初高中数学衔接知识总汇

第一章数与式的运算
1、1 绝对值
知识清单
1.绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它
的相反数，零的绝对值仍是零，即
(0)
0(0)
(0)
a a
a a
a a
>
⎧
⎪
==
⎨
⎪-<
⎩
2.绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离。

3.两个数的差的绝对值的几何意义：b
a-表示在数轴上，数a和数b之间的距离。

4.两个重要绝对值不等式：
a
x
a
x
a
a
x
a
x＞
或
＜
）
＞
（
＞
，
＜
＜
）
＞
（
＜-
⇔
-
⇔0
a
x
a
a
；
问题导入：
问题1：化简：（1）：1
2-
x（2) : 3
1-
+
-x
x
问题2：解含有绝对值的方程
（1）6
4
2=
-
x; （2）: 5
2
2
3=
-
-x
、
问题3：至少用两种方法解不等式 41＞-x
知识讲解
例1：化简下列函数，并分别画出它们的图象：
（1）！
（2）x y =; （2）32+-=x y .
例2：解不等式：431＞-+-x x
{
巩固拓展：
1.（1）若等式a a -= , 则成立的条件是----------
（2）数轴上表示实数 x 1,x 2 的两点A,B 之间的距离为--------
2.已知数轴上的三点A,B,C 分别表示有理数a ，1，-1，那么1+a
表示（ ）
A 、 A,
B 两点间的距离 B 、 A,
C 两点间的距离
C 、 A,B 两点到原点的距离之和
D 、 A,C 两点到原点的距离之和 3.<
4.如果有理数x ，y 满足()01212=+-+-y x x ，则=+22y x ______
5.化简：
（1）3223+=-x x ; （2）31--x
6.已知 x= -2是方程612-=--m x 的解，求m 的值。

;
6.已知a ，b ，c 均为整数，且 1=-+-a c b a ,求: c b b a a c -+-+-的值
)
方法指导
学习本节知识，要充分领会绝对值的代数意义，从数和形两方面
去研究，体会分类讨论与数形结合的两种数学思想方法。

1、2 二次根式与分式
知识清单
1.二次根式
（1）二次根式的定义：形如a (a ≥0）的式子叫二次根式，其中a 叫被开方数，只有当a 是一个非负数时，a 才有意义。

（2）二次根式的性质：
① ^
② ())0(2
≥=a a a ；
③ =2a (0)0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩
④ b a ab •=（a ≥0，b ≥0）
⑤ ()0,0＞b a b
a b a ≥= （3）分母有理化：一般常见的互为有理化因式有如下几类:
① a a 与；
② b b a -+a 与；
③ b b a -+a 与；
④ ￥
⑤ b a n m b n a m -+与
2.分式
（1）分式的意义：形如B A 的式子，若B 中含有字母，且B ≠0，则称B
A 为分式
（2）分式的通分与约分：当M ≠0时，M
B M A B A M B M A B A ÷÷=⨯⨯=, 问题导入
问题1：化简：（1）()102122＜＜x x x -+
（2）3131+-
问题2:（恒等式问题）若
()2
245++=++x B x A x x x 恒成立，求常数A,B 的值 .
问题3：解分式方程（不等式）
（1）
13211142-+++-=-x x x x x （2）41
231＞-+-x x
知识讲解
例1：求值：（1）2a 2-5ac+2c 2
=0,设e=a c 且，e ＞1，求e 的值。

&
（2）已知x,y 是实数，且的值。

求y x x x x y 65,3
29922++--+-=
例2：分式裂项求和 （1） 试证明：是正整数）；其中n n n n n (11
1)1(1+-=+
（2） 计算：
+⨯+⨯+⨯431321211……+2014
20131⨯；
（
（3） 证明;
+⨯+⨯4
31321…+的正整数）；是大于（＜121)1(1n n n +
巩固拓展
1.写出下列各式成立的条件：2
2-=-a a a a ___;a a a 22-=-_____ 2.比较23-32与-的大小关系是：-------
3.对任意正整数n,=+)2(1n n ___⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-211n n ]
4.若 等于则化简y y y x 2x x 4,0312÷⨯=---_____
5.若==+-y x y x y x 则,322___
6.若2=a b =++-2222a b a b ab 则
7.已知：-1<a<2,求1
1224422++++-+-a a a a a a 的值
；
方法指导
学习二次根式与分式要注意最后结果需保留最简二次根式与最简分式，还要注意使它们有意义的条件。

