电磁场与电磁波(第四版)谢处方 第三章习题解答
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C
即
x 6y 4 0
6 故 W q y d x x d y q y d(6 y 4) (6 y 4) d y q (12 y 4) d y 14q 28 10 ( J )
1
2
1
2
点的电位 ； （2）利用直接积分法计算线电荷平分面上任意点的电场 E ，并用 E 核对。 解 （1）建立如题 3.8 图所示坐标系。根据电位的积分表达式，线电荷平分面上任意点 P 的 电位为
r 3 Ar 2 Dr a 5 Aa 4 r2
解：由 D ，有 故在 r a 区域 在 r a 区域
(r a ) (r a)
其中 A 为常数，试求电荷密度 (r ) 。
(r ) D
1 d 2 (r Dr ) r2 d r
1 d 2 3 [r (r Ar 2 )] 0 (5r 2 4 Ar ) 2 r dr 1 d 2 (a5 Aa 4 ) (r ) 0 2 [r ]0 r dr r2
故原子内总的电通量密度为
题 3. 3 图 ( a )
Ze 1 r 4 r 2 ra3 3 3.3 电荷均匀分布于两圆柱面间的区域中，体密度为 0 C m , 两圆柱 D D1 D2 er
面半径分别为 a 和 b ，轴线相距为 c (c b a) ，如题 3.3 图 (a ) 所示。求空间各部分的电场。 解 由于两圆柱面间的电荷不是轴对称分布，不能直接用高斯定律求解。但可把半径为 a 的 小圆柱面内看作同时具有体密度分别为 0 的两种电荷分布， 这样在半径为 b 的整个圆柱体内具 有体密度为 0 的均匀电荷分布，而在半径为 a 的整个圆柱体内则具有体密度为 0 的均匀电荷 分布，如题 3.3 图 (b) 所示。空间任一点的电场是这两种电荷所产生的电场的叠加。 在 r b 区域中，由高斯定律 的电场分别为
0 E 0 [
（2）球体内的总电量 Q 为
1 d 2 1 d 2 r4 r3 ( r E )] [ ( r )] 6 0 0 4 r 2 dr r 2 dr a4 a
a
Q d 6 0
0
r3 4 r 2dr 4 0 a 2 4 a
Ze 4 r 2 Ze 3Ze 3 4 ra 3 4 ra3 D1 er
位于球心的正电荷 Ze 球体内产生的电通量密度为 原子内电子云的电荷体密度为
b
0
a
c
电子云在原子内产生的电通量密度则为
D2 er
4 r 3 3 Ze r e r 2 4 r 4 ra3
E dS
S
q
0
，可求得大、小圆柱中的正、负电荷在点 P 产生
b 2 0 0b 2 r E1 er 2 0 r 2 0 r 2
a 2 0 0 a 2 r E1 er 2 0 r 2 0 r 2
b
b
0
a
c
＝
0
a
c
b 0
3.10 一点电荷 q 位于 (a,0,0) ，另一点电荷 2q 位于 (a,0,0) ，求空间的零电位面。
( x, y, z )
令 ( x, y, z) 0 ，则有 即
1 4 0
( x a)2 y 2 z 2 ( x a)2 y 2 z 2 1 2 0 2 2 2 2 ( x a) y z ( x a) y 2 z 2
[
q
2q
]
4[( x a)2 y 2 z 2 ] ( x a)2 y 2 z 2 5 4 ( x a) 2 y 2 z 2 ( a) 2 故得 3 3 5 4 由此可见，零电位面是一个以点 ( a, 0, 0) 为球心、 a 为半径的球面。 3 3 Ze 1 r 2 3 (r ) ( ) 3.11 证明习题 3.2 的电位表达式为 4 0 r 2ra 2ra Ze D1 er 解 位于球心的正电荷 Ze 在原子外产生的电通量密度为 4 r 2 4 ra3 3 Ze 电子云在原子外产生的电通量密度则为 D2 er er 2 4 r 4 r 2
(r ) 0
3.5
一个半径为 a 薄导体球壳内表面涂覆了一薄层绝缘膜，球内充满总电荷量为 Q 为的体
4
