高一数学必修一解答题专项训练(含答案)

广铁一中2017学年上学期高一数学期中考试复习资料
《必修一》模块必做解答题
问题一：含参数分类讨论的集合综合运算问题
1. 已知集合{|64}A x x =-≤≤，集合{|123}B x a x a =-≤≤+.
（1）当0a =时，判断集合A 与集合B 的关系；
（2）若B A ⊆，求实数a 的取值范围.
2. 已知全集为实数集R ，集合A ＝{x |y ＝x －1＋3－x }，B ＝{x |log 2x ＞1}．
(1) 求A ∩B ，(C R B )∪A ；
(2) 已知集合C ＝{x |1＜x ＜a }，若C ∪A ，求实数a 的取值范围．
问题二：应用问题 3. 通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间．讲座开始时，学生的兴趣激增，中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持理想的状态，随后学生的注意力开始分散．分析结果和实验表明，用f (x )表示学生掌握和接受概念的能力[f (x )的值越大，表示接受能力越强]，x 表示提出和讲授概念的时间(单位：分)，可以有以下公式：
f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －0.1x 2＋2.6x ＋43，0<x ≤1059， 10<x ≤16
－3x ＋107. 16<x ≤30
(1)开讲多少分钟后，学生的接受能力最强？能维持多少分钟？
(2)开讲5分钟与开讲20分钟比较，学生的接受能力何时强一些？
(3)一个数学难题，需要55的接受能力以及13分钟的时间，老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题？
4. 为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的产品．已知该单位每月处理二氧化碳最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y (元)与月处理量
x (吨)之间的函数关系可近似表示为y ＝12
x 2－200x ＋80 000，且每处理1吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．
(1)若该单位每月成本支出不超过105 000元，求月处理量x 的取值范围．
(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？
问题三 函数性质的综合应用（奇偶性和单调性）
5.已知指数函数y ＝g (x )满足g (3)＝8，且定义域为R 的函数f (x )＝－g (x )＋n g (x )＋m
是奇函数． (1) 求y ＝g (x )与y ＝f (x )的解析式；
(2) 判断y ＝f (x )在R 上的单调性并用单调性定义证明．
6. 已知函数为奇函数
(1)求实数a 的值. (2)探究
的单调性,并证明你的结论. (3)求满足
的的范围.
问题四：抽象函数奇偶性与单调性的综合应用
7.设奇函数f(x)的定义域为(－3,3)，且对任意x，y，都有f(x)－f(y)＝f(x－y)，当x<0时，f(x)>0，f(1)＝－2.
(1)求f(2)的值；(2)判断f(x)的单调性，并证明；
(3)若函数g(x)＝f(x－1)＋f(3－2x)，求不等式g(x)≤0的解集．
8. 设函数y ＝f (x )的定义域为R ，并且满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，f ⎝⎛⎭⎫13＝1，当x >0时，f (x )>0.
(1)求f (0)的值； (2)判断函数的奇偶性；
(3)如果f (x )＋f (2＋x )<2，求x 的取值范围．
问题五：函数零点的分布及个数问题
9.已知是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，.
（1）求x >0时，的解析式；
（2）若函数a a x f x g --=22)()(有三个不同零点，求实数a 的取值范围．
10.(1)为何值时，.①有且仅有一个零点；②有两个零点且均比－1大；
(2)若函数a x x x f +-=24)(有4个零点，求实数a 的取值范围．
问题六：含参函数分类讨论及范围界定问题
11.已知函数其中是自然对数的底数．
∪1）证明：是上的偶函数；
∪2）若关于x 的不等式
在上恒成立，求实数m 的取值范围.
12. 已知10≠>a a 且,函数）（x x a a a a x f --=-21
)(，2)(+-=ax x g . （1）指出)(x f 的单调性(不要求证明)； （2）若有,3)2()2(=+f g 求)2()2-(-+f g 的值；
（3）若2-)()()(x g x f x h +=，求使不等式0)4()(2<-++x h tx x h 恒成立的t 的取值范围.
