【新高考数学专题】概率统计常考的六种题型总结

概率统计常考的六种题型总结题型一概率统计的交汇
例1.甲、乙两人的各科成绩如茎叶图所示，则下列说法正确的是（）
A．甲、乙两人的各科成绩的平均分相同
B．甲成绩的中位数是83，乙成绩的中位数是85
C．甲各科成绩比乙各科成绩稳定
D．甲成绩的众数是89，乙成绩的众数是87
【答案】ABC
【解析】对于选项A，甲成绩的平均数
1743 =(687477838384899293)=
99
x⨯++++++++
甲，
乙成绩的平均数
1743
(646674768587989895)
99
x=⨯++++++++=
乙
，所以选项A是正确的；
对于选项B，由茎叶图知甲成绩的中位数是83，乙成绩的中位数是85，故选项B正确；
对于选项C，由茎叶图知甲的数据相对集中，乙的数据相对分散，故甲的各科成绩比乙的各科成绩稳定，故选项C正确；
对于选项D，甲成绩的众数是83，乙成绩的众数是98，故选项D错误.
故选ABC.
练习1．（多选）以下对各事件发生的概率判断正确的是（）.
A．甲、乙两人玩剪刀、石头、布的游戏，则玩一局甲不输的概率是1 3
B．每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和，例如835
=+，在不超过14的素数中随机选取两个不
同的数，其和等于14的概率为
1 15
C．将一个质地均匀的正方体骰子（每个面上分别写有数字l，2，3，4，5，6）先后抛掷2次，观察向上的
点数，则点数之和是6的概率是5 36
D ．从三件正品、一件次品中随机取出两件，则取出的产品全是正品的概率是12
【答案】BCD
【解析】对于A ，画树形图如下：
从树形图可以看出，所有可能出现的结果共有9种，这些结果出现的可能性相等，P （甲获胜）1
3
=，P （乙获胜）1
3=
，故玩一局甲不输的概率是23
，故A 错误； 对于B ，不超过14的素数有2，3，5，7，11，13共6个，从这6个素数中任取2个，有2与3，2与5，2与7，2与11，2与13，3与5，3与7，3与11，3与13，5与7，5与11，5与13，7与11，7与13，11与13共15种结果，其中和等于14的只有一组3与11，所以在不超过14的素数中随机选取两个不同的数，其和等于14的概率为
1
15
，故B 正确； 对于C ，基本事件总共有6636⨯=种情况，其中点数之和是6的有15（，），24（，），33（，），42（，），51（，），共5种情况，则所求概率是
5
36
，故C 正确； 对于D ，记三件正品为1A ，2A ，3A ，一件次品为B ，任取两件产品的所有可能为12A A ，13A A ，1A B ，23A A ，
2A B ，3A B ，共6种，其中两件都是正品的有12A A ，13A A ，23A A ，共3种，则所求概率为31
62
P =
=，故D 正确.故选BCD.
练习2．在某次高中学科知识竞赛中，对4000名考生的参赛成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直
方图，其中分组的区间为)[4050，
，)[5060，，)[6070，，)[7080，，)[8090，，[90]100，，60分以下视为不及格，若同一组中数据用该组区间中间值作代表值，则下列说法中正确的是（ ）
A ．成绩在)[7080，
的考生人数最多 B ．不及格的考生人数为1000 C ．考生竞赛成绩的平均分约为70.5分 D ．考生竞赛成绩的中位数为75分
【答案】ABC
【解析】由频率分布直方图可得，成绩在[7080，）的频率最高，因此考生人数最多，故A 正确；
成绩在[4060，）的频率为0.01100.015100.25⨯+⨯=，因此，不及格的人数为40000.251000⨯=，故B
正确；
考生竞赛成绩的平均分约为450.1550.15650.2750.3850.15950.170.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，故C 正确；
因为成绩在[4070，）的频率为0.45，在[7080，）的频率为0.3，
所以中位数为0.05
701071.670.3
+⨯≈，故D 错误. 故选：ABC.
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题型二 解答题与数列的交汇
例2.某汽车公司最近研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程的测试。

现对测试数据进行分析，得到如图所示的频率分布直方图：
（1）估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）. （2）根据大量的汽车测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程X 近似地服从正态分布
(
))2
,N μσ，经计算第（1）问中样本标准差s 的近似值为50。

