2012年高考数学试卷及解析上海卷(理科)

2012年全国普通高等学校招生统一考试
上海数学试卷（理）
一、填空题（56分）： 1．计算：
=+-i
i
13 （i 为虚数单位）。

2．若集合}012|{>+=x x A ，}2|1||{<-=x x B ，则=B A 。

3．函数1
sin cos 2)(-=
x x x f 的值域是 。

4．若)1,2(-=n 是直线l 的一个法向量，则l 的倾斜角的大小为 （结果用反三角函数值表示）。

5．在6
)2(x
x -的二项展开式中，常数项等于 。

6．有一列正方体，棱长组成以1为首项、
2
1
为公比的等比数列，体积分别记为 ，，，，n V V V 21，则=+++∞
→)(lim 21n n V V V 。

7．已知函数|
|)(a x e x f -=（a 为常数）。

若)(x f 在区间),1[+∞上是增函数，则a 的取值范
围是 。

8．若一个圆锥的侧面展开图是面积为π2的半圆面，则该圆锥的体积为 。

9．已知2
)(x x f y +=是奇函数，且1)1(=f ，若2)()(+=x f x g ，则=-)1(g 。

10．如图，在极坐标系中，过点)0,2(M 的直线l 与极轴的夹角6
π
α=，若将l 的极坐标方
程写成)(θρf =的形式，则=)(θf 。

11．三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是 （结果用最简分数表示）。

12．在平行四边形ABCD 中，3
π
=
∠A ，边AB 、AD 的长分别为2、1，若M 、N 分别
是边BC 、CD 上的点，且满足
|
||||
|||CD CN BC BM =
，则AN AM ⋅的取值范围是 。

13．已知函数)(x f y =的图象是折线段ABC ，其中)0,0(A 、)5,2
1(B 、)0,1(C ， 函数)(x xf y =（10≤≤x ）的图象与x 轴围成的图形的面积为 。

二、选择题（20分）： 15．若i 21+
是关于x 的实系数方程02=++c bx x 的一个复数根，则（ ）
A ．3,2==c b
B ．3,2=-=c b
C ．1,2-=-=c b
D ．1,2-==c b 16．在ABC ∆中，若C B A 2
22sin sin sin <+，则ABC ∆的形状是（ ）
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．不能确定
17．设443211010≤<<<≤x x x x ，5
510=x ，随机变量1ξ取值54321x x x x x 、、、、的
概率均为2.0，随机变量2ξ取值
2
22221
554433221x x x x x x x x x x +++++、、、、的概率也均为2.0，若记21ξξD D 、分别为21ξξ、的方差，则（ ）
A ．21ξξD D >
B ．21ξξD D =
C ．21ξξ
D D < D ．1ξD 与2ξD 的大小关系与4321x x x x 、、、的取值有关 18．设25
sin 1π
n n a n =
，n n a a a S +++= 21，在10021,,,S S S 中，正数的个数是（ ） A ．25 B ．50 C ．75 D ．100 三、解答题（74分）：
19．（6+6=12分）如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是矩形，⊥PA 底面ABCD ，
E 是PC 的中点，已知2=AB ，22=AD ，2=PA ，求：
（1）三角形PCD 的面积；
（2）异面直线BC 与AE 所成的角的大小。

20．（6+8=14分）已知函数)1lg()(+=x x f ． （1）若1)()21(0<--<x f x f ，求x 的取值范围；
（2）若)(x g 是以2为周期的偶函数，且当10≤≤x 时，有)()(x f x g =，求函数)(x g y =（]2,1[∈x ）的反函数。

21．（6+8=14分）海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰好在失事船正南方向12海里A 处，如图．现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线2
49
12x y =
；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发t 小时后，失事船所在位置的横坐标为
t 7．
（1）当5.0=t 时，写出失事船所在位置P 的纵坐标．若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；
（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？
22．（4+6+6=16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线1C ：122
2
=-y x ． （1）过1C 的左顶点引1C 的一条渐进线的平行线，求该直线与另一条渐进线及x 轴围成的三角形的面积；
（2）设斜率为1的直线l 交1C 于P 、Q 两点，若l 与圆12
2=+y x 相切，求证：OQ OP ⊥；
（3）设椭圆2C ：142
2
=+y x ，若M 、N 分别是1C 、2C 上的动点，且ON OM ⊥，求证：O 到直线MN 的距离是定值。

23．（4+6+8=18分）对于数集}1
{21n x x x X ，，，， -=，其中n x x x <<<< 210，2≥n ，定义向量集},),,(|{X t X s t s a a Y ∈∈==，若对任意Y a ∈1，存在Y a ∈2，使
得021=⋅a a ，则称X 具有性质P ．例如}2,1,1{-具有性质P ． （1）若2>x ，且},2,1,1{x -具有性质P ，求x 的值；
（2）若X 具有性质P ，求证：X ∈1，且当1>n x 时，11=x ；
（3）若X 具有性质P ，且11=x 、q x =2（q 为常数），求有穷数列n x x x ，，
， 21的通项公式。

