北师版数学八年级下册 三角形三条内角的平分线

∴ CF = EB (全等三角形的对应边相等).C
DB
拓展思维 5. 如图，直线 l1、l2、l3 表示三条 互相交叉的公路，现要建一个货 物中转站，要求它到三条公路的 距离相等，可选择的地址有几处? 画出它的位置.
l3
l1 l2
P2
l1
P3
P1 P4
l3
l2
三角形内角 平分线的性质
性质：三角形的三条角平分线交 于一点，并且这一点到三条边的 距离相等
AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB，垂足为 E.
(1) 如果 CD = 4 cm，求 AC 的长；
A
解：∵ AD 是△ABC 的角平分线，
DE⊥AB，垂足为 E，
∴ DE = CD = 4 cm.
E
∵ AC = BC，∴∠B =∠BAC.
∵∠C = 90°，∴∠B = 45°. ∴ BE = DE. C D
＝40°，则∠BOC 的度数为 ( A )
A．110°
B．120°
C．130°
D．140°
解析：O 到△ABC 三边的距离相等，所以 O 是内心，即
三条角平分线的交点，故 BO，CO 都是内角平分线，
则∠CBO＝∠ABO＝ 1∠ABC，∠BCO＝∠ACO＝ 1∠ACB，
∠ABC＋∠ACB＝1802°－40°＝140°，
发现：三角形的三条角平分线相交于一点.
活动2 分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一 量每组垂线段，你发现了什么？
你能证明这 个结论吗？ 发现：过交点作三角形三边的垂线段相等.
试一试 剪一个三角形纸片，通过折叠找出每个角的角平
分线，观察这三条角平分线，你是否发现同样的结论？ 与同伴交流．
结论：三角形三个角的平分线相 交于一点.
第一章 三角形的证明
1.4 角平分线
第2课时 三角形三条内角的平分线
情境引入
在一个三角形居住区内修有一个学校 P，P 到 AB、 BC、CA 三边的距离都相等，请在三角形居住区内标
出学校 P 的位置，P 在何处？ A
B
C
三角形的内角平分线 活动1 分别画出下列三角形三个内角的平分线， 你发现了什么？
2
∠OBC＋∠OCB＝70°， ∠BOC＝180° － 70°＝1ห้องสมุดไป่ตู้0°.
1. 如图，已知 △ABC，求作一点 P，使 P 到∠A 的两边
的距离相等，且 PA＝PB．下列确定 P 点的方法正确的
是( B )
A. P 为∠A，∠B 两角平分线的交点
C
B. P 为∠A 的平分线与 AB 的垂直平分线的交点
应用：位置的选择问题
的角平分线，DE⊥AB 于 E，F 在 AC 上，BD = DF.
求证：CF = EB.
A
证明：∵ AD 平分∠CAB，
DE⊥AB，∠C = 90° (已知)，
∴CD＝DE (角平分线的性质).
在 Rt△CDF 和 Rt△EDB 中，
CD = ED (已证)，
DF = DB (已知)，
F
E
∴ Rt△CDF≌Rt△EDB (HL).
解：连接 OC.
SABC SAOC SBOC SAOB
B
1 AB OE 1 BC ON 1 AB OM
2
2
2
1 OM ( AB BC OM )
OP
2
1 4 32 2
A
DM C
64.
例3 如图，在△ABC 中，点 O 是△ABC 内一
点，且点 O 到△ABC 三边的距离相等．若∠A
A
E
CD
B
例2 如图，在直角△ABC 中，AC = BC，∠C = 90°，
AP 平分∠BAC，BD 平分∠ABC；AP，BD 交于点 O，
过点 O 作 OM⊥AC，若 OM＝4，
(1) 求点 O 到△ABC 三边的距离和.
B
12
OP
A
DM C
温馨提示：不存在垂线段———构造应用
(2) 若 △ABC 的周长为 32，求 △ABC 的面积.
∴ PD = PE = PF.
B
即点 P 到三边 AB，BC，CA 的距离相等.
E
C
想一想：点 P 在∠A 的平分线上吗？这说明三角形的
三条角平分线有什么关系？
A
点 P 在∠A 的平分线上.
D
N
P
F M
B
E
C
结论：三角形的三条角平分线交于一点，并且这点
到三边的距离相等.
例1 如图，在△ABC 中，已知 AC = BC，∠C = 90°，
B
在等腰 Rt△BDE 中，BD 2DE2 4 2 cm.
AC BC CD BD (4 4 2) cm.
(2) 求证：AB＝AC＋CD. 证明：由 (1) 的求解过程易知， Rt△ACD≌Rt△AED (HL). ∴ AC＝AE. ∵ BE＝DE＝CD， ∴ AB＝AE＋BE＝AC＋CD.
C. P 为 AC，AB 两边上的高的交点
P
D. P 为 AC，AB 两边的垂直平分线的交点
【解析】∵ 点 P 到∠A 的两边的距离相等，A
B
∴ P 在∠A 的平分线上.
∵ PA＝PB，∴ 点 P 在 AB 的垂直平分线上.
∴ P 为∠A 的平分线与 AB 的垂直平分线的交点.
2. 如图，在△ABC 中，∠C = 90°，DE⊥AB，∠CBE =∠ABE，且 AC = 6 cm，那么 AE + DE = 6 cm .
怎样证明这个结论呢?
点拨：要证明三角形的三条角平分 线相交于一点，只要证明其中两条 角平分线的交点一定在第三条角平 分线上即可.思路可表示如下： B AP 是∠BAC 的平分线 PI = PH
BP 是∠ABC 的平分线 PG = PI
试试看，你能写出证明过程吗？
A
I
F
H E
P
DG
C
PH = PG
点 P 在∠BCA 的平分线上
证明结论
已知：如图，△ABC 的角平分线 BM，CN 相交于点 P.
求证：点 P 到三边 AB，BC，CA 的距离相等.
证明：过点 P 分别作边 AB，BC，CA 的
A
垂线段 PD，PE，PF.
D
∵ BM 是△ABC 的角平分线，
N
F
点 P 在 BM 上，
PM
∴ PD = PE. 同理 PE = PF.
C E
A
D
B
3. 如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建
一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相
等，凉亭的位置应选在 ( C )
A
A. △ABC 的三条中线的交点
B. △ABC 三边的垂直平分线的交点
C. △ABC 三条角平分线的交点
B
D. △ABC 三条高所在直线的交点
C
4. 已知：如图，△ABC 中，∠C = 90°，AD 是△ABC