16.2二次根式的乘除 课件 2023-2024学年八年级下学期数学人教版

前提条件
文字表述：二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变 .
新知探究
根式相乘
系数的乘积作为结果
的系数，根式的乘积
按照乘法法则计算.
∙ = ( ≥ 0, ≥ 0)
系数相乘
∙ ∙ = ( ≥ 0, ≥ 0, ≥ 0)
新知探究
例1 计算：
（1） 3 5
2
1
所以当 x> 时，上述式子在实数范围内有意义.
2
本题源自《教材帮》
学习目标
1.掌握二次根式的乘法法则和积的算术平方根.
2.熟练进行二次根式的乘法计算和二次根式的
化简.
课堂导入
探究：计算下列各式.
（1） 4 9 =
2×3=6
（2） 16 25 = 4×5=2
0
（3） 25 36 = 5×6=3
数不变.
∙ = （a≥0，b≥0）
拓展： ∙ = ≥ 0, ≥ 0
∙ ∙ = ( ≥ 0, ≥ 0, ≥ 0)
知识回顾
二次根式的乘法法则的逆用：积的算术平方根等于积中各个因
数或因式的算术平方根的积.
= ∙ （a≥0，b≥0）.
B. (9) (25) 9 25 (3) (5) 15
2
2
2
C. 3
(3) 6
3
3
D. 132 122 (13 12)(13 12) 5
本题源自《教材帮》
拓展提升
解析：
A. 3 2 4 2 3 4 2 2 12 2 24
有意义？
解：根据题意，同时满足 x≥0
x-2≥0
解得：x≥2.
当 x≥2 时， ( − 2) = ∙ − 2有意义.
拓展提升
3.化简与计算：
3
4
（1） 3 2 24
8
3
解：（1）原式=−3
=−3
（2）
3
×
8
3
8
×
10
3
10
×
3
a b ca b
4 2
× 24
24 = −3 30
人教版数学八年级下册
16.2二次根式的乘除
（第一课时）
知识回顾
二次根式的性质1：二次根式的双重非负性
表示：
a （a≥0），二次根式的被开方数非负
a ≥0，二次根式的值非负
二次根式的性质2：( a ) 2 a（a≥0）.
文字叙述：任何一个非负数的算术平方根的平方都等于这
个数.
知识回顾
性质3：
2 = =
（2） 6 × − 15 = − 6 × 15= − 3 × 2 × 3 × 5
= − 32 × 2 × 5 = −3 10
跟踪训练
2.化简 ： 16 2 3
解： 16 2 3 = 16 ∙ ∙ 2 ∙ 3
=4 ∙ ∙ ∙ c
=4bc
课堂小结
⋅ = （a≥0，b≥0）
9
49
=
9
（2） 0.25×0.36
0.49
=
0.25 0.36
0.49
72 7
=
2
3
3
(0.5)2 ×(0.6)2 0.5×0.6 3
=
=
2
(0.7)
0.7
7
本题源自《教材帮》
课堂小结
a a
（a≥0，b>0）
b b
二
次
根
式
的
除
法
法则
a b c d (a c) b d
（b≥0，d>0，c≠0）
2 4
拓展提升
3.化简与计算：
3
4
（1） 3
2 24
8
3
（2）
a b ca b
解：（2）原式= 2 2 (2 + 2 )
= 2 + 2
4 2
2 4
人教版数学八年级下册
16.2二次根式的乘除
（第二课时）
知识回顾
二次根式的乘法法则：二次根式相乘，把被开方数相乘，根指
1
1
（2） 2 3 28 (12 1 )
3
2
解：（2）
= 1×
1
×
3
1
2 ÷
3
(−12)
3 28 × −12
7
3
1
×
28
3
2
1
1
2
× =-4
1
8
=− 2
（1）带分数要化成假分数；（2）注意确定结果的符号.
本题源自《教材帮》
拓展提升
3.化简与计算：
3
（1）
2
20 ×
1
(−
3
解：（1）原式=
48) ÷
3
×
2
1
−
3
2
2
3
（2）
3
2
× 1 × 20 × 48 ×
∙(

