七年级数学 核心母题二

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核心母题二对称模型的最值问题

【母题示例】

如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E是AB的中点，点P是对角线AC上一个动点，连接PE，PB，求PE＋PB的最小值.

【命题形式】以特殊三角形、特殊平行四边形或坐标系为背景，利用对称性求与两线段和或差的最值相关的问题.

【母题剖析】

要求PE＋PB的最小值，只需将点B和点E转化为直线AC两侧的点，由正方形的对称性可得解.

【母题详解】

【母题解读】（1）对称模型的最值问题的背景来源主要有：角、等腰（边）三角形、菱形、正方形以及圆等.从内容上看，还会引申到“两线段差最大”问题、三角形（四边形）的周长最小问题、面积最大等.除此之外，解决最值问题常常借助极端点.

（2）一般地，解决线段和差最值问题的目标是“化曲为直”，手段通常是遇“和”转化为异侧，遇“差”转化为“同侧”，依据是轴对称和全等三角形，常用方法是利用轴对称图形中的“已知”的对称点.涉及的知识点有“两点之间线段最短”“垂线段最短”“三角形三边关系”“轴对称”“平移”等.

模型一同侧和的最小值模型

【模型解读】两定点（A、B）在一条直线（l）的同侧，求直线（l）上一动点（P）到两定点距离和（PA＋PB）的最小值.常作其中一定点（如A）关于直线（l）的对称点（如A′），再连接另一定点和该点（如连接A′B交l于P），其与直线（l）的交点即为点P.

【基本图形】

基本

图形

A、A′关于直线l对称，PA＋PB＝PA′＋PB≥A′B，当点

说明

P在线段A′B上时取最小值

基本

图形

说明

过A作AA′∥MN且AA′＝MN，再作A′关于l的对称点

A″，连接A″B，则AM＋MN＋NB＝A″N＋BN＋MN≥A″B

＋MN，当且仅当点N在A″B上时取等号

【模型突破】

1.如图，已知直线a∥b，且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为2，点B到直线b的距离为3，AB＝230.试在直线a上找一点M，在直线b上找一点N，满足MN⊥a且AM＋MN＋NB的长度和最短，则此时AM＋NB＝（）

A.6

B.8

C.10

D.12

2.如图，在边长为2的等边△ABC中，D为BC的中点，E是AC边上一点，则BE ＋DE的最小值为________Ｗ.

3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，E为AB边的中点，以BE 为边作等边△BDE，连接AD，CD.

（1）求证：△ADE≌△CDB；

（2）若BC＝3，在AC边上找一点H，使得BH＋EH最小，并求出这个最小值.

模型二 异侧差的最大值模型

【模型解读】两定点（A 、B ）在一条直线（l ）的两侧，求直线（l ）上一动点（P ）到两定点距离差（|PA －PB|）的最大值.常作其中一定点（如A ）关于直线（l ）的对称点（如A′），再画另一定点与该点的直线（如直线A′B），其与直线（l ）的交点即为点P. 【基本图形】

基本 图形

说明

A 、A′关于直线l 对称，|PA －PB|＝PA′－

PB≤A′B，当点P 在直线A′B 上时取最大值

【模型突破】

1.如图，等腰Rt△ABC 中，AC ＝BC ＝4，∠ACB＝90°，点D 是AB 上一点，且∠BCD ＝15°，动点P 在射线CD 上，则|PA －PB|的最大值为________Ｗ.

2.如图，抛物线y ＝－1

2x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A ，B （4，0）两点，与y 轴交于

点C （0，2）.

（1）求抛物线的函数解析式；

（2）点P 是抛物线对称轴上一点，连接PB ，PC ，若|PB －PC|取得最大值，求点P 的坐标.

模型三角内一定点模型

【模型解读】已知一个角和角内一个定点，在角的两边上各取一点，使得这三点构成的三角形周长最小.只需过定点分别作其关于角的两边的对称点，两对称点之间的线段即为所求.

【基本图形】

基本

图形

说明点P′与点P关于OA对称，点P″与点P关于OB对称，连接P′P″与OA，OB分别交于点M，N，此时△PMN 的周长最小，最小值为P′P″

【模型突破】

1.如图，∠AOB＝60°，点P是∠AOB内的定点且OP＝3，若点M、N分别是射线OA、OB上异于点O的动点，则△PMN的周长的最小值是（）

A.362

B.332

C.6

D.3

2.如图，已知二次函数y ＝－x 2＋2x ＋3与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C.OC 上点P 的坐标为（0，1），动点S ，K 分别为线段BC 和线段AB 上的动点，连接PS ，PK ，SK ，求△PSK 的周长的最小值.

参考答案

【核心母题剖析】 解：如解图，连接BD ，PD.

∵四边形ABCD 是正方形，AC 是对角线， ∴AC 垂直平分BD ， ∵点P 在AC 上，∴PB ＝PD ，

∴PB＋PE＝PD＋PE，

∴当点P为ED与AC的交点时，PE＋PB最小，最小值为DE.

∵四边形ABCD是正方形，且AD＝2，点E是AB的中点，

∴AE＝1，∠EAD＝90°，

∴由勾股定理得DE＝AE2＋AD2＝5，

即PE＋PB的最小值为 5.

【核心归纳突破】

模型一、同侧和的最小值模型

1．B 2.7

3．(1)证明：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，

∠BAC＝30°，E为AB边的中点，

∴BC＝EA，∠ABC＝60°.

∵△DEB是等边三角形，

∴DB＝DE，∠DEB＝∠DBE＝60°.

∴∠DEA＝∠DBC＝120°，

∴△ADE≌△CDB.

(2)解：如解图，作点B关于AC的对称点B′，连接EB′交AC于点H，连接BH，则点H即为满足题意的点．

连接CE，则△CBE是等边三角形，

∴CE＝CB＝CB′，∴∠BEB′＝90°，