电荷，球壳上又另充有电荷量 Q 。已知球内部的电场为 E er (r a) ，设球内介质为真空。计 算： （1） 球内的电荷分布； （2）球壳外表面的电荷面密度。 解 （1） 由高斯定律的微分形式可求得球内的电荷体密度为
l 0dz
2 0 r 2 z2
cos er
2 0 (r 2 z2 )3 2
L 2 0
l 0 rdz
故长为 L 的线电荷在点 P 的电场为
E dE er
L2
0
2 0 (r z )
2
l 0 rdz
2 32
er
l 0 z ( ) 2 0 r r 2 z2
D
S
0
d S q ，当 r a 时，有
D02 er
D01 0
a 1 r
D03 er
2 rD02 2 a 1 ，则
2 rD03 2 a 1 2 b 2 ，则
a 1 b 2 0 ，则得到 r
1 b 2 a
a 1 b 2 r
2 r 2 ( L 2) L 2 l 0 ln 2 4 0 r 2 ( L 2) L 2
2 r 2 ( L 2) L 2 l 0 ln 2 0 r
（2）根据对称性，可得两个对称线电荷元 l 0 dz 在点 P 的电场为
dE er dEr er
z 0
则球赤道平面上电通密度的通量
D d S D ez
S S
a
dS
q (a) a [ 2 2 ]2 r d r 2 32 4 0 (r a ) ( r a 2 )3 2
qa 2 (r a 2 )1 2
a 0
(
1 1)q 0.293q 2
计算在电场强度 E ex y e y x 的电场中把带电量为 2 C 的点电荷从点 P 1 (2,1, 1)
移到点 P （1）沿曲线 x 2 y 2 ； （2）沿连接该两点的直线。 2 (8, 2, 1) 时电场所做的功： 解 （1） W F d l q E d l q Ex d x E y d y
r2 r 2 0 r 2 0
E E2 E2
a 2 a2r 2 0 r 2 0 r 2
在 r a 的空腔区域中，大、小圆柱中的正、负电荷在点 P 产生的电场分别为
0 a2r (r 2 ) 2 0 r
er E3
P
位函数。其中 rP 为电位参考点。
解
(r ) E d l
r r
rP
rP
l r d r l lrn l r 2 0 r 2 0 2
P
0
rP ln r
由于是无限长的线电荷，不能将 rP 选为无穷远点。 解 两个点电荷 q 和 2q 在空间产生的电位
所以原子外的电场为零。故原子内电位为
Ze 1 r 2 3 Ze a 1 r ( ) (r ) D d r ( 2 3 )d r 4 0 r 2ra 2ra 0 r 4 0 r r ra 3.12 电场中有一半径为 a 的圆柱体，已知柱内外的电位函数分别为 ra (r ) 0 a2 ( r ) A ( r ) cos ra r
3.8 长度为 L 的细导线带有均匀电荷，其电荷线密度为 l 0 。 （1）计算线电荷平分面上任意
z
L 2
o
P
l 0
r
L 2
题 3.8 图
L2
(r , 0)
L 2
l 0dz
4 0 r 2 z2
L 2 L 2
l 0 ln( z r 2 z2 ) 4 0
3.1 真空中半径为 a 的一个球面，球的两极点处分别设置点电荷 q 和 q ，试计算球赤道平 面上电通密度的通量 (如题 3.1 图所示)。
电磁场与电磁波（第四版）谢处方 第三章习题解答
q
赤道平面
a
q
题 3.1 图
解
由点电荷 q 和 q 共同产生的电通密度为
D
q R R [ 3 3] 4 R R er r e z ( z a ) q er r ez ( z a) { 2 2 } 2 32 4 [r ( z a) ] [r ( z a)2 ]3 2
3.2 1911 年卢瑟福在实验中使用的是半径为 ra 的球体原子模型，其球体内均匀分布有总电 荷量为 Ze 的电子云，在球心有一正电荷 Ze （ Z 是原子序数， e 是质子电荷量） ，通过实验得 到球体内的电通量密度表达式为 D0 er 解
Ze 1 r ，试证明之。 4 r 2 ra3
