第一章 信号与系统概论(2)
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(t t 0 ) dt 1 (t t 0 ) 0 t t0
0
t
t
0
冲激函数的性质 t 1 t t dt
2 1
当t1 0 t 2时 否则
0
偶函数
(t ) (t )
积分 筛选
t
( )d u(t )
t
2 1
0 0
2
1 t 3dt 0
0 2t 0
e t dt e t dt e t dt 1
2t 2t
1 x xdx xdx ut
t t
d dt
u(t ) (t )
(t t0 ) f (t )dt
f (t0 ) (t t0 ) dt f (t0 )
相乘
f (t ) (t t0 ) f (t0 ) (t t0 )
冲激函数的尺度性质
冲激函数的尺度性质 证明：利用冲激函数 的偶性、阶跃函数的 尺度性和冲激函数是 阶跃函数的微分，有
' '
f t f ti f ti t ti f ti t ti
根据尺度性质，有
f t
n i 1
f ti
'
1
t ti
冲激偶信号——
1
d '(t ) (t ) dt
取极限
0
(t )
8.单位冲激信号
单位冲激信号的各种定义 连续时间单位冲激信号 (t ) ——持续时间无穷小，瞬间幅度无穷 大，涵盖面积恒为1的一种理想信号。 狄拉克定义
当t 0时 t 0 t dt 1
(t )
0
t
冲激函数的性质
单位冲激平移
复指数信号和正弦信号关系图
f (t ) Ke st
复指数信号
实指数信号 幅度和相位都是实数
一般复指数 指数增长正弦 指数衰减正弦 幅度和相位都是实数
周期复指数信号 纯虚数指数
取实部 正弦信号
4.抽样信号
sin t 抽样信号 Sa (t ) ，t＝0时，值为1。 t
特点： 1.是偶函数； 2.过零点：t ,2 , n 3. 0 Sa(t )dt 2
at
实际上，经常遇到的是因果指数衰减信号
f(t)
1 f(t)
Keat(a>0) K Keat(a=0) Keat(a<0)
0.368
0
t
0
τ
t
2.正弦信号
正弦信号和余弦信号统称为正弦信号，一 般可表示为： f t K sin t 其中 K 为振幅， 是角频率， 称为初 2 1 相位。正弦信号的周期 T ， f 其中 f 是频率。 与指数信号相似，正弦信号对时间的微分 f(t) 或积分仍是正弦信号
§ 1-3 信号的运算
f(t)
f(t) 1
y(t)
y(t)
2
x(t)
x(t) 0
t0 0
0 f(t) 2
t ∫∞ f(τ)dτ
0
t
x(t) 0
1
4
5
t
-1
t
4 0 1
5 t
— a
1
-2
0
t0
t
信号微分
信号积分
信号的非线性映射
§ 1-3 信号的运算
f (t ) f(
二维信号（图像）的微分运算（边缘提取）
0时刻对某电路接入单位电源，并无限持续下去 延迟一定时间后接入单位电源，并无限持续下去
矩形窗函数：G0, T t u t u t T T T GT t u t u t 2 2 Gt1 , t2 t u t t1 u t t2
f (t ) f(
2.
