2024年广东省新高考一模数学练习卷(含答案)

2024新高考数学一模练习卷（一）
数学试卷
本卷共6页，满分150分，完成时间120分钟．
考生注意事项：
1．答卷开始前，考生务必将自己的姓名，准考证号正确填涂于答题卡的指定区域；并检查试卷与答题卡的张数与印刷情况．
2．在回答选择题时，每小题选出答案后，用2B铅笔在答题卡对应标号上将选项涂黑；若需改动，用橡皮擦干净后，再将改动后的选项标号涂黑．
3．在回答非选择题时，用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡的指定区域上填写答案；若需改动，将原答案划掉，再填上改动后的答案，改动后的答案也不得超出指定的答题区域．
4．答卷结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 集合，，则（ * ）．
（A）（B）
（C）（D）
2. 在复平面中，点对应的复数为，点对应的复数为，若，则
（ * ）．
（A）（B）
（C）（D）
3. 已知事件，，相互独立，且，则在以下说法中，错误的
是（ * ）．
（A）事件，，均为随机事件
（B）事件，，均与必然事件相互独立
（C）事件，，均与不可能事件不互斥
（D）事件，，均与事件对立
4. 记为数列的前项和，若，，则在中，整数
的个数是（ * ）．
（A）（B）
（C）（D）
5. 中国是瓷器的故乡．“瓷器”一词最早见之于许慎的《说文解字》中．某瓷器如图1所
示，该瓶器可以近似看作由上半部分圆柱和下半部分两个等高（高为）的圆台组合面成，其直观图如图2所示，已知圆柱的高为，底面直径，底面直径，，若忽略该瓷器的厚度，则该瓷器的容积为（ * ）．
图1 图2
（A）（B）
（C）（D）
6. 已知椭圆过点，则下列直线方程不与相切的是
（ * ）．
（A）（B）
（C）（D）
7. 已知函数在区间上有个极值点（），则的最小
值是（ * ）．
（A）（B）
（C）（D）
8. 已知，，，，则（ * ）．
（A）（B）
（C）（D）
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 2023年我国的生育率仅为每千人6.2人，再创新低，引发了社会广泛的关注和讨论．某
课外小组就“您是否愿意生育孩子？”为问题对某某高校同学随机进行了采访，以下为其采访记录表：
考虑到由于大学生的心智发展不成熟，不能完全代表当代年轻人，于是其又对年龄为25至30周岁的市民进行了采访调查，以下为其采访记录表：
则（ * ）．
（A）该两次的调查结果均服从两点分布，属于200重伯努利试验
（B）高校大学生愿意生育孩子的期望为0.5，25至30周岁的为0.65
（C的独立性检验，是否愿意生育孩子与年龄有关（D）通过下表的小概率值的独立性检验，是否愿意生育孩子与性别有关注：
，其中
10. 由两个全等的正四棱台组合而得到的几何体1如图3，沿着和分别作上底面的
垂面，垂面经过棱，，，的中点，，，，则两个垂面之间的几何体2如图4所示，若，则（ * ）．
（A）（B）
（C）平面
图3 图4
11. 已知椭圆，过椭圆的左焦点的直线交椭圆于、两点，过椭
圆的左焦点的直线交椭圆于、两点，则（ * ）．
（A）若，则的斜率
（B）的最小值为
（C）以为直径的圆与圆相切
（D）若，则四边形面积的取值范围为
图5 12. 已知正实数，，满足：，则（ * ）．
（A）（B）
（C）（D）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 在的展开式中，的系数是________．（用数字作答）
14. 函数的极值点个数为________．
15. 已知函数，若方程有三个不同的实根，，，则
的取值范围是__________．
16. 若实数，满足，则的概率为__________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.（10分）已知在中，角、、所对的边分别为，，．且有
．
（1）求；
（2）若，记的中点为，求的取值范围．
18.（12分）在阅读完（选择性必修第三册）课本第53页《贝叶斯公式与人工智能》后，
小李同学决定做一个相关的概率试验，试验过程如下：
小李同学找来了小王同学；
小李同学制作了三张标号，分别为1，2，3的相同规格纸片；
每轮开始前，小李同学心里默想1，2，3中的一个随机数字；
小王同学先选定一张纸片，小李同学将剩余2张纸片中挑走1张不与自己默想数字相同标号的纸片；
小王同学再进行一次选择；
小王同学选定最终结果后，若其选择的纸片标号与小李默想的一致，就记录一次1分，否则记录一次0分；
重复进行多轮试验．
（1）为了尽可能多计分，如果你是小王同学，第二轮选择时你会怎样选？说明理由；
（2）在（1）的情境下，求进行2轮试验总计分的数学期望；
19.（12分）记数列的前项和为，已知．
（1）证明：是等差数列；
（2）若，证明：．
20.（12分）如图6，在四棱柱中，底面和侧面均为正方
形，．连接，点、分别为、的中点．
（1）求和夹角的正弦值；
（2）求平面和平面的夹角．
图6
21.（12分）如图7，已知为坐标原点，抛物线的方程为，是抛物线
的焦点，椭圆的方程为，过的直线与抛物线交于，两点，反向延长, 分别与椭圆交于，两点．
（1）求、的值；
（2）若恒成立，求椭圆的方程；
（3）在（2）的条件下，若的最小值为1，求抛物线的方程．（其中，分别
是和的面积）
图7
22.（12分）已知函数，.（其中）
（1）若，，求的取值范围；
（2）若与有且仅有一个交点，求实数的值.
2024年广东省新高考数学一模练习卷（一）
数学参考答案
一、选择题
二、选择题
三、填空题
四、解答题
17.（1）
由题
所以.
（2）
如图所示，构造的外心，连接，，，
由题得，，
由三角形三边关系得，
即，故.
18.（1）记事件为“第二次选择时不换纸片”，为“第二次选择时换纸片”，为“记1分”，为“记0分”，由贝叶斯公式得：
所以如果我是小王同学，我会选择换纸片
（2）记2轮的总得分为，结合（1）得的分布列为
，，
用表格表示的分布列，如下表所示：
故进行2轮试验总计分的数学期望为
19.（1）
由题意，
，
所以，即，所以是以2为公差的等差数列（2）
由（1）及题意得等差数列的前项和
即证
易知
则
原题得证，证毕
20.（1）
如图，以为坐标原点，为x轴，为y轴，为
z轴，建立空间直角坐标系
则，，，，，
，，，
则，，
（2）
设为平面和平面的夹角
由（1）得，，设平面的法向量，则有，令得，所以；
，，设平面的法向量，则有
，令得，所以；
又因为，所以，
故平面和平面的夹角为
21.（1）
设直线的斜率为，直线的斜率为，由题可知，直线的斜率不为0，设，
22.（1）
，，令得当时，，；当时，，. 所以.
令，，
再令，，令得
当时，，；当时，，.
所以，即，即，所以,
原题“，”等价于“”，
即，观察到，又由得：
当时，；当时，
所以，即的取值范围为.
（2）
令，则
所以，联立，即.
令，所以方程“”的解等价于的零点.
，令得，
当时，，；当时，，.
所以，所以方程“”的解仅为，
再由题意，有且仅有一根，即仅有唯一零点.
，，令得
当时，，；当时，，.
所以.
又注意到当时，；当时，；
所以的唯一零点即其极值点，即，得（舍）或. 故的值为.
数学参考答案第5页（共 5 页）。