球内电荷不仅在球壳内表面上感应电荷 Q ，而且在球壳外表面上还要感应电荷 Q ，所以 2Q 2 0 球壳外表面上的总电荷为 2 Q ，故球壳外表面上的电荷面密度为 4 a 2 3.6 两个无限长的同轴圆柱半径分别为 r a 和 r b (b a) ，圆柱表面分别带有密度为 1 和 2 的面电荷。 （1）计算各处的电位移 D0 ； （2）欲使 r b 区域内 D0 0 ，则 1 和 2 应具 有什么关系？ 解 （1）由高斯定理 当 a r b 时，有 当 b r 时，有 （2）令 D03 er 3.7
＋
a
c
Baidu Nhomakorabea
题 3. 3 图 (b)
点 P 处总的电场为
E E1 E1
在 r b 且 r a 区域中，同理可求得大、小圆柱中的正、负电荷在点 P 产生的电场分别为
b2 r a 2 r ( 2 ) 2 0 r 2 r
er E2
E 2 er
点 P 处总的电场为
er
l 0 L 2 4 0 r r ( L 2) 2
由 E 求 E ，有
2 l 0 L 2 r 2 ( L 2) E ln 2 0 r
er
l 0 d 2 ln L 2 r 2 ( L 2) ln r 2 0 dr
r 2 0 r 0 2 0 r 2 0 0 (r r ) 0 c E E3 E3 点 P 处总的电场为 2 0 2 0 3.4 半径为 a 的球中充满密度 (r ) 的体电荷，已知电位移分布为 E3 er
r 2 0 0 r 2 0 r 2 0
C C C
2
q y d x x d y q y d(2 y 2 ) 2 y 2 d y q 6 y 2 d y 14q 28 106 ( J )
C 1
2
1
（2）连接点 P 1 (2,1, 1) 到点 P 2 (8, 2, 1) 直线方程为
x 2 x 8 y 1 y 2
l 0 L r 1 er l 0 er 4 0 r r 2 ( L 2) 2 2 0 L 2 r 2 ( L 2) 2 r 2 ( L 2) 2 r
r l 3.9 已知无限长均匀线电荷 l 的电场 E er ，试用定义式 (r ) E d l 求其电 2 0 r r
即
x 6y 4 0
6 故 W q y d x x d y q y d(6 y 4) (6 y 4) d y q (12 y 4) d y 14q 28 10 ( J )
1
2
1
2
点的电位 ； （2）利用直接积分法计算线电荷平分面上任意点的电场 E ，并用 E 核对。 解 （1）建立如题 3.8 图所示坐标系。根据电位的积分表达式，线电荷平分面上任意点 P 的 电位为
r 3 Ar 2 Dr a 5 Aa 4 r2
解：由 D ，有 故在 r a 区域 在 r a 区域
(r a ) (r a)
其中 A 为常数，试求电荷密度 (r ) 。
(r ) D
1 d 2 (r Dr ) r2 d r
1 d 2 3 [r (r Ar 2 )] 0 (5r 2 4 Ar ) 2 r dr 1 d 2 (a5 Aa 4 ) (r ) 0 2 [r ]0 r dr r2
故原子内总的电通量密度为
题 3. 3 图 ( a )
Ze 1 r 4 r 2 ra3 3 3.3 电荷均匀分布于两圆柱面间的区域中，体密度为 0 C m , 两圆柱 D D1 D2 er
面半径分别为 a 和 b ，轴线相距为 c (c b a) ，如题 3.3 图 (a ) 所示。求空间各部分的电场。 解 由于两圆柱面间的电荷不是轴对称分布，不能直接用高斯定律求解。但可把半径为 a 的 小圆柱面内看作同时具有体密度分别为 0 的两种电荷分布， 这样在半径为 b 的整个圆柱体内具 有体密度为 0 的均匀电荷分布，而在半径为 a 的整个圆柱体内则具有体密度为 0 的均匀电荷 分布，如题 3.3 图 (b) 所示。空间任一点的电场是这两种电荷所产生的电场的叠加。 在 r b 区域中，由高斯定律 的电场分别为
0 E 0 [
（2）球体内的总电量 Q 为
1 d 2 1 d 2 r4 r3 ( r E )] [ ( r )] 6 0 0 4 r 2 dr r 2 dr a4 a