用样本平均数x 作为μ的近似值，用样本标
准差s 作为σ的估计值，现任取一辆汽车，求它的单次最大续航里程恰在250千米到400千米之间的概率.
参考数据：若随机变量服从正态分布(
)2
N μσ，
，则()0.6827P μσξ
μσ-<+≈，
(33)0.9973P μσξμσ-<+≈，(22)0.9545P μσξμσ-<+≈.
（3）某汽车销售公司为推广此款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活动，客户可根据抛掷硬币的结果，操控微型遥控车在方格图上行进，若遥控车最终停在“胜利大本营”，则可获得购车优惠券3万元。

已知硬币出现正、反面的概率都是0.5方格图上标有第0格、第1格、第2格、…、第20格。

遥控车开始在第0格，客户每掷一次硬币，遥控车向前移动一次。

若掷出正面，遥控车向前移动一格（从k 到1k +）若掷出反面遥控车向前移动两格（从k 到2k +），直到遥控车移到第19格胜利大本营）或第20格（失败大本营）时，游戏结束。

设遥控车移到第1(1)9n n 格的概率为P 试证明{}1n n P P --是等比数列，并求参与游戏一次的顾客获得优惠券金额的期望值。

【答案】（1）300；（2）0.8186；（3）证明见解析，期望值为201212⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦
，约2万元.
【解析】（1）
0.002502050.004502550.00950305x =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯0.004503550.00150405300+⨯⨯+⨯⨯=（千
米）
（2）因为X 服从正态分布2
(300,50)N 所以0.95450.6827
(250400)0.95450.81862
P X -<≤≈-
=
（3）遥控车开始在第0格为必然事件，01P =，第一次掷硬币出现正面，遥控车移到第一格，其概率为
12
,即11
2
P =。

