的三视图如图所示,则这个几何体的直观图可以是( )
[答案] B
[解析] (可用排除法)由正视图可把A ,C 排除, 而由左视图把D 排除,故选B.
9.用平行于圆锥底面的平面截圆锥,所得截面面积与底面面积的比是,这截面把圆
锥母线分为两段的比是( )
A .
B .
3-1)
C .3
[答案] B
[解析] 如图由题意可知,⊙O 1与⊙O 2面积之比为,
∴半径O 1A 1与OA 之比为3,

PA 1PA =13,∴PA 1AA 1=13-1
. 10.在正方体ABCD -A ′B ′C ′D ′中,过对角线BD ′的一个平面交AA ′于E 、交CC ′于
F ,则以下结论中错误的是( )
A .四边形BFD ′E 一定是平行四边形
B .四边形BFD ′E 有可能是正方形
C .四边形BF
D ′
E 有可能是菱形
D .四边形BFD ′
E 在底面投影一定是正方形 [答案] B
[解析] 平面BFD ′E 与相互平行的平面BCC ′B ′及ADD ′A ′的交线BF ∥D ′E ,同理BE ∥D ′F ,故A 正确.
特别当E 、F 分别为棱AA ′、CC ′中点时,BE =ED ′=BF =FD ′,则四边形为菱形,其在底面ABCD 内的投影为正方形ABCD ,
∴选B.
11.如图所示,在斜三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底面△ABC 中,∠A =90°,且BC 1⊥AC ,过C 1
作C 1H ⊥底面ABC ,垂足为H ,则点H 在(
)
A .直线AC 上
B .直线AB 上
C .直线BC 上
D .△ABC 内部
[答案] B
[解析]

⎪⎬⎪


⎪⎬⎪
⎫AC ⊥AB
AC ⊥BC 1AB ∩BC 1=B ⇒AC ⊥平面ABC 1 AC ⊂平面ABC
⇒平面ABC 1
⊥平面ABC ,

⎪⎬⎪
⎫ 平面ABC 1∩平面ABC =AB C 1H ⊥平面ABC
⇒H 在AB 上.
12.如图1,在透明密封的长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1容器内已灌进一些水,固定容器底面一边BC 于水平的地面上,再将容器倾斜,随着倾斜度的变化,有下列四个命题:
①有水的部分始终呈棱柱形; ②水面四边形EFGH 的面积不会改变; ③棱A 1D 1始终与水面EFGH 平行;
④当点E 、F 分别在棱BA 、BB 1上移动时(如图2),BE ·BF 是定值. 其中正确命题的序号是( ) A .①②③ B .①③④ C .③④ D .①②
[答案] B
[解析] 由于BC 固定于水平地面上, ∴由左右两个侧面BEF ∥CGH ,可知①正确; 又∵A 1D 1∥BC ∥FG ∥EH ,∴③正确;
水的总量保持不变,总体积V =1
2BE ·BF ·BC ,
∵BC 一定,∴BE ·BF 为定值,故④正确;
水面四边形随着倾斜程度不同,面积随时发生变化, ∴②错.
二、填空题(本大题共4个小题,每小题4分,共16分,把正确答案填在题中横线上) 13.用斜二测画法,画得正方形的直观图面积为182,则原正方形的面积为________. [答案] 72 [解析] 由S 直=
2
4
S 原,得S 原=22S 直=22×182=72. 14.如图,一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等,这时圆柱、圆锥、球的体积之比为________.
[答案]
[解析] 设球半径为a ,则圆柱、圆锥、球的体积分别为:πa 2·2a ,13πa 2
·2a ,43
πa 3.
所以体积之比2πa
3
23πa 343πa 3=234
3

15.考察下列三个命题,在“________”处都缺少同一个条件,补上这个条件其构成真命题(其中l 、m 为不同直线,α、β为不重合平面),则此条件为________.