1、3 乘法公式
知识清单
1.平方差公式：22))((b a b a b a -=-+
2.立方差公式：3322))((b a b ab a b a -=++-
3.立方和公式： 3322))((b a b ab a b a +=+-+
4.、
5.完全平方公式：()2222222,2)(b ab a b a b ab a b a +-=-++=+
6.三个数的完全平方公式：ca bc ab c b a c b a 222)(2222+++++=++
7.完全立方公式：
()322333223333.33)(b ab b a a b a b ab b a a b a -+-=-+++=+ 问题导入
问题1：平方差公式
下列各式：①)1)(1(+--a a ；②)1)(1(a a +-；③)1)(1(+--a a ；④)1)(1(+---a a 能利用平方差公式计算的是 问题2：完全平方公式 若31=+a a ，求2)1(a
a -的值
》
问题3：立方和（差）公式
设0422=+-x x ，求93+x 的值
）
知识讲解
例1：计算：
)1)(1)(1)(1(22+-++-+x x x x x x
例2：已知a ca bc ab c b a =++=++,4，求222c b a ++的值
[
巩固拓展
1、⋅+=-)3
121(419122a b b a （ ） 2、若 k mx x ++2
12是一个完全平方式，则k= 3、已知2)(,8)(22=+=-n m n m ，则
=+22n m 4、不论a ，b 为何实数，84222+--+b a b a 的值（ ）
》
A 、总是正数
B 、总是负数
C 、可以是零
D 、可以是正数也可以是负数
5、若实数x ，y ，z 满足 (x-z)2-4(x-y)(y-z)=0 ，则下列式子一定成立的是（ ）
A 、x+y+z=0
B 、x+y-2z=0
C 、y+z-2x=0
D 、x+z-2y=0
6、化简：
20172016)23()23(-⋅+
；
7、在ABC ∆中，三边c b a ,,满足2
3,223222=++=
++c b a c b a 试探求ABC ∆的形状
—
方法指导
学习乘法公式应注意掌握公式的结构特点以及公式中字母的广泛意义，还要注意掌握公式的逆向应用，特别是完全平方公式的运用就是配方，配方法是一种很重要的数学思想方法。

(
1、4 因式分解
知识清单
1.因式分解的定义：把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解（也叫作分解因式）
2.因式分解的常用方法：提取公因式法：公式法（乘法公式、求根公式）；十字相乘法；分组分解法。

问题导入
问题1：提取公因式法分解因式：
（1）2242ab b a - （2）)5()5(2b a b a -+-
/
问题2：公式法分解因式
（1）4
12+-x x （2）162+-a （3）142+-x x
问题3：十字相乘法分解因式：
（1）232+-x x （2）2762+-x x
《
问题4：分组分解法分解因式：y x xy x 332+--
知识讲解
例1、把下列各式分解因式
（1）22)()23(y x y x --- （2）22338b ab a -+
;
例2：把下列各式分解因式：
（1）by ax b a y x 222222++-+- （2）22)24(4+--x x
四．巩固拓展
@
1.在多项式中①x 2+7x+6；②x 2+4x+3；③x 2+6x+8；④x 2+7x+10；⑤x 2+15x+44，有相同因式的是（ ）
A 、只有①②
B 、只有③④
C 、只有③⑤
D 、①和②；③和④；③和⑤
2.若多项式x 2-3x+a 可分解为(x-5)(x-b)，则a 、b 的值分别是（ ）
A 、10,2
B 、10,-2
C 、-10,-2
D 、-10,2
3.多项式2x 2-xy-15x 2 的一个因式是（ ）
A 、2x-5y
B 、x-3y
C 、x+3y
D 、x-5y
4.把下列各式分解因式：
（1）、
（2）523623913x b a x ab -- （2）z y x z y x m ++---)(
（3）31
32-x
（4）338b a -
（5）3762+-x x
（6）12--x x
（7）（
（8）913424+-x x
（8）1222-+-b ab a
5、已知：052422=+--+b a b a ，求
ab a ab b a ++-4)(2的值
/
方法指导
因式分解要先看各项有没有公因式，若有公因式，则先提取公因式；再看能否使用公因式法；对于二次三项式的多项式，可考虑应用十字相乘法；对于四项或四项以上的多项式，要考虑分组分解法；若以上方法均感到困难，可考虑用配方法、换元法、拆项法、添项法和待定系数法等其它多种分解因式的方法。

