浙江省杭州十四中高二下学期期中文科数学试卷 Word版含答案

杭十四中二〇一三学年第二学期中考试
高二年级数学（文）学科试卷
注意事项：
1．考试时间：2014年4月22日10时20分至11时50分；
2．答题前，务必先在答题卡上正确填涂班级、姓名、准考证号；
3．将答案答在答题卡上，在试卷上答题无效．请按题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效；
4．其中本卷满分100分．共4页；附加题20分； 5．本试卷不得使用计算器。

一、选择题：共10小题，每小题3分，计30分。

1.若集合M={y|y=2x
}, P={x|y=1x -}, M ∩P=（ ）
A ．[)+∞,1
B ． [)+∞,0
C ． ()+∞,0
D ． ()+∞,1
2.抛物线2
y ax =的准线方程是2y =，则a 的值为（ ）
A ．18-
B ．1
8
C ．8
D ．8-
3.
函数y = ）
A ．[1,)+∞
B ．2(,)3
+∞
C ． 2[,1]3
D ． 2(,1]3
4.下列四个命题：
① x R ∀∈，250x +>”是全称命题；
② 命题“x R ∀∈，256x x +=”的否定是“0x R ∃∉，使2
0056x x +≠”；
③ 若x y =，则x y =；
④ 若p q ∨为假命题，则p 、q 均为假命题． 其中真命题的序号是（ ） A ．①②
B ．①④
C ．②④
D ．①②③④
5.设A ，B 两点的坐标分别为(－1,0), (1,0)，条件甲：点C 满足0>⋅； 条件乙：点C 的坐标
是方程 x 24 + y 23
=
1 (y ≠0)的解. 则甲是乙的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
Ｃ.充要条件 D ．既不是充分条件也不是必要条件 6.已知命题P ：函数)1(log +=x y a 在),0(+∞内单调递减；Q ：曲线1)32(2
+-+=x a x y 与x 轴没有交点．如果“P 或Q ”是真命题，“P 且Q ”是假命题，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．)25,1(]21,0(
B ．),25(]21,0(+∞
C ．)25,1()1,21[
D ．),2
5()1,21[+∞
7
．设函数||1(||1)
()(||1)x x f x x ->⎧⎪=≤关于x 的方程()()f x a a R =∈的解的个数不可能是( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 8．已知(4,2)是直线l 被椭圆x 236＋y
29
＝1所截得的线段的中点，则l 的方程是( )
A ．x －2y ＝0
B ．x ＋2y －4＝0
C ．2x ＋3y ＋4＝0
D ．x ＋2y －8＝0
9．已知定义域为R 的函数满足f(a ＋b)＝f(a)·f(b)(a ，b ∈R )，且f(x)>0，若f(1)＝1
2
，则f(－2)＝
( )
A.14
B.1
2
C ．2
D ．4 10．如图，⊙O ：162
2
=+y x ，)0,2(-A ，)0,2(B 为 两个定点，l 是⊙O 的一条切线，若过A ，B 两点的抛 物线以直线l 为准线，则该抛物线的焦点的轨迹是( ) A ．圆 B ．双曲线 C ．椭圆 D ．抛物线 二、填空题：共7小题，每小题4分，计28分。

11．若椭圆2214x y m +=的离心率是1
2
，则m 的值为 . 12．已知
p ：112
x ≤≤，q ：()(1)0x a x a --->，若p 是q ⌝的充分不必要条件，则实数a 的取值
范围是 .
13．已知函数1
2(0)
()(0,1)3(0)
x a x f x a a a x x ⎧≤⎪
=>≠⎨⎪->⎩且是R 上的减函数，则a 的取值范围是_____. 14．若双曲线22
221x y a b
-=的渐近线与方程为22(2)3x y -+=的圆相切，则此双曲线的离心率
为 ．
15．函数32)(2+-=x x x f ，若a x f -)(＜2恒成立的充分条件是21≤≤x ，则实数a 的取值范围
是 ．
16．过抛物线22(0)y px p =>的焦点的直线0x my m -+=与抛物线交于A ．B 两点，且△OAB （O
为坐
标原点）的面积为，则64m m += .
17．若关于x 的方程25－|x ＋1|
－4·5－|x ＋1|
－m ＝0有实根，则实数m 的取值范围为________． 三、解答题：共4小题，计42分。

