高等数学微积分期末试卷及答案
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大一高等数学微积分期末试卷
选择题（6×２）
1.设f (x) 2cosx , g(x) ( 1)sin x 在区间（0， ）内（ ）。
2
2
Ａf (x)是增函数，g(x)是减函数
Bf (x)是减函数，g(x)是增函数
C二者都是增函数
D二者都是减函数
2、x 0时，e2x cos x与sin x相比是（ ） Ａ高阶无穷小 Ｂ低阶无穷小 Ｃ等价无穷小 Ｄ同阶但不等价无价小
2
五、应用题 1、 2、 描绘下列函数的图形
y x2 1 x
解：1.Dy=(-,0) (0,+)
1 2.y'=2x- x2
2x3 1 x2
令y ' 0得x 3 1 2
y
''
2
2 x3
令y '' 0,得x 1
3.
4.补充点 (2, 7).( 1 , 7).(1, 2).(2, 9)
2 22
且f (x1) f (x2 ) 0 至少 （x2, x2），stf ( ) 0 而f '( ) 3 2 1 1与假设相矛盾 方程x3 x 1 0有且只有一个正实根
2、 证明arcsin x arccos x （1 x 1） 2
证明：设f (x) arcsin x arccos x
f '(x) 0令A f（' 0），B f '(1),C f (1) f (0),则必有A>B>C( )
1~5 FFFFT
三、计算题
1
1 用洛必达法则求极限 lim x2e x2 x0
1
1
解：原式=
lim
x0
e x2 1
lim
e x2
(2x3 )
1
lim e x2
x0 2x3
x0
x2
2 若 f (x) (x3 10)4, 求f ''(0)
f (0) 1 0, f (1) 1 0,且f (x)在0,1上连续
至少存在 （0,1),使得f '(） 0 即f (x)在（0，1)内至少有一根，即f (x) 0在（0， ）内至少有一实根 假设f (x) 0在（0， ）有两不同实根x1, x2, x2 x1
f (x)在 x2, x2 上连续，在（x2, x2）内可导
f '(x) 1 1 0, x 1,1
1 x2 1 x2 f (x) c f (0) arcsin 0 arccos 0
2 f (1) arcsin1 arccos1
2 f (1) arcsin(1) arccos(1)
2
综上所述，f (x) arcsin x arccos x ，x 1,1
５、若
ｘ２ ax b
lim
x１
ｘ２＋2x-3
2, 则a, b的值分别为：
1 In x 1 ;
2
y x3 2x2 ; 3
y
log2
1
x
x
,
(0,1),
R
;
4(0,0)
lim (x 1)(x m) lim x m 1 m 2 5 解：原式= x1 (x 1)(x 3) x1 x 3 4
2
5 lim f (x) , f (x)有铅直渐近线x 0 x0
6 如图所示：
2.讨论函数 f (x) x2 Inx2的单调区间并求极值
解：Df (x) R
f '(x) 2x 2 2(x 1)(x 1) (x 0)
x
x
令f '(x) 0,得x1 1, x2 1
由上表可知 f(x)的单调递减区间为 (, 1)和(0,1) 单调递增区间为 (1, 0)和（1， ）
1
３、ｘ=０是函数ｙ=（１-sinx)x的（ ）
Ａ连续点 Ｂ可去间断点 Ｃ跳跃间断点 Ｄ无穷型间断点
４、下列数列有极限并且极限为１的选项为（ ）
A
Xn
(1) n
1 n
C
Xn
1 an
(a
1)
n B Xn sin 2
D
Xn
cos
1 n
5、若f
"(
x)在X
处取得最大值，则必有（ ）
0
Ａf＇(X0 ) o
3
2
2
y'1 5 3 1 1 1 1 y 3 3x 1 2 x 1 2 x 2
5
y ' (3x 1)3
x x
1 2
5 3x 1
1 2(x 1)
2(
1 x
2)
5 tan3xdx
解：原式= tan2x tan xdx （sec2x 1) tan xdx
= sec2x tan xdx tan xdx
且 f(x)的极小值为 f(-1)=f(1)=1
=
tan
xd
tan
x
sin cos
x x
dx
=
tan
xd
tan
x
1 cos
x
d
cos
x
= 1 tan2 x In cos x c 2
6 求 x arctan xdx