因式分解还应注意分解要彻底。

第二章一元二次方程与二次函数
2、1 一元二次方程
知识清单
1、一元二次方程式是指只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是二次的整式方程，该方程式的一般形式是：ax2+bx+c=0(a≠0），其中，ax2是二次项，bx是一次项，c是常数项，a、b是常数。

其中a≠0 是一个重要条件，否则就不能保证该方程未知数的最高次是二次。

2、一元二次方程最常规的解法是公式法，其次有因式分解和配方等方法。

<
3、能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解。

一元二次方程的解也称为一元二次方程的根（只含有一个未知数的方程的解也叫作这个方程的根）。

问题导入
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0）的根的情况可以由b2-4ac来判定，我们把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0）的根的判别式，通
常用“△”来表示，那么△同一元二次方程的根之间究竟有何关系
知识讲解
:
例1：用适当的方法解方程：
（1）2（x+2）2-8=0 （2）x(x-3)=x
（3）3x2=6x-3（4）(x+3)2+3(x+3）-4=0
例2：判定下列关于x的方程的根的情况（其中a为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根。

（1）*
2-3x+3=0；（2）x2-ax-1=0
（2）x
例3：解下列关于x的方程：
（1）x2-ax+(a-1)=0; （2）x2-2x+a=0
巩固扩展
1.（
2.选择题：
（1）方程x 2-23kx+3k 2=0的根的情况是（ ）
A.有一个实数根
B.有两个不相等的实数根
C.有两个相等的实数根
D.没有实数根
（2）若关于x 的方程mx 2+(2m+1)x+m=0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是（ ）
A.m ＜4
1 B 、m ＞-4
1
C 、m ＜41，且m ≠0
D 、m ＞41，且m ≠0 2.填空：
（1）|
（2）若a 为方程x 2+x-5=0的解，则a 2+a+1的值为_____。

（3）方程mx 2+x-2m=0(m ≠0)的根的情况是_____。

3.试判定当m 取何值时，关于x 的一元二次方程m 2x 2-（2m+1）x+1=0有两个不相等的实数根有两个相等的实数根没有实数根
4.用适当的方法解下列一元二次方程；
(1)x 2-5x+1=0； （2）3(x-2)2=x(x-2)；
;
（3）2x 2-22x-5=0； （4）（y+2）2=（3y-1）2
方法指导
1.要特别注意的是，只要所给的方程有实数根，其根的判别式首先应大于零。

2.—
3.应重视因式分解和配方在解一元二次方程中的作用。

2、2 一元二次方程根与系数的关系
知识清单
对于一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0），有:
（1）当△＞0时，方程有两个不相等的实数根x 1,2=a
ac b b 242-±-； （2）当△=0时，方程有两个相等的实数根x 1=x 2=－
a
b 2； (3)当△＜0时，方程没有实数根。

问题导入
<
问题：一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的根与系数之间有何关系
知识讲解
例1：已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值。

