广东省仲元中学2017-2018学年高二数学下学期期中试题文

广东省仲元中学2017-2018学年高二数学下学期期中试题 文
第一部分 选择题(共 60 分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1、已知集合{}{}4|0log 1,|2A x x B x x A
B =<<=≤=，则( )
A.()01，
B.(]02，
C.()1,2
D.(]12，
2、已知点()()1,3,4,1,A B AB -则与向量方向相同的单位向量为( )
A ．345
5⎛⎫ ⎪⎝⎭，-
B ．4355⎛⎫ ⎪⎝⎭，-
C ．3455⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，
D ．4355⎛⎫- ⎪⎝⎭，
3、集合A={2,3},B={1,2,3},已知点(,),,M x y x A y B ∈∈，则点(,)M x y 落在直线4
x y +=上的概率是( ) A ．
23 B ．13
C ． 1
2 D ．
1
6
4、i 为虚数单位，则2015
1+1i i ⎛⎫
⎪
-⎝⎭
=( )
A ．i
B ．1-
C ．i -
D ． 1
5、函数()2sin()(0,)2
2
f x x π
π
ωϕωϕ=+>-<<
的部分图象如图所示,则,ωϕ的值分别是
( )
A ．4,3
π
B ．2,6
π
-
C ．4,6
π
-
D ．2,3π
-
6、设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,8374,2S a a ==-,则9a =( )
A ．2-
B ．4-
C ．6-
D ．2
7、函数(
)
2
()=ln 1f x x +的图象大致是( )
8、阅读如下程序框图，如果输出i ＝4，那么空白的判断框中应填入的条件是( )
A ．S ＜8
B ．S ＜9
C ．S ＜10
D ．S ＜11
9、一个多面体的三视图如图所示，则多面体的体积是( ) A.7 B.
476 C.6 D.233
10、已知0>>b a ，椭圆1C 的方程为12222=+b y a x ，双曲线2C 的方程为22
221x y a b -=，1C 与
2C 的离心率之积为
2
3
，则2C 的渐近线方程为( ) A.02=±y x B.02=±y x C. 02=±y x D.02=±y x
11、不共面的三条定直线1l ，2l ，3l 互相平行，点A 在1l 上，点B 在2l 上，C 、D 两点在3l 上，若CD a =(定值)，则三棱锥A －BCD 的体积( )
A.由Ａ点的变化而变化
B.由B 点的变化而变化
C.有最大值，无最小值
D.为定值
俯视图
视图
主正)(视图
左侧)(11
11
11
12、已知函数22,0,
()ln(1),0
x x x f x x x ⎧-+≤=⎨+>⎩,若|()|f x ax ≥,则a 的取值范围是( )
A ．(,0]-∞
B ．(,1]-∞
C ．[2,1]-
D ．[2,0]-
第二部分 非选择题 (共 90 分)
二．填空题：本大题共4小题, 每小题5分, 共20分. 把答案填在答卷的相应位置
13、若曲线2
ln y ax x =-在点(1,)a 处的切线平行于x 轴,则a =____________.
14、某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵树是前一天的2
倍，则需要的最少天数n (n ∈N *
)等于________．
15、若x ,y 满足约束条件20210220x y x y x y +-≤⎧⎪
-+≤⎨⎪-+≥⎩
,则z =3x +y 的最大值为 ．
16、已知F 为双曲线22
:
=1916
x y C -的左焦点，,P Q 为C 双曲线上的点．若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点(5,0)A 在线段PQ 上，则PQF ∆的周长为__________．
三、解答题：必做大题共5小题，共60分；选做大题二选一，共10分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．（本题满分12分）四边形ABCD 的内角A 与C 互补，AB ＝1，BC ＝3，CD ＝DA ＝2.
(1)求角C 和BD ；
(2)求四边形ABCD 的面积．
18.（本题满分12分）从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指
（I ）在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图；
（II ）估计这种产品质量指标值的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （III ）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？
19. （本题满分12分）如图四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 交点，BE ABCD ⊥平面， （I ）证明：平面AEC ⊥平面BED ；
（II ）若120ABC ∠=，,AE EC ⊥ 三棱锥E ACD -的体积为
6
3
，求该三棱锥的侧面积.
20．(本题满分12分）已知点)2,2(P ，圆C :082
2
=-+y y x ，过点P 的动直线l 与圆C 交于B A ,两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点. （1）求M 的轨迹方程；
（2）当OM OP =时，求l 的方程及POM ∆的面积
21.(本题满分12分）设函数()ln x
f x e a x =-.
（1）讨论y =()f x 的导函数y =()f x '的零点的个数； （2）证明：当0a >时()2ln f x a a a ≥-.
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，解答时请写清题号.
22、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，直线1:2C x =-，圆()()2
2
2:121C x y -+-=，以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求12,C C 的极坐标方程. （2）若直线3C 的极坐标方程为()π
R 4
θρ=∈，设23,C C 的交点为,M N ，求2C MN ∆ 的面积.
23、（本小题满分10分）设f(x)＝｜x ＋1｜＋｜x －3｜.
(Ⅰ)解不等式f(x)≤3x＋4；
(Ⅱ)若不等式f(x)≥m的解集为R，求实数m的取值范围.