解：原式= 1 arctan xd (x2 ) 1 (x2 arctan x x2d arctan x)
m 7 b 7, a 6
二、判断题 1、 无穷多个无穷小的和是无穷小（ ）
2、 lim sin x 在区间（ ， ）是连续函数（） x0 x
3、
f"(x
）=0一定为f(x)的拐点（）
0
4、 若 f(X)在 x 0 处取得极值，则必有 f(x)在 x 0 处连续不可导（ ）
5、 设 函 数 ｆ (x) 在 0,1 上 二 阶 可 导 且
In
cos
x
lim
x0
4 x2
In
cos
x
x0
lim
x0
4 x2
In cos
x
lim
x0
In cos x2
x
lim
x0
1 cos
x
( sin x
x)
lim
x0
tan x
x
lim
x0
x x
2
4
2
2
2
原式 e2
5
4 求y (3x 1)3
x 1的导数
x2
解：In y 5 In 3x 1 1 In x 1 1 In x 2
2
2
= 1 (x2 arctan x 2
x2 11 1 x2 dx)
=
1 2
x
2
arctan
x
(1
1
1 x
2
)dx
= 1 x2 arctan x x c
2
2
四、证明题。
1、 证明方程 x3 x 1 0 有且仅有一正实根。
证明：设 f (x) x3 x 1
Bf＇(X0) o
Cf＇(X0 ) 0且f''( X0 )<0
Df''(X0)不存在或f'(X0) 0
6、曲线y
(
xe
x12（) ）
Ａ仅有水平渐近线 Ｂ仅有铅直渐近线
Ｃ既有铅直又有水平渐近线 Ｄ既有铅直渐近线
1~6 DDBDBD
一、填空题
１、d（ ）＝ｘ1+1 dx 2、求过点（２，０）的一条直线，使它与曲线ｙ＝ｘ1 相切。这条直线方程为： ３、函数ｙ＝２ｘ２＋ｘ１的反函数及其定义域与值域分别是： ４、ｙ＝３ｘ的拐点为：
f '(x) 4(x3 10)3 3x2 12x2 (x3 10)3 解： f ''(x) 24x (x3 10)3 12x2 3 (x3 10)2 3x2 24x (x3 10)3 108x4(x3 10)2
f ''(x) 0
4
3 求极限lim(cos x) x2 பைடு நூலகம்0
解：原式= lim e e 4 x2
选择题（6×２）
1.设f (x) 2cosx , g(x) ( 1)sin x 在区间（0， ）内（ ）。
2
2
Ａf (x)是增函数，g(x)是减函数
Bf (x)是减函数，g(x)是增函数
C二者都是增函数
D二者都是减函数
2、x 0时，e2x cos x与sin x相比是（ ） Ａ高阶无穷小 Ｂ低阶无穷小 Ｃ等价无穷小 Ｄ同阶但不等价无价小
2
五、应用题 1、 2、 描绘下列函数的图形
y x2 1 x
解：1.Dy=(-,0) (0,+)
1 2.y'=2x- x2
2x3 1 x2
令y ' 0得x 3 1 2
y
''
2
2 x3
令y '' 0,得x 1
3.
4.补充点 (2, 7).( 1 , 7).(1, 2).(2, 9)
2 22
且f (x1) f (x2 ) 0 至少 （x2, x2），stf ( ) 0 而f '( ) 3 2 1 1与假设相矛盾 方程x3 x 1 0有且只有一个正实根
2、 证明arcsin x arccos x （1 x 1） 2
证明：设f (x) arcsin x arccos x
f '(x) 0令A f（' 0），B f '(1),C f (1) f (0),则必有A>B>C( )
1~5 FFFFT
三、计算题
1
1 用洛必达法则求极限 lim x2e x2 x0
1
1
解：原式=
lim
x0
e x2 1
lim
e x2
(2x3 )
1
lim e x2
x0 2x3
x0
x2
2 若 f (x) (x3 10)4, 求f ''(0)
f (0) 1 0, f (1) 1 0,且f (x)在0,1上连续
至少存在 （0,1),使得f '(） 0 即f (x)在（0，1)内至少有一根，即f (x) 0在（0， ）内至少有一实根 假设f (x) 0在（0， ）有两不同实根x1, x2, x2 x1
f (x)在 x2, x2 上连续，在（x2, x2）内可导
f '(x) 1 1 0, x 1,1
1 x2 1 x2 f (x) c f (0) arcsin 0 arccos 0