对信号值的运算
信号映射使运算结果仅取决于即时的信号值，通 常可用输入-输出信号转移特性表示。 信号的非即时运算使运算结果取决于一段时间区 间的信号值，一般它要由进行此运算的系统特性 ，如微分方程，来描述。 多个信号的非即时运算要有进行该运算的多变量 系统特性，如微分方程组描述。
求 导
1
2
取极限
0
(t )
'
冲激偶的性质
面积
'(t )dt 0
“筛选”
' (t ) f (t )dt f ' (0)
' '
(t t0 ) f (t )dt f (t0 )
例1-3 计算 t t 1 1 t 1 t 1
两信号的相加与相乘
两信号相加：
两信号相乘：
§ 1-4 典型信号
指数信号 正弦信号 复指数信号 抽样信号 冲激信号 阶跃信号 斜坡信号 符号函数
1.指数信号
指数信号的表示式为： f (t ) Ke 其中 a 是实数。若 a 0 ，信号为指 数增长函数；若 a 0 ，信号是直流信 号，其值恒等于常量；若 a 0 ，信号 为指数衰减函数。 指数信号的一个重要特点是它对时间的微 分或积分仍然是指数信号。
0 3 cost t dt cost t dt cos 3 3 3 2
d 2t 1 t e u t 1 t 2e 2t u t e 2t t 2t 1e 2t u t t dt
1
0
t0
t
6. 符号函数
定义
1 sgn(t ) 0 1
(t 0) (t 0) (t 0)
sgn(t)
1 0
-1
可用阶跃信号表示
sgn( t ) 2u (t ) 1
信号的因果和反因果分解
任意信号 f (t ) 有因果反因果分解
f (t ) f (t ) f (t ) 因果分量：f (t ) f (t )u (t ) 反因果分量：f - (t ) f (t )u (t )
7. 斜坡信号
阶跃信号的积分是斜坡信号 t >=0 r(t) = t t <0 r(t) = 0
1
r(t)
t >= t0 r(t-t0) = t - t0 t < t0 r(t-t0) = 0
1 r(t-t0)
0
1
t
0
பைடு நூலகம்t0
t0+1
t
例1-2 写出图1-16(a) 示出的信号的 表达式。
f t ut ut 1 ut 2 ut 3 ut 4 ut 5
Sa(t )dt
sin( t ) 4. sin c(t ) t
5.单位阶跃信号
0 t 1 u (t ) 1 t 0 1 t 0 2
1
0 1 u (t t0 ) 1 2
1
t t0 t t0 t t0
0
t
t0
单位阶跃信号的物理背景
阶跃信号的应用
阶跃信号可用作示性函数或二值化函数 对信号 f (t ) 进行阶跃变换 u f (t ) 可用来检 测该信号的符号，也可用作表示信号具有 某种特性的示性函数，即可借用阶跃变换 定义示性函数 1, 当信号f t 具有第i个特性时， i f t 否则。 0，
K
T 0 π — ω
θ — ω
— ω
2π
t
2.正弦信号
在信号与系统分析中，常用到指数衰减的 正弦信号，其正弦振荡的幅度即包络按指 数规律衰减，其表示式为
0 f (t ) t Ke sin t
t 0 t 0
3.复指数信号
复指数信号是指数因子为复数的指数信号， 其表示式为 f (t ) Ke st , 其中 s j 是复频率 s 的实部， 是其虚部。 上式用欧拉公式展开后，有 f (t ) Ke j t Ket cost jKet sint 指数因子的实部 表征了正弦振荡幅度 的指数变化情况， 0 时指数增长， 0 时指数衰减。指数因子的虚部 表征了 正弦振荡的角频率。
f (t ) f(
信号时间变量运算的物理意义
信号的折叠变换，就是将“未来”与“过去”互 换，这显然是不能用硬件实现的，所以并无实际 意义，但它具有理论意义。 信号的时移变换用时移器(也称延时器)实现 ，当 t0＞0时，延时器为因果系统，是可以用硬件实现 的；当t0＜0时，延时器是非因果系统， 此时的 延时器变成为预测器。 信号移位实际应用：雷达、声纳以及地震信号检 测；通信系统中接收信号与原信号的延迟时间。
f(t) 1 1 -2 -1 0 (a) 1 t f(3t-2)
f (t ) f(
0 (c)
2 — 3
1
t
f(t-2) f(-3t-2) 1
0 (b)
1
2
3
t
-1
2 — 3
0 (d)
t
2.
