【35套精选试卷合集】广东省深圳市红岭中学2019-2020学年数学高一下期末模拟试卷含答案

高一下学期期末数学试卷
一、选择题（本题共12小题，每小题4分，共48分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）
1．设集合=M ｛0lg |>x x ｝，｛2
|x x ≤4｝，则=N M I
A ．（1,2]
B ．[1,2)
C ．(1,2)
D ．[1,2]
2．如图，21,e e ρρ是互相垂直的单位向量，则向量a ρ
可以表示为 A ．32e ρ-1e ρ
B ．21e ρ-42e ρ
C ．1e ρ-32e ρ
D ．31e ρ-2e ρ
3．下列函数中既是奇函数又是增函数的为 A ．1+=x y
B ．x
y 1-
=
C ．2
x y -=
D ．x x y =
4．如图，正六边形ABCDEF 中，=++ A ．
B ．BE
C ．
D ．
5．圆台母线与底面成45°角，侧面积为π23，则它的轴截面面积是 A ．2
B ．3
C ．2
D ．23
6．在底面直径和高都为2R 的圆柱21O O 内任取一点P ，则点P 到线段21O O 中点的距离小于等于R 的概率为 A ．
3
2 B ．
3
1 C ．
4
3 D ．
2
1 7．如图，茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数，乙 组记录中有一个数糊，无法确认，在图中用x 表示。

若 甲、乙两组共有8名同学植树棵数的平均数为9，则x 为 A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
8．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为
35，则判断框中应填 A ．n ≤5？ B ．n ＞5？ C ．n ≤4？
D ．n ＞4？
9．要得到函数x y 2sin 2=的图像，只需要将函数
)6
2sin(2π
-=x y 的图像
A ．向左平移
12
π
个单位 B ．向右平移
12
π
个单位 A B C
D F E
甲组 乙组
9 9 0 x 8 9 1 1 1 0 1e ρ
2e ρ
a ρ
C ．向左平移
6π
个单位 D ．向右平移
6
π
个单位 10．函数x x f x
-
=)3
1()(的零点所在的区间为
A ．（0,
3
1
）
B ．（
31,2
1）
C ．（
2
1
，1） D ．(1,2) 11．设函数=)(x f 若)()(a f a f ->，则实数a 的取值范围是
A ．（-1,0）∪（0,1）
B ．（-∞,-1）∪（1,+∞）
C ．（-1,0）∪（1,+∞）
D ．（-∞,-1）∪（0,1）
12．对于函数)2
3sin(
)2
cos()(x x x f ++=π
π
，给出下列四个结论： ①函数)(x f 的最小正周期为π2 ②函数)(x f 在]2
,6[π
π上的值域是]21
,43[
③函数)(x f 在]43,
4[
π
π上是减函数
④函数)(x f 的图象关于点)0,2
(π
-对称；
其中正确结论的个数是
A ．1个
B ．2个 Ｃ．3个 Ｄ．4个
第Ⅱ卷 非选择题 （共72分）
二、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分）
13．有2个人在一座7层大楼的底层进入电梯，假设每一个人自第二层开始在每一层离开电梯是等可能的，
求2个人在不同层离开的概率 。

14．求值：o
o
15
tan 115tan 1-+ = 。

15．一个正棱柱的三视图如图所示，其俯视图为正
三角形，则该三棱柱的体积是 )cm (3。

16．函数)sin()(ϕω+=x A x f 的部分图象如图 所示，则=)0(f
正视图
左视图
2cm
⎩⎨⎧>log 0
,log 2x x 0,-21
<x x ）（ 俯视图
三、解答题（本题共5小题，共56分。

解答时应写出必要的文字说明，证明过程或 演算步骤。

）
17．（10分）已知向量)6,8(),2,(),,4(),1,1(===-=d y c x b a ρρρρ，且
b ρ∥d ρ,
c
d a ρρρ⊥+)4(
（1）求b ρ和c ρ
；
（2）求c ρ在a ρ
方向上的投影。

18．（10分）设向量]2
,0[),sin ,(cos ),sin ,sin 3(π
∈==x x x b x x a ρρ
（1）若|,|||b a ρ
ρ=求x 的值；
（2）设函数b a x f ρ
ρ⋅=)(，求)(x f 的最大值。

