河北省中考数学复习第二部分热点专题突破专题四取值范围的确定试题(含解析)

专题四取值范围确实定

几何背景

几何背景下确定最大值和最小值

例1(2021 ，石家庄模拟)如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝3，翻折矩形纸片，

使点A落在对角线DB上的点F处，折痕为DE，翻开矩形纸片，并连接EF.

(1)BD的长为5 ；

(2)求AE的长；

(3)在BE上是否存在点P，使得PF＋PC的值最小？假设存在，请你确定点P的位置，并求出这个最小值；假设不存在，请说明理由．

例1

题图

【思路分析】

(1)根据勾股定理解

答即可．

(

2)

设AE＝x，根据全等三角形的性质

和勾股定理

解答即

可．(3)延

长

到

点

，

使＝

，连

接

，

交

BE

于

点

，确定

点

P

的位置，连

接，CB G BGBC FG P PC

再利用相似三角形的判定和性质，最后利用勾股定理解答即可．

解：(1)5

(2)设AE＝x.

1

∵AB＝4，

∴BE＝4－x.

根据折叠的性质，知

Rt△FDE≌Rt△AD

E.

FE＝AE＝x，FD＝AD＝

BC＝3，∠EFD＝∠A＝

90°.

BF＝BD－FD＝5－3＝2.

在Rt△BEF中，根据勾

股定理，

得FE2＋BF2＝BE2，即

x2＋4＝(4－x)2.

3

解得x＝2.

3

∴AE的长为.

2存在．如答图，延长CB到点G，使BG＝BC，连接FG，交BE于点P，那么点P即为所求．连接PC，此时有PC＝PG. PF＋PC＝GF.

过点F作FH⊥BC，交BC于点H，那么有FH∥DC.

∴△BFH∽△BDC.

FH BF BH FH2BH

∴＝＝，即＝＝.

DC BD BC453

8 6

FH＝5，BH＝5.

21∴GH＝BG＋BH＝3＋5＝5.

在Rt△GFH中，根据勾股定理，

得GF＝

22

＝

505

. GH＋FH5

所以PF＋PC的最小值为505

. 5

例1答图

针对训练1(2021，河北，导学号5892921)如图，在△ABC中，AB＝13，BC＝14，cos 5

∠ABC＝13.

2

【探究】

如图①，AH⊥BC于点H，那么

AH＝12，AC＝15，△ABC的

面积为84.

【拓展】

如图②，点D在AC上(可与点

A，C重合)，分别过点A，C作

直线BD的垂线，垂足为E，

F.设BD＝x，AE＝m，CF＝

n.(当点D与点A重合时，我们

认为S△ABD＝0)

用含x，m，n的代数式表示

S△ABD及S△CBD；

(2)求m＋n关于x的函数解析式，

并求m＋n的最大值和最小值；

(3)对给定的一个x值，有时只

能确定唯一的点D，指出这样

的x的取值范围．

【发现】

请你确定一条直线，使得A，B，

C三点到这条直线的距离之和最

小(不必写出过程)，并写出这个

最小值．

训练1题图

5

【思路分析】【探究】先在Rt△ABH中，由AB＝13，cos∠ABC＝13，可得AH＝12，BH

＝5，那么CH＝9，再解Rt△ACH，即可求出AC的长，最后根据三角形的面积公式即可求出S

△ABC

2S△ABD2S△CBD

的值．【拓展】(1)由三角形的面积公式即可求解．(2)首先由(1)可得m＝x，n＝x，再

根据S＋S＝S＝84，即可求出m＋n关于x的函数解析式，然后由点D在AC上(可与△ABD△CBD△ABC

点A，C重合)，可知x的最小值为AC边上的高，最大值为BC的长，由此便可确定m＋n的最

(3)因为BC＞BA，所以当以点B为圆心，大于56

大值与最小值．5且小于13为半径画圆时，与

AC 有两个交点，不符合题意．故根据点

D

的唯一性，分两种情况：①当

BD

为△的边

AC

ABC

上的高时，点D符合题意．②当AB＜BD≤BC时，点D符合题意．【发现】因为AC＞BC＞AB，

所以使得A，B，C三点到这条直线的距离之和最小的直线就是AC所在的直线．

解：【探究】121584

【拓展】(1)由三角形的面积公式，得

11

S△ABD＝2BD·AE＝2xm，

△CBD＝1·＝1.

S2BD CF2xn

2S△ABD2S△CBD

(2)由(1)得m＝x，n＝x，

3

2S

2S

168

∴＋＝

△ABD

△CBD

＋

＝.

mn

x

x

x

∵AC 边上的高为

2S △ABC 2×8456

15 ＝

＝ ，

15

5

56

∴x 的取值范围是 5≤x ≤14. ∵m ＋n 随x 的增大而减小，

56

∴当x ＝5时，m ＋n 的最大值为15. 当x ＝14 时，m ＋n 的最小值为12.

56 或13＜x ≤14.

(3)x 的取值范围是x ＝

5

【发现】∵AC ＞BC ＞AB ，

∴使得A ，B ，C 三点到这条直线的距离之和最小的直线就是 AC 所在的直线，AC 边上的高

56

为5.

56

∴这个最小值为 5.

针对训练 2(2021，河北)如图①至④中，两平行线 AB ，CD 间的距离均为 6，M 为AB 上 一定点． 【思考】

如图①，圆心为 O 的半圆形纸片在 AB ，CD 之间(包括AB ，CD )，其直径 MN 在AB 上，MN ＝8，P 为半圆上一点，设∠ MOP ＝α. 当α＝90° 时，点P 到CD 的距离最小，最小值为 2. 【探究一】

在图①的根底上，以点 M 为旋转中心，在 AB ，CD 之间顺时针旋转该半圆形纸片，直到不 能再转动为止，如图②，得到最大旋转角∠ BMO ＝30° ，此时点 N 到CD 的距离是 2. 【探究二】

将图①中的扇形纸片 NOP 按下面对 α的要求剪掉，使扇形纸片 MOP 绕点M 在AB ，CD 之 间顺时针旋转．

如图③，当α＝60°时，求在旋转过程中，点P 到CD 的最小距离，并请指出旋转角 BMO 的最大值；

(2)如图④，在扇形纸片 MOP 旋转过程中，要保证点 P 能落在直线 CD 上，请确定 α的取

值范围．

3

3 3

参考数据：sin49

°＝4，cos41

°＝4，tan37 °＝4

4