2020高考(理科)二轮复习：第20讲 数学文化与核心素养(可编辑PPT)
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成,以下各层的长、宽依次增加一个物体,最下层(即下底)由c×d
个物体组成,沈括给出求隙积中物体总数的公式为s= n [(2a+c)b+
6
(2c+a)d]+ n (c-a),其中a是上底长,b是上底宽,c是下底长,d是下底
6
宽,n为层数.已知由若干个相同小球粘黏组成的隙积的三视图如 图所示,则该隙积中所有小球的个数为 ( )
2
正方形内随机取一点,此点取自黑色部分的概率P= 2 = ,故选B. 22 8
(2)由题意知半焦距c= 3,又PF1⊥PF2,故点P在圆x2+y2=3上,设P(x,
y),联立得
x2 x2 4
y2 y2
3, 1,
得P
2
6 3
,
3
26
3 .故点P的横坐标为 3 .
右、前后完全对称.从外表上看,六根等长的正四棱柱体分成三
组,经90°榫卯起来,如图,若正四棱柱体的高为6,底面正方形的边
长为1,现将该鲁班锁放进一个球形容器内,则该球形容器的表面
积的最小值为
.(容器壁的厚度忽略不计)
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答案 41π 解析 表面积最小的球形容器可以看成长、宽、高高考导分航别为1、 2、6的长方体的外接球.设其半径为R,则(2R)2=62+22+12,解得R2=
的△ABC满足sin
A∶sin B∶sin C=( 2 -1)∶ 5 ∶( 2 +1),用上面给出的公式求得
△ABC的面积为 ( )
A. 3 2
C. 5 2
B. 3 4
D. 5 4
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答案 (1)B (2)B
解析 (1)由题意可知,由上到下灯的盏数a1,a2,a3,…高考,a导7构航 成以2为
A.2 023×2 017 C.1 008×2 023
B.2 023×2 016 D.2 017×1 008
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(2)(2017浙江,11,4分)我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可
以估算圆周率π,理论上能把π的值计算到任意精度.祖冲之继承并 高考导航
发展了“割圆术”,将π的值精确到小数点后七位,其结果领先世
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命题角度一 渗透古代名家(学派)研究数高学考导的航 考查 例1 (1)两千多年前,古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙 滩上研究数学问题.他们在沙滩上画点或用小石子表示数,按照点 或小石子能排列的形状对数进行分类.图中实心点的个数5,9,14,2 0,…为梯形数.根据图形的构成,记此数列的第2 017项为a2 017,则a2 0 17-5= ( )
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命题角度二 渗透古代数学名著的考查 例2 (1)(2017课标全国Ⅱ,3,5分)我国古代数学名著《算法统 宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍高考加导航增,共灯三 百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯, 且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共 有灯 ( ) A.1盏 B.3盏 C.5盏 D.9盏 (2)(2018益阳、湘潭调研试卷)《数书九章》中给出了“已知三 角形三边长求三角形面积的方法”,填补了我国传统数学的一个 空白,与著名的海伦公式完全等价,由此可以看出我国古代人具有
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以OG=OAsin 60°= 23 ,所以正六边形的面积为6S△OAB=6× 12×AB· OG= 3 3 .
2
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方法归纳 本例(1)以古希腊毕达哥拉斯学派的研究故事为背景,(2)以我国
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古代数学家刘徽创立的“割圆术”为命题背景,分别考查了数列 问题和圆内接正六边形面积问题.其中毕达哥拉斯学派的“形 数”问题,备受命题者的青睐,已成为高考命题的热点.
2
= 1 (n+1)(n+4),
2
由此可得a2
= 017
1 2
×2
018×2
021=1
009×2
021.
a2 017-5=(1 008+1)(2 023-2)-5=1 008×2 023.
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(2)如图,因为是单位圆,所以OA=1,因为六边形ABCDEF是正六边 形,所以△OAB是正三角形,所以AB=1,过点O作OG⊥AB于点G,所
( )
A.55 B.52 C.39 D.26
答案 B 由题设知,该女子每天织布的尺数构成一个等差数列
{an},其首项a1=5,S30=390,则S30=30a1+ 30 2
29
d=30×5+ 30
2
29
d=390,
解得d= 1269 ,则a14+a15+a16+a17=4a1+58d=4×5+58× 1269 =52.故选B.