a
Q d 6 0
0
r3 4 r 2dr 4 0 a 2 4 a
Ze 4 r 2 Ze 3Ze 3 4 ra 3 4 ra3 D1 er
位于球心的正电荷 Ze 球体内产生的电通量密度为 原子内电子云的电荷体密度为
b
0
a
c
电子云在原子内产生的电通量密度则为
D2 er
4 r 3 3 Ze r e r 2 4 r 4 ra3
E dS
S
q
0
，可求得大、小圆柱中的正、负电荷在点 P 产生
b 2 0 0b 2 r E1 er 2 0 r 2 0 r 2
a 2 0 0 a 2 r E1 er 2 0 r 2 0 r 2
b
b
0
a
c
＝
0
a
c
b 0
3.10 一点电荷 q 位于 (a,0,0) ，另一点电荷 2q 位于 (a,0,0) ，求空间的零电位面。
( x, y, z )
令 ( x, y, z) 0 ，则有 即
1 4 0
( x a)2 y 2 z 2 ( x a)2 y 2 z 2 1 2 0 2 2 2 2 ( x a) y z ( x a) y 2 z 2
[
q
2q
]
4[( x a)2 y 2 z 2 ] ( x a)2 y 2 z 2 5 4 ( x a) 2 y 2 z 2 ( a) 2 故得 3 3 5 4 由此可见，零电位面是一个以点 ( a, 0, 0) 为球心、 a 为半径的球面。 3 3 Ze 1 r 2 3 (r ) ( ) 3.11 证明习题 3.2 的电位表达式为 4 0 r 2ra 2ra Ze D1 er 解 位于球心的正电荷 Ze 在原子外产生的电通量密度为 4 r 2 4 ra3 3 Ze 电子云在原子外产生的电通量密度则为 D2 er er 2 4 r 4 r 2
(r ) 0
3.5
一个半径为 a 薄导体球壳内表面涂覆了一薄层绝缘膜，球内充满总电荷量为 Q 为的体
4
电荷，球壳上又另充有电荷量 Q 。已知球内部的电场为 E er (r a) ，设球内介质为真空。计 算： （1） 球内的电荷分布； （2）球壳外表面的电荷面密度。 解 （1） 由高斯定律的微分形式可求得球内的电荷体密度为
l 0dz
2 0 r 2 z2
cos er
2 0 (r 2 z2 )3 2
L 2 0
l 0 rdz
故长为 L 的线电荷在点 P 的电场为
E dE er
L2
0
2 0 (r z )
2
l 0 rdz
2 32
er
l 0 z ( ) 2 0 r r 2 z2
D
S
0
d S q ，当 r a 时，有
D02 er
D01 0
a 1 r
D03 er
2 rD02 2 a 1 ，则
2 rD03 2 a 1 2 b 2 ，则
a 1 b 2 0 ，则得到 r
1 b 2 a
a 1 b 2 r
2 r 2 ( L 2) L 2 l 0 ln 2 4 0 r 2 ( L 2) L 2
2 r 2 ( L 2) L 2 l 0 ln 2 0 r
（2）根据对称性，可得两个对称线电荷元 l 0 dz 在点 P 的电场为
dE er dEr er
z 0
则球赤道平面上电通密度的通量
D d S D ez
S S
a
dS
q (a) a [ 2 2 ]2 r d r 2 32 4 0 (r a ) ( r a 2 )3 2
qa 2 (r a 2 )1 2
a 0
(
1 1)q 0.293q 2
计算在电场强度 E ex y e y x 的电场中把带电量为 2 C 的点电荷从点 P 1 (2,1, 1)
移到点 P （1）沿曲线 x 2 y 2 ； （2）沿连接该两点的直线。 2 (8, 2, 1) 时电场所做的功： 解 （1） W F d l q E d l q Ex d x E y d y
r2 r 2 0 r 2 0
E E2 E2
a 2 a2r 2 0 r 2 0 r 2
在 r a 的空腔区域中，大、小圆柱中的正、负电荷在点 P 产生的电场分别为
0 a2r (r 2 ) 2 0 r
er E3
P
位函数。其中 rP 为电位参考点。
解