对信号值的运算
对函数值的运算可分类为一元运算和多元运算， 即时运算（又称为映射）和非即时运算，线性运 算和非线性运算。 一元运算是对单输入信号的运算，如微分和积分 ，信号与常数的乘或加运算等；多元运算是对多 个输入信号的运算，如两个信号加权。
更一般的坐标变换是 f (at b), a, b为实常数 1 它是信号向右平移b，再扩展 a 倍，如果 a 0 ，还需翻转。也可通过把信号首先尺度 1 倍，然 b a 后向右平移 来得到。 a 注意所有的变换是针对时间变量t的。 做尺度变换时注意含有特殊信号的情况，例如单位 冲激信号。 基于尺度变换和移位的小波信号分析。
G0,T(t) 1
GT(t)
T (a)
t
T — 0 2
T — 2
t
(b)
e-tG0,t0(t)
表示在t1时刻接入而在t2时刻断开的窗函数 f t f t Gt1 , t2 t 0
t t , t t t , t
1 2 1 2
§ 1-3 信号的运算
1.
对时间变量的运算：即线性坐标变换，包括 平移、翻转和尺度变换。 f (t ) 是信号 f (t ) 的平移，其中右移时为延 迟；左移时为超前。 f (t ) 是信号的翻转，它把信号的波形绕纵轴 旋转180度。 f (at ) 是信号的尺度变换，其中，当 a 1 时为波形的收缩；当 0 a 1时为波形的扩展。
图1-2
f(t) f(t) f(t) 0 f(t-t1) (t1>0) 0 t1 (a) f(t+t2) (t2>0) t2 0 (b) t -2 0 (e) 2 t t -1 0 (c) 1 t
1 — 2
t
-1
0 f(-t)
1
t
-1
0
1 f(2t)
t
0
1 — 2
t
(d) f(—) 2
t
例1-1 f (t ) 如图1-3(a)所示，试画出 f (3t 2) 解:首先，如图1-3(b)所示把波形右移2； 然后，如图1-3(c)所示把信号时域压缩到1/3； 最后，如图1-3(d)所示把波形翻转得所需波形。
1 (at ) (t ) a
u ( a t ) u (t ) a (at ) a ( a t ) (t ) 1 (at ) (t ) a
冲激函数的检零性质
当冲激函数应用于非线性函数时，具有 检测其零点，并反映其导数的性质。 由于函数在其零点 t i ，i=1, 2, …, n 有 f ti 0 ，使得在其零点领域，有
0
t
t
0
冲激函数的性质 t 1 t t dt
2 1
当t1 0 t 2时 否则
0
偶函数
(t ) (t )
积分 筛选
t
( )d u(t )
t
2 1
0 0
2
1 t 3dt 0
0 2t 0
e t dt e t dt e t dt 1
2t 2t
1 x xdx xdx ut
t t
d dt
u(t ) (t )
(t t0 ) f (t )dt
f (t0 ) (t t0 ) dt f (t0 )
相乘
f (t ) (t t0 ) f (t0 ) (t t0 )
冲激函数的尺度性质
冲激函数的尺度性质 证明：利用冲激函数 的偶性、阶跃函数的 尺度性和冲激函数是 阶跃函数的微分，有
' '
f t f ti f ti t ti f ti t ti
根据尺度性质，有
f t
n i 1
f ti
'
1
t ti
冲激偶信号——
1
d '(t ) (t ) dt
取极限
0
(t )
8.单位冲激信号
单位冲激信号的各种定义 连续时间单位冲激信号 (t ) ——持续时间无穷小，瞬间幅度无穷 大，涵盖面积恒为1的一种理想信号。 狄拉克定义
当t 0时 t 0 t dt 1
(t )
0
t
冲激函数的性质
单位冲激平移
复指数信号和正弦信号关系图
f (t ) Ke st
复指数信号
实指数信号 幅度和相位都是实数
一般复指数 指数增长正弦 指数衰减正弦 幅度和相位都是实数
周期复指数信号 纯虚数指数
取实部 正弦信号
4.抽样信号
sin t 抽样信号 Sa (t ) ，t＝0时，值为1。 t
特点： 1.是偶函数； 2.过零点：t ,2 , n 3. 0 Sa(t )dt 2
at
实际上，经常遇到的是因果指数衰减信号
f(t)
1 f(t)
Keat(a>0) K Keat(a=0) Keat(a<0)
0.368
0
t
0
τ
t
2.正弦信号
正弦信号和余弦信号统称为正弦信号，一 般可表示为： f t K sin t 其中 K 为振幅， 是角频率， 称为初 2 1 相位。正弦信号的周期 T ， f 其中 f 是频率。 与指数信号相似，正弦信号对时间的微分 f(t) 或积分仍是正弦信号
§ 1-3 信号的运算
f(t)
f(t) 1
y(t)
y(t)
2
x(t)
x(t) 0
t0 0
0 f(t) 2
t ∫∞ f(τ)dτ
0
t
x(t) 0
1
4
5
t
-1
t
4 0 1
5 t
— a
1
-2
0
t0
t
信号微分
信号积分
信号的非线性映射
§ 1-3 信号的运算
f (t ) f(
二维信号（图像）的微分运算（边缘提取）
0时刻对某电路接入单位电源，并无限持续下去 延迟一定时间后接入单位电源，并无限持续下去
矩形窗函数：G0, T t u t u t T T T GT t u t u t 2 2 Gt1 , t2 t u t t1 u t t2
f (t ) f(
2.