遥控车移到第n （219n ）格的情况是下列两种，而且也只有两种。

①遥控车先到第2n -格，又掷出反面，其概率为21
2n P -
②遥控车先到第1n -格，又掷出正面，其概率为11
2
n P -
所以211122
n n n P P P --=+，1121
()2n n n n P P P P ---∴-=--
∴当119n 时，数列1{}n n P P --是公比为1
2
-的等比数列
23121321
11111,(),(),()2222
n
n n P P P P P P P -∴-=--=--=-⋅⋅⋅-=- 以上各式相加，得231111
1()()()()2222
n
n P -=-+-+-+⋅⋅⋅+-=11()1()32n ⎡⎤---⎢⎥⎣⎦
1211()32n n P +⎡⎤∴=
--⎢⎥⎣⎦（0,1,2,,19n =⋅⋅⋅）， ∴获胜的概率2019211()32P ⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦
失败的概率1920181111232P P ⎡⎤=
=+⎢⎥⎣⎦
（） ∴设参与游戏一次的顾客获得优惠券金额为X 万元，3X =或0
∴X 的期望2019202111131()01()21()32322EX ⎡⎤⎡⎤⎡
⎤=⋅-+⋅+=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣
⎦
∴参与游戏一次的顾客获得优惠券金额的期望值为201212⎡⎤
⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦
，约2万元.
练习1.某产品自生产并投入市场以来，生产企业为确保产品质量，决定邀请第三方检测机构对产品进行质量检测，并依据质量指标Z 来衡量产品的质量.当8Z ≥时，产品为优等品；当68Z ≤<时，产品为一等品；当26Z ≤<时，产品为二等品.第三方检测机构在该产品中随机抽取500件，绘制了这500件产品的质量指标Z 的条形图.用随机抽取的500件产品作为样本，估计该企业生产该产品的质量情况，并用频率估计概率.
（1）从该企业生产的所有产品中随机抽取1件，求该产品为优等品的概率；
（2）现某人决定购买80件该产品.已知每件成本1000元，购买前，邀请第三方检测机构对要购买的80件产品进行抽样检测.买家、企业及第三方检测机构就检测方案达成以下协议：从80件产品中随机抽出4件产品进行检测，若检测出3件或4件为优等品，则按每件1600元购买，否则按每件1500元购买，每件产品的检测费用250元由企业承担.记企业的收益为X 元，求X 的分布列与数学期望；
（3）商场为推广此款产品，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活动.客户可根据抛硬币的结果，操控机器人在方格上行进，已知硬币出现正、反面的概率都是
1
2
，方格图上标有第0格、第1格、第2格、……、第50格.机器人开始在第0格，客户每掷一次硬币，机器人向前移动一次，若掷出正面，机器人向前移动一格（从k 到1k +），若掷出反面，机器人向前移动两格（从k 到2k +），直到机器人移到第49格（胜利大
本营）或第50格（失败大本营）时，游戏结束，若机器人停在“胜利大本营”，则可获得优惠券.设机器人移到第n 格的概率为(
)*
050,N n P n n ≤≤∈，试证明{}()*
1
149,N n
n P P n n --≤≤∈是等比数列，并解释此方
案能否吸引顾客购买该款产品. 【答案】（1）
1
2
（2）分布见解析，数学期望为41500；（3）证明见解析，此方案能吸引顾客购买该款产品. 【解析】（1）根据条形图可知，优等品的频率为12187421
5002
++=，用频率估计概率，则任取一件产品为
优等品的概率为1
2
P =
. （2）由（1）任取一件产品为优等品的概率为1
2，高中数学资料共享群（734924357）
由题意()1600100080250447000X =-⨯-⨯=，或
()1500100080250439000X =-⨯-⨯= ()4
4
434
4115470002216
P X C C ⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭； ()444
012444111113900022216
P X C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==++= ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故X 的分布列为：
所以数学期望4700039000415001616
EX =⨯
+⨯=. （3）机器人在第0格为必然事件，01P =，第一次掷硬币出现正面，机器人移到第1格，其概率11
2
P =.机器人移到第()249n n ≤≤格的情况只有两种：
①先到第2n -格，又出现反面，其概率
21
2n P -， ②先到第1n -格，又出现正面，其概率11
2n P -.
所以1211
22n n n P P P --=+，故()11212
n n n n P P P P ----=--
所以149n ≤≤时，数列{}1n n P P --为首项101
2
P P -=-， 公比为1
2
-
的等比数列. 所以1012P P -=-，12
212P P ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，3
3212P P ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，⋅⋅⋅⋅⋅⋅，112n
n n P P -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，
以上各式累加，得121111222n
n P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，
所以()121
11121110,1,,4922232n n n P n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎛⎫=+-+-+⋅⋅⋅+-=--=⋅⋅⋅⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦
所以获胜概率5050
492121113232P ⎡⎤⎡⎤
⎛⎫⎛⎫=--=-⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，
失败概率4949
5048111111123232P P ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫==--=+⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
50485049492111111110323232P P ⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--+=->⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以获胜概率更大，
故此方案能吸引顾客购买该款产品.
题型三 与导数的交汇
例3. 2019年春节期间．当红彩视明星翟天临“不知“知网””学术不端事件在全国闹得沸沸扬扬，引发了网友对亚洲最大电影学府北京电影学院、乃至整个中国学术界高等教育乱象的反思．为进一步端正学风，打击学术造假行为，教育部日前公布的《教育部2019年部门预算》中透露，2019年教育部拟抽检博士学位论文约6000篇，预算为800万元．国务院学位委员会、教育部2014年印发的《博士硕士学位论文抽检办法》通知中规定：每篇抽检的学位论文送3位同行专家进行评议，3位专家中有2位以上（含2位）专家评议意见为“不合格”的学位论文．将认定为“存在问题学位论文”。

有且只有1位专家评议意见为“不合格”的学位论文，将再送2位同行专家进行复评．2位复评专家中有1位以上（含1位）专家评议意见为“不合格”的学位论文，将认定为“存在问题学位论文”。

设毎篇学位论文被毎位专家评议为“不合格”的槪率均为(01)p p <<，且各篇学位论文是否被评议为“不合格”相互独立．
（1）记一篇抽检的学位论文被认定为“存在问题学位论文”的概率为()f p ，求()f p ；
（2）若拟定每篇抽检论文不需要复评的评审费用为900元，需要复评的评审费用为1500元；除评审费外，其它费用总计为100万元。