(r ) E d l
r r
rP
rP
l r d r l lrn l r 2 0 r 2 0 2
P
0
rP ln r
由于是无限长的线电荷，不能将 rP 选为无穷远点。 解 两个点电荷 q 和 2q 在空间产生的电位
所以原子外的电场为零。故原子内电位为
Ze 1 r 2 3 Ze a 1 r ( ) (r ) D d r ( 2 3 )d r 4 0 r 2ra 2ra 0 r 4 0 r r ra 3.12 电场中有一半径为 a 的圆柱体，已知柱内外的电位函数分别为 ra (r ) 0 a2 ( r ) A ( r ) cos ra r
3.8 长度为 L 的细导线带有均匀电荷，其电荷线密度为 l 0 。 （1）计算线电荷平分面上任意
z
L 2
o
P
l 0
r
L 2
题 3.8 图
L2
(r , 0)
L 2
l 0dz
4 0 r 2 z2
L 2 L 2
l 0 ln( z r 2 z2 ) 4 0
3.1 真空中半径为 a 的一个球面，球的两极点处分别设置点电荷 q 和 q ，试计算球赤道平 面上电通密度的通量 (如题 3.1 图所示)。
电磁场与电磁波（第四版）谢处方 第三章习题解答
q
赤道平面
a
q
题 3.1 图
解
由点电荷 q 和 q 共同产生的电通密度为
D
q R R [ 3 3] 4 R R er r e z ( z a ) q er r ez ( z a) { 2 2 } 2 32 4 [r ( z a) ] [r ( z a)2 ]3 2
3.2 1911 年卢瑟福在实验中使用的是半径为 ra 的球体原子模型，其球体内均匀分布有总电 荷量为 Ze 的电子云，在球心有一正电荷 Ze （ Z 是原子序数， e 是质子电荷量） ，通过实验得 到球体内的电通量密度表达式为 D0 er 解
Ze 1 r ，试证明之。 4 r 2 ra3
球内电荷不仅在球壳内表面上感应电荷 Q ，而且在球壳外表面上还要感应电荷 Q ，所以 2Q 2 0 球壳外表面上的总电荷为 2 Q ，故球壳外表面上的电荷面密度为 4 a 2 3.6 两个无限长的同轴圆柱半径分别为 r a 和 r b (b a) ，圆柱表面分别带有密度为 1 和 2 的面电荷。 （1）计算各处的电位移 D0 ； （2）欲使 r b 区域内 D0 0 ，则 1 和 2 应具 有什么关系？ 解 （1）由高斯定理 当 a r b 时，有 当 b r 时，有 （2）令 D03 er 3.7
＋
a
c
Baidu Nhomakorabea
题 3. 3 图 (b)
点 P 处总的电场为
E E1 E1
在 r b 且 r a 区域中，同理可求得大、小圆柱中的正、负电荷在点 P 产生的电场分别为
b2 r a 2 r ( 2 ) 2 0 r 2 r
er E2
E 2 er
点 P 处总的电场为
er
l 0 L 2 4 0 r r ( L 2) 2
由 E 求 E ，有
2 l 0 L 2 r 2 ( L 2) E ln 2 0 r
er
l 0 d 2 ln L 2 r 2 ( L 2) ln r 2 0 dr
r 2 0 r 0 2 0 r 2 0 0 (r r ) 0 c E E3 E3 点 P 处总的电场为 2 0 2 0 3.4 半径为 a 的球中充满密度 (r ) 的体电荷，已知电位移分布为 E3 er
r 2 0 0 r 2 0 r 2 0
C C C
2
q y d x x d y q y d(2 y 2 ) 2 y 2 d y q 6 y 2 d y 14q 28 106 ( J )
C 1
2
1
（2）连接点 P 1 (2,1, 1) 到点 P 2 (8, 2, 1) 直线方程为
x 2 x 8 y 1 y 2
l 0 L r 1 er l 0 er 4 0 r r 2 ( L 2) 2 2 0 L 2 r 2 ( L 2) 2 r 2 ( L 2) 2 r
r l 3.9 已知无限长均匀线电荷 l 的电场 E er ，试用定义式 (r ) E d l 求其电 2 0 r r