广东仲元中学2017学年第二学期期中考试高二年级
文科数学参考答案
一、选择题：
1、【答案】D
2、【答案】A （注意：C 是反向的单位向量）本题除了用向量共线的坐标公式检验，用图形检验也很方便
3、【答案】C
解：所有情形有六种，满足要求的只有（2，2）和（3，1）故只能选B 4、【答案】C 5、【答案】D
解：由图象知函数周期T ＝211π5π1212⎛⎫
- ⎪⎝⎭
＝π， ∴ω＝
2ππ＝2，把5π,212⎛⎫ ⎪⎝⎭代入解析式，得5π22sin 212ϕ⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭
，即5πsin 16ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. ∴5π6
＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z)，φ＝π
3-＋2k π(k ∈Z)．
又ππ
22
ϕ-<<，∴φ＝π3-. 故选D ．
6、【答案】C
7、【答案】A 8、【答案】B
解：i ＝2，S ＝5；i ＝3，S ＝8；i ＝4，S ＝9，结束．所以填入的条件是“S ＜9”． 9、【答案】D 10、【答案】A 11、【答案】D 12、【答案】D;
解：可画出|f (x )|的图象如图所示．
当a ＞0时，y ＝ax 与y ＝|f (x )|恒有公共点，所以排除B ，C ； 当a ≤0时，若x ＞0，则|f (x )|≥ax 恒成立．
若x ≤0，则以y ＝ax 与y ＝|－x 2
＋2x |相切为界限，
由2
,2,
y ax y x x =⎧⎨
=-⎩得x 2
－(a ＋2)x ＝0. ∵Δ＝(a ＋2)2
＝0，∴a ＝－2. ∴a ∈[－2,0]．故选D. 二、填空题： 13、【答案】
1
2
14、【答案】6
解析：由题意知每天植树的棵数组成一个以2为首项，2为公比的等比数列，
所以S n ＝21212
n (-)-＝2(－1＋2n )≥100，∴2n
≥51，∴n ≥6.
15、【答案】4
16、【答案】44 三、解答题：
17．解：(1)由题设及余弦定理得
BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos C ＝13－12cos C ，①……2分 BD 2＝AB 2＋DA 2－2AB ·DA cos A ＝5＋4cos C ．②……4分
由①②得cos C ＝1
2，故C ＝60°，BD ＝7.……6分
19、解：（I ）因为四边形ABCD 为菱形，所以AC⊥BD.
因为BE⊥平面ABCD,所以AC⊥BE,故AC⊥平面BED.
又AC 平面AEC ,所以平面AEC⊥平面BED. ……5分
（II ）设AB=x ，在菱形ABCD 中，又∠ABC=o
120 ， 可得AG=GC=
32x ，GB=GD=2
x
. 因为AE⊥EC,所以在Rt△AEC 中，可的E G=
3
2
x . 由BE⊥平面ABCD,知△EBG 为直角三角形，可得BE=22
x . 由已知得，三棱锥E-ACD 的体积E ACD V -=13×1
2
AC·GD·BE=366243x =. 故x =2 ……9分 从而可得AE=EC=ED=6.
所以△EAC 的面积为3，△EAD 的面积与 △ECD 的面积均为5. 3+25. (12)
由题意可得：
．
∵k ON =3，∴直线l 的斜率为﹣． ∴直线PM 的方程为，即x+3y ﹣8=0．……8分 则O 到直线l 的距离为
．
又N 到l 的距离为，……10分
∴|PM|==．
∴．……12分
21、解：（I ）()f x 的定义域为()()0,,(0)x
a
f x e x x
'+∞=-
> 当a ≤0时，()()0f x f x ''>，没有零点；.……2分 当0a >时，因为x
e 单调递增，a
x
-
单调递增， 所以()f x '在()0,+∞单调递增，……4分 又()10,a f a e '=->
不妨取,()0a a
a
e a a b
f b e e e
==-<：
故当a >0时()f x '存在唯一零点. ……6分
（II ）由（I ），0,a >可设()f x '在()0,+∞的唯一零点为0x ， 当()00x x ∈，时，()f x '＜0；
当()0x x ∈+∞，时，()f x '＞0. .……8分
故()f x 在()00x ，单调递减，在()0x +∞，单调递增，
所以0x x =时，()f x 取得最小值，最小值为()0f x ..……10分
由于0000000,=x
x x a a a
e e x x x e
-
==即：， 所以()()0000000
ln ln ln ln 2ln x x a a a a
f x a a a e ax a a a a a x e x x =-=--=+-≥- 当且仅当01,x =取等号
故当0a >时()2ln f x a a a ≥-. ……12分
22、解：（I ）因为cos ,sin x y ρθρθ==，所以1C 的极坐标方程为cos 2ρθ=-，
2C 的极坐标方程为22cos 4sin 40ρρθρθ--+=. ……5分
（II ）将4
π
θ=
代入2
2cos 4sin 40ρρθρθ--+=，得23240ρρ-+=，
解得1222,2ρρ=故122ρρ-=2MN =由于2C 的半径为1，所以2C MN ∆的面积为1
2
. ……10分
23、解：(Ⅰ)因为22, 1()4, 13,22, 3x x f x x x x -+<-⎧⎪
=-⎨⎪->⎩
≤≤所以原不等式等价于
①12234x x x <-⎧⎨-++⎩≤ 或②13434x x -⎧⎨+⎩≤≤≤ 或③32234x x x >⎧⎨-+⎩
≤，
解得①无解，②03x ≤≤，③3x >， 因此不等式的解集为{}
0x x ≥..……5分
(Ⅱ)由于不等式()f x m ≥的解集为R ，所以min ()f x m ≥,
又()|1||3||13|4f x x x x x =++-++-=≥，即min ()4f x =， 所以4m ≤， 即m 的取值范围为(],4-∞..……10分
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