新教材北师大版高中数学选择性必修第一册第7章统计案例 精品教学课件

2．最小二乘法
n
如果有 n 个点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，可以用∑ [yi－a i＝1
＋bxi]2 来刻画这些点与直线 Y＝a＋bX 的接近程度，使得上式达到最 小值的直线 Y＝a＋bX 就是要求的直线，这种方法称为最小二乘法．
3．线性回归方程
假设成对数据为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其线性回归方
[解] (1)散点图如图所示，从图中可以看出这些点大致分布在一 条直线附近，因此两个变量线性相关．
(2)因为 x ＝14×(35＋40＋45＋50)＝42.5， y ＝14×(56＋41＋28＋ 11)＝34．
4
Σ xiyi＝35×56＋40×41＋45×28＋50×11＝5 410．
i＝1 4
7
7
(3)因为 Σ xiyi＝3 487， Σ x2i ＝280，
i＝1
i＝1
所以b^＝i＝Σ71x7iyi－7－x －y ＝3 Σ x2i －7 x 2
4872－807－×76××672 9.86≈4.75．
i＝1
a^＝ y －b^ x ≈51.36，
所以 Y＝4.75X＋51.36．
类型 3 线性回归分析的应用 【例 3】 某商场经营一批进价是 30 元/台的小商品，在市场试 验中发现，此商品的销售单价 X(X 取整数)(元)与日销售量 Y(台)之间 有如下关系：
4
Σ xiyi＝6×2＋8×3＋10×5＋12×6＝158，
i＝1 4
Σ x2i ＝62＋82＋102＋122＝344，
i＝1
所以b^＝i＝Σ41Σx4iyxi2i－－44－xx － 2y ＝15384－4－4×4×9×924＝1240＝0.7，a^＝ y －b^ x ＝4 i＝1
－0.7×9＝－2.3， 故线性回归方程为 Y＝0.7X－2.3．
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④因为由任何一组观测值都可以求得一个线性回归方程，所以没 有必要进行相关性检验．
其中正确命题的个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 C [①②③正确．]
[跟进训练]
1．李老师为了了解学生的计算能力，对某同学进行了 10 次试验，
收集数据如下：
题数 x(道) 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
做题时间 y(分钟)
9 19 26 37 48 52 61 73 81 89
画出散点图，并判断它们是否有线性相关关系．
[解] 散点图如图，由散点图可以看出，两者之间具有线性相关 关系．
画出散点图，并判断它们是否有相关关系．
[思路点拨] 可以以数学成绩为自变量，考查因变量物理成绩的 变化趋势．
[解] 以 x 轴表示数学成绩，y 轴表示物理成绩，可得相应的散 点图．
由散点图可见，两者之间具有相关关系．
判断变量之间有无相关关系，一种常用的方法是绘制散点图，散 点图是分析研究两个变量相关关系的重要手段.从散点图中，如果发 现点的分布从整体上看大致在一条直线附近，那么这两个变量是线性 相关的，否则不是线性相关.
1．对具有线性相关关系的两个变量建立的线性回归方程 Y＝a＋
bX 中，线性回归方程系数 b( )
A．可以小于 0
B．只能大于 0
C．可能等于 0
D．只能小于 0
A [b 可能大于 0，也可能小于 0，但当 b＝0 时，x，y 不具有线
性相关关系．]
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2．有下列说法： ①线性回归分析就是由样本点去寻找一条直线，使之贴近这些样 本点的数学方法； ②利用样本点的散点图可以直观判断两个变量的关系是否可以 用线性关系表示； ③通过回归方程 Y＝bX＋a 可以估计观测变量的取值和变化趋 势；
(2)在考虑两个变量的关系时，为了对变量之间的关系有一个大 致的了解，人们通常将成__对__数___据_(xi，yi)所对应的点描出来，这些点构 成的图称为散__点__图__．
(3)在两个变量 X 和 Y 的散点图中，若所有点看上去都在一条光 滑的曲线附近波动，此时就可以用这条曲线近似地描述这两种变量之 间的关系，该过程称之为_曲__线__拟__合_；若所有点看上去都在一条直线附 近波动，此时就可以用这条直线近似地描述这两种变量之间的关系， 该过程称之为直__线__拟__合__．
[解] (1)散点图如图所示．