2012年全国普通高等学校招生统一考试
上海数学试卷（理）
【试卷总评】2012年上海高考数学试卷的考题，着重考查高中数学的基本知识与基本内容。

试题本着有利于推进素质教育、有利于高校选拔新生、有利于培养学生创新和实践能力的原则来设计的。

考题紧紧围绕教材，一道两人同一天生日的客观题是教材的例题改编，也是概率论的经典问题，用以说明有些直观想法可能与实际结果相差很远，间接告诉人们要理性分析科学问题。

另一个随机变量的数学期望问题也来自教材，但改编成一个马老师和牛同学的小故事，题目只要知道概率和为1和数学期望的求法，比较容易得分。

考题中有个别小题具有一定难度。

例如，理科14题考查二分法，但与通常求函数零点的问题有所不同，它要找一个线段上到原点距离为2的点，通常二分法的结论很明显，而考题把这点隐含在设问之中；又如理科23题的第3小题，有3个分层评分的情形，理解了问题的定义后，考生可以依据自己的剩余时间和平时对数学问题的钻研程度决定选做的情形。

理科的22题的第3小题关键是如何根据不同的情况理出正确的思路。

少量有一定难度试题的设计，是为了进一步考察那些能力较强的考生。

考题弱化了对计算器的依赖，试题的设计尽可能避免利用计算器直接给出答案，从而提醒考生，不能用计算器代替数学学习和分析。

今年的主观题中没有应用题，也没有难度较大的圆锥曲线内容的考题。

并不是命题组对这两类问题的忽视，而是表明命题没有严格的套路，试卷的结构和形式不能走入“八股”的模式。

本次试卷一个明显特点是考查考生对数学概念的领悟能力。

多个题目本身不难，大多数考生可以解答。

若不加分析就计算，可能就会失分。

要是先进行分析和探索，综合自己掌握的数学知识，对问题找到合适的切入点，问题就迎刃而解。

较难的几个小题，估计不少同学可以部分得分，但满分恐怕只有那些平时想问题较深入的考生可以获得。

整卷的试题计算量较小，总体难度中等偏易，鼓励考生理解数学概念的本质，提高分析问题的能力。

一、填空题（56分）： 1．计算：
=+-i
i
13 （i 为虚数单位）。

2．若集合}012|{>+=x x A ，}2|1||{<-=x x B ，则=B A 。

考点定位：本题考查解不等式及集合的运算，意在考查考生的计算能力及数形结合的能力 3．函数1
sin cos 2)(-=
x x x f 的值域是 。

4．若)1,2(-=n 是直线l 的一个法向量，则l 的倾斜角的大小为 （结果用反三角函数值表示）。

5．在6
)2(x
x -的二项展开式中，常数项等于 。

6．有一列正方体，棱长组成以1为首项、
2
1
为公比的等比数列，体积分别记为 ，，，，n V V V 21，则=+++∞
→)(lim 21n n V V V 。

答案：
8
7
解析：3
3(1)
123
1118lim(...)lim(1...)227
112n n n n V V V -→∞→∞
⎛⎫⎛⎫
+++=+++=
=
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
⎛⎫
- ⎪⎝⎭
考点定位：本题考查等比数列中的极限问题，意在考查考生对无穷等比数列极限的理解应用能力。

7．已知函数|
|)(a x e x f -=（a 为常数）。

若)(x f 在区间),1[+∞上是增函数，则a 的取值范
围是 。

8．若一个圆锥的侧面展开图是面积为π2的半圆面，则该圆锥的体积为 。

9．已知2
)(x x f y +=是奇函数，且1)1(=f ，若2)()(+=x f x g ，则=-)1(g 。

10．如图，在极坐标系中，过点)0,2(M 的直线l 与极轴的夹角6
π
α=
，
若将l 的极坐标方程写成)(θρf =的形式，则=)(θf 。

答案：1sin()
6
ρπ
θ=
-
解析：在极坐标系中，过点11(,)P ρθ且与极轴的夹角α的直线方程为
11sin()sin()ραθραθ-=-，所以过点)0,2(M 且与极轴的夹角6
π
α=
的直线方程为
sin()2sin 6
6
ππ
ρθ-=，整理得1sin()
6
ρπ
θ=
-。

考点定位：本题考查直线的极坐标方程，意在考查考生对极坐标系中的直线方程的求法。

11．三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是 （结果用最简分数表示）。

12．在平行四边形ABCD 中，3
π
=∠A ，边AB 、AD 的长分别为2、1，若M 、N 分别
是边BC 、CD 上的点，且满足
|
||||
|||CD CN BC BM =
，则AN AM ⋅的取值范围是 。

1
3．已知函数)(x f y =的图象是折线段ABC ，其中)0,0(A 、)5,2
1(B 、)0,1(C ， 函数)(x xf y =（10≤≤x ）的图象与x 轴围成的图形的面积为 。

答案：
54
二、选择题（20分）： 15．若i 21+
是关于x 的实系数方程02=++c bx x 的一个复数根，则（ ）
A ．3,2==c b
B ．3,2=-=c b
C ．1,2-=-=c b
D ．1,2-==c b 答案：B
解析：因为12+i 是关于x 的实系数方程2
0x bx c ++=的一个复数根， 所以2
(12)(12)0i b i c ++++=，即(1)2(2)0b c b i +-++=，。