3-1导数的概念及运算

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第三章 导数及其应用
【解析】 (1)f′(x)＝2 017＋ln x＋1x·x＝2 018＋ln x.
由 f′(x0)＝2 018，得 ln x0＝0，则 x0＝1.
(2)f′(x)＝aln

x＋x·1x＝a(1＋ln
x)．
由于 f′(1)＝a(1＋ln 1)＝a，又 f′(1)＝3，所以 a＝3.
(2)∵点(0，－1)不在曲线 f(x)＝xln x 上， ∴设切点为(x0，y0)．
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第三章 导数及其应用
又∵f′(x)＝1＋ln x，∴yy00＝ ＋x10＝ln（x01，＋ln x0）x0， 解得 x0＝1，y0＝0. ∴切点为(1，0)， ∴f′(1)＝1＋ln 1＝1. ∴直线 l 的方程为 y＝x－1，即 x－y－1＝0.故选 B. 【答案】 (1)2x＋y＋1＝0 (2)B
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第三章 导数及其应用
角度二 求切点坐标 【例 3】 (2018·西安调研)设曲线 y＝ex 在点(0，1)处的切线与 曲线 y＝1x(x>0)上点 P 处的切线垂直，则点 P 的坐标为________．
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第三章 导数及其应用
【解析】 由 y′＝ex，知曲线 y＝ex 在点(0，1)处的切线斜率 k1＝e0＝1.
第三章 导数及其应用
(3)若求过点 P(x0，y0)的切线方程，可设切点为(x1，y1)，由
y1＝f（x1），

求解即可．
y0－y1＝f′（x1）（x0－x1）
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第三章 导数及其应用
跟踪训练2 (1)(2018·开封模拟)曲线f(x)＝x3－x＋3在点P
处的切线平行于直线y＝2x－1，则点P的坐标为( )
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第三章 导数及其应用 5．复合函数的导数 复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导
数间的关系为yx′＝_y_u_′__·_u_x′___，即y对x的导数等于_y_对__u_ 的导数与_u__对__x的导数的乘积.
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第三章 导数及其应用

3
.

(5)令 u＝2x－5，则 y＝ln u，
则 y′＝(ln u)′·u′＝2x－1 5·2＝2x－2 5，
即 y′＝2x－2 5.
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第三章 导数及其应用 【思维升华】 求导之前，应利用代数、三角恒等式
等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算 量，提高运算速度，减少差错；遇到函数的商的形式时 ，如能化简则化简，这样可避免使用商的求导法则，减 少运算量．
(2)由题意，得f′(x)＝aln x＋a，所以f′(1)＝a，因为函数 f(x)的图象在x＝1处的切线方程为2x－y＝0，所以a＝2，又 f(1)＝b，则2×1－b＝0，所以b＝2，故a＋b＝4.
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第三章 导数及其应用
【解析】 ∵y′＝2x－x12，∴y′|x＝1＝1， 即曲线在点(1，2)处的切线的斜率 k＝1， ∴切线方程为 y－2＝x－1， 即 x－y＋1＝0. 【答案】 x－y＋1＝0
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第三章 导数及其应用
5 ． 曲 线 y ＝ － 5ex ＋ 3 在 点 (0 ， － 2) 处 的 切 线 方 程 是 ________．
f(x)＝cos x
f(x)＝ex
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导函数 f′(x)＝_0_ f′(x)＝__α_x_α_－__1 _ f′(x)＝_c_o_s_____x_
f′(x)＝_－__s_i_n_____x_
f′(x)＝__e_x
第三章 导数及其应用
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第三章 导数及其应用
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第三章 导数及其应用
1．若f(x)＝x·ex，则f′(1)等于( )
A．0
B．e
C．2e
D．e2
【解析】 f′(x)＝ex＋x·ex，∴f′(1)＝2e.
【答案】 C
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第三章 导数及其应用
2．函数 f(x)＝excos x 的图象在点(0，f(0))处的切线的倾斜角
设 P(m，n)，又 y＝1x(x>0)的导数 y′＝－x12， 曲线 y＝1x(x>0)在点 P 处的切线斜率 k2＝－m12. 依题意 k1k2＝－1，所以 m＝1，从而 n＝1. 则点 P 的坐标为(1，1)． 【答案】 (1，1)
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第三章 导数及其应用 角度三 求参数的值 【例4】 (1)(2018·泉州模拟)函数y＝ex的切线方程为y＝
【答案】 (1)B (2)3
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第三章 导数及其应用
题型二 导数的几何意义
角度一 求切线方程
【例2】 (1)已知f(x)为偶函数，当x＜0时，f(x)＝ln(－x)＋
3x，则曲线y＝f(x)在点(1，－3)处的切线方程是________．
(2)已知函数f(x)＝xln x，若直线l过点(0，－1)，并且与曲
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第三章 导数及其应用
2．导数的几何意义 函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝ f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k，即k＝__f_′_(x_0_)_．
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第三章 导数及其应用
3．基本初等函数的导数公式 基本初等函数 f(x)＝c(c为常数) f(x)＝xα(α∈Q*) f(x)＝sin x
【答案】 B
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第三章 导数及其应用
3．函数 y＝lnexx的导函数为______________．
【答案】 y′＝1－xxelxn x
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第三章 导数及其应用
4．(2017·全国Ⅰ卷)曲线 y＝x2＋1x在点(1，2)处的切线方程为 ________．
(4)y＝sin2x＋π3