18．（本小题满分10分）已知f (x )是R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝－x 2＋2x ＋2.
(1)求f (x )的表达式；
(2)画出f (x )的图象，并指出f (x )的单调区间．
19．（本小题满分10分）已知函数()f x 和()g x 的图像关于原点对称，且()2
2f x x x =+．
（1）求()g x 的表达式；
（2）若()()()1h x g x f x λ=-+在[]1,1-上是增函数，求实数λ的取值范围．
20．（本小题满分10分）已知过抛物线y 2
＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点．求证：
(1)x 1x 2为定值； (2)1|FA |＋1
|FB |为定值．
21．（本小题满分12
分）已知线段CD =，CD 的中点为O ，动点A 满足2AC AD a +=（a 为正常数）．
（1）建立适当的直角坐标系，求动点A 所在的曲线方程；
（2）若2a =，动点B 满足4BC BD +=，且OA OB ⊥，试求AOB ∆面积的最大值和最小值．
四、附加题：本大题共2小题，共20分． 22．（1）（本小题满分5分）已知函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(x)是奇函数，且当x>0时，f(x)＝x 2
－x ＋a ，若函数g(x)＝f(x)－x 的零点恰有两个，则实数a 的取值范围是( )
A ．a<0
B ．a ≤0
C ．a ≤1
D ．a ≤0或a ＝1
（2）（本小题满分5分）对于函数f (x )＝log 2x 在其定义域内任意的x 1，x 2且x 1≠x 2，有如下结论： ①f (x 1＋x 2)＝f (x 1)·f (x 2)； ②f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)； ③f (x 1)－f (x 2)
x 1－x 2>0；
④f (x 1＋x 22)<f (x 1)＋f (x 2)2
.
上述结论中正确结论的序号是________．
23．（本小题满分10分）已知定义域为[0,1]的函数f(x)同时满足以下三个条件： ①对任意的x ∈[0,1]，总有f(x)≥0； ②f(1)＝1；
③当x 1，x 2∈[0,1]，且x 1＋x 2∈[0,1]时，f(x 1＋x 2)≥f(x 1)＋f(x 2)成立． 称这样的函数为“友谊函数”． 请解答下列各题：
(1)已知f(x)为“友谊函数”，求f(0)的值；
(2)函数g(x)＝2x
－1在区间[0,1]上是否为“友谊函数”？请给出理由；
(3)已知f(x)为“友谊函数”，假定存在x 0∈[0,1]，使得f(x 0)∈[0,1]，且f[f(x 0)]＝x 0，求证：f(x 0)＝x 0.
杭十四中二〇一三学年第二学期中考试高二年级数学（文）学科试卷答案
一．选择题
7.A 8.A 9.D 10.B 11.B 12.A 13.A 14. D 15.D 16.C 二．填空题
17.3或
163 18.10,2⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
19.1(0,]3 20. 2 21.1＜a ＜4 22.2 17. [－3,0) 三．解答题
18．(1)设x<0，则－x>0，
∴f(－x)＝－(－x)2
－2x ＋2＝－x 2
－2x ＋2. 又∵f(x)为奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)．∴f(x)＝x 2
＋2x －2. 又f(0)＝0，∴f(x)＝ ⎩⎪⎨⎪
⎧
x 2
＋2x －2， x<0，0， x ＝0，－x 2＋2x ＋2， x>0.
(2)先画出y ＝f(x)(x>0)的图象，利用奇函数的对称性可得到相应y ＝f(x)(x<0)的图象，其图象如右图所示．由图可知，其增区间为[－1,0)和(0,1]，减区间为(－∞，－1]和[1，＋∞)．
19．(1)设函数()y f x =的图象上任意一点()00,Q x y 关于原点的对称点为(),P x y ，则
