高中数学教学论文-处理三角函数易错题的六绝招

高中数学教学论文-处理三角函数易错题的六绝招
处理三角函数易错题的六绝招第一招 三角函数中，隐含条件的挖掘
【例1】
已知方程2
40
x
++=的两个实数根是
tan ,tan αβ
，且,(,)22
ππ
αβ∈-，则αβ+等于（ ） A ．23π B ．23π- C ．3π
或23π- D ．2-33
ππ或
【解】tan ,
αQ
tan tan α
∴又,α所以,(,0)2παβ∈-， 从而0παβ-<+<，
又tan tan tan()1tan tan 14
αβαβαβ+-+===--Q g α∴
第二招 三角形中，角大正弦大
【例2】在ABC ∆中，35
sin ,cos ,513
A B ==求cos C 的值。

【解】
5
cos ,sin 13B B ==
∴Q 123
sin sin ,135
B A B A =>=>∴∴ 所以，A 一定是锐角，从而
4
cos 5
A == 所以
()()cos cos cos C A B A B π=-+=-+⎡⎤⎣⎦(cos cos sin sin )A B A B =--16
65
=
．
第三招 已知三角函数值求角错因分析 【例3】若sin αβ=
=，且,αβ均为锐角，
求αβ+的值．
【错解】αQ 为锐角，cos α=
∴=。

又β为锐角，cos β=
∴=
且sin()sin cos cos sin 2
αβαβαβ+=+=，
由于0
90,090αβ<<<<o
o o o
，
0180
αβ<+<∴o
o
，
故45αβ+=o
或135o。

〖点拨〗因为cos y x =在[]0,π上是单调函数，所以本题先求cos()αβ+不易出错。

正解
αQ 为锐角，5
cos α=
∴=。

又
β为锐角，cos β=
∴=。

且cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-=
由于0
90,090αβ<<<<o
o o o
，
0180αβ<+<∴o
o
，故45αβ+=o 。

〖练习〗若Ａ、B 均为锐角，且1tan ,sin 7
A B ==，
则A+2B 的值为 ．
【解】∵sin B =
B 为锐角，∴cos B =
∴1tan ,3B = ∴2
2tan 3
tan 2,1tan 4
B B B ==- ∴2
2tan tan(2)1,1tan B A B B
+==-
又∵1
sin sin 30102
B =<=o ，∴0
30B <<o
o
，
∴0
2150A B <+<o
o
，∴A+2B=45o
．
第四招 你肯定会错
【例4】（2007全国Ⅰ—理17）设锐角三角形ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，2sin a b A = （Ⅰ）求B 的大小；
（Ⅱ）求cos sin A C +的取值范围
【解】（Ⅰ）由2sin a b A =，根据正弦定理得
sin 2sin sin A B A =，所以1sin 2
B =，由AB
C △为锐角三角形得π6
B =
（Ⅱ）cos sin cos sin A C A A π⎛⎫
+=+π--
⎪6
⎝
⎭
cos sin 6A A π⎛⎫
=++ ⎪
⎝⎭
1cos cos 22A A A
=++
3A π⎛
⎫=+ ⎪
⎝
⎭
由ABC △为锐角三角形知：
22263
A B πππππ
>>-=-=，
从而 2336
A ππ5π
<+<
， 所以
1sin 23
A π⎛
⎫<+<
⎪⎝
⎭
由此有
232A π⎛
⎫<+< ⎪⎝
⎭
所以，cos sin A C +的取值范围为32⎫⎪⎪⎝⎭
，
〖练习〗（2009湖南—文14）在锐角ABC ∆中，
1,2,
BC B A ==则cos AC
A
的值等于 2 ， AC 的取值范围为 )3,2( .
〖点拨〗因为ABC ∆是锐角三角形锐角，所以
2A B π
+>
，且2B π<，从而有64
A ππ
<<
2cos A <<
AC <<
第五招 数形结合也未见得好
【例5】在区间,22
ππ⎛⎫
-
⎪⎝
⎭
范围内，函数tan y x =与函数sin y x =的图象交点的个数为（ ）
A ． 1
B ．2
C ．3
D ．4
【解】 在同一坐标系中，作出sin y x =与tan y x =，
在,22
ππ⎛⎫-
⎪⎝
⎭
内的图象，很难做到精确，容易误认为3个交点．联想到不等式“sin tan x x x <<（x 0,2
π⎛⎫∈ ⎪⎝
⎭
）”，故sin y x
=与tan y x =，在0,2
π⎛⎫
⎪⎝
⎭
内的图象无交点，又它们都
是奇函数，从而sin y x =与tan y x =，在,02
π⎛⎫- ⎪⎝
⎭
内的图象也无交点，所以在区间,22
ππ⎛⎫-
⎪⎝
⎭
范围内，函数tan y x =与函数sin y x =的图象交点的个数为1个，即坐标原点
()0,0．
第六招 同角正余弦的和、差、积、倍互化中的
陷阱铲除
已知sin cos αα+或sin cos αα-求sin α、cos α、tan α、cot α、
sin 2α
、cos2α的值。

【例6】 （1994全国—理18）已知
()
1
sin cos ,0,5
αααπ+=∈，则tan α的值是
由sinα＋cosα＝15
2425<0， ∴ 1―2sinαcosα =4925 ,且2
π
απ<<，∴ 有sinα－cosα＝75
， 与sinα＋cosα＝15
，联立解得 sinα＝45、 cosα ＝－3
5，
∴tanα＝－4。

3
这类问题的解决首先必须对角α的范围进行讨论，这充分体现了“函数问题，范围先行（尤其是三角函数问题）”的解题基本原则．。