分析：由于已知了方程的一个根，可以直接将这一根代入，求出k的值，再由方程解出另一个根。

但由于我们学习了韦达定理，又可以利用韦达定理来解题，即由于已知方程的一个根及方程的二次项系数和常数项，于是可以利用两根之积求出方程的另一个根，再由两根之和求出k的值。

例2：已知关于x的方程x2+2(m-2)x+m2+4=0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大于21，求m的值。

分析：本题可以利用韦达定理，由实数根的平方和比两个根的积大21得到关于m的方程，从而解得m的值，但在解题中需要特别注意的是，由于所给的方程有两个实数根。

因此，其根的判别式应大于零。

例3.若x1,x2是方程x2+2x-2007=0的两个根，试求下列各式的值：
（1）21x ＋22x ； （2）1
1x ＋21x ； （3）(x 1-5)(x 2-5)； （4）21x x -.
分析;本题若直接用求根公式求出方程的两根，再代入求值，将会出现 复杂的计算。

这里可以利用韦达定理来解答。

例4：求证：若x 1和x 2分别是一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0），则a
x x ∆=-21（其中△=b 2-4ac ）.
…
巩固扩展
1.选择题
（1）已知关于x 的方程x 2+kx-2=0的一个根是1，则它的另一个根是（ ）
A. -3 （2）下列四个说法：
方程x 2+2x-7=0的两个根之和为-2，两根之积为-7；
(
方程x 2-2x+7=0的两根之和为-2，两根之积为7；
方程3x 2-7=0的两根之和为0，两根之积为-3
7
④方程3x 2+2x=0的两根之和为-2，两根之积为0.
其中正确的说法的个数是（ ）
个 个 个 个
（3）关于x 的一元二次方程ax 2-5x+a 2+a=0的一个根是0，则a 的值是（ ）
或-1
2.填空
（1）·
（2）方程kx 2+4 x-1=0的两根之和为-2，则k=____
（3）方程2x 2-x-4=0的两根为α，β，则α2+β2=____
（4）已知关于x 的方程x 2-ax-3a=0的一个根是-2.则它的另一个根是____
（5）方程2x 2+2x-1=0的两个根为x 1和x 2，则=-21x x ____
3.求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程x 2-7x-1=0各根的相反数。

：
4.关于x 的方程x 2+4x+m=0的两根为x 1和x 2满足=-21x x 2，求实数m 的值。

方法指导
1.?
2.韦达定理实现了不解而求，在今后学习中至关重要，应予充分关注。

3.在解题中需要特别注意的是，有实数根的方程的判定式首先应大于零。

2、3 二次函数的概念、图象和性质
知识清单
1.定义：形如y=ax 2+bx+c=0(a ≠0)的函数叫做关于x 的二次函数。

2.二次函数的图象与性质;图象，开口，对称轴，顶点，最值，增减性等方面要弄清楚。

3.二次函数图象的画法：先配方求出对称轴和顶点，确定开口方向，接下来利用对称性列表，最后描点画图，作草图时，应抓住以下五点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点。

问题导入
|
问题：二次函数解析式有几种常见的表达式
知识讲解
例1：已知某二次函数的最大值为2，图象的顶点在直线y=x+1上，并且图象经过点(3,-1），求二次函数的解析式。

分析：在解本例时，要充分利用题目中所给出的条件──最大值、顶点位置，从而可以将二次函数设成顶点式，再由函数图象过定点来求解出系数a.
*
说明：在解题时，由最大值确定出顶点的纵坐标，再利用顶点的位置求出顶点坐标，然后设出二次函数的顶点式，最终解决了问题，因此，在解题时，要充分挖掘题目所给的题目所给的条件，并巧妙地利用条件简捷地解决问题。

例2：已知二次函数的图象过点（-3,0），（），且顶点到x轴的距离等于2，求此二次函数的表达式。

分析一：由于题目所给的条件中，二次函数的图象所过的两点实际上就是二次函数的图象与x轴的交点坐标，于是可以将函数的表达式设
成交点式。

分析二：由于二次函数的图象过点（-3,0），（1,0），所以，对称轴为直线x=-1，又由顶点到x轴的距离为2，可知顶点的纵坐标为2或-2，于是，又可以将二次函数的表达式设成顶点式来解，然后在利用图象过点（-3，0）或(1,0），就可以求得函数的表达式。

