2019届四川省棠湖中学高三4月月考数学(文)试题(解析版)

，则
__________．
为奇函数，
15．若椭圆 __________．
上一点到两个焦点的距离之和为 ，则此椭圆的离心率为
【答案】 【解析】当
时，由椭圆定义知
，解得 ，不符合题意，当 时，
由椭圆定义知
，解得 ，所以
，故填 .
点睛：本题由于不知道椭圆的焦点位置，因此必须进行分类讨论，分析椭圆中
值，从而确定 c,计算椭圆的离心率.
13．已知向量
，
，若 ，则 ______．
【答案】-2
【解析】利用平面向量共线定理即可得出．
【详解】
解：∵ ∥ ，∴﹣2x﹣4＝0，解得 x＝﹣2． 故答案为：﹣2． 【点睛】 本题考查了向量共线定理、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
14．设 【答案】 【解析】∵ ∴ 故答案为：
，若
答案．
【详解】
解：由 y＝2x2，得
，
∴2p ，则 ，
由抛物线上所有点中，顶点到焦点距离最小可得，|PF|的最小值为 ． 故选：D． 【点睛】 本题考查抛物线的标准方程，考查抛物线定义的简单应用，是基础题．
11．双曲线
的离心率是 ，过右焦点 作渐近线 的垂线，
垂足为 ，若
的面积是 1，则双曲线 的实轴长是
12．已知函数
满足
，若函数
与
图像
的交点为 A． 【答案】A
则
B．2
C．3m
【解析】根据两函数的对称中心均为（0，1）可知出
＝m，从而得出结论．
【详解】
解：函数 f（x）（x∈R）满足 f（﹣x）＝2﹣f（x）， 即为 f（x）+f（﹣x）＝2，
可得 f（x）关于点（0，1）对称，
函数
图象关于点（0，1）对称，
7．在封闭的直三棱柱 ABC-A1B1C1 内有一个体积为 V 的球，若 AB BC，AB=6，BC=8， AA1=4，则 V 的最大值是
A．4π
B．
【答案】D
C．6π
D．
【解析】根据已知可得直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的内切球半径为 ，代入球的体积公式， 可得答案．
【详解】
解：∵AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，
D．1
【解析】根据△ABC 的面积为 【详解】
bcsinA，可得 c 的值，根据余弦定理即可求解 BC．
解：由题意：△ABC 的面积为 ∴c＝2 ． 由余弦定理：a2＝b2+c2﹣2bccosA
bcsinA，
即 a2＝4+12﹣8
4，
∴a＝2．
即 CB＝a＝2．
故选：A．
【点睛】
本题考查解三角形问题，涉及到三角形面积公式，余弦定理，考查转化能力与计算能力， 属于基础题.
理证明 EG∥平面 ABB1A1，从而平面 EFG∥平面
然后证明直线 EF∥平面
ABB1A1；
（2）证明 BE⊥AC．推出 BE⊥平面 ACC1A1．求出四棱锥 B﹣APQC 的体积，棱柱 ABC
﹣A1B1C1 的体积，即可得到面 BPQ 分棱柱所成两部分的体积比． 【详解】
（1）取 的中点 G，连接 EG，FG，
的取
16．已知函数 图像的对称轴,且 在
为 的零点, 为 单调,则 的最大值为__________．
【答案】9
【解析】试题分析：由题可知，
,即
，
解得 此时
,又因为 在区间
单调，所以
,即
，接下来，采用排除法，若
，此时
，
在区间
上单调递增，在
上单调递
减，不满足在区间
单调，若
，此时
，满
足 在区间
单调递减，所以 的最大值为 9.
2019 届四川省棠湖中学高三 4 月月考数学（文）试题
一、单选题
1．已知集合
，
，则
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题意得：
，
∴
故选：C
2．若
，则
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】∵
∴ 故选：D
3．函数
的图像大致为
A．
B．C
C．
D．
【答案】B 【解析】分析：判断 f（x）的奇偶性，再根据 f（x）的符号得出结论．
∵方程
1 表示双曲线，
∴（m2+n）（3m2﹣n）＞0，可得：（n+1）（3﹣n）＞0，
解得：﹣1＜n＜3，即 n 的取值范围是：（﹣1，3）．
当焦点在 y 轴上时， 可得：﹣4＝（m2+n）+（3m2﹣n），解得：m2＝﹣1， 无解． 故选：A． 【点睛】 本题主要考查了双曲线标准方程的应用，考查了不等式的解法，考查了分类讨论思想， 属于基础题． 6．如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该
A．
B．
【答案】D
C．1
【解析】分析：利用点到直线的距离计算出
，从而得到
为 1 得到
，最后结合离心率求得 .
