2016年高考山东卷理数试题解析(正式版)
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两式作差，得
Tn 3 [2 22 23 24 2n 1 (n 1) 2n 2 ]
4(2n 1) 3 [4 (n 1) 2n 2 ] 2 1 n2 3n 2
所以 Tn 3n 2 n 2 考点：数列前 n 项和与第 n 项的关系；等差数列定义与通项公式；错位相减法
1 .若 n⊥（tm+n） ，则实数 t 的值为 3 9 9 （C） （D）– 4 4
考点：平面向量的数量积 （9）已知函数 f(x)的定义域为 R.当 x<0 时， f ( x) x 1 ；当 1 x 1 时， f ( x) f ( x) ；当 x
3
1 2
时， f ( x ) f ( x ) .则 f(6)= （A）−2 【答案】D 【解析】 （B）−1 （C）0 （D）2
3 3 [ 1,1] ，所以所求概率 P= 2 2 4.
考点：直线与圆位置关系；几何概型
x m， | x |, （15）已知函数 f ( x) 2 其中 m 0 ，若存在实数 b，使得关于 x 的方程 f（x）=b 有三 x 2mx 4m, x m，
个不同的根，则 m 的取值范围是_________. 【答案】 (3, ) 【解析】 试题分析：由题意画出函数图像如下图所示，要满足存在实数 b，使得关于 x 的方程 f（x）=b 有三个不同的根，则 4m m m ，解得 m 3 ，故 m 的取值范围是 (3, ) .
则直线a和直线b相交是平面和平面相交的a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件答案a解析试题分析
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绝密★启用前
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共 4 页.满分 150 分.考试用时 120 分钟.考试结束后，将将本试卷和 答题卡一并交回.
注意事项：
1.答卷前，考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡 和试卷规定的位置上. 2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答 题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干 净后，再选涂其他答案标号.答案写在试卷上无效. 3. 第Ⅱ卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能 写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修 正带.不按以上要求作答的答案无效. 4.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
第Ⅱ卷（共 100 分） 二、填 空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分.
（11）执行右边的程序框图，若输入的 a,b 的值分别为 0 和 9，则输出的 i 的值为________.
【答案】3 【解析】
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试题分析：第一次 循环： a 1, b 8 ；第二次循环： a 3, b 6 ；第三次循环： a 6, b 3 ；满足条件， 结束循环，此时， i 3 . 考点：循环结构的程序框图 （12）若（ax2+ 【答案】-2 【解析】 试题分析：因为 Tr 1 C5r (ax 2 )5 r (
参考公式：
如果事件 A,B 互斥，那么 P(A+B)=P(A)+P(B)；如果事件 A,B 独立，那么 P(AB)=P(A)·P(B).
第Ⅰ卷（共 50 分） 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的
（1）若复数 z 满足 2 z z 3 2i, 其中 i 为虚数单位，则 z= （A）1+2i 【答案】B （B）1 2i （C） 1 2i （D） 1 2i
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（19） （本小题满分 12 分） 甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都 猜对，则“星队”得 3 分；如果只有一个人猜对，则“星队”得 1 分；如果两人都没猜对，则“星队”得 0 分.已知甲每轮猜对的概率是
π 2
（B）π
（C）
3π 2
（D）2π
2 2cos x 2sin 2 x ,故最小正周期 T 2 ,故选 B. 6 6 3
考点：三角函数化简，周期公式 （8）已知非零向量 m，n 满足 4│m│=3│n│，cos<m，n>= （A）4 【答案】B （B）–4
5 10 r 1 r 5 ) C5r a 5 r x 2 ，所以由 10 r 5 r 2 ，因此 2 x
1 ）5 的展开式中 x5 的系数是—80，则实数 a=_______. x
C52 a 5 2 80 a 2.
考点：二项式定理 （13）已知双曲线 E：
1 2
1 2
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试题分析：当 x
1 1 1 1 时， f ( x ) f ( x ) ,所以当 x 时，函数 f ( x) 是周期为 1 的周期函数，所以 2 2 2 2
3 f (6) f (1) ，又函数 f ( x) 是奇函 数，所以 f (1) f (1) 1 1 2 ，故选 D.