(2)采用列表的方法计算 a 与回归系数 b．
序号
xi
yi
x2i
xiyi
1
1.4
12
1.96
16.8
2
1.6
10
2.56
16
3
1.8
7
3.24
12.6
4
2
5
4
10
5
2.2
3
4.84
6.6
Σ
9
37
16.6
62
x ＝15×9＝1.8， y ＝15×37＝7.4， b^＝i＝Σ51Σx5 iyxi2i－－55－xx － 2y ＝621－6.65－×51×.8×1.872.4＝－11.5，
i＝1
a^＝7.4＋11.5×1.8＝28.1． 所以 Y 对 X 的回归直线方程为 Y＝28.1－11.5X．
(3)当 x＝1.9 时，y＝28.1－11.5×1.9＝6.25，所以价格定为 1.9 万元时，需求量大约是 6.25 t．
当堂达标·夯基础
1．判断变量之间有无相关关系，简便可行的方法就是绘制散点 图．根据散点图，可看出两个变量是否具有相关关系，是否线性相关．
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故回归直线方程为 Y＝753X－2． 当 x＝5 时，y＝753×5－2＝71． 故预测第 5 年的销售量大约为 71 万件．
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合作探究·释疑难
类型 1 散点图及其应用
【例 1】 5 个学生的数学和物理成绩如下表：
学生
学科
A B CDE
数学 80 75 70 65 60
物理 70 66 68 64 62
程为 Y＝a＋bX，则
n
∑ xi－ x yi－ y
∑n xiyi－n－x －y
b^＝i＝1 n
＝i＝1n
，a^＝ y －b^ x ．
∑ xi－ x 2
∑x2i －n x 2
i＝1
i＝1
在线性回归方程 Y＝a＋bX 中，当一次项系数 b 为正数时， 其散点图有什么特征？
[提示] 在散点图上自左向右看这些点呈上升趋势．
[跟进训练]
2．某个服装店经营某种服装，在某周内纯获利 Y(元)与该周每天
销售这种服装件数 X 之间的一组数据如下表：
X3
4
5
6
7
8
9
Y 66
69
73
81
89
90
91
(1)求样本点的中心；
(2)画出散点图；
(3)求纯获利 Y 与每天销售件数 X 之间的回归方程．
[解] (1) x ＝6， y ≈79.86，样本点的中心为(6，79.86)． (2)散点图如下．
X
35
40
45
50
Y
56
41
28
11
(1)画出散点图，并判断 Y 与 X 是否具有线性相关关系； (2)求日销售量 Y 对销售单价 X 的线性回归方程；(b 取整数) (3)设经营此商品的日销售利润为 P 元，根据(2)写出 P 关于 X 的 函数关系式，并预测当销售单价 X 为多少元时，才能获得最大日销 售利润．
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4．某公司为了准确地把握市场，做好产品生产计划，对过去四
年的数据进行整理得到了第 X 年与年销售量 Y(单位：万件)之间的关
系如下表：
X
1
2
3
4
Y
12
28
42
56
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(1)在图中画出表中数据的散点图；
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(2)根据散点图选择合适的回归模型拟合 Y 与 X 的关系(不必说明
理由)；
第七章 统计案例
1 一元线性回归 2 成对数据的线性相关性 P56 3 独立性检验问题 P113
圆的周长 l 与半径 r 是什么关系？父亲的身高与儿子的身高之间 有何关系？这两个问题有什么不同？
1．变量之间的相关关系 (1)变量之间有一定的联系，但不能完全用函数来表达．如人的 体重 y 与身高 x．一般来说，身高越高，体重越重，但不能用一个函 数来严格地表示身高与体重之间的关系．相关关系是非__确__定__性关系， 因变量的取值具有一定的随机性．
(3)依题意，有 P＝(161.5－3X)(X－30)＝－3X2＋251.5X－4 845 ＝－3X－2561.52＋25112.52－4 845．
所以当 X＝2561.5≈42 时，P 有最大值，约为 426 元．即预测当 销售单价为 42 元时，能获得最大日销售利润．
对两个变量进行线性回归分析时，应先画出其散点图，看其是否 呈直线形，再依系数 a、b 的计算公式，算出 a、b.由于计算量较大， 所以在计算时应借助技术手段，认真细致，谨防计算中产生错误.