2 f (1) arcsin1 arccos1
2 f (1) arcsin(1) arccos(1)
2
综上所述，f (x) arcsin x arccos x ，x 1,1
５、若
ｘ２ ax b
lim
x１
ｘ２＋2x-3
2, 则a, b的值分别为：
1 In x 1 ;
2
y x3 2x2 ; 3
y
log2
1
x
x
,
(0,1),
R
;
4(0,0)
lim (x 1)(x m) lim x m 1 m 2 5 解：原式= x1 (x 1)(x 3) x1 x 3 4
2
5 lim f (x) , f (x)有铅直渐近线x 0 x0
6 如图所示：
2.讨论函数 f (x) x2 Inx2的单调区间并求极值
解：Df (x) R
f '(x) 2x 2 2(x 1)(x 1) (x 0)
x
x
令f '(x) 0,得x1 1, x2 1
由上表可知 f(x)的单调递减区间为 (, 1)和(0,1) 单调递增区间为 (1, 0)和（1， ）
1
３、ｘ=０是函数ｙ=（１-sinx)x的（ ）
Ａ连续点 Ｂ可去间断点 Ｃ跳跃间断点 Ｄ无穷型间断点
４、下列数列有极限并且极限为１的选项为（ ）
A
Xn
(1) n
1 n
C
Xn
1 an
(a
1)
n B Xn sin 2
D
Xn
cos
1 n
5、若f
"(
x)在X
处取得最大值，则必有（ ）
0
Ａf＇(X0 ) o
3
2
2
y'1 5 3 1 1 1 1 y 3 3x 1 2 x 1 2 x 2
5
y ' (3x 1)3
x x
1 2
5 3x 1
1 2(x 1)
2(
1 x
2)
5 tan3xdx
解：原式= tan2x tan xdx （sec2x 1) tan xdx
= sec2x tan xdx tan xdx
且 f(x)的极小值为 f(-1)=f(1)=1
=
tan
xd
tan
x
sin cos
x x
dx
=
tan
xd
tan
x
1 cos
x
d
cos
x
= 1 tan2 x In cos x c 2
6 求 x arctan xdx
解：原式= 1 arctan xd (x2 ) 1 (x2 arctan x x2d arctan x)
m 7 b 7, a 6
二、判断题 1、 无穷多个无穷小的和是无穷小（ ）
2、 lim sin x 在区间（ ， ）是连续函数（） x0 x
3、
f"(x
）=0一定为f(x)的拐点（）
0
4、 若 f(X)在 x 0 处取得极值，则必有 f(x)在 x 0 处连续不可导（ ）
5、 设 函 数 ｆ (x) 在 0,1 上 二 阶 可 导 且
In
cos
x
lim
x0
4 x2
In
cos
x
x0
lim
x0
4 x2
In cos
x
lim
x0
In cos x2
x
lim
x0
1 cos
x
( sin x
x)
lim
x0
tan x
x
lim
x0
x x
2
4
2
2
2
原式 e2
5
4 求y (3x 1)3
x 1的导数
x2
解：In y 5 In 3x 1 1 In x 1 1 In x 2
2
2
= 1 (x2 arctan x 2
x2 11 1 x2 dx)
=
1 2
x
2
arctan
x
(1
1
1 x
2
)dx
= 1 x2 arctan x x c
2
2
四、证明题。
1、 证明方程 x3 x 1 0 有且仅有一正实根。
证明：设 f (x) x3 x 1
Bf＇(X0) o
Cf＇(X0 ) 0且f''( X0 )<0
Df''(X0)不存在或f'(X0) 0
6、曲线y
(
xe
x12（) ）
Ａ仅有水平渐近线 Ｂ仅有铅直渐近线
Ｃ既有铅直又有水平渐近线 Ｄ既有铅直渐近线
1~6 DDBDBD
一、填空题
１、d（ ）＝ｘ1+1 dx 2、求过点（２，０）的一条直线，使它与曲线ｙ＝ｘ1 相切。这条直线方程为： ３、函数ｙ＝２ｘ２＋ｘ１的反函数及其定义域与值域分别是： ４、ｙ＝３ｘ的拐点为：
f '(x) 4(x3 10)3 3x2 12x2 (x3 10)3 解： f ''(x) 24x (x3 10)3 12x2 3 (x3 10)2 3x2 24x (x3 10)3 108x4(x3 10)2
f ''(x) 0
4
3 求极限lim(cos x) x2 பைடு நூலகம்0
解：原式= lim e e 4 x2