参考答案
1. 解：（1）{|64}A x x =-≤≤，又}31{0≤≤-==x x B a 时， A B ⊆∴ .
（2）当∅=B 时，则123a a ->+，4a ∴<-，此时B A ⊆，满足题意；
当∅≠B 时，由B A ⊆，得12316234a a a a -≤+⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩4512
a a a ⎧
⎪≥-⎪⇒≥-⎨⎪⎪≤⎩142a ⇒-≤≤ . 所以4a <-或142a -≤≤，即12a ≤，从而实数a 的取值范围为1{|}2
a a ≤. 2. 解：(1)由已知得A ＝{x |1≤x ≤3}，
B ＝{x |log 2x ＞1}＝{x |x ＞2}，
所以A ∩B ＝{x |2＜x ≤3}，
(∪R B )∪A ＝{x |x ≤2}∪{x |1≤x ≤3}＝{x |x ≤3}．
(2) ∪当a ≤1时，此时C ＝∅，故C ∪A ；
∪当a ＞1时，此时∅≠C , 若C ∪A ，则1＜a ≤3.
综合∪∪，可得a 的取值范围是(－∞，3]．
3. 解：(1)当0<x ≤10时，
f (x )＝－0.1x 2＋2.6x ＋43
＝－0.1(x －13)2＋59.9，
故f (x )在0<x ≤10时递增，最大值为f (10)＝－0.1×(10－13)2＋59.9＝59.
当10<x ≤16时，f (x )＝59.
4. 解：(1)设月处理量为x 吨，则每月处理x 吨二氧化碳可获化工产品价值为100x 元，则每月成本支出f (x )为
f (x )＝12
x 2－200x ＋80 000－100x ，x ∪[400,600]． 若f (x )≤105 000，即12
x 2－300x －25 000≤0， 即(x －300)2≤140 000，
∪300－10014≤x ≤10014＋300.
∪10014＋300≈674>600，且x ∪[400,600]，
∪该单位每月成本支出不超过105 000元时，月处理量x 的取值范围是{x |400≤x ≤600}．
(2) f (x )＝12
x 2－300x ＋80 000 ＝12(x 2－600x ＋90 000)＋35 000
＝12(x －300)2＋35 000，x ∪[400,600]， ∪12
(x －300)2＋35 000>0， ∪该单位不获利．
由二次函数性质得当x ＝400时，f (x )取得最小值．
故f (x )min ＝12
(400－300)2＋35 000＝40000. ∪国家至少需补贴40000元才能使该单位不亏损． 5. 解：(1)设g (x )＝a x (a >0，a ≠1)，
由g (3)＝8得a ＝2，故g (x )＝2x ，
由题意f (x )＝－g x ＋n
g x ＋m ＝－2x ＋n
2x ＋m ，
因为f (x )是R 上的奇函数，
所以f (0)＝0，得n ＝1.
所以f (x )＝－2x ＋1
2x ＋m ，
又由f (1)＝－f (－1)知m ＝1，
所以f (x )＝1－2x
1＋2x .
(2)f (x )是R 上的单调减函数．
证明：设x 1∪R ，x 2∪R 且x 1<x 2，
因为y ＝2x 为R 上的单调增函数且x 1<x 2，故21x <22x ，又1＋21x >0,1＋22x >0，
故f (x 1)－f (x 2)>0，
所以f (x )是R 上的单调减函数．
6.（1）若f (x )为R 上的奇函数,则f (0)=0，解得a =1，验证如下：
当a =1时, ，
所以,即f (x )为奇函数
(2)
为R 上的单调递增函数，证明过程如下： 任取且，
则
，因为<,所以<，
所以,f (x 1)−f (x 2)<0， 即f (x )为R 上的增函数；
(3) 此时,不等式
,可化为：， 又∪
为R 上的增函数,∪x <22-x ， 解得,
，
7. (1)在f (x )－f (y )＝f (x －y )中，
令x ＝2，y ＝1，代入得：f (2)－f (1)＝f (1)，所以f (2)＝2f (1)＝－4.