上随机地取一个数 k， 则事件 “直线 y=kx 与圆 ( x
5)2
y2
9 相交” 发生的概率为
.
【答案】 【解析】
3 4
试题分析：直线 y=kx 与圆 ( x
5) 2
y2
9 相交,需要满足圆心到直线的距离小于半径，即 d
| 5k | 1 k2
3，
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解得
3 3 k ，而 k 4 4
当且仅当 a b 时，等号成立. 故 cos C 的最小值为
1 . 2
考点：两角和的正弦公式、正切公式、正弦定 理、余弦定理及基本不等式. （17） （本小题满分 12 分） 在如图所示的圆台中，AC 是下底面圆 O 的直径，EF 是上底面圆 O ' 的直径，FB 是圆台的一条母线. （I）已知 G,H 分别为 EC，FB 的中点，求证：GH∥平面 ABC； （II）已知 EF=FB=
2 2
原点距离的平方,最大值必在顶点处取到,经验证最大值为 OC 10 ,故选 C. 考点：线性规划求最值 （5）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为
2
（A） 【答案】C
1 2 π 3 3
（B）
1 2 π 3 3
（C）
1 2 π 3 6
（D） 1
2 π 6
考点：本题考查了函数的周期性、奇偶性 （10）若函数 y=f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称 y=f(x)具有 T 性 质.下列函数中具有 T 性质的是 （A）y=sin x 【答案】A （B）y=ln x （C）y=ex （D）y=x3
考点：函数求导，注意本题实质上是检验函 数图像上是否存在两点的导数值乘积等于-1.
2
考点：分段函数，函数图像，能够准确画出函数的图像是解决本题的关键.
三、解答题：本答题共 6 小题，共 75 分.
（16） （本小题满分 12 分） 在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 2(tan A tan B) （Ⅰ）证明：a+b=2c;学科.网 （Ⅱ）求 cosC 的最小值. 【答案】 （Ⅰ）见解析； （Ⅱ）
考点：注意共轭复数的概念.
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（2）设集合 A { y | y 2 x , x R}, B {x | x 2 1 0}, 则 A B = （A） ( 1,1) 【答案】C 【解析】 试题分析： A { y | y 0} ， B {x | 1 x 1} ，则 A 考点：本题涉及求函数值域、解不等式以及集合的运算. （3）某高校调查了 200 名学生每周的自习时间（单位：小时） ，制成了如图所示的频率分布直方图，其中 自习时间的范围是 [17.5,30] ，样本数据分组为 [17.5, 20),[20, 22.5),[22.5, 25),[25, 27.5),[27.5,30] .根据直方图， 这 200 名学生中每周的自习时间不少于 22.5 小时的人数是 （A）56 （B）60 （C）120 （D）140 ，选 C. B （-1，+） （B） (0,1) （C） (1, ) （D） (0, )
x2 y 2 1 （a＞0，b＞0） ，若矩形 ABCD 的四个顶点在 E 上， AB，CD 的中点为 a2 b2
E 的两个焦点，且 2|AB|=3|BC|，则 E 的离心率是_______. 【答案】2
考点：双曲线的几何性质，把涉及到的两个线段的长度表示出来是做题的关键.
] , （14） 在[ 1
3 ), 3
mn 7 . | m || n | 7
所以二面角 F BC A 的余弦值为
7 . 7
解法二：
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考点：空间平行判定与性质；异面直线所成角的计算；空间想象能力，推理论证能力 （18） （本小题满分 12 分） 已知数列 an 的前 n 项和 Sn=3n2+8n， bn 是等差数列，且 an bn bn 1. （Ⅰ）求数列 bn 的通项公式； （Ⅱ）令 cn
tan A tan B . cos B cos A
[来源:]
1 2
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( ) 由 ( ) 知 c
ab , 2
2 2 2
ab a b 2 2 2 a b c 2 3 b a 1 1 ， 所以 cos C 8 a b 4 2 2ab 2ab
(an 1) n 1 . 求数列 cn 的前 n 项和 Tn. (bn 2) n
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【答案】 （Ⅰ） bn 3n 1 ； （Ⅱ） Tn 3n 2 n 2 .