⎪⎬⎪
⎫m ⊂α
l ∥m ⇒l ∥α; ②

⎪⎬⎪
⎫l ∥m
m ∥α ⇒l ∥α; ③

⎪⎬⎪
⎫l ⊥β
α⊥β ⇒l ∥α. [答案] l ⊄α
[解析] ①体现的是线面平行的判定定理,缺的条件是“l 为平面α外的直线”,即“l ⊄α”.它同样适合②③,故填
l ⊄α.
16.一块正方形薄铁片的边长为4cm ,以它的一个顶点为圆心,一边长为半径画弧,沿弧剪下一个扇形(如图),用这块扇形铁片围成一个圆锥筒,则这个圆锥筒的容积等于________cm 3
.
[答案]
15
3
π [解析] 据已知可得圆锥的母线长为4,设底面半径为r , 则2πr =π
2·4⇒r =1(cm),
故圆锥的高为h =42
-1=15(cm), 故其体积V =13π·1215=15π3
(cm 3
).
三、解答题(本大题共6个大题,共74分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(本题满分12分)圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍,轴截面的面积等于392cm 2
,母线与轴的夹角是45°,求这个圆台的高、母线长和两底面半径.
[解析] 圆台轴截面如图,设上、下底半径分别为x 和3x ,截得圆台的圆锥顶点为S ,在Rt △SOA 中,∠ASO =45°,
∴SO =AO =3x ,∴OO 1=2x ,
又轴截面积为S =1
2(2x +6x )·2x =392,∴x =7,
∴高OO 1=14,母线长l =2OO 1=142,
∴圆台高为14cm ,母线长为142cm ,两底半径分别为7cm 和21cm.
18.(本题满分12分)(2014·陕西汉中市南联中学高一期末测试)在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1
中,AA 1=2,E 为棱CC 1的中点.
(1)求四棱锥E -ABCD 的体积; (2)求证:B 1D 1⊥AE ; (3)求证:AC ∥平面B 1DE .
[解析] (1)V E -ABCD =13×1×2×2=43.
(2)∵BD ⊥AC ,BD ⊥CE ,CE ∩AC =C , ∴BD ⊥平面ACE , ∴BD ⊥AE 1,
又∵BD ∥B 1D 1,∴B 1D 1⊥AE .
(3)如图,取BB 1的中点F ,连接AF 、CF 、EF .
则EF 綊AD ,∴四边形ADEF 为平行四边形, ∴AF ∥DE .
又CF∥B1E,AF∩CF=F,DE∩B1E=E,
∴平面AFC∥平面B1DE,
∴AC∥平面B1DE.
19.(本题满分12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC.E是PC的中点,作EF⊥PB交PB于F.
(1)证明PA∥平面EDB;
(2)证明PB⊥平面EFD.
[解析] (1)如图,设AC交BD于O,连接EO.
∵底面ABCD是正方形,
∴点O是AC的中点.
△PAC中,EO是中位线.
∴PA∥EO,而EO⊂平面EDB,且PA⊄平面EDB.
∴PA∥平面EDB.
(2)∵PD⊥底面ABCD,
且DC⊂底面ABCD,∴PD⊥DC.
由PD=DC知△PDC是等腰直角三角形,而DE是斜边PC的中线,
∴DE⊥PC①
又由PD⊥底面ABCD,得PD⊥BC
∵底面ABCD是正方形,有DC⊥BC,
∴BC⊥平面PDC,而DE⊂面PDC,
∴BC⊥DE②
由①和②推得DE⊥平面PBC,而PB⊂平面PBC,
∴DE⊥PB
又EF⊥PB且DE∩EF=F,所以PB⊥平面EFD.
20.(本题满分12分)如图所示,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M、N分别是AA1、
AC 的中点.
(1)求证:MN ∥平面BCD 1A 1; (2)求证:MN ⊥C 1D ; (3)求VD -MNC 1.
[解析] (1)连接A 1C ,在△AA 1C 中,M 、N 分别是AA 1、AC 的中点,
∴MN ∥A 1C .
又∵MN ⊄平面BCA 1D 1且A 1C ⊂平面BCD 1A 1, ∴MN ∥平面BCD 1A 1.
(2)∵BC ⊥平面CDD 1C 1,C 1D ⊂平面CDD 1C 1, ∴BC ⊥C 1D .
又在平面CDD 1C 1中,C 1D ⊥CD 1,BC ∩CD 1=C , ∴C 1D ⊥平面BCD 1A 1,
又∵A 1C ⊂平面BCD 1A 1,∴C 1D ⊥A 1C , 又∵MN ∥A 1C ,∴MN ⊥C 1D .
(3)∵A 1A ⊥平面ABCD ,∴A 1A ⊥DN , 又∵DN ⊥AC ,∴DN ⊥平面ACC 1A 1, ∴DN ⊥平面MNC 1.
∵DC =2,∴DN =CN =2,∴NC 2
1=CC 2
1+CN 2
=6,
MN 2=MA 2+AN 2=1+2=3,MC 21=A 1C 21+MA 2
1=8+1=9,
∴MC 21=MN 2+NC 2
1,∴∠MNC 1=90°, ∴S △MNC 1=12MN ·NC 1=12×3×6=322

