2005年全国3文_数学解答(四川、陕西、云南、甘肃)

2005年高考文科数学全国卷Ⅲ试题及答案
（四川
陕西甘肃等地区用）
本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分. 共150分. 考试时间120分钟
第I 卷
参考公式： 如果事件A 、B 互斥，那么
P （A+B ）=P （A ）+P （B ） 如果事件A 、B 相互独立，那么
P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）
如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率
P n (k)=C k n
P k (1－P)n －k
一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的） （1）已知α为第三象限角，则
2
α
所在的象限是 （A ）第一或第二象限 （B ）第二或第三象限
（C ）第一或第三象限 （D ）第二或第四象限
（2）已知过点A(-2，m)和B(m ，4)的直线与直线2x+y-1=0平行，则m 的值为
（A ）0 （B ）-8 （C ）2 （D ）10 （3）在8(1)(1)x x -+的展开式中5
x 的系数是
（A ）-14 （B ）14 （C ）-28 （D ）28
(4)设三棱柱ABC-A 1B 1C 1的体积为V ，P 、Q 分别是侧棱AA 1、CC 1上的点，且PA=QC 1，则四棱锥B-APQC 的体积为
（A ）16V （B ）14V （C ）13V （D ）12
V （5）设1
37
x
=
，则 （A ）-2<x<-1 （B ）-3<x<-2 （C ）-1<x<0 （D ）0<x<1 (6)若ln 2ln 3ln 5
,,235
a b c =
==,则 (A)a<b<c (B)c<b<a (C)c<a<b (D)b<a<c (7)设02x π≤<,
sin cos x x =-,则
(A) 0x π≤≤ (B)
74
4x π
π≤≤
(C) 544x ππ≤≤ (D) 322
x ππ
≤≤
(8)
22sin 2cos 1cos 2cos 2αα
αα
⋅=+ 球的表面积公式
S=42
R π
其中R 表示球的半径， 球的体积公式
V=3
3
4R π， 其中R 表示球的半径
(A) tan α (B) tan 2α (C) 1 (D)
12
（9）已知双曲线2
2
12
y x -=的焦点为F 1、F 2，点M 在双曲线上且120,MF MF ⋅=则点M 到x 轴的距离为
（A ）
43 （B ）53 （C （D （10）设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2
为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是
（A ）
2 （B ）12
（C ）2- （D 1 （11）不共面的四个定点到平面α的距离都相等，这样的平面α共有
（A ）3个 （B ）4个 （C ）6个 （D ）7个
（12）计算机中常用十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A ～F 共16个
例如，用十六进制表示：E+D=1B ，则A ×B=
（A ）6E （B ）72 （C ）5F （D ）B0
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上 （13）经问卷调查，某班学生对摄影分别执“喜欢”、“不喜欢”和“一般”三种态度，其中执“一般”态度的比“不喜欢”态度的多12人，按分层抽样方法从全班选出部分学生座谈摄影，如果选出的5位“喜欢”摄影的同学、1位“不喜欢”摄影的同学和3位执“一般”态度的同学，那么全班学生中“喜欢”摄影的比全班人数的一半还多 人
（14）已知向量(,12),(4,5),(,10)OA k OB OC k ===-，且A 、B 、C 三点共线，则k= （15）曲线32y x x =-在点（1，1）处的切线方程为
（16）已知在△ABC 中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，P 是AB 上的点，则点P 到AC 、BC 的距离乘积的最大值是
三、解答题：
(17)(本小题满分12分)
已知函数2
()2sin sin 2,[0,2].f x x x x π=+∈求使()f x 为正值的x 的集合
（18）(本小题满分12分)
设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾的概率为0.05，甲、丙都需要照顾的概率为0.1，乙、丙都需要照顾的概率为0.125， （Ⅰ）求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是多少； （Ⅱ）计算这个小时内至少有一台需要照顾的概率 （19）(本小题满分12分)
在四棱锥V-ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧面V AD 是正三角形， 平面V AD ⊥底面ABCD
1）求证AB ⊥面V AD ；
2）求面VAD 与面VDB 所成的二面角的大小
（20）(本小题满分12分)
在等差数列{}n a 中，公差0d ≠，2a 是1a 与4a 的等差中项，已知数列1a ,3a ,1k a ,2k a , ……,n k a ,……成等比数列，求数列{}n k 的通项n k
(21) (本小题满分12分)
用长为90cm,宽为48cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个小正方形,然后把四边翻转90°角,再焊接而成(如图),问该容器的高为多少时,容器的容积最大?最大容积是多少?