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命题角度三 渗透数学美的考查 例3 (1)(2017课标全国Ⅰ,3,5分)如图,正方形ABCD内的图形来 自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分高考和导白航 色部分关 于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自 黑色部分的概率是 ( )
A. 1 B.
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A.83 B.84 C.85 D.86
答案 C 由三视图知,n=5,a=3,b=1,c=7,d=5,代入公式s= n [(2a
6
+c)b+(2c+a)d]+ n (c-a)得s=85,故选C.
6
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3.《九章算术》是中国古代第一部数学专著,是《算经十书》中 最重要的一种,成于公元一世纪左右,它是一本综合性的历史著
公比的等比数列,∴S7= a1(11227 ) =381,∴a1=3.故选B.
(2)由正弦定理得sin A∶sin B∶sin C=a∶b∶c=( 2 -1)∶ 5 ∶( 2 +1),可设三角形的三边分别为a=( 2 -1)x,b= 5 x,c=( 2 +1)x,由题 意得( 2 -1)x+ 5 x+( 2 +1)x=(2 2 + 5 )x=2 2 + 5 ,则x=1,故由公 式可得△ABC的面积S=
41 ,所以该球形容器的表面积的最小值为4πR2=41π.
4
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界一千多年.“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的
面积S6,S6=
.
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答案 (1)C (2) 3 3 2
解析 (1)观察梯形数的前几项,得
5=2+3=a1,
9=2+3+4=a2,
14=2+3+4+5=a3, ……
an=2+3+…+(n+2)= (n 1)(2 n 2)
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1.(2018陕西质量检测(一))欧拉公式eix=cos x+isin高x(考i为导航虚数单位) 是由瑞士著名数学家欧拉提出的,它将指数函数的定义域扩大到 复数,建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数论里占有 非常重要的地位,被誉为“数学中的天桥”,根据此公式可知,e2i 表示的复数在复平面中位于 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
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答案 B 由eix=cos x+isin x,可知e2i=cos 2+isin 2,因为2∈ 2 , ,
所以cos 2∈(-1,0),sin 2∈(0,1),所以e2i表示的复数在高考复导航平面中位于 第二象限.
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2.北宋数学家沈括的主要成就之一为隙积术,即用来计算诸如累 棋、层坛的物体体积的方法.设隙积共n层,上底由a×b个物体组
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作,是当时世界上最简练有效的应用数学.“更相减损术”便是 《九章算术》中记录的一种求两个数的最大公约数的算法,有如 下程序框图,若输入的a,b的值分别为96,36,则输出的i为 ( )
A.4 B.5 C.6 D.7
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答案 A 执行程序框图,a=96,b=36,i=0;a=96-36=60,i=1;a=60-36 =24,i=2;b=36-24=12,i=3;a=24-12=12,i=4,此时a=b=12,退出循环,
△F1PF2的“勾”“股”,则点P的横坐标为
.
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答案 (1)B (2) 2 6 3
解析 (1)本题考查几何概型和概率的计算方法,考高考查导学航 生的逻辑
思维能力和运算求解能力.
设正方形的边长为2,则正方形的内切圆半径为1,其中黑色部分和
白色部分关于正方形的中心对称,则黑色部分的面积为 ,所以在
答案 405 解析 这9圈的石板数由里到外依次组成一个首项高考为导航9,公差为9
的等差数列,则这9圈的石板总数是9×9+ 98 ×9=405.
2
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6.鲁班锁是我国传统的智力玩具,起源于古代汉族建筑中首创的
榫卯结构,这种三维的拼插器具内部的凹凸部分(即榫卯结构)啮 高考导航
合,十分巧妙,外观看起来是严丝合缝的十字立方体,其上下、左
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方法归纳 数学文化的美学特征是构成数学文化的重要内容.数学美表现为
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一种抽象、严谨、含蓄的理性美,从表现形式上分为数学内容的 和谐美、数学结构的形式美、几何图形的构造美、数学公式的 简洁美.纵观数学领域的一切公式、公理和定理,无不是对客观世 界存在的秩序、对称、和谐、统一的美的反映.
4
8
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C. 1 D.
2
4
(2)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学高名考导著航 ,其中“勾
股”章讲述了“勾股定理”及一些应用.直角三角形的三条边分
别称为“勾”“股”“弦”.设F1,F2分别是椭圆 x42 +y2=1的左、
右焦点,P是第一象限内该椭圆上的一点,若线段PF2,PF1分别是Rt
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输出的i=4,故选A.