—
说明：上述两种解法分别从与x轴的交点坐标及顶点的坐标这两个不同角度。

利用交点式和顶点式来解题，在今后的解题过程中，要善于利用条件，选择恰当的方法来解决问题。

例3：已知二次函数的图像过点)8,2(),8
-
-，求此函数的表达
(-
,0(
),
22
,1
式
@
通过上面的几道例题，同学们能否归纳出，在什么情况下，分别利用函数的一般式、顶点式、交点式来求二次函数的表达式
例4：把二次函数y=x2+bx+c的图象向上平移2个单位长度，再向左
平移4个单位长度，得到函数y=x 2的图象，求b,c 的值。

#
说明:本例的两种解法都是利用二次函数图象的平移规律来解决问题，所以，同学们要牢固掌握二次函数图象的变换规律。

这两种解法反映了两种不同的思维方法:解法一，是直接利用条件进行正向的思维来解决的，其运算量相对较大；而解法二，则是利用逆向思维，将原来的问题等价转化成与之等价的问题来解，具有计算量小的优点。

今后，我们在解题时，可以根据题目的具体情况，选择恰当的方法来解决问题。

巩固扩展
1.选择题
（1）函数y=-x 2+x-1的图象与x 轴的交点个数是（ ）
个 个 个 D.无法确定
（2）函数y=-()2121+x +2的顶点坐标是（ ）
A.(1，2)
B.(1，-2)
C.(-1，2)
D.(-1，-2)
2.!
3.填空题
(1）已知二次函数的图象经过与x 轴交于点（-1,0）和(2,0),则该二次
函数的解析式可设为y=a_____（a≠0）
(2）二次函数y=-x2+2√3x+1的函数图象与x轴两交点之间的距离为____。

3.根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式。

（1）已知二次函数的图象经过点A(0,-1),B(1,0），C(-1，2)；
（2）已知抛物线的顶点为（1，-3），且与y轴交于点（0,1）；
?
（3）已知抛物线与x轴交于点M（-3,0），（5,0），且与y轴交于点（0，-3）；
(4)已知抛物线的顶点为（3，-2），且与x轴两交点的距离为4.
、
4.某种产品的成本是120元∕件，试销阶段每件产品的售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间关系如下表所示:
若日销售量y 是销售价x 的一次函数，那么，要使每天所获得最大的利润，每件产品的销售价应定为多少元此时每天的销售利润是多少
%
方法指导
1.在求二次函数解析式时，要充分挖掘题目所给的条件，选择适当形式以简化计算。

2.要牢固掌握二次函数图象的变换规律。

2、4 二次函数的最值
知识清单
$
二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0）在自变量x 取任意实数时的最值情况；
当a ＞0 时，函数在x=-a
b 2处取得最小值 a b a
c 442- ，无最大值； 当a ＜0时，函数在x=--a
b 2处取得最大值 a b a
c 442- ，无最小值。

问题导入
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0）在自变量x取任意实数时的最值是如何得到的
】
知识讲解
例1：当x≥0时，求函数y=-x(2-x）的取值范围。

例2：当1≤x≤2时，求函数y=-x2-x+1的最大值和最小值。

、
例3：某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量m（件）与每件的销售价x(元）满足一次函数m=162-3x，30≤x≤54.
（1）写出商场卖出这种商品每天的销售利润y与每件销售价x之间的函数关系式；
（2）若商场要想每天获得最大销售利润，每件商品的售价定位多少最合适最大销售利润为多少
—
例4：当t ≤x ≤t+1时，求函数y=2521
2--x x 的最小值（其中t 为常数）。

巩固扩展
1.抛物线y=x 2-（m-4）x+2m-3，当m=_____时，图象的顶点在y 轴上；当m=____时，图象的顶点在x 轴上；当m=___时，图象过原点。