2
÷2
1
)
3
3
8
1
=−
360 = −3 10
2
本题源自《教材帮》
拓展提升
3.化简与计算：
3
（1）
2
20 ×
1
(−
3
解：（2）原式=
2
2
3
48) ÷
3
2
∙

2
∙
1
2
（2）
3
2
∙(

2
÷2
1
)
3
3
1
1

3 1 3
18
3 1
÷
=
2 18
3
× 18 = 3 × 9 = 3 3
2
跟踪训练
1
（2） 2 9
4
24
计算：（1）
6
解：（1） 24 =
6
24
6
= 4=2
（2） 2 1 ÷ 9 =
4
9
÷9=
4
9 1
× =
4 9
1 1
=
4 2
本题源自《教材帮》
新知探究
知识点2：二次根式除法法则的逆用
a
a
公式：
（a≥0，b>0）.
解：（1）
（2）
（2）
1
27
3
跟踪训练
计算： 3 ∙ 5
解：3 ∙ 5
=15 ∙
2

2

2

.
= 3 × 5
∙
= 15 3 = 15
2

新知探究
知识点2：二次根式乘法法则的逆用
公式： = ⋅ （a≥0，b≥0）.
文字表述：积的算术平方根等于积中各个因数或因式的算
系数的商作为结果的
系数，根式的除法按
照除法法则计算.
a b c d (a c) b d (b 0, d 0, c 0)
系数相除
a b c a b c (a 0, b 0, c 0)
新知探究
（1）二次根式除法法则中的a、b，既可以是一
个数，也可以是其他代数式.
术平方根的积 .
此公式成立的条件是a≥0，b≥0.实际上，公式中a，b的
取值范围是限制公式右边的，对于公式左边，只要ab≥0
即可.
新知探究
逆用二次根式乘法法则化简的步骤：
1.将被开方数进行因数分解或因式分解，例如： 18 32 2；
2.利用 = ⋅ （a≥0，b≥0）和
a 2 a（a≥0），将能开
-a（a<0）
a（a≥0）
文字表述：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值.
代数式：用基本运算符号（基本运算包括加、减、乘、除、
乘方和开方）把数或表示数的字母连接起来的式子叫做代
数式.
知识回顾
当 a、x 取怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
（1） a 5 1 a
x
（2）
2x 1
逆用二次根式乘法法则化简的步骤：
1.将被开方数进行因数分解或因式分解；
2.利用 = ∙ （a≥0，b≥0）和 a a（a≥0），将能开得
2
尽方的因数或因式开到根号外.
知识回顾
计算：
3
（1）2 12
4
解：（1）2 12 ×
（2） 24a 4b3c
3
4
=
1
(2× )(
4
1
2
12 × 3) = ×6 = 3
B. (9) (25) 9 25 9 25 3 5 15
2
2
2
C. 3
3 6
3
3
D. 132 122 (13 12)(13 12) 5
本题源自《教材帮》
拓展提升
2.当 x 在实数范围内满足什么条件时， x( x 2) x •⋅ x 2
=
∙1∙
∙ 3 ∙
∙ 3 =
=
2
2
2
2
4 2 8
本题源自《教材帮》
人教版数学八年级下册
16.2二次根式的乘除
（第三课时）
知识回顾
a
a
二次根式的除法法则：
（a≥0，b>0）
b
b
文字表述：二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变 .
拓展： a b c d ( a c) b d (b 0, d 0, c 0)
a b c a b c
（a≥0，b>0，c>0）
法则
逆用
a a
（a≥0，b>0）
b b
拓展提升
1.使得等式
a7
a7