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4.《张丘建算经》卷上第22题为“今有女善织,日益功疾.初日织 五尺,今一月日织九匹三丈.”其大意:现有一位善于织布的女子,
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从第2天开始,每天比前一天多织相同量的布,第1天织了5尺布,现 在一个月(按30天计算)共织390尺布(1匹为40尺,一丈为10尺).记 该女子此月中的第n天所织布的尺数为an,则a14+a15+a16+a17的值为
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很高的数学水平,其方法是“以小斜幂并大斜幂减中斜幂,余半
之,自乘于上;以小斜幂乘大斜幂,减上,余四约之,为实;一为从隅, 高考导航
开平方得积”.若把这段文字写成公式,即S=
1 4
c2a2
c2
a2 2
b2
2
,现有周长为2 2
+ 5
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5.在我国古代,9是数字之极,代表尊贵之意,所以中国古代皇家建
筑中包含许多与9相关的设计.例如,北京天坛圆丘的底面由扇环 高考导航
形的石板铺成(如图),最高一层是一块天心石,围绕它的第一圈有
9块石板,从第二圈开始,每一圈比前一圈多9块,共有9圈,则这9圈
的石板总数是
.
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第20讲 数学文化与核心素养
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中国古代数学取得了极其辉煌的成就,出现了高刘考导徽航、祖冲 之、秦九韶等伟大的数学家及众多数学名著,《九章算术》和 《数书九章》便是其中的代表作.这些中国古代数学名著是中华 优秀传统文化的重要组成部分.中国古代数学遵循“经世济用” 的准则,研究的内容大多与实际生活、生产紧密结合,具有浓厚的 实际背景,体现了明显的综合性和算法化的特征wenku.baidu.com从中国古代数学 中挖掘素材,考查高中数学有关知识,既符合考生的认知水平,又 可以引导考生关注中华优秀传统文化.
1
(
4
2 1)2 (
2
1)2
3
2
2 32 2
2
5
2
= 3
4
,故选B.
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方法归纳 中国古代数学取得了极其辉煌的成就,出现了刘徽、祖冲之等伟
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大的数学家,以及《九章算术》等经典的数学传世之作,这些中国 古代数学名著是我们的丰富宝库,继新课程改革以来,高考题中出 现了一些以古代名著为命题背景的试题,涉及的有《九章算术》 《数书九章》《算法统宗》等.本例分别以《算法统宗》《数书 九章》为背景,相应考查了数列和三角形面积公式等数学知识.从 某种意义上讲,这些试题的价值实际上已远远超出了试题本身.
成,以下各层的长、宽依次增加一个物体,最下层(即下底)由c×d
个物体组成,沈括给出求隙积中物体总数的公式为s= n [(2a+c)b+
6
(2c+a)d]+ n (c-a),其中a是上底长,b是上底宽,c是下底长,d是下底
6
宽,n为层数.已知由若干个相同小球粘黏组成的隙积的三视图如 图所示,则该隙积中所有小球的个数为 ( )
2
正方形内随机取一点,此点取自黑色部分的概率P= 2 = ,故选B. 22 8
(2)由题意知半焦距c= 3,又PF1⊥PF2,故点P在圆x2+y2=3上,设P(x,
y),联立得
x2 x2 4
y2 y2
3, 1,
得P
2
6 3
,
3
26
3 .故点P的横坐标为 3 .
右、前后完全对称.从外表上看,六根等长的正四棱柱体分成三
组,经90°榫卯起来,如图,若正四棱柱体的高为6,底面正方形的边
长为1,现将该鲁班锁放进一个球形容器内,则该球形容器的表面
积的最小值为
.(容器壁的厚度忽略不计)
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答案 41π 解析 表面积最小的球形容器可以看成长、宽、高高考导分航别为1、 2、6的长方体的外接球.设其半径为R,则(2R)2=62+22+12,解得R2=
的△ABC满足sin
A∶sin B∶sin C=( 2 -1)∶ 5 ∶( 2 +1),用上面给出的公式求得
△ABC的面积为 ( )
A. 3 2
C. 5 2
B. 3 4
D. 5 4
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答案 (1)B (2)B
解析 (1)由题意可知,由上到下灯的盏数a1,a2,a3,…高考,a导7构航 成以2为
A.2 023×2 017 C.1 008×2 023
B.2 023×2 016 D.2 017×1 008
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(2)(2017浙江,11,4分)我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可
以估算圆周率π,理论上能把π的值计算到任意精度.祖冲之继承并 高考导航
发展了“割圆术”,将π的值精确到小数点后七位,其结果领先世
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命题角度一 渗透古代名家(学派)研究数高学考导的航 考查 例1 (1)两千多年前,古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙 滩上研究数学问题.他们在沙滩上画点或用小石子表示数,按照点 或小石子能排列的形状对数进行分类.图中实心点的个数5,9,14,2 0,…为梯形数.根据图形的构成,记此数列的第2 017项为a2 017,则a2 0 17-5= ( )
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命题角度二 渗透古代数学名著的考查 例2 (1)(2017课标全国Ⅱ,3,5分)我国古代数学名著《算法统 宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍高考加导航增,共灯三 百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯, 且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共 有灯 ( ) A.1盏 B.3盏 C.5盏 D.9盏 (2)(2018益阳、湘潭调研试卷)《数书九章》中给出了“已知三 角形三边长求三角形面积的方法”,填补了我国传统数学的一个 空白,与著名的海伦公式完全等价,由此可以看出我国古代人具有
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以OG=OAsin 60°= 23 ,所以正六边形的面积为6S△OAB=6× 12×AB· OG= 3 3 .