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3．为了研究某种细菌在特定环境下随时间变化的繁殖规律，得
到如下数据：
天数 X/天
3
4
5
6
7
繁殖个数 Y/万个 2.5
3
4
4.5
c
若已知回归直线方程为 Y＝0.85X－0.25，则表中 c 的值为
________．
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6 [ x ＝3＋4＋55＋6＋7＝5，y ＝2.5＋3＋54＋4.5＋c＝145＋c，代 入回归直线方程，得145＋c＝0.85×5－0.25，所以 c＝6．]
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)正方体的体积 V 与其边长 a 是函数关系．
()
(2)西瓜藤的长短与西瓜的产量不是函数关系．
()
(3)散点图可以粗略地判断两个变量是否具有线性相关关系．
()
(4)在求线性回归方程之前，应先判断这两个变量是否具有线性
相关关系．
()
[答案] (1)√ (2)√ (3)√ (4)√
(2)根据散点图观察，可以用线性回归模型拟合 Y 与 X 的关系．
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(3)观察(1)中散点图可知各点大致分布在一条直线附近，列出表
格：
i
xi
yi
x2i
xiyi
1
1
12
1
12
2
2
28
4
56
3
3
42
9
126
4
4
56
16
224
∑
10
138
30
418
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可得 x ＝52， y ＝629， 所以b^＝i＝Σ41i＝Σx41iyxi2i－－44－xx － 2y ＝41380－－44××52×522629＝753，a^＝ y －b^ x ＝629－ 753×52＝－2．
类型 2 求线性回归方程
【例 2】 某研究机构对高三学生的记忆力 X 和判断力 Y 进行统 计分析，得下表数据：
X
6
8
10
12
Y
2
3
5
6
(1)请画出上表数据的散点图；
(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出 Y 关于 X 的线性
回归方程 Y＝bX＋a．
[解] (1)散点图如图．
(2)因为 x ＝6＋8＋410＋12＝9， y ＝2＋3＋4 5＋6＝4，
2．求回归直线的方程时应注意的问题 (1)应首先进行相关性检验．如果两个变量之间不具有线性相关 关系，或者说它们之间的线性相关关系不显著，即使求出回归直线的 方程也是毫无意义的，用其估计和预测的值也是不可信的． (2)用公式计算 a，b 的值时，要先算出 b，然后才能算出 a．
3．利用回归方程，我们可以进行估计和预测．若回归方程为 Y ＝bX＋a，则 X＝x0 处的估计值为 y0＝bx0＋a．
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2．根据下表中的数据，得到的回归方程为 Y＝bX＋9，则 b＝( )
X
4
5
6
7
8
Y
5
4
3
2
1
A．2 B．1 C．0 D．－1
D [由题意可得 x ＝15×(4＋5＋6＋7＋8)＝6， y ＝15×(5＋4＋3 ＋2＋1)＝3，∵回归方程为 Y＝bX＋9 且回归直线过点(6，3)，∴3＝ 6b＋9，解得 b＝－1．]
Σ x2i ＝352＋402＋452＋502＝7 350．
i＝1
所以b^＝i＝Σ41x4iyi－4－x －y ＝5 Σ x2i －4 x 2
471305－0－4×4×424.52×.5234＝－123570≈－3．
i＝1
a^＝ y －b^ x ＝34－(－3)×42.5＝161.5．
所以线性回归方程为 Y＝161.5－3X．
(3)建立 Y 关于 X 的回归方程，预测第 5 年的销售量．
参考公式：回归直线 X 的斜率和截距的最小二乘估计分别为
n
Σ xi－ x yi－ y
n
Σ
xiyi－n－x －y
b^＝i＝1 n
＝i＝1n
，a^＝ y －b^ x ．
Σ xi－ x 2
Σ x2i －n x 2
i＝1
Hale Waihona Puke Baidu
i＝1
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[解] (1)作出的散点图如图．
[跟进训练] 3．在一段时间内，某种商品的价格 X(万元)和需求量 Y(t)之间的 一组数据如下表所示：
价格 X
1.4
1.6
1.8
2
2.2
需求量 Y
12
10
7
5
3
(1)画出散点图；
(2)求出 Y 对 X 的回归直线方程；
(3)如价格定为 1.9 万元，预测需求量大约是多少．(精确到 0.01 t)