19．（12分）某高级中学共有学生2018名，各年级男、女生人数如下表：
高一年级 高二年级
高三年级
女生 373 x
y
男生
377
370
z
已知在全校学生中随机抽取1名，抽到高二年级女生的概率是0.19. （1）求x 的值；
（2）现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，则应在高三年级抽取多少名？ （3）已知y ≥245，z ≥245，求高三年级中女生比男生多的概率。

20．(12分)如图,AB 是圆O 的直径，PA 垂直于圆所在的平面，
C 是圆周上的点。

（1）求证：平面⊥PAC 平面PBC ; （2）若,2,2,22===PA AC AB
求二面角A PB C --的度数。

21．（12分）已知圆,5)1(:2
2
=-+y x C 直线,01:=-+-m y mx l 且直线l 与圆C
交于A 、B 两点。

（1）若17||=AB ，求直线l 的倾斜角； （2）若点)1,1(P 满足,2PB AP =求直线l 的方程。

O
o
P
A
B C
参考答案
一.选择题（每小题4分，共48分） ADDDB ACDAB CB
二.填空题（每小题4分，共16分） 13.
6
5
14.3 15. 83 16. -2 三.解答题（共56分）∴
17.解：（1）b ρΘ∥d ρ，0248=-∴x 3=∴x
分3)3,4(K K K K K K K ρ
=∴b )10,4(4=+d a ρρ 又c d a ρ
ρρΘ⊥+)4( 0204=+∴y 5-=∴y K ρ)2,5(-=∴c 6分
（2）58
7
29225||||,cos =+=⋅=〉〈c a c a c a ρρρ
ρρρΘ K K K K 8分
c ρ∴在a ρ方向上投影为 K K K K K K ρρρ22
72
758729,cos ||==⋅=〉〈c a c 10分
18.解：（1）由 K K ρ
]2
,0[,sin 2sin 4sin )sin 3(||222π
∈==+=
x x x x x a 2分
1sin cos ||22=+=x x b ρ
K K K K K 3分
||||b a ρ
ρΘ= ]2
,0[,1sin 2π∈=∴x x 6π=∴x K K K K K 5分
（2）x x x b a x f 2
sin cos sin 3)(+=⋅=ρρ K K K K K 6分
2
1
)62sin(+-=π
x K K K K K 8分 当3
π
=x 时)(x f 的大值为
2
3
K K K K 10分 19.解：（1）因为
19.02000
=x
，所以380=x K K K K K K 4分 （2）高三年级人数为K 500)370380377373(2000=+++-=+z y 6分
用分层抽样法的方法在全校抽出48名学生，应在高三年级抽取的人数为
125002000
48
=⨯K K K K K K K .....................................................................8分
（3）设高三年级女生比男生多为事件A, 高三年级女生和男生人数记为),(z y ， 由（2）知500=+z y
又N z y z y ∈≥≥,.245,245 所以基本事件有（245,255），
（246,254），（247,253）K （255,245）共11个 K K K K K K K 10分 事件A 有（251,249），（252,248），（253,247），（254,246），（255,245） 共5个 K K K K 11分。