D．2 ，再根据面积
详解：因为
，
，所以
，故
即
，
由 ，所以
即
，故
，双曲线的实轴长为 .故选 D.
点睛：在双曲线中有一个基本事实：“焦点到渐近线的距离为虚半轴长”，利用这个结
论可以解决焦点到渐进线的距离问题.
，
所以椭圆
的焦点
，
所以
，
又因为椭圆一个顶点 ，
所以
，故：
，
所以椭圆的方程为
；
（2）因为抛物线
的焦点坐标为 ，
所以直线 的方程为：
，
又由（1）得椭圆方程为：
，
联立
得
设
，
由以上方程组可得
， ，
所以
21．已知函数
.
（Ⅰ）讨论 的单调性；
（Ⅱ）当 时，
，求 的取值范围.
【答案】（1）见解析;（2）
值范围是
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由已知可得 c＝2，利用 4＝（m2+n）+（3m2﹣n），解得 m2＝1，又（m2+n）（3m2
﹣n）＞0，从而可求 n 的取值范围．
【详解】
解：∵双曲线两焦点间的距离为 4，∴c＝2， 当焦点在 x 轴上时， 可得：4＝（m2+n）+（3m2﹣n），解得：m2＝1，
，∴ 时，
，得 ，∴
，得
， 时也满足.综上
（2）由（1）得 ∴
， 点睛：裂项抵消法是一种常见的求和方法，其适用题型主要有：
（1）已知数列的通项公式为
，求前 项和：
；
（2）已知数列的通项公式为
，求前 项和：
；
（3）已知数列的通项公式为
，求前 项和:.
18．为了解人们对于国家新颁布的“生育二胎放开”政策的热度，现在某市进行调查，随 机调查了 人，他们年龄的频数分布及支持“生育二胎”人数如下表：
17．设数列 的前 项和是 ，且 是等差数列，已知
，
.
（Ⅰ）求 的通项公式；
（Ⅱ）若
，求数列 的前 项和 .
【答案】(1)
(2)
【解析】试题分析：(1)利用等差数列基本公式求出公差得到 的通项公式；
（2） 试题解析：
，利用裂项相消法求出数列 的前 项和 .
（1）记
，∴
，又 为等差数列，公差记为 ，
详解：f（x）定义域为 R，且 f（﹣x）=
=﹣f（x），
∴f（x）是奇函数，图象关于原点对称，排除 A；
又当 x＞0 时， ＞1＞10﹣x，∴f（x）＞0，排除 D，
当x
时，f（x）
，排除 C，
故选：B．
点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；
从函数的值域，判断图象的上下位置；（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）
，
。记“恰好这两人都支持“生
育二胎””为事件 A，则事件 A 所有可能的结果有：
，
所以
。所以对年龄在
的的被调查人中随机选取两人进行调查，恰好
这两人都支持“生育二胎放开”的概率是 . 【点睛】 本题考查独立性检验、古典概型的概率，考查应用数学知识解决实际问题的能力.
19．如图，在三棱柱
中，侧面
底面 ，四边形
即有（ ， ）为交点，即有（﹣ ，2﹣ ）也为交点，
（ ， ）为交点，即有（﹣ ，2﹣ ）也为交点， …
D． ＝0，
则有
= ＝m．
（ + ）+（ + ）+…+（ + ） ，
故选：A． 【点睛】 本题考查抽象函数的运用：求和方法，考查函数的对称性的运用，以及化简整理的运算 能力，属于中档题．
二、填空题
合计
支持
不支持 合计
（2）若对年龄在 的被调查人中随机选取两人进行调查，恰好这两人都支持“生 育二胎放开”的概率是多少？
参考数据：
.
【答案】（1）没有 99%的把握认为以 45 岁为分界点对“生育二胎放开”政策的支持度
有差异；（2） . 【解析】（1）建立 2 乘 2 列联表，利用公式求解 ，根据计算结果得出结论； (2)列举出基本事件后利用古典概型的概率公式求解. 【详解】 解： （1）2 乘 2 列联表
年龄
[5,15) [15,25)
[25,35)
[35,45)
[45,55)
[55,65)
频数
5
10
15
10
5
5
支持“生
4
5
12
8
2
1
育二胎”
（1）由以上统计数据填下面 2 乘 2 列联表，并问是否有 分界点对“生育二胎放开”政策的支持度有差异：
的把握认为以 岁为
年龄不低于 45 岁 的人数
年龄低于 45 岁 的人数
9．设 ，若 满足约束条件
A．
B．
【答案】C
【解析】作出可行域如下图：
，则 C．
的最大值的取值范围为 D．
目标函数为
，当目标函数过点
时，
，
因为 ，所以
，故选 C.