对信号值的运算
信号映射使运算结果仅取决于即时的信号值，通 常可用输入-输出信号转移特性表示。 信号的非即时运算使运算结果取决于一段时间区 间的信号值，一般它要由进行此运算的系统特性 ，如微分方程，来描述。 多个信号的非即时运算要有进行该运算的多变量 系统特性，如微分方程组描述。
求 导
1
2
取极限
0
(t )
'
冲激偶的性质
面积
'(t )dt 0
“筛选”
' (t ) f (t )dt f ' (0)
' '
(t t0 ) f (t )dt f (t0 )
例1-3 计算 t t 1 1 t 1 t 1
两信号的相加与相乘
两信号相加：
两信号相乘：
§ 1-4 典型信号
指数信号 正弦信号 复指数信号 抽样信号 冲激信号 阶跃信号 斜坡信号 符号函数
1.指数信号
指数信号的表示式为： f (t ) Ke 其中 a 是实数。若 a 0 ，信号为指 数增长函数；若 a 0 ，信号是直流信 号，其值恒等于常量；若 a 0 ，信号 为指数衰减函数。 指数信号的一个重要特点是它对时间的微 分或积分仍然是指数信号。
0 3 cost t dt cost t dt cos 3 3 3 2
d 2t 1 t e u t 1 t 2e 2t u t e 2t t 2t 1e 2t u t t dt
1
0
t0
t
6. 符号函数
定义
1 sgn(t ) 0 1
(t 0) (t 0) (t 0)
sgn(t)
1 0
-1
可用阶跃信号表示
sgn( t ) 2u (t ) 1
信号的因果和反因果分解
任意信号 f (t ) 有因果反因果分解
f (t ) f (t ) f (t ) 因果分量：f (t ) f (t )u (t ) 反因果分量：f - (t ) f (t )u (t )
7. 斜坡信号
阶跃信号的积分是斜坡信号 t >=0 r(t) = t t <0 r(t) = 0
1
r(t)
t >= t0 r(t-t0) = t - t0 t < t0 r(t-t0) = 0
1 r(t-t0)
0
1
t
0
பைடு நூலகம்t0
t0+1
t
例1-2 写出图1-16(a) 示出的信号的 表达式。
f t ut ut 1 ut 2 ut 3 ut 4 ut 5
Sa(t )dt
sin( t ) 4. sin c(t ) t
5.单位阶跃信号
0 t 1 u (t ) 1 t 0 1 t 0 2
1
0 1 u (t t0 ) 1 2
1
t t0 t t0 t t0
0
t
t0
单位阶跃信号的物理背景
阶跃信号的应用
阶跃信号可用作示性函数或二值化函数 对信号 f (t ) 进行阶跃变换 u f (t ) 可用来检 测该信号的符号，也可用作表示信号具有 某种特性的示性函数，即可借用阶跃变换 定义示性函数 1, 当信号f t 具有第i个特性时， i f t 否则。 0，
K
T 0 π — ω
θ — ω
— ω
2π
t
2.正弦信号
在信号与系统分析中，常用到指数衰减的 正弦信号，其正弦振荡的幅度即包络按指 数规律衰减，其表示式为
0 f (t ) t Ke sin t
t 0 t 0
3.复指数信号