∴VD -MNC 1=13·DN ·S △MNC 1=13·2·32
2
=1.
21.(本题满分12分)(2014·山东文,18)如图,四棱锥P -ABCD 中,AP ⊥平面PCD ,AD ∥BC ,AB =BC =1
2
AD ,E 、F 分别为线段AD 、PC 的中点.
(1)求证:AP ∥平面BEF ; (2)求证:BE ⊥平面PAC .
[解析] (1)证明:如图所示,连接AC 交BE 于点O ,连接OF .
∵E 为AD 中点,BC =1
2AD ,AD ∥BC ,
∴四边形ABCE 为平行四边形. ∴O 为AC 的中点,又F 为PC 中点, ∴OF ∥AP .
又OF ⊂面BEF ,AP ⊄面BEF , ∴AP ∥面BEF .
(2)由(1)知四边形ABCE 为平行四边形. 又∵AB =BC ,∴四边形ABCE 为菱形. ∴BE ⊥AC .
由题意知BC 綊1
2AD =ED ,
∴四边形BCDE 为平行四边形. ∴BE ∥CD .
又∵AP ⊥平面PCD , ∴AP ⊥CD . ∴AP ⊥BE . 又∵AP ∩AC =A , ∴BE ⊥面PAC .
22.(本题满分14分)(2014·广东文,18)如图1,四边形
ABCD 为矩形,PD ⊥平面ABCD ,AB =1,BC =PC =2,作如图2折叠,折痕EF ∥DC .其中点E 、F 分别在线段PD 、PC 上,沿EF 折叠后点P 在线段AD 上的点记为M ,并且MF ⊥CF
.
(1)证明:CF ⊥平面MDF ;
(2)求三棱锥M -CDE 的体积.
[解析] (1)如图PD ⊥平面ABCD ,PD ⊂平面PCD ,∴平面PCD ⊥平面ABCD ,
平面PCD ∩平面ABCD =CD ,MD ⊂平面ABCD ,MD ⊥CD ,∴MD ⊥平面PCD ,
CF ⊂平面PCD ,∴CF ⊥MD ,又CF ⊥MF ,MD ,MF ⊂平面MDF ,MD ∩MF =M ,
∴CF ⊥平面MDF .
(2)∵CF ⊥平面MDF ,∴CF ⊥DF ,又易知∠PCD =60°,∴∠CDF =30°,从而CF =12CD =12

∵EF ∥DC ,∴DE DP =CF CP ,即DE 3=1
22
,∴DE =34, ∴PE =334,S △CDE =12CD ·DE =38
, MD =ME 2-DE 2=PE 2-DE 2 =33
42-3
42=62
, ∴V M -CDE =13S △CDE ·MD =13×38×62=216
.。

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