2.用一长度为L 米的铁丝围成一个长方形或正方形，则其中所围成的最大面积为____。

3.设a ＞0，当-1≤x ≤1时，函数y=-x 2-ax+b+1的最小值是-4，最大值是0，求a,b 的值。

<
4.已知函数y=x 2+2ax+1在-1≤x ≤2上的最大值为4，求a 的值。

方法指导
1.）
2.二次函数最大值或最小值的求法。

第一步确定a的符号，a＞0时有最小值，a＜0时有最大值；
第二步配方法求顶点，顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值。

3.求二次函数在某一范围内的最值，要注意对称轴与自变量的取值范围的先对位置。

例如：y=ax2+bx+c在m≤x≤n（其中m＜n）的最值。

第一步：先通过配方，求出函数图象的对称轴：x=x0；
第二步：讨论；
（1）若a＞0时求最小值或a＜0时求最大值，需要分三种情况讨论：—
对称轴小于m即x0＜m,即对称轴在m≤x≤n的左侧；
对称轴m≤x0≤n，即对称轴在m≤x≤n的内部；
对称轴大于n即x0＞n，即对称轴在m≤x≤n的右侧。

（2）若a＞0时求最大值或a＜0时求最小值，需要分两种情况讨论：
对称轴x0≤
2n
m+，即对称轴在m≤x≤n的中点的左侧；
对称轴x0＞
2n
m+，即对称轴在m≤x≤n的中点的右侧；
2、5一元二次不等式的解法
知识清单
}
1.一般地，用符号“＜”（或“≤”），“＞”（或“≥”），“≠”连接的式子叫做不等式。

（不等式中可以含有未知数，也可以不含有积数）
用不等号连接的，含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，系数不为0，左右两边的整式的式子叫做一元一次不等式。

2.不等式的基本性质
（1）不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子）（0除外），不等号的方向不变。

（2）不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变。

（3）不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

问题导入
问题1：已知二次函数y=x2-x-6，当取x何值时，y=0当取x何值时，y＜0
@
问题2：怎样解关于x的一元二次不等式ax2+bx+c＞0（a≠0）呢
知识讲解
例1：解下列不等式：
（1）[
2-2x-8＜0；（2）x2-4x+4≤0；
（2）x
（3）x2-x+2＜0.
\
例2：已知对于任意实数x，kx2-2x+k恒为正数，求实数k的取值范围。

例3：解关于x的不等式x2-x-a(a-1)＞0
]
例4：解关于x的一元二次不等式x2+ax=1＞0（a为实数）
分析：对于一元二次不等式，按其一般解题步骤，首先应该将二次项系数变成正数，本题已满足这一要求，欲求一元二次不等式的解，要讨论根的判别式△的符号，而这里的△是关于未知系数的代数式，△的符号取决于未知系数的取值范围。

因此，再根据解题的需要，对△
的符号进行分类讨论。

~
巩固扩展
1.解下列不等式；
（1）2x2+x＜0；（2）x2-3x-18≤0
"
（3）-x2+x≥3x+1；（4）x（x+9）＞3（x-3）.
2.已知关于x的不等式mx2-x+m＜0的解是一切实数，求m的取值范围。

3.—
4.解关于x的不等式x2+2x+1-a2≤0.
4、已知不等式)0(02≠<++a c bx ax 的解是32><x x 或，求不等式02>++c ax bx 的解。