复指数信号是指数因子为复数的指数信号， 其表示式为 f (t ) Ke st , 其中 s j 是复频率 s 的实部， 是其虚部。 上式用欧拉公式展开后，有 f (t ) Ke j t Ket cost jKet sint 指数因子的实部 表征了正弦振荡幅度 的指数变化情况， 0 时指数增长， 0 时指数衰减。指数因子的虚部 表征了 正弦振荡的角频率。
f (t ) f(
信号时间变量运算的物理意义
信号的折叠变换，就是将“未来”与“过去”互 换，这显然是不能用硬件实现的，所以并无实际 意义，但它具有理论意义。 信号的时移变换用时移器(也称延时器)实现 ，当 t0＞0时，延时器为因果系统，是可以用硬件实现 的；当t0＜0时，延时器是非因果系统， 此时的 延时器变成为预测器。 信号移位实际应用：雷达、声纳以及地震信号检 测；通信系统中接收信号与原信号的延迟时间。
f(t) 1 1 -2 -1 0 (a) 1 t f(3t-2)
f (t ) f(
0 (c)
2 — 3
1
t
f(t-2) f(-3t-2) 1
0 (b)
1
2
3
t
-1
2 — 3
0 (d)
t
2.
对信号值的运算
对函数值的运算可分类为一元运算和多元运算， 即时运算（又称为映射）和非即时运算，线性运 算和非线性运算。 一元运算是对单输入信号的运算，如微分和积分 ，信号与常数的乘或加运算等；多元运算是对多 个输入信号的运算，如两个信号加权。
更一般的坐标变换是 f (at b), a, b为实常数 1 它是信号向右平移b，再扩展 a 倍，如果 a 0 ，还需翻转。也可通过把信号首先尺度 1 倍，然 b a 后向右平移 来得到。 a 注意所有的变换是针对时间变量t的。 做尺度变换时注意含有特殊信号的情况，例如单位 冲激信号。 基于尺度变换和移位的小波信号分析。
G0,T(t) 1
GT(t)
T (a)
t
T — 0 2
T — 2
t
(b)
e-tG0,t0(t)
表示在t1时刻接入而在t2时刻断开的窗函数 f t f t Gt1 , t2 t 0
t t , t t t , t
1 2 1 2
§ 1-3 信号的运算
1.
对时间变量的运算：即线性坐标变换，包括 平移、翻转和尺度变换。 f (t ) 是信号 f (t ) 的平移，其中右移时为延 迟；左移时为超前。 f (t ) 是信号的翻转，它把信号的波形绕纵轴 旋转180度。 f (at ) 是信号的尺度变换，其中，当 a 1 时为波形的收缩；当 0 a 1时为波形的扩展。
图1-2
f(t) f(t) f(t) 0 f(t-t1) (t1>0) 0 t1 (a) f(t+t2) (t2>0) t2 0 (b) t -2 0 (e) 2 t t -1 0 (c) 1 t
1 — 2
t
-1
0 f(-t)
1
t
-1
0
1 f(2t)
t
0
1 — 2
t
(d) f(—) 2
t
例1-1 f (t ) 如图1-3(a)所示，试画出 f (3t 2) 解:首先，如图1-3(b)所示把波形右移2； 然后，如图1-3(c)所示把信号时域压缩到1/3； 最后，如图1-3(d)所示把波形翻转得所需波形。
1 (at ) (t ) a
u ( a t ) u (t ) a (at ) a ( a t ) (t ) 1 (at ) (t ) a
冲激函数的检零性质
当冲激函数应用于非线性函数时，具有 检测其零点，并反映其导数的性质。 由于函数在其零点 t i ，i=1, 2, …, n 有 f ti 0 ，使得在其零点领域，有