现以此方案实施，且抽检论文为6000篇，问是否会超过预算？并说明理由．
【答案】(1) 5432
()312179f p p p p p =-+-+；（2）不会超过预算,理由见解析
【解析】（1）因为一篇学位论文初评被认定为“存在问题学位论文”的概率为223333C (1)C p p p -+ 一篇学位论文复评被认定为“存在问题学位论文”的概率为122
3C (1)[1(1])p p p ---，
所以一篇学位论文被认定为“存在问题学位论文”的概率为
2233122333()C (1)C C (1)1()]1[f p p p p p p p =-++---2322
3(1)3(1)[1(1)]
p p p p p p =-++---5432312179p p p p =-+-+．
（2）设每篇学位论文的评审费为X 元，则X 的可能取值为900，1500．
123(1500)C (1)
P X p p ==-，高中数学资料共享群（734924357）
123(900)1C (1)P X p p ==--，
所以121233()900[1C (1)]1500C (1)E X p p p p =⨯--+⨯-29001800(1)p p =+-
令2
()(1)g p p p =-，(0,1)p ∈
2()(1)2(1)(31)(1)g p p p p p p '=---=--
当10,3p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
时，()0g p '>，()g p 在10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭
上单调递增；
当1,13p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g p '<，()g p 在1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭
上单调递减，
所以()g p 的最大值为14
327
g ⎛⎫=
⎪⎝⎭
． 所以实施此方案，最高费用为4
4100600090018001080027-⎛⎫+⨯+⨯⨯= ⎪⎝
⎭
（万元）
． 综上，若以此方案实施，不会超过预算 练习1.某医药开发公司实验室有(
)*
n n N ∈瓶溶液，
其中()m m N ∈瓶中有细菌R ，现需要把含有细菌R 的溶液检验出来，有如下两种方案： 方案一：逐瓶检验，则需检验n 次；
方案二：混合检验，将n 瓶溶液分别取样，混合在一起检验，若检验结果不含有细菌R ，则n 瓶溶液全部不含有细菌R ；若检验结果含有细菌R ，就要对这n 瓶溶液再逐瓶检验，此时检验次数总共为1n +.
(1)假设52n m ==，，采用方案一，求恰好检验3次就能确定哪两瓶溶液含有细菌R 的概率； (2)现对n 瓶溶液进行检验，已知每瓶溶液含有细菌R 的概率均为(01)P p ≤≤. 若采用方案一.需检验的总次数为ξ,若采用方案二.需检验的总次数为η. (i )若ξ与η的期望相等.试求P 关于n 的函数解析式()P f n =; (ii )若
1
4P 1e
-
=-,且采用方案二总次数的期望小于采用方案一总次数的期望.求
n 的最大值.
参考数据：ln 20.69,ln3 1.10,ln5 1.61,ln 7 1.95≈≈≈=
【答案】（1）
3
10（2）（ⅰ）()1
*
11n
P n n ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭
N （ii ）8
【解析】（1）记所求事件为A ，“第三次含有细菌R 且前2次中有一次含有细菌R ”为事件B ，“前三次均不含有细菌R ”为事件C ， 则A B
C =，且,B C 互斥，
所以1113
223333
55113
()()()51010
A A A A P A P
B P
C A A =+=+=+= （2）()()i E n ξ=，
η的取值为1,1n +，
(1)(1),(1)1(1)n n P P P n P ηη==-=+=--，
所以()(1)(1)1(1)1(1)n n n
E P n P n n P η⎡⎤=-++--=+--⎣⎦
， 由()()E E ξη=得1(1)n
n n n P =+--，
所以()1
*
11n
P n n ⎛⎫
=-∈ ⎪⎝⎭
N ；
（ii ）1
41P e -=-,所以4()1n
E n n e η-=+-⋅， 所以4
(1)n n n e n -
+-⋅<，所以ln 0,4
n
n -
> 设()ln (0)4
x
f x x x =-
>， 114()44x
f x x x
-'=-=，
当(0,4)x ∈时，()0,()f x f x '
>在(0,4)上单调递增； 当(4,)x ∈+∞时，()0,()f x f x '
<在(4,)+∞上单调递减 又9
(8)ln820,(9)ln 904
f f =->=-<， 所以n 的最大值为8
题型四 决策
例4. 某地区为贯彻习近平总书记关于“绿水青山就是金山银山”的精神，鼓励农户利用荒坡种植果树.某农户考察三种不同的果树苗A 、B 、C ，经引种试验后发现，引种树苗A 的自然成活率为0.8，引种树苗B 、C 的自然成活率均为(0.70.9)p p ≤≤.
（1）任取树苗A 、B 、C 各一棵，估计自然成活的棵数为X ，求X 的分布列及()E X ；
（2）将（1）中的()E X 取得最大值时p 的值作为B 种树苗自然成活的概率.该农户决定引种n 棵B 种树苗，引种后没有自然成活的树苗中有75%的树苗可经过人工栽培技术处理，处理后成活的概率为0.8，其余的树苗不能成活.
①求一棵B 种树苗最终成活的概率；
②若每棵树苗引种最终成活后可获利300元，不成活的每棵亏损50元，该农户为了获利不低于20万元，问至少引种B 种树苗多少棵？
【答案】（1）详见解析；（2）①0.96；②700棵. 【解析】（1）依题意，X 的所有可能值为0，1，2，3. 则()()2
00.21P X p ==-；
()()()2
1210.810.21P X p C p p ==⨯-+⨯⨯⨯- ()()2
0.810.41p p p =-+-，
即()2
10.4 1.20.8P X p p ==-+，
()()21
220.20.81P X p C p p ==+⨯⨯⨯- ()220.2 1.61 1.4 1.6p p p p p =+-=-+，
()230.8P X p ==；
X 的分布列为：
P
20.20.40.2p p -+ 20.4 1.20.8p p -+ 21.4 1.6p p -+ 20.8p
所以()()()
222
10.4 1.20.82 1.4 1.630.8E X p p p p p =⨯-++⨯-++⨯ 20.8p =+.
（2）当0.9p =时，()E X 取得最大值.
①一棵B 树苗最终成活的概率为0.90.10.750.80.96+⨯⨯=. ②记Y 为n 棵树苗的成活棵数，()M n 为n 棵树苗的利润，
则(),0.96Y B n ~，()0.96E Y n =，()()3005035050M n Y n Y Y n =--=-，
()()()35050286E M n E Y n n =-=，要使()()200000E M n ≥，则有699.3n ≥.
所以该农户至少种植700棵树苗，就可获利不低于20万元.
题型五 文字和数据处理处理
例5.. 随着快递行业的崛起，中国快递业务量惊人，2018年中国快递量世界第一，已连续五年突破五百亿件，完全超越美日欧的总和，稳居世界第一名．某快递公司收取费的标准是：不超过1kg 的包裹收费8元；超过1kg 的包裹，在8元的基础上，每超过1kg(不足1kg ，按1kg 计算)需再收4元． 该公司将最近承揽(接收并发送)的100件包裹的质量及件数统计如下(表1)： 表1：
公司对近50天每天承揽包裹的件数(在表2中的“件数范围”内取的一个近似数据)、件数范围及天数，列表如下(表2)： 表2：
(1)将频率视为概率，计算该公司未来3天内恰有1天揽件数在100～299之间的概率；
(2)①根据表1中最近100件包裹的质量统计，估计该公司对承揽的每件包裹收取快递费的平均值： ②根据以上统计数据，公司将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，其余用作其他费
用．目前，前台有工作人员5人，每人每天揽件数不超过100件，日工资80元．公司正在考虑是否将前台人员裁减1人，试计算裁员前、后公司每天揽件数的数学期望；若你是公司决策者，根据公司每天所获利润的期望值，决定是否裁减前台工作人员1人? 【答案】(1)
189
1000
(2) ①12 ②应裁减1人 【解析】(1) 将频率视为概率，计算该公司未来3天内恰有1天揽件数在100～299之间的概率为独立重复事件
样本中包裹件数在100～299之间的天数为102535+=，频率为3575010
f =
= 所以()2
13731893110029910101000
P C ⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪
⎝⎭⎝⎭未来天内恰有天揽件数在～之间的概率 (2) ①设收件费用为y ，收件质量为x ，则
收件费用与收件质量的关系式为y=8+4（x-1）=4x+4 所以每件包裹收取快递费的平均值为
()1
4383012151682042412100
y =
⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= ②根据题意及①，揽件数每增加1，公司快递收入增加12（元） 若不裁员，则每天可揽件的上限为500件，公司每日揽件数情况如下：
所以公司每日利润的期望值为240125805603
⨯⨯
-⨯=元 若裁员1人，则每天可揽件的上限为400件，公司每日揽件数情况如下：
所以公司每日利润的期望值为1
235124806203
⨯⨯
-⨯=元 因为560<620 ，所以公司应将前台工作人员裁员1人。