#
方法指导：
解一元二次方程的一般步骤是：
（1）化二次项系数为正
（2）若二次三项式能分解成一个因式的积，则求出两根21,x x ，那么
“>0”型的解为21x x x x ><或（俗称两根之外）；“<0”型的解为21x x x <<（俗称两根之间）
（3）否则，对二次三项式进行配方，变成
a b ac a b x a c bx ax 44)2(2
22
-++=++，结合完全平方式为非负数的性质求解 2、6 简单的多元多次方程组
知识清单：
~
1、二元一次方程：一个方程含有两个未知数，并且未知数的指数都是1的整式方程，叫做二元一次方程
二元一次方程组：含有两个相同未知数的两个一次方程所组成的
方程组叫做二元一次方程组
二元一次方程的解：适合二元一次方程的一组未知数的值叫做这个二元一次方程的一个解
二元一次方程组的解：二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解，二元一次方程组的解必是它所含的二元一次方程的解
2、方程06222=+++++y x y xy x 是一个含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程，这样的方程叫做二元二次方程。

其中22,2,y xy x 叫做这个方程的二次项，y x ,叫做一次项，6叫做常数项
问题导入：
问题1、解二元一次方程组的基本思想是什么有哪些常用方法
'
问题2：解多元多次方程组基本思想是什么
知识讲解：
例1：解方程组⎩⎨
⎧==+12 7xy y x @
例2：解方程组⎩⎨⎧=--=-+02204422y x y x 分析：二元二次方程组对于我们来说较为生疏，可以将其转化为我们熟悉的形式。

注意到方程是一个一元一次方程，于是，可以利用该方程消去一个元，再代入到方程，得到一个一元二次方程，从而将所求的较为生疏的问题转化为我们所熟悉的问题
】
说明：在解类似于本题的二元二次方程组时，通常采用本例所介绍的代入消元法来求解
例3、解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+211920
z x z y y x
、
巩固拓展：
1、下列各组中的值是不是方程组⎩⎨⎧=+=+5
1322y x y x 的解
（1）⎩⎨⎧==32y x （2）⎩⎨⎧==23y x （3）⎩⎨⎧==41y x （4）⎩
⎨⎧-=-=32y x 2、解下列方程组：
（1）⎩⎨⎧=++=6255
22y x x y （2）⎩⎨⎧-==+10
3xy y x
③
（3）⎪⎩⎪⎨⎧-==+3
14522x y y x （4）⎩⎨⎧=+=82222y x x y
）
3、甲、乙两同学解方程组⎩⎨⎧=+=+10
22y ca by ax ，已知甲的正确解答是⎩⎨⎧==42y x ，乙由于看错了c ，求出的解是⎩
⎨⎧==5.63y x ，求c b a ,,的值
4、解方程组⎪⎩
⎪⎨⎧=++=++=++17216215
2z y x z y x z y x
&
方法指导：
解多元多次方程组的基本思想是“消元”和“降次”，将多元转化为一元，将高次转化为一次。

因此，掌握好消元和将次的一些方法和技巧是解多元多次方程组的关键
第三章 数学应用题
〖知识点〗
列方程（组）解应用题的一般步骤、列方程（组）解应用题的核心、应用问题的主要类型
〖大纲要求〗
能够列方程（组）解应用题
列出方程(组)解应用题的一般步骤是：
…
1、审题：弄清题意和题目中的已知数、未知数;
2、找等量关系：找出能够表示应用题全部含义的一个(或几个)相等关系;
3、设未知数：据找出的相等关系选择直接或间接设置未知数
4、列方程（组）：根据确立的等量关系列出方程
5、解方程(或方程组)，求出未知数的值;
6、检验：针对结果进行必要的检验；
7、作答：包括单位名称在内进行完整的答语。

？
3、1 行程问题
知识清单
1、基本概念：行程问题是研究物体运动的，它研究的是物体速度、时间、行程三者之间的关系。

2、基本公式：路程＝速度×时间；路程÷时间＝速度；路程÷速度＝时间
关键问题：确定行程过程中的位置
相遇问题：速度和×相遇时间＝相遇路程（请写出其他公式）
{
追击问题：追击时间＝路程差÷速度差（写出其他公式）
流水问题：顺水行程＝（船速＋水速）×顺水时间
逆水行程＝（船速－水速）×逆水时间
顺水速度＝船速＋水速
逆水速度＝船速－水速
静水速度＝（顺水速度＋逆水速度）÷2
水速＝（顺水速度－逆水速度）÷2
流水问题：关键是确定物体所运动的速度，参照以上公式。