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 cn
(6n 6) n 1 3( n 1) 2 n 1 ， n (3n 3)
考点：根据三视图求几何体的体积. （6）已知直线 a，b 分别在两个不同的平面 α，β 内.则“直线 a 和直线 b 相交”是“平面 α 和平面 β 相交”的 （A）充分不必要条件 （C）充要条件 （B）必要不充分条件 （D）既不充分也不必要条件
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【答案】A 【解析】 试题分析：直线 a 与直线 b 相交,则 , 一定相交,若 , 相交,则 a,b 可能相交，也可能平行,故选 A. 考点：直线与平面的位置关系；充分、必要条件的判断. （7）函数 f（x）=（ 3 sin x+cos x） （ 3 cos x –sin x）的最小正周期是 （A） 【答案】B 【解析】 试题分析： f x 2sin x
又 Tn c1 c2 c3 cn ， 得 Tn 3 [2 22 3 23 4 24 (n 1) 2n1 ] ，
2Tn 3 [2 23 3 24 4 25 (n 1) 2n2 ] ，
1 AC= 2 3 ，AB=BC.求二面角 F BC A 的余弦值. 2
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【答案】 （Ⅰ）见解析； （Ⅱ）
7 7
（II）解法一：
连接 OO ' ,则 OO ' 平面 ABC ，
又 AB BC, 且 AC 是圆 O 的直径，所以 BO BCF 的一个法向量 m (1,1, 因为平面 ABC 的一个法向量 n (0,0,1), 所以 cos m, n
【答案】D
考点：频率分布 直方图
[来源:]
x y 2, （4）若变量 x，y 满足 2 x 3 y 9, 则 x 2 x 0,
y 2 的最大值是
（A）4 【答案】 C
（B）9
（C）10
（D）12
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【解析】 试题分析：不等式组表示的可行域是以 A(0 ,-3),B(0,2),C(3,-1)为顶点的三角形区域, x y 表示点（x,y）到
Tn 3 [2 22 23 24 2n 1 (n 1) 2n 2 ]
4(2n 1) 3 [4 (n 1) 2n 2 ] 2 1 n2 3n 2
所以 Tn 3n 2 n 2 考点：数列前 n 项和与第 n 项的关系；等差数列定义与通项公式；错位相减法
1 .若 n⊥（tm+n） ，则实数 t 的值为 3 9 9 （C） （D）– 4 4
考点：平面向量的数量积 （9）已知函数 f(x)的定义域为 R.当 x<0 时， f ( x) x 1 ；当 1 x 1 时， f ( x) f ( x) ；当 x
3
1 2
时， f ( x ) f ( x ) .则 f(6)= （A）−2 【答案】D 【解析】 （B）−1 （C）0 （D）2
3 3 [ 1,1] ，所以所求概率 P= 2 2 4.
考点：直线与圆位置关系；几何概型
x m， | x |, （15）已知函数 f ( x) 2 其中 m 0 ，若存在实数 b，使得关于 x 的方程 f（x）=b 有三 x 2mx 4m, x m，
个不同的根，则 m 的取值范围是_________. 【答案】 (3, ) 【解析】 试题分析：由题意画出函数图像如下图所示，要满足存在实数 b，使得关于 x 的方程 f（x）=b 有三个不同的根，则 4m m m ，解得 m 3 ，故 m 的取值范围是 (3, ) .
则直线a和直线b相交是平面和平面相交的a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件答案a解析试题分析
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本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共 4 页.满分 150 分.考试用时 120 分钟.考试结束后，将将本试卷和 答题卡一并交回.
注意事项：
1.答卷前，考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡 和试卷规定的位置上. 2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答 题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干 净后，再选涂其他答案标号.答案写在试卷上无效. 3. 第Ⅱ卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能 写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修 正带.不按以上要求作答的答案无效. 4.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
第Ⅱ卷（共 100 分） 二、填 空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分.