练习1. 随着经济的发展，个人收入的提高，自2019年1月1日起，个人所得税起征点和税率的调整，调整如下：纳税人的工资、薪金所得，以每月全部收入额减除5000元后的余额为应纳税所得额，依照个人所得税税率表，调整前后的计算方法如下表：
(1)假如小红某月的工资、薪金等所得税前收入总和不高于8000元，记x 表示总收入，y 表示应纳的税，试写出调整前后y 关于x 的函数表达式；
(2)某税务部门在小红所在公司利用分层抽样方法抽取某月100个不同层次员工的税前收入，并制成下面的频数分布表：
①先从收入在[
)3000,5000及[)5000,7000的人群中按分层抽样抽取7人，再从中选4人作为新纳税法知识宣讲员，用a 表示抽到作为宣讲员的收入在[
)3000,5000元的人数，b 表示抽到作为宣讲员的收入在
[)5000,7000元的人数，随机变量Z a b =-，求z 的分布列与数学期望；
②小红该月的工资、薪金等税前收入为7500元时，请你帮小红算一下调整后小红的实际收入比调整前增加了多少?
【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】（1）调整前y 关于x 的表达式为
()(]()(]0,350035000.03,3500,50004550000.1,5000,8000x y x x x x ⎧≤⎪
=-⨯∈⎨⎪+-⨯∈⎩
.
调整后y 关于x 的表达式为
(
)(]0,500050000.03,5000,8000x y x x ≤⎧
=⎨-⨯∈⎩,
（2）①由频数分布表可知从[3000，5000）及[5000，7000）的人群中抽取7人，其中[3000，5000）中占3人，[5000，7000）的人中占4人，再从这7人中选4人，所以Z 的取值可能为0，2，4，（5分）
()()22
344
718
02,235
C C P Z P a b C ======， ()()()1331
34344
716
21,33,135C C C C P Z P a b P a b C +====+====, ()()04
344
71
40,435
C C P Z P a b C =====, 所以其分布列为
所以()024********
E Z =⨯
+⨯+⨯= ②由于小李的工资、薪金等收入为7500元，按调整前起征点应纳个税为1500×3%+2500×10%=295元； 按调整后起征点应纳个税为2500×
3%=75元， 比较两个纳税方案可知，按调整后起征点应纳个税少交220元， 即个人的实际收入增加了220元，所以小李的实际收入增加了220元。