(22) (本小题满分14分)
设1122(,),(,)A x y B x y 两点在抛物线2
2y x =上，l 是AB 的垂直平分线， （Ⅰ）当且仅当12x x +取何值时，直线l 经过抛物线的焦点F ？证明你的结论； （Ⅱ）当121,3x x ==-时，求直线l 的方程
2005年高考全国卷Ⅲ数学试题及答案 （四川陕西云南甘肃等地区用）
参考答案
一、DBBCA ，CCBCD ，DA 二、13.3，14.2
3
-，15.x+y-2=0，16.3 三、解答题：
（17）解：∵()1cos 2sin 2f x x x =-+……………………………………………2分
1)4
x π
=-………………………………………………4分
()01)04
f x x π
∴>⇔+-
>
sin(2)4x π⇔->…………………………………………6分 52224
4
4
k x k π
π
π
ππ⇔-
+<-
<
+……………………………8分 34
k x k π
ππ⇔<<
+………………………………………………10分 又[0,2].x π∈ ∴37(0,
)(,)44
x ππ
π∈⋃………………………………………………12分 另法：2
2
()2sin sin 22sin 2sin cos 2sin (sin cos )f x x x x x x x x x =+=+=+
()f x 为正值当且仅当sin x 与sin cos x x +同号，
在[0,2]x π∈上，
若sin x 与sin cos x x +均为正值，则3(0,
)4x π
∈； 若sin x 与sin cos x x +均为负值，则7(,)4
x ππ∈ 所以所求x 的集合为37(0,)(,)44
πππ （18）解：（Ⅰ）记甲、乙、丙三台机器在一小时需要照顾分别为事件A 、B 、C ，……1分
则A 、B 、C 相互独立， 由题意得：
P （AB ）=P （A ）P （B ）=0.05 P （AC ）=P （A ）P （C ）=0.1
P （BC ）=P （B ）P （C ）=0.125…………………………………………………………4分 解得：P （A ）=0.2；P （B ）=0.25；P （C ）=0.5
所以, 甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是0.2、0.25、0.5……6分
（Ⅱ）∵A 、B 、C 相互独立，∴A
B C 、、相互独立，……………………………………7分
∴甲、乙、丙每台机器在这个小时内需都不需要照顾的概率为
()()()()0.80.750.50.3P A B C P A P B P C ⋅⋅==⨯⨯=……………………………10分
∴这个小时内至少有一台需要照顾的概率为1()10.30.7p P A B C =-⋅⋅=-=……12分 （19）（本小题满分12分）
四棱锥V-ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧面VAD 是正三角形， 平面VAD ⊥底面ABCD 1）求证AB ⊥面VAD ；
2）求面VAD 与面VDB 所成的二面角的大小．
证法一：（1）由于面VAD 是正三角形，设AD 的中点为E ，则VE
⊥AD ，而面VAD ⊥底面ABCD ，则VE ⊥AB
又面ABCD 是正方形，则AB ⊥CD ，故AB ⊥面VAD
（2）由AB ⊥面VAD ，则点B 在平面VAD 内的射影是A ，设VD 的中点为F ，连AF ，BF 由△VAD 是正△，则AF ⊥VD ，由三垂线定理知BF
⊥VD ，故∠AFB 是面VAD 与面VDB 所成的二面角的平面角
设正方形ABCD 的边长为a ，
则在Rt △ABF 中，,AB=a, AF=
2
3
a ，tan ∠AFB =3
3
22
3
==
a a AF AB 故面VAD 与面VDB 所成的二面角的大小为3
3
2arctan
证明二：（Ⅰ）作AD 的中点O ，则VO ⊥底面ABCD ．…………1分
建立如图空间直角坐标系，并设正方形边长为1，………2分
则A （
12，0，0），B （12，1，0），C （-12，1，0），D （-12，0，0），V （0，0
2
）， ∴1
(0,1,0),(1,0,0),(,0,
)22
AB AD AV ===-……3分 由(0,1,0)(1,0,0)0AB AD AB AD ⋅=⋅=⇒⊥…………4分
13
(0,1,0)(,0,)02AB AV AB AV ⋅=⋅-=⇒⊥……5分
又AB ∩AV=A ∴AB ⊥平面VAD …………………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得(0,1,0)AB =是面VAD 的法向量……………………7分