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方法归纳 本例(1)以古希腊毕达哥拉斯学派的研究故事为背景,(2)以我国
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古代数学家刘徽创立的“割圆术”为命题背景,分别考查了数列 问题和圆内接正六边形面积问题.其中毕达哥拉斯学派的“形 数”问题,备受命题者的青睐,已成为高考命题的热点.
2
= 1 (n+1)(n+4),
2
由此可得a2
= 017
1 2
×2
018×2
021=1
009×2
021.
a2 017-5=(1 008+1)(2 023-2)-5=1 008×2 023.
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(2)如图,因为是单位圆,所以OA=1,因为六边形ABCDEF是正六边 形,所以△OAB是正三角形,所以AB=1,过点O作OG⊥AB于点G,所
( )
A.55 B.52 C.39 D.26
答案 B 由题设知,该女子每天织布的尺数构成一个等差数列
{an},其首项a1=5,S30=390,则S30=30a1+ 30 2
29
d=30×5+ 30
2
29
d=390,
解得d= 1269 ,则a14+a15+a16+a17=4a1+58d=4×5+58× 1269 =52.故选B.
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命题角度三 渗透数学美的考查 例3 (1)(2017课标全国Ⅰ,3,5分)如图,正方形ABCD内的图形来 自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分高考和导白航 色部分关 于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自 黑色部分的概率是 ( )
A. 1 B.
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A.83 B.84 C.85 D.86
答案 C 由三视图知,n=5,a=3,b=1,c=7,d=5,代入公式s= n [(2a
6
+c)b+(2c+a)d]+ n (c-a)得s=85,故选C.
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3.《九章算术》是中国古代第一部数学专著,是《算经十书》中 最重要的一种,成于公元一世纪左右,它是一本综合性的历史著
公比的等比数列,∴S7= a1(11227 ) =381,∴a1=3.故选B.
(2)由正弦定理得sin A∶sin B∶sin C=a∶b∶c=( 2 -1)∶ 5 ∶( 2 +1),可设三角形的三边分别为a=( 2 -1)x,b= 5 x,c=( 2 +1)x,由题 意得( 2 -1)x+ 5 x+( 2 +1)x=(2 2 + 5 )x=2 2 + 5 ,则x=1,故由公 式可得△ABC的面积S=
41 ,所以该球形容器的表面积的最小值为4πR2=41π.
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界一千多年.“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的
面积S6,S6=
.
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答案 (1)C (2) 3 3 2
解析 (1)观察梯形数的前几项,得
5=2+3=a1,
9=2+3+4=a2,
14=2+3+4+5=a3, ……
an=2+3+…+(n+2)= (n 1)(2 n 2)
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1.(2018陕西质量检测(一))欧拉公式eix=cos x+isin高x(考i为导航虚数单位) 是由瑞士著名数学家欧拉提出的,它将指数函数的定义域扩大到 复数,建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数论里占有 非常重要的地位,被誉为“数学中的天桥”,根据此公式可知,e2i 表示的复数在复平面中位于 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
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答案 B 由eix=cos x+isin x,可知e2i=cos 2+isin 2,因为2∈ 2 , ,
所以cos 2∈(-1,0),sin 2∈(0,1),所以e2i表示的复数在高考复导航平面中位于 第二象限.