（11）执行右边的程序框图，若输入的 a,b 的值分别为 0 和 9，则输出的 i 的值为________.
【答案】3 【解析】
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试题分析：第一次 循环： a 1, b 8 ；第二次循环： a 3, b 6 ；第三次循环： a 6, b 3 ；满足条件， 结束循环，此时， i 3 . 考点：循环结构的程序框图 （12）若（ax2+ 【答案】-2 【解析】 试题分析：因为 Tr 1 C5r (ax 2 )5 r (
参考公式：
如果事件 A,B 互斥，那么 P(A+B)=P(A)+P(B)；如果事件 A,B 独立，那么 P(AB)=P(A)·P(B).
第Ⅰ卷（共 50 分） 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的
（1）若复数 z 满足 2 z z 3 2i, 其中 i 为虚数单位，则 z= （A）1+2i 【答案】B （B）1 2i （C） 1 2i （D） 1 2i
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（19） （本小题满分 12 分） 甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都 猜对，则“星队”得 3 分；如果只有一个人猜对，则“星队”得 1 分；如果两人都没猜对，则“星队”得 0 分.已知甲每轮猜对的概率是
π 2
（B）π
（C）
3π 2
（D）2π
2 2cos x 2sin 2 x ,故最小正周期 T 2 ,故选 B. 6 6 3
考点：三角函数化简，周期公式 （8）已知非零向量 m，n 满足 4│m│=3│n│，cos<m，n>= （A）4 【答案】B （B）–4
5 10 r 1 r 5 ) C5r a 5 r x 2 ，所以由 10 r 5 r 2 ，因此 2 x
1 ）5 的展开式中 x5 的系数是—80，则实数 a=_______. x
C52 a 5 2 80 a 2.
考点：二项式定理 （13）已知双曲线 E：
1 2
1 2
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试题分析：当 x
1 1 1 1 时， f ( x ) f ( x ) ,所以当 x 时，函数 f ( x) 是周期为 1 的周期函数，所以 2 2 2 2
3 f (6) f (1) ，又函数 f ( x) 是奇函 数，所以 f (1) f (1) 1 1 2 ，故选 D.
上随机地取一个数 k， 则事件 “直线 y=kx 与圆 ( x
5)2
y2
9 相交” 发生的概率为
.
【答案】 【解析】
3 4
试题分析：直线 y=kx 与圆 ( x
5) 2
y2
9 相交,需要满足圆心到直线的距离小于半径，即 d
| 5k | 1 k2
3，
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解得
3 3 k ，而 k 4 4
当且仅当 a b 时，等号成立. 故 cos C 的最小值为
1 . 2
考点：两角和的正弦公式、正切公式、正弦定 理、余弦定理及基本不等式. （17） （本小题满分 12 分） 在如图所示的圆台中，AC 是下底面圆 O 的直径，EF 是上底面圆 O ' 的直径，FB 是圆台的一条母线. （I）已知 G,H 分别为 EC，FB 的中点，求证：GH∥平面 ABC； （II）已知 EF=FB=
2 2
原点距离的平方,最大值必在顶点处取到,经验证最大值为 OC 10 ,故选 C. 考点：线性规划求最值 （5）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为
2
（A） 【答案】C
1 2 π 3 3
（B）
1 2 π 3 3
（C）
1 2 π 3 6
（D） 1
2 π 6
考点：本题考查了函数的周期性、奇偶性 （10）若函数 y=f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称 y=f(x)具有 T 性 质.下列函数中具有 T 性质的是 （A）y=sin x 【答案】A （B）y=ln x （C）y=ex （D）y=x3
考点：函数求导，注意本题实质上是检验函 数图像上是否存在两点的导数值乘积等于-1.
2
考点：分段函数，函数图像，能够准确画出函数的图像是解决本题的关键.
三、解答题：本答题共 6 小题，共 75 分.
（16） （本小题满分 12 分） 在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 2(tan A tan B) （Ⅰ）证明：a+b=2c;学科.网 （Ⅱ）求 cosC 的最小值. 【答案】 （Ⅰ）见解析； （Ⅱ）
考点：注意共轭复数的概念.