（
过桥问题：关键是确定物体所运动的路程，参照以上公式。

基本题型：已知路程（相遇问题、追击问题）、时间（相遇时间、追击时间）、速度（速度和、速度差）中任意两个量，求出第三个量。

问题导入
问题1：甲、乙两站相距480公里，一列慢车从甲站开出，每小时行90公里，一列快车从乙站开出，每小时行140公里。

（1）慢车先开出1小时，快车再开。

两车相向而行。

问快车开出多少小时后两车相遇
（2）两车同时开出，相背而行多少小时后两车相距600公里
（3）两车同时开出，慢车在快车后面同向而行，多少小时后快车与慢车相距600公里
（4）两车同时开出同向而行，快车在慢车的后面，多少小时后快车追上慢车
：
（5）慢车开出1小时后两车同向而行，快车在慢车后面，快车开出后多少小时追上慢车
问题2：A、B两地相距82km，甲骑车由A向B驶去，9分钟后，乙骑自行车由B出发以每小时比甲快2km的速度向A驶去，两人在相距B点40km处相遇。

问甲、乙的速度各是多少
知识讲解
例1：甲、乙两人分别骑车从A，B两地相向而行，甲先行1小时后，乙才出发，又经过4小时两人在途中的C地相遇，相遇后两人按原来的方向继续前进。

乙在由C地到达A地的途中因故停了20分钟，结果乙由C地到达A地时比甲由C地到达B地还提前了40分钟，已知乙比甲每小时多行驶4千米，求甲、乙两人骑车的速度。

)
例2：甲、乙两个城市间的铁路路程为1600公里，经过技术改造，列车实施了提速，提速后比提速前速度增加20公里/小时，列车从甲
城到乙城行驶时间减少4小时，这条铁路在现有的安全条件下安全行驶速度不得超过140公里/小时.请你用学过的数学知识说明在这条铁路现有的条件下列车还可以再次提速.
巩固扩展
1、甲、乙二人分别从相距20千米的A、B两地以相同的速度同时相向而行，相遇后，二人继续前进，乙的速度不变，甲每小时比原来多走1千米，结果甲到达B地后乙还需30分钟才能到达A地，求乙每小时走多少千米．
#
2、甲、乙两艘旅游客轮同时从台湾省某港出发来厦门。

甲沿直航线航行180海里到达厦门；乙沿原来航线绕道香港后来厦门，共航行了720海里，结果乙比甲晚20小时到达厦门。

已知乙速比甲速每小时快6海里，求甲客轮的速度（其中两客轮速度都大于16海里/小时）
3、2 利润问题
知识清单
1、每件商品的利润=售价-进货价
毛利润=销售额-费用
利润率=（售价--进价）/进价×100%
2、（1）销售问题中常出现的量有：进价、售价、标价、利润等
】
（2）有关关系式：
商品利润=商品售价—商品进价=商品标价×折扣率—商品进价
商品利润率=商品利润/商品进价
商品售价=商品标价×折扣率
问题导入
问题1：一家商店将某种服装按进价提高40%后标价，又以8折优惠卖出，结果每件仍获利15元，这种服装每件的进价是多少
分析：探究题目中隐含的条件是关键，可直接设出成本为X元
[
问题2：西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可售出200千克．为了促销，该经营户决定降
价销售．经调查发现，这种小型西瓜每降价元/千克，每天可多售出40千克．另外，每天的房租等固定成本共24元．该经营户要想每天盈利200元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元
知识讲解
例1、某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克。

现该商品要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元
[
例2、某商店以2400元购进某种盒装茶叶，第一个月每盒按进价增加20%作为售价，售出50盒，第二个月每盒以低于进价5元作为售价，售完余下的茶叶．在整个买卖过程中盈利350元，求每盒茶叶的进价．
巩固拓展
1、黄冈百货商店服装柜在销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天可。