10．若点 P 为抛物线 C：
上的动点，F 为 C 的焦点，则 的最小值为
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由抛物线方程求得焦点坐标，再由抛物线上所有点中，顶点到焦点距离最小得
是边长
为 2 的菱形，
，
，
，E，F 分别为 AC， 的中点．
（1）求证：直线 EF∥平面
；
（2）设 分别在侧棱 ， 上，且
，求平面 BPQ 分棱柱所成两部分的
体积比．
【答案】（1）见解析（2） （或者 ）
【解析】（1）取 A1C1 的中点 G，连接 EG，FG，证明 FG∥A1B1．推出 FG∥平面 ABB1A1．同
∴AC＝10．
故三角形 ABC 的内切圆半径 r
2，
又由 AA1=4，
故直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的内切球半径为 ，
此时 V 的最大值
，
故选：D．
【点睛】
本题考查的知识点是棱柱的几何特征，棱柱的内切球问题，根据已知求出球的半径，是
解答的关键．
8．在 中，
，
，且 的面积为 ，则
A．2
B．
C．
【答案】A
年龄不低于 45 岁的人数
年龄低于 45 岁的人数
合计
支持
32
不支持
18
合计
10
40
50
＜
所以没有 99%的把握认为以 45 岁为分界点对“生育二胎放开”政策的支持度有差异
（2）年龄在 中支持“生育二胎”的 4 人分别为
，不支持“生育二胎”的人
记为 ，则从年龄在
的被调查人中随机选取两人所有可能的结果有：
所以
．
因为侧面
底面 ，
所以 平面
．
即 BE 是四棱锥
的高，可得
．
所以四棱锥
的体积为
．
棱柱
的体积
．
所以平面 BPQ 分棱柱所成两部分的体积比为 （或者 ）．
【点睛】
本题考查直线与平面平行的判定定理以及了的应用，几何体的体积的求法，考查空间想
象能力以及计算能力．
20．已知椭圆
与双曲线
（Ⅰ）求椭圆的方程；
【考点】三角函数的性质 【思路点睛】本题考查了三角函数的性质，属于中档题型，本题的难点是如何将这两个 条件结合在一起， 是与周期有关的量，对称轴与零点间的距离也与周期有关，这样根
据图像得到
,即
，第二个条件
是单调区间的子集，所以其长度小于等于半个周期，这样就得到了 的一个 范围与形式，最后求最大值，只能通过从最大的逐个代起，找到 的最大值. 三、解答题
从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象.
4．已知向量 ， 满足
，
，则
A．4 B．3 【答案】B
C．2
D．0
【解析】分析：根据向量模的性质以及向量乘法得结果.
详解：因为 所以选 B.
点睛：向量加减乘：
5．已知方程
表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为 4,则 n 的取
由于 E，F 分别为 AC， 的中点，
所以 FG∥ ．又
平面
， 平面
，
所以 FG∥平面
．
又 AE∥ 且 AE＝ ，
所以四边形wenku.baidu.com
是平行四边形．
则 ∥ ．又
平面
， 平面
，
所以 EG∥平面
．
所以平面 EFG∥平面
．又 平面 ，
所以直线 EF∥平面
．
（2）四边形 APQC 是梯形，
其面积
．
由于
，E 分别为 AC 的中点.
几何体的体积是 ，则它的表面积是
A．17π B．18π C．20π D．28π 【答案】A 【解析】试题分析：由三视图知，该几何体的直观图如图所示：
是一个球被切掉左上角的 ,即该几何体是 个球，设球的半径为 ，则
，
解得 ，所以它的表面积是 的球面面积和三个扇形面积之和,即
，故选 A． 【考点】三视图及球的表面积与体积 【名师点睛】由于三视图能有效地考查学生的空间想象能力,所以以三视图为载体的立 体几何题基本上是高考每年必考内容,高考试题中三视图一般与几何体的表面积与体积 相结合.由三视图还原出原几何体是解决此类问题的关键.
具有相同焦点 ，椭圆的一个顶点
.
（Ⅱ）设过抛物线
的焦点且斜率为 1 的直线交椭圆于 两点，求线段 的长.
【答案】(1)
;(2)
.
【解析】试题分析：（1）由题意布列方程组，即可求得椭圆的方程；（2）联立方程得到
，求出 两点的坐标，利用两点间的距离公式即可求得线段 的长.
试题解析：
（1）因为双曲线
的焦点