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（2）设集合 A { y | y 2 x , x R}, B {x | x 2 1 0}, 则 A B = （A） ( 1,1) 【答案】C 【解析】 试题分析： A { y | y 0} ， B {x | 1 x 1} ，则 A 考点：本题涉及求函数值域、解不等式以及集合的运算. （3）某高校调查了 200 名学生每周的自习时间（单位：小时） ，制成了如图所示的频率分布直方图，其中 自习时间的范围是 [17.5,30] ，样本数据分组为 [17.5, 20),[20, 22.5),[22.5, 25),[25, 27.5),[27.5,30] .根据直方图， 这 200 名学生中每周的自习时间不少于 22.5 小时的人数是 （A）56 （B）60 （C）120 （D）140 ，选 C. B （-1，+） （B） (0,1) （C） (1, ) （D） (0, )
x2 y 2 1 （a＞0，b＞0） ，若矩形 ABCD 的四个顶点在 E 上， AB，CD 的中点为 a2 b2
E 的两个焦点，且 2|AB|=3|BC|，则 E 的离心率是_______. 【答案】2
考点：双曲线的几何性质，把涉及到的两个线段的长度表示出来是做题的关键.
] , （14） 在[ 1
3 ), 3
mn 7 . | m || n | 7
所以二面角 F BC A 的余弦值为
7 . 7
解法二：
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考点：空间平行判定与性质；异面直线所成角的计算；空间想象能力，推理论证能力 （18） （本小题满分 12 分） 已知数列 an 的前 n 项和 Sn=3n2+8n， bn 是等差数列，且 an bn bn 1. （Ⅰ）求数列 bn 的通项公式； （Ⅱ）令 cn
tan A tan B . cos B cos A
[来源:]
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( ) 由 ( ) 知 c
ab , 2
2 2 2
ab a b 2 2 2 a b c 2 3 b a 1 1 ， 所以 cos C 8 a b 4 2 2ab 2ab
(an 1) n 1 . 求数列 cn 的前 n 项和 Tn. (bn 2) n
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【答案】 （Ⅰ） bn 3n 1 ； （Ⅱ） Tn 3n 2 n 2 .
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 cn
(6n 6) n 1 3( n 1) 2 n 1 ， n (3n 3)
考点：根据三视图求几何体的体积. （6）已知直线 a，b 分别在两个不同的平面 α，β 内.则“直线 a 和直线 b 相交”是“平面 α 和平面 β 相交”的 （A）充分不必要条件 （C）充要条件 （B）必要不充分条件 （D）既不充分也不必要条件
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【答案】A 【解析】 试题分析：直线 a 与直线 b 相交,则 , 一定相交,若 , 相交,则 a,b 可能相交，也可能平行,故选 A. 考点：直线与平面的位置关系；充分、必要条件的判断. （7）函数 f（x）=（ 3 sin x+cos x） （ 3 cos x –sin x）的最小正周期是 （A） 【答案】B 【解析】 试题分析： f x 2sin x
又 Tn c1 c2 c3 cn ， 得 Tn 3 [2 22 3 23 4 24 (n 1) 2n1 ] ，
2Tn 3 [2 23 3 24 4 25 (n 1) 2n2 ] ，
1 AC= 2 3 ，AB=BC.求二面角 F BC A 的余弦值. 2
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【答案】 （Ⅰ）见解析； （Ⅱ）
7 7
（II）解法一：
连接 OO ' ,则 OO ' 平面 ABC ，
又 AB BC, 且 AC 是圆 O 的直径，所以 BO BCF 的一个法向量 m (1,1, 因为平面 ABC 的一个法向量 n (0,0,1), 所以 cos m, n
【答案】D
考点：频率分布 直方图
[来源:]
x y 2, （4）若变量 x，y 满足 2 x 3 y 9, 则 x 2 x 0,
y 2 的最大值是
（A）4 【答案】 C
（B）9
（C）10
（D）12
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【解析】 试题分析：不等式组表示的可行域是以 A(0 ,-3),B(0,2),C(3,-1)为顶点的三角形区域, x y 表示点（x,y）到