所以11
5
)(=
A P K K K K K K K 12分 20.（1）证：由A
B 是圆O 的直径，得B
C AC ⊥ K K 1分 由⊥PA 平面⊂BC ABC ,
平面ABC 得K K BC PA ⊥ 3分
又,A AC PA =I ∴⊥BC 平面PAC K K K K K 4分 又⊂BC 平面PBC
所以，平面⊥PBC 平面PAC K K K K K 6分 （2）连接,CO .2,22==AC AB Θ∴BC=2，∴OC AB ⊥K 8分 过O 在平面PAB 上作PB OM ⊥于M ，连接CM ,由三垂线 定理PB CM ⊥, OMC ∠∴是二面角A PB C --的平面角K 10分 易知,2=
OC 由BOM ∆∽BPA ∆得3
2=
OM
在OMC Rt ∆中3tan ==∠OM
OC
OMC ,o OMC 60=∠∴K K 12分
21.圆:C 5)1(2
2=-+y x 知5=r K K K K K K 1分
又17||=AB Θ, 故弦心距2
3)2(
22=-=AB r d K K K K 2分 由点到直线的距离公式得1
||1
|
110|2
2
+=
+-+-=
m m m m d K K K K 4分
21||23m
m +=∴
3±=∴m ，l 的倾斜角为3π或者32π
................................6分
设)1,(),1,(2211+-+-m mx x B m mx x A ,由题意PB AP =2可得
),,1(),1(22211m mx x m mx x --=+-- ,12221-=-∴x x 即3221=+x x ①K K 8分
把直线)1(1-=-x m y 代入圆5)1(:2
2
=-+y x C 化简可得
052)1(2
2
2
2
=-+-+m x m x m 得2
2
2112m m x x +=+② K K K K 10分
①②解得,132
21m m x ++=
故点A 的坐标为)121,13(22
22m m m m m +++++代入圆的方程 得1,12
±=∴=m m K K K K K K K K K 11分
∴l 的方程为0=-y x 或02=-+y x K K K K K K K 12分
高一下学期期末数学试卷
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的．）
1. 已知且，下列不等式中成立的一个是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由不等式的性质结合题意：
∵c<d，a>b>0，
∴−c>−d，且a>b，
相加可得a−c>b−d，
故选：B
2. 已知向量，向量，且，那么等于（）
A. 8
B. 7
C. 6
D. 5
【答案】C
【解析】由向量平行的充要条件有：，解得： .
本题选择C选项.
3. 在中，，则A为（）
A. 或
B.
C. 或
D.
【答案】A
【解析】由正弦定理：可得：，
则A为或.
本题选择A选项.
点睛：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．
4. 下列结论正确的是（）
A. 各个面都是三角形的几何体是三棱锥；
B. 一平面截一棱锥得到一个棱锥和一个棱台；
C. 棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是正六棱锥；
D. 圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线
【答案】D...
【解析】A、如图所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不是棱锥，故A错误；
B、一平行于底面的平面截一棱锥才能得到一个棱锥和一个棱台，因此B错误；
C、若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形.由过中心和定点的截面知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长，故C错误；
D、根据圆锥母线的定义知，D正确.
本题选择D选项.
5. 某四面体的三视图如图所示，该四面体的体积为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意可知，该几何体是在棱长分别为的长方体中的三棱锥，
且：，该四面体的体积为 .
本题选择A选项.
点睛：三视图的长度特征：“长对正、宽相等，高平齐”，即正视图和侧视图一样高、正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽．若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要
注意实、虚线的画法．正方体与球各自的三视图相同，但圆锥的不同．
6. 已知，则的值为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意可得：
据此有： .
本题选择B选项.
7. 设是公比为正数的等比数列，，则（）
A. 2
B. -2
C. 8
D. -8
【答案】C
【解析】由题意有：，即：，
公比为负数，则.
本题选择A选项.
8. 的内角的对边分别为，已知，则（）
A. B. C. 2 D. 3...
【答案】D
【解析】由余弦定理：，即：，
整理可得： ,三角形的边长为正数，则： .
本题选择D选项.
9. 不等式的解集为，则不等式的解集为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵不等式ax2+bx+2>0的解集为{x|−1<x<2}，
∴−1,2是一元二次方程ax2+bx+2=0的两个实数根，且a<0，
∴，解得a=−1，b=1.
则不等式2x2+bx+a<0化为2x2+x−1<0，
解得−1<x< .
∴不等式2x2+bx+a<0的解集为 .
本题选择B选项.
点睛：解一元二次不等式时，当二次项系数为负时要先化为正，再根据判别式符号判断对应方程根的情况，然后结合相应二次函数的图象写出不等式的解集.
10. 已知各项均为正数的等差数列的前20项和为100，那么的最大值是( )
A. 50
B. 25
C. 100
D. 2
【答案】B
结合题意和均值不等式的结论有：，
当且仅当时等号成立.
本题选择B选项.
11. 对于任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】当m=0时,mx2−mx−1=−1<0，不等式成立；
设y=mx2−mx−1，当m≠0时函数y为二次函数，y要恒小于0，抛物线开口向下且与x轴没有交点，即要m<0且△<0
得到：解得−4<m<0.
综上得到−4<m⩽0.
本题选择A选项....
点睛：不等式ax2＋bx＋c＞0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a＝0时，b＝0，c＞0；当a≠0时，不等式ax2＋bx＋c＜0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a＝0时，b＝0，c＜0；当a≠0时，
12. 两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题．他们在沙滩上画点或用小石子表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类．如下图中实心点的个数为梯形数．根据图形的构成，记此数列的第项为，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】观察梯形数的前几项，得
5=2+3=a1，
9=2+3+4=a2，
14=2+3+4+5=a3，
…
，
由此可得a2018=2+3+4+5+…+2018=×2018-2018，
∴a2018−5=×2018-2018−5=2018×2018−5=2018×2018，
本题选择D选项.
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共计20分，将答案填在答题纸上）
13. 不等式的解集是____________________。