000
0,,2
.0,2
x x
x x y y y y +⎧=⎪=-⎧⎪⎨⎨
+=-⎩⎪=⎪⎩即 ∵点()00,Q x y 在函数()y f x =的图象上
∴()22222,2y x x y x x g x x x -=-=-+=-+，即 故 （2）()()()21211h x x x λλ=-++-+
①()[]1411,1h x x λ=-=+-当时，在上是增函数，1λ∴=- ②11.1x λ
λλ
-≠-=
+当时，对称轴的方程为 ⅰ）111, 1.1λ
λλλ-<-≤-<-+当时,解得
ⅱ）111,10.
1λ
λλλ->-≥--<≤+当时,解得
0.λ≤综上，
20．(1)抛物线y 2
＝2px 的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，设直线AB 的方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －p
2(k ≠0)．
由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，
y 2＝2px ，
消去y ，得k 2x 2－p (k 2
＋2)x ＋
k 2p 2
4
＝0.
由根与系数的关系，得x 1x 2＝p 2
4(定值)．
当AB ⊥x 轴时，x 1＝x 2＝p 2，x 1x 2＝p 2
4，也成立．
(2)由抛物线的定义，知|FA |＝x 1＋p 2，|FB |＝x 2＋p
2
.
1
|FA |＋1|FB |＝1x 1＋p 2＋1x 2＋p 2＝x 1＋x 2＋p p 2x 1＋x 2＋x 1x 2＋p 24＝x 1＋x 2＋p p 2x 1＋x 2＋p 22＝x 1＋x 2＋p p 2x 1＋x 2＋p
＝2
p
(定值)． 当AB ⊥x 轴时，|FA |＝|FB |＝p ，上式仍成立．
21．解：（1）以O 为圆心，CD 所在直线为轴建立平面直角坐标系.
若2AC AD a +=<
即0a <动点A
所在的曲线不存在；若2AC AD a +==
a ，动点A
所在的曲线方程为
0(y x =≤≤；
若22A C A D a +=>
即a >，动点A 所在的曲线方程为22
2213
x y a a +=- (4)
分
(2)当2a =时，其曲线方程为椭圆22
14x y +=.由条件知,A B 两点均在椭圆2214
x y +=上，且OA OB ⊥
设11(,)A x y ，22(,)B x y ， OA 的斜率为k (0)k ≠，则OA 的方程为y kx =，OB 的方程为1
y x k
=-解方
程组22
14
y kx
x y =⎧⎪⎨+=⎪
⎩，得212414x k =+，22
12414k y k =+ 同理可求得22
2244k x k =+，222
44
y k =+
AOB ∆
面积2S =
=令21(1)k t t +=>则
S ==令22991125()49()(1)24g t t t t t =-++=--+>所以254()4g t <≤，即4
15
S ≤<
当0k =时，可求得1S =,故4
15
S ≤≤，
故S 的最小值为4
5
，最大值为1.
附加题：
22．（1）D （2）②③
23．解： (1)令x 1＝1，x 2＝0，则x 1＋x 2＝1∈[0,1]． 由③，得f(1)≥f(0)＋f(1)，即f(0)≤0. 又由①，得f(0)≥0，所以f(0)＝0. (2)g(x)＝2x
－1是友谊函数．
任取x 1，x 2∈[0,1]，x 1＋x 2∈[0,1]，有2x 1≥1,2x 2≥1. 则(2x 1－1)(2x 2－1)≥0.
即g(x 1＋x 2)≥g(x 1)＋g(x 2)．又g(1)＝1， 故g(x)在[0,1]上为友谊函数． (3)取0≤x 1<x 2≤1，则0<x 2－x 1≤1. 因此，f(x 2)≥f(x 1)＋f(x 2－x 1)≥f(x 1)． 假设f(x 0)≠x 0，
若f(x 0)>x 0，则f[f(x 0)]≥f(x 0)>x 0. 若f(x 0)<x 0，则f[f(x 0)]≤f(x 0)<x 0. 都与题设矛盾，因此f(x 0)＝x 0.。