有意义的 a 的取值范围是什么？
a 3
a 3
解：根据二次根式的除法法则可得 a-7≥0
a-3>0
解得：a≥7.
答：使得等式有意义的 a 的取值范围是 a≥7.
解：（1）由题意可得： a+5≥0，得 -5≤a≤1.
1-a≥0
所以当 -5≤a≤1 时，上述式子在实数范围内有意义.
本题源自《教材帮》
知识回顾
当 x 取怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
（1） a 5 1 a
x
（2）
2x 1
1
解：（2）由题意可得： 2x-1>0，得 x> .
得尽方的因数或因式开到根号外，例如： 18 32 2 3 2.
拓展
= ⋅ ⋅ （a≥0，b≥0，c≥0）.
新知探究
例2 化简：
（1） 16 81
在本章中，如果没有特别说
明，所有的字母都表示正数.
（2）
2 3
4a b
解：（1）
（2） 42 3 = 4 ∙ 2 ∙ 3 = 2
a b c a b c (a 0, b 0, c 0)
知识回顾
a
a
二次根式的除法法则的逆用：
（a≥0，b>0）.
b
b
文字表述：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以
除式的算术平方根 .
此公式成立的条件是a≥0，b>0.实际上，公式中a，b的
（2）被开放数若是带分数，应先化为假分数，再应用公
式化简.
（3）在二次根式的计算中，最后的结果中被开放数应不
含有能开得尽方的因数或因式，且被开方数不含字母，
同时分母中不含二次根式.
新知探究
例4 计算：
（1） 24
3
3
1

（2）
2
18
解：（1） 24 =
24
3
3
= 8=2 2
（2） 3 ÷ 1 =
2
利用商的算术平方根的性质可以对被开方数中含有分
3
母的二次根式进行化简，化成被开方数不含分母的二
次根式.
新知探究
例5 化简：
（1）
3
100
（2） 75
27
3
3
3
解：（1）
=
=
100
100 10
（2） 75
27
=
52 ×3
52
32 ×3
32
=
=
5
3
跟踪训练
4
化简： （1） 5
9
（2）
4
解：（1） 5 =
二
次
根
式
的
乘
法
法则
∙ ∙ = （a≥0，b≥0，c≥0）
∙ = （b≥0，d≥0）
法则
逆用
= ⋅ （a≥0，b≥0）
= ∙ ∙ （a≥0，b≥0，c≥0）
拓展提升
1.下列计算正确的是（ D ）.
A. 3 2 4 2 12 2
= ⋅ ⋅
（a≥0，b≥0，c≥0）
开得尽方的因式可以
开方后移到根号外
跟踪训练
1.计算 ：（1） 24
27
（2）
6 ( 15 )
解：（1） 24 × 27 = 24 × 27= 4 × 3 × 2 × 3 × 9
= 22 × 32 × 32 × 2 = 2 × 3 × 3 × 2 = 18 2
拓展提升
2.计算：（1） 12 27 18
1
1
（2） 2 3 28 (12 1 )
3
2
解：（1） 12 ÷ 27 × 18 =
12 ×
1
×
27
18 = 8 = 2 2
按照从左到右的顺序，先把除法转化成乘法，再根据二
次根式的乘法法则进行计算.
本题源自《教材帮》
拓展提升
2.计算：（1） 12 27 18
b
b
文字表述：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以
除式的算术平方根 .
此公式成立的条件是a≥0，b>0.实际上，公式中a，b的
取值范围是限制公式右边的，对于公式左边，只要ab≥0
即可.
新知探究
1
二次根式除法法则的逆用也称为商的算术平方根的性质.
2
公式中的a、b既可以是一个数，也可以是其他代数式.
（2） 244 3 = 44 2 ∙ 6 = 44 2 ∙ 6
=22 b 6
学习目标
1.掌握二次根式的除法法则和商的算术平方根.
2.熟练进行二次根式的除法计算.
课堂导入
探究：计算下列各式.
2
4
（1）
=
3
9
4
（2） 16 =
5
25
5
25
6
（3）
=
36
4
，
=
9
， 16 =
0
， 4 9 =
；
， 16 25 =
；
， 25 36 =
；
观察结果，你发现了什么规律？
新知探究
知识点1：二次根式的乘法法则
9
发现： 4 9 4 ；
16 25 16 ；
25Βιβλιοθήκη Baidu
.
25 36 25 36
法则： ⋅ = （a≥0，b≥0）.
a≥0，b≥0
25
25
，
=
36
2
3
；
4
5
；
5
6
.
观察结果，你发现了什么规律？
新知探究
知识点1：二次根式的除法法则
发现： 4
9
法则：
4 ； 16
16 ； 25
25 .


9
25
36
25
36
a
a （a≥0，b>0）.
a≥0，b>0

b
b
前提条件
文字表述：二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变 .
新知探究
根式相除