【答案】
【解析】不等式即：，则：，
转化为二次不等式：，
据此可得不等式的解集为：.
点睛：解不等式的基本思路是等价转化，分式不等式整式化，使要求解的不等式转化为一元一次不等式或一元二次不等式，进而获得解决．
14. 已知函数在处取最小值，则________________。

【答案】3
考点：均值不等式求最值
15. 在等比数列中，已知，求=__________________。

【答案】或
【解析】当时满足题意，
否则：，解得：，
综上可得：或....
16. 已知，则__________________。

【答案】-13
【解析】由题意可得： .
三、解答题（本大题共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 已知平面向量的夹角为，且。

（Ⅰ）求
（Ⅱ）求
【答案】（1）12（2）
【解析】试题分析：
首先求得的值：
(1) 利用平面向量数量积的运算法则可得：=；
(2)首先求得的值，然后利用平面向的求解公式可得 .
试题解析：
解：
（Ⅰ）=
（2）
18. 已知函数的最大值为2。

（1）求的值及的最小正周期；
（Ⅱ）求的单调递增区间。

【答案】（1）（2）
【解析】试题分析：
(1)整理函数的解析式，由函数的最大值可得，函数的最小正周期为；
(2)结合(1)中的结论可得函数的单调增区间为
试题解析：
解：（Ⅰ）
当=1时，
的最小正周期为。

...
（Ⅱ）由（1）得
得
的单调增区间为
19. 在中，的对边分别是，且成等差数列。

的面积为。

（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，求的值。

【答案】（1）2（2）或
【解析】试题分析：（1）首先根据A、B、C成等差数列求出角B，再根据安三角形面积公式，求出ac；
（2）根据余弦定理，求出，在根据（1）中的ac=2，即可求出a，c.
试题解析：解：（1）．∵A、B、C成等差数列
∴2B=A+C
2分
∵
∴ac=2 4分
（2）．，，
6分
即a=2或8分
考点：1. 正弦定理在三角形面积中的应用；2.余弦定理.
20. 已知是等差数列，是等比数列，且，，，。

（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的前项和。

【答案】（1）（2）
【解析】试题分析：（Ⅰ）由已知条件求得等比数列的首项和公比，从而得到的首项和公差，从而得到其通项公式；（Ⅱ）首先求得数列的通项公式，结合其特点采用分组求和法求解
试题解析：（Ⅰ）等比数列的公比,
所以，
设等差数列的公差为，因为，,
所以，即，
因此...
（II）由（I）知，，．
因此．
从而数列的前项和
．
考点：等差数列等比数列通项公式；数列分组求和
21. 一个面积为的矩形场地,要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需要维修),其它三面
围墙要新建,在旧墙对面的新墙上要留下一个宽度为的出口,如图所示,已知旧墙的维修费为45元/m,新墙的造价为180元/m.设利用的旧墙长度为(单位:m),修此矩形场地围墙的总费用为(单位:元).
(Ⅰ)将表示为的函数；
(Ⅱ)试确定，使修建此矩形场地围墙的总费用最小,并求出最小总费用。

【答案】（1）（2）当m时,总费用最小,最小总费用为20180元. 【解析】试题分析：（1）设矩形的另一边长为am，则根据围建的矩形场地的面积为360m2，易得，此时再根据旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，我们即可得到修建围墙的总费用y表示成x的函数的解析式；（2）根据（1）中所得函数的解析式，利用基本不等式，我们易求出修建此矩形场地围墙的总费用最小值，及相应的x值
试题解析：（1）如图，设矩形的另一边长为a m
则45x+180（x-2）+180·2a=225x+360a-360
由已知xa=360,得a=,
所以y=225x+
（2）
．当且仅当225x=时，等号成立．
即当x=24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是20180元．
考点：函型的选择与应用
22. 已知点是函数图像上一点，等比数列的前项和为。