设(1,,)
n y z =是面VDB
的法向量，则
110(1,,)(,1,0(1,1,220(1,,)(1,1,0)03x n VB y z n z n BD y z =-⎧⎧⎧⋅=⋅-=⎪⎪⎪
⇒⇒⇒=-⎨⎨⎨=⋅=⎪⎪⎪⎩⋅--=⎩⎩
……9分
∴
(0,1,0)(1,
cos,
7
AB n
⋅-
<>==-11分又由题意知，面VAD与面VDB
所成的二面角，所以其大小为arccos
7
……12分（II）证法三：由（Ⅰ）得(0,1,0)
AB =是面VAD的法向量…………………7分设平面VDB的方程为mx+ny+pZ+q=0,将V.B.D三点的坐标代入可得
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
=
+
=
+
-
=
+
+
2
3
2
1
2
1
q
p
q
m
q
n
m
解之可得
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
-
=
-
=
=
q
p
q
n
q
m
3
2
2
2
令q=,
2
1则平面VDB的方程为x-y+
3
3Z+
2
1=0
故平面VDB的法向量是)
3
3
,1
,1(-
=
n………………………………9分
∴
(0,1,0)(1,
cos,
7
AB n
⋅-
<>==-11分又由题意知，面VAD与面VDB
所成的二面角，所以其大小为arccos
7
……12分
（20）解：由题意得：2
214
a a a
=………………………………1分
即2
111
()(3)
a d a a d
+=+…………………………………………3分
又0,
d≠∴
1
a d
=……………………………………………………4分
又
1
a,
3
a,
1
k
a,
2
k
a,……,
n
k
a,……成等比数列，
∴该数列的公比为3
1
3
3
a d
q
a d
===，………………………6分
所以1
1
3
n
n
k
a a+
=⋅…………………………………………8分
又
11
(1)
n
k n n
a a k d k a
=+-=…………………………10分
∴1
3n
n
k+
=
所以数列{}n k 的通项为13n n k +=……………………………12分
（21）解：设容器的高为x ，容器的体积为V ，……………………1分 则V=（90-2x ）（48-2x ）x,(0<V<24)…………………………………5分 =4x 3-276x 2+4320x
∵V ′=12 x 2-552x+4320……………………………………………7分 由V ′=12 x 2-552x+4320=0得x 1=10，x 2=36 ∵x<10 时，V ′>0, 10<x<36时，V ′<0, x>36时，V ′>0,
所以,当x=10,V 有极大值V(10)=1960………………………………10分 又V(0)=0,V(24)=0,…………………………………………………11分
所以当x=10,V 有最大值V(10)=1960……………………………………12分
（22）解：（Ⅰ）∵抛物线2
2y x =，即2
2y x =
，∴1
4
p =， ∴焦点为1
(0,)8
F ………………………………………………1分 （1）直线l 的斜率不存在时，显然有12x x +=0……………3分 （2）直线l 的斜率存在时，设为k ， 截距为b
即直线l ：y=kx+b 由已知得：
121212122
21k b
k y y x x y y x x ⎧++⎪=⋅+⎪⎨
-⎪=-⎪
-⎩
………………………………5分 221
21222
12122212222k b k x x x x x x x x ⎧++=⋅+⎪
⎪
⇒⎨-⎪=-⎪-⎩
22121212212k b k x x x x x x +⎧+=⋅+⎪⎪⇒⎨
⎪+=-⎪⎩
…………………………………7分 22
12104
b x x ⇒+=-+≥
14
b ⇒≥
即l 的斜率存在时，不可能经过焦点1(0,)8
F ………………………8分 所以当且仅当12x x +=0时，直线l 经过抛物线的焦点F …………9分
（Ⅱ）当121,3x x ==-时，
直线l 的斜率显然存在，设为l ：y=kx+b ……………………10分 则由（Ⅰ）得：
221
21212212k b k x x x x x x +⎧+=⋅+⎪⎪⎨
⎪+=-⎪⎩
12
10212
2k b k x x +⎧⋅+=⎪⎪⇒⎨
⎪-=-⎪⎩
………………………………11分 14414
k b ⎧=⎪⎪⇒⎨⎪=⎪⎩……………………………………………13分 所以直线l 的方程为141
44
y x =
+，即4410x y -+=………………14分。