；(5)y＝ln(2x－5)．

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第三章 导数及其应用
【解析】 (1)y′＝(x2)′·sin x＋x2·(sin x)′
＝2xsin x＋x2cos x.
(2)y′＝ln

x＋1x′＝(ln
x)′＋1x′
＝1x－x12.
(3)y′＝coesx
x′

＝（cos
x）′·ex－cos （ex）2
x（ex）′
＝－sin
x＋cos ex
x .
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第三章 导数及其应用
π (4)设 u＝2x＋ 3 ，则 y＝sin u，
π
则
y′＝(sin
u)′·u′＝cos2x＋

3
·2

π
∴y′＝2cos2x＋
线y＝f(x)相切，则直线l的方程为( )
A．x＋y－1＝0
B．x－y－1＝0
C．x＋y＋1＝0
D．x－y＋1＝0
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第三章 导数及其应用
【解析】 (1)设 x＞0，则－x＜0，f(－x)＝ln x－3x，又 f(x) 为偶函数，f(x)＝ln x－3x，f′(x)＝1x－3，f′(1)＝－2，切线方程 为 y＝－2x－1，即 2x＋y＋1＝0.
A．(1，3)
B．(－1，3)
C．(1，3)和(－1，3)
D．(1，－3)
(2)(2018·云南一检)已知函数f(x)＝axln x＋b(a，b∈R)，
若f(x)的图象在x＝1处的切线方程为2x－y＝0，则a＋b＝
________．Leabharlann 高考总复习·数学理科（RJ）
第三章 导数及其应用
【解析】 (1)f′(x)＝3x2－1，令f′(x)＝2，则3x2－1＝2， 解得x＝1或x＝－1，∴P(1，3)或(－1，3)，经检验，点(1， 3)，(－1，3)均不在直线y＝2x－1上，故选C.
为( )
A．0
π B. 4
C．1
π D. 2
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第三章 导数及其应用
【解析】 由 f(x)＝excos x，得 f′(x)＝excos x－exsin x.
所以 f′(0)＝e0cos 0－e0sin 0＝1，
即倾斜角 α 满足
tan
α＝1.根据
α∈[0，π)，得
π α＝ 4 .
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第三章 导数及其应用
【思考辨析】 判 断 下 列 结 论 是 否 正 确 ( 请 在 括 号 中 打 “√” 或
“×”) (1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率. ( ) (2)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点. ( ) (3)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线. () (4)函数f(x)＝sin(－x)的导数是f′(x)＝cos x．( ) 【答案】 (1)× (2)√ (3)× (4)×
第三章 导数及其应用
【解析】 (1)设切点坐标为P(x0，y0)，由y′＝ex， 得y′|x＝x0＝ex0， 从而切线方程为y－ex0＝ex0(x－x0)， 又切线过定点(0，0)，从而－ex0＝ex0(－x0)， 解得x0＝1，则m＝e.
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第三章 导数及其应用 (2)∵f′(x)＝1x， ∴直线 l 的斜率 k＝f′(1)＝1. 又 f(1)＝0，∴切线 l 的方程为 y＝x－1. g′(x)＝x＋m， 设直线 l 与 g(x)的图象的切点为(x0，y0)， 则有 x0＋m＝1，y0＝x0－1，y0＝12x20＋mx0＋72，m<0， 于是解得 m＝－2.故选 D. 【答案】 (1)e (2)D
第三章 导数及其应用
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第三章 导数及其应用 §3.1 导数的概念及运算
1．导数与导函数的概念
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第三章 导数及其应用 (2)如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导
数，其导数值在(a，b)内构成一个新函数，这个函数称为 函数y＝f(x)在开区间内的导函数．记作f′(x)或y′.
【解析】 因为y′|x＝0＝－5e0＝－5， 所以曲线在点(0，－2)处的切线方程为 y－(－2)＝－5(x－0)，即5x＋y＋2＝0. 【答案】 5x＋y＋2＝0
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第三章 导数及其应用
题型一 导数的计算
【例 1】 求下列函数的导数．
(1)y＝x2sin x；(2)y＝ln x＋1x；(3)y＝coesx x；
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第三章 导数及其应用
跟踪训练1 (1)f(x)＝x(2 017＋ln x)，若f′(x0)＝2 018，则x0 等于( )
A．e2
B．1
C．ln 2
D．e
(2)已知函数f(x)＝axln x，x∈(0，＋∞)，其中a为实数，
f′(x)为f(x)的导函数．若f′(1)＝3，则a的值为________．
4.导数的运算法则 若f′(x)，g′(x)存在，则有 (1)[f(x)±g(x)]′＝__f_′(_x_)_±__g_′(_x_)___； (2)[f(x)·g(x)]′＝__f_′_(x_)_g_(_x_)＋__f_(_x_)g_′_(_x_) ； (3)gf（（xx））′＝f′（x）g（[gx（）x－）f（]2 x）g′（x）(g(x)≠0)．
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第三章 导数及其应用
【思维升华】 导数的几何意义是切点处切线的斜率，应 用时主要体现在以下几个方面：
(1)已知切点A(x0，f(x0))求斜率k，即求该点处的导数值： k＝f′(x0)．
(2)已知斜率k，求切点A(x1，f(x1))，即解方程f′(x1)＝k.
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【知识拓展】 1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函 数的导数还是周期函数． 2.f（1x）′＝－f[′f（（x）x）]2(f(x)≠0)． 3．[af(x)＋bg(x)]′＝af′(x)＋bg′(x)． 4．函数 y＝f(x)的导数 f′(x)反映了函数 f(x)的瞬时变化趋势， 其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢， |f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．
mx，则m＝________．
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第三章 导数及其应用
(2)已知 f(x)＝ln x，g(x)＝12x2＋mx＋72(m<0)，直线 l 与函数 f(x)，
g(x)的图象都相切，与 f(x)图象的切点为(1，f(1))，则 m 等于( )
A．－1
B．－3
C．－4
D．－2
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