题型六 概率统计综合应用
例6. 2018年8月16日，中共中央政治局常务委员会召开会议，听取关于吉林长春长生公司问题疫苗案件调查及有关问责情况的汇报，中共中央总书记习近平主持会议并发表重要讲话.会议强调，疫苗关系人民群众健康，关系公共卫生安全和国家安全.因此，疫苗行业在生产、运输、储存、使用等任何一个环节都容不得半点瑕疵.国家规定，疫苗在上市前必须经过严格的检测，并通过临床实验获得相关数据，以保证疫苗使用的安全和有效.某生物制品研究所将某一型号疫苗用在动物小白鼠身上进行科研和临床实验，得到统计数
据如下：
现从未注射疫苗的小白鼠中任取1只，取到“感染病毒”的小白鼠的概率为5
. （1）求22⨯列联表中的数据p ，q ，x ，y 的值； （2）能否有99.9%把握认为注射此种疫苗有效？
（3）在感染病毒的小白鼠中，按未注射疫苗和注射疫苗的比例抽取5只进行病例分析，然后从这五只小白鼠中随机抽取3只对注射疫苗情况进行核实，求至少抽到2只为未注射疫苗的小白鼠的概率.
附：2
2
()()()()()
n ad bc K a b a c c d b d -=++++，n a b c d =+++.
【答案】（1）60p =，40q =，100x =，100y =，（2）没有99.9%把握认为注射此种疫苗有效.（3）10
. 【解析】（1）由题意，易得60p =，40q =，100x =，100y =，
（2）由()
()()()()
2
2
n ad bc K a b a c c d b d -=
++++
得()2
220040406060810.828100100100100
K ⋅-⋅=
=<⋅⋅⋅，
所以没有99.9%把握认为注射此种疫苗有效.
（3）由于在感染病毒的小白鼠中，按未注射疫苗和注射疫苗的比例为3:2，故抽取的5只小白鼠中3只未注射疫苗，用a ，b ，c 表示，2只已注射疫苗，用D ，E 表示，从这五只小白鼠中随机抽取3只，可能的情况共有以下10种：
(),,a b c ，(),,a b D ，(),,a b E ，(),,a c D ，(),,a c E ，(),,a D E ，(),,b c D ，(),,b c E ，(),,b D E ，(),,c D E .
其中至少抽到2只为未注射疫苗的小白鼠的情况有以下7种：(),,a b c ，(),,a b D ，(),,a b E ，(),,a c D ，
(),,a c E ，(),,b c D ，(),,b c E
所以至少抽到2只为未注射疫苗的小白鼠的概率为710
.。