(2) f (x )在(－3,3)上单调递减．证明如下：
设－3<x 1<x 2<3，则x 1－x 2<0，
所以f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1－x 2)>0，
即f (x 1)>f (x 2)，
所以f (x )在(－3,3)上单调递减．
(3)由g (x )≤0得f (x －1)＋f (3－2x )≤0，
所以f (x －1)≤－f (3－2x )． 又f (x )为奇函数，
所以f (x －1)≤f (2x －3)，
又f (x )在(－3,3)上单调递减，
所以⎩⎪⎨⎪⎧ －3<x －1<3，－3<2x －3<3，
x －1≥2x －3，解得0<x ≤2，
故不等式g (x )≤0的解集是(0,2]．
8. 解：(1) 令x ＝y ＝0，则f (0)＝f (0)＋f (0)， ∪f (0)＝0.
(2) 令y ＝－x ，得f (0)＝f (x )＋f (－x )＝0，
∪ f (－x )＝－f (x )，故函数f (x )是R 上的奇函数．
(3) 任取x 1，x 2∪R ，x 1<x 2，则x 2－x 1>0.
∪f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2－x 1＋x 1)－f (x 1)＝f (x 2－x 1)＋f (x 1)－f (x 1)＝f (x 2－x 1)>0，
∪f (x 1)< f (x 2)．
故f (x )是R 上的增函数．
∪f ⎝⎛⎭⎫13＝1， ∪f ⎝⎛⎭⎫23＝f ⎝⎛⎭⎫13＋13＝f ⎝⎛⎭⎫13＋f ⎝⎛⎭
⎫13＝2， ∪ f (x )＋f (2＋x )＝f [x ＋(2＋x )]＝f (2x ＋2)<f ⎝⎛⎭⎫23.又由y ＝f (x )是定义在R 上的增函数，
得2x ＋2<23，解之得x <－23
. 故x ∪⎝
⎛⎭⎫－∞，－23.
9.解析：
10. 解：(1)①有且仅有一个零点⇔方程有两个相等实根⇔Δ＝0，即4m2－4(3m
＋4)＝0，即m2－3m－4＝0，∴m＝4或m＝－1.
②设f(x)的两个零点分别为，
则＝－2m，＝3m＋4.
由题意，知⇔⇔
∴－5＜m＜－1.故m的取值范围为(－5，－1)．
(2) 令f(x)＝0，得|4x－x2|＋a＝0，
则|4x－x2|＝－a.
令g(x)＝|4x－x2|，
h(x)＝－a.
分别作出g(x)，h(x)的图象．
由图象可知，当0＜－a ＜4， 即-4<a <0时，g (x )与h (x )的图象有4个交点.
11.解：∪1∪x 对任意 ，有∪∪是上的偶函数 ∪2）由题意，，即 ∪∪∪，即对恒成立 令，则对任意恒成立
∪，当且仅当时等号成立 ∪
12. 解：（1）由题意有： ①当10<<a 时，()⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=x x a a a a x f 112递减 ②当1>a 时，()⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=x x a a a a x f 112递减 ∴当0>a 且1≠a 时，()x f 是减函数
（2）设2-)()()(x g x f x h += 则 ()ax a a a a x h x x -⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=112 ()x h 定义域为R ，关于原点对称。

()ax a a a a x h x x +⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=---112ax a a a a x x +⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=112 ()()x h x h --=∴即()x h 为定义域为R 的奇函数
3)2()2(=+g f 则()12=h
又()x h 为R 上奇函数 ()12)2()2(2-=--+-=-∴g f h
1)2()2(=-+-∴g f
（3）由（2）知)(x h 为R 上奇函数且在R 上为减函数
由()()042<-++x h tx x h 有()
()()442-=-<+x h x h tx x h
42->+∴x tx x
即：04)1(2>+-+x t x 恒成立 016)1(2<--=∆∴t
53<<-∴t
综上可知：t 的取值范围是{}
53<<-t t。