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2.北宋数学家沈括的主要成就之一为隙积术,即用来计算诸如累 棋、层坛的物体体积的方法.设隙积共n层,上底由a×b个物体组
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作,是当时世界上最简练有效的应用数学.“更相减损术”便是 《九章算术》中记录的一种求两个数的最大公约数的算法,有如 下程序框图,若输入的a,b的值分别为96,36,则输出的i为 ( )
A.4 B.5 C.6 D.7
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答案 A 执行程序框图,a=96,b=36,i=0;a=96-36=60,i=1;a=60-36 =24,i=2;b=36-24=12,i=3;a=24-12=12,i=4,此时a=b=12,退出循环,
△F1PF2的“勾”“股”,则点P的横坐标为
.
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答案 (1)B (2) 2 6 3
解析 (1)本题考查几何概型和概率的计算方法,考高考查导学航 生的逻辑
思维能力和运算求解能力.
设正方形的边长为2,则正方形的内切圆半径为1,其中黑色部分和
白色部分关于正方形的中心对称,则黑色部分的面积为 ,所以在
答案 405 解析 这9圈的石板数由里到外依次组成一个首项高考为导航9,公差为9
的等差数列,则这9圈的石板总数是9×9+ 98 ×9=405.
2
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6.鲁班锁是我国传统的智力玩具,起源于古代汉族建筑中首创的
榫卯结构,这种三维的拼插器具内部的凹凸部分(即榫卯结构)啮 高考导航
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方法归纳 数学文化的美学特征是构成数学文化的重要内容.数学美表现为
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一种抽象、严谨、含蓄的理性美,从表现形式上分为数学内容的 和谐美、数学结构的形式美、几何图形的构造美、数学公式的 简洁美.纵观数学领域的一切公式、公理和定理,无不是对客观世 界存在的秩序、对称、和谐、统一的美的反映.
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C. 1 D.
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(2)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学高名考导著航 ,其中“勾
股”章讲述了“勾股定理”及一些应用.直角三角形的三条边分
别称为“勾”“股”“弦”.设F1,F2分别是椭圆 x42 +y2=1的左、
右焦点,P是第一象限内该椭圆上的一点,若线段PF2,PF1分别是Rt
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输出的i=4,故选A.
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4.《张丘建算经》卷上第22题为“今有女善织,日益功疾.初日织 五尺,今一月日织九匹三丈.”其大意:现有一位善于织布的女子,
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从第2天开始,每天比前一天多织相同量的布,第1天织了5尺布,现 在一个月(按30天计算)共织390尺布(1匹为40尺,一丈为10尺).记 该女子此月中的第n天所织布的尺数为an,则a14+a15+a16+a17的值为
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很高的数学水平,其方法是“以小斜幂并大斜幂减中斜幂,余半
之,自乘于上;以小斜幂乘大斜幂,减上,余四约之,为实;一为从隅, 高考导航
开平方得积”.若把这段文字写成公式,即S=
1 4
c2a2
c2
a2 2
b2
2
,现有周长为2 2
+ 5
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5.在我国古代,9是数字之极,代表尊贵之意,所以中国古代皇家建
筑中包含许多与9相关的设计.例如,北京天坛圆丘的底面由扇环 高考导航
形的石板铺成(如图),最高一层是一块天心石,围绕它的第一圈有
9块石板,从第二圈开始,每一圈比前一圈多9块,共有9圈,则这9圈
的石板总数是
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第20讲 数学文化与核心素养
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中国古代数学取得了极其辉煌的成就,出现了高刘考导徽航、祖冲 之、秦九韶等伟大的数学家及众多数学名著,《九章算术》和 《数书九章》便是其中的代表作.这些中国古代数学名著是中华 优秀传统文化的重要组成部分.中国古代数学遵循“经世济用” 的准则,研究的内容大多与实际生活、生产紧密结合,具有浓厚的 实际背景,体现了明显的综合性和算法化的特征wenku.baidu.com从中国古代数学 中挖掘素材,考查高中数学有关知识,既符合考生的认知水平,又 可以引导考生关注中华优秀传统文化.
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方法归纳 中国古代数学取得了极其辉煌的成就,出现了刘徽、祖冲之等伟
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大的数学家,以及《九章算术》等经典的数学传世之作,这些中国 古代数学名著是我们的丰富宝库,继新课程改革以来,高考题中出 现了一些以古代名著为命题背景的试题,涉及的有《九章算术》 《数书九章》《算法统宗》等.本例分别以《算法统宗》《数书 九章》为背景,相应考查了数列和三角形面积公式等数学知识.从 某种意义上讲,这些试题的价值实际上已远远超出了试题本身.