数列的首项为2，前项和满足（）。

（Ⅰ)求数列的通项公式；
（Ⅱ）若数列的前项和为，问使的最小正整数是多少？
【答案】（1）（2）59
【解析】试题分析：
(1)利用题意求得数列的首项和公比均为，则数列的通项公式是；
(2)裂项求得数列的前n项和为，求解关于n的不等式可得最小正整数为59
试题解析：
（Ⅰ）解：，
，则等比数列的前项和为...
，，
由为等比数列，得公比
，则，
（Ⅱ）：由,得
时，,则是首项为1，公差为1的等差数列。

，()
则（）
当时，满足上式
，
由，得，则最小正整数为59
点睛：使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．
高一下学期期末数学试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. =ο240sin A ．
21 B ．21- C ．2
3 D ．23- 2. 为了得到函数sin(2)3
y x π
=-的图象，只需把函数sin 2y x =的图象
A. 向左平移
3π个单位长度 B. 向右平移3
π
个单位长度 C. 向左平移
6π个单位长度 D. 向右平移6
π
个单位长度 3．平面四边形ABCD 中，0AB CD +=u u u r u u u r
，()0AB AD AC -⋅=u u u r u u u r u u u r ，则四边形ABCD 是
A ．矩形
B ．正方形
C ．菱形
D ．梯形
4．从1,2，…，9中任取两数，给出下列事件：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个奇数和两个数都是奇数；③至少有一个奇数和两个数都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．其中是对立事件的是
A ．①
B ．②④
C ．③
D ．①③ 5．若一扇形的圆心角为72°，半径为20 cm ，则扇形的面积为 A ．40π cm 2
B ．80π cm
2
C ．40 cm 2
D ．80 cm 2
6．在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据，并制作成如图所示的人体脂肪含量与年龄关系的散点图．根据该
图，下列结论中正确的是
A ．人体脂肪含量与年龄正相关，且脂肪含量的中位数等于20%
B ．人体脂肪含量与年龄正相关，且脂肪含量的中位数小于20%
C ．人体脂肪含量与年龄负相关，且脂肪含量的中位数等于20%
D ．人体脂肪含量与年龄负相关，且脂肪含量的中位数小于20%
7．如图所示，程序框图的输出结果是
A. 16
B. 25
24 C. 34 D. 1112
8. 已知圆22
:20C x y x +-=,在圆C 中任取一点P ， 则点P 的横坐标小于1的概率为 A ．
14 B ．12
C ．
2
π
D ．以上都不对 9．函数sin(2)3
y x π
=-
在区间[,]2
π
π-
上的简图是
10. 过点)1,1(),1,1(--B A 且圆心在直线02=-+y x 上的圆的方程是 A ．4)1()3(2
2
=++-y x B ．4)1()3(2
2
=-++y x C ．4)1()1(2
2
=-+-y x D ．4)1()1(2
2
=+++y x
11.已知
2
π
απ<<，3sin 22cos αα=，则cos()απ-等于
A.
23 B ．64 C ．223 D ．326
12.已知直线ax y =与圆0222:2
2
=+--+y ax y x C 交于两点B A ,，且CAB V 为等边三角形，则圆
C 的面积为
A ．49π
B ．36π
C ．π7
D ．π6
第II 卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把正确答案填在答题纸给定的横线上.
13．从300名学生(其中男生180人，女生120人)中按性别用分层抽样的方法抽取50人参加比赛，则应该抽取男生人数为____________.
14．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边与单位圆交于点A ，点A 的纵坐标为4
5，则cos α＝________.
15．如图所示，在等腰直角三角形AOB 中，OA ＝OB ＝1，4AB AC =u u u r u u u r
，则()OC OB OA ⋅-=u u u r u u u r u u u r ________.
16.已知(
,)2π
θπ∈，且3cos()45πθ-=，则tan()4
π
θ+=______________. 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程
17．（本小题满分12分）
已知两向量平面a r 与b r ，|a r |＝4，|b r |＝8，a r 与b r
的夹角是120°. (1)计算： |a r ＋b r
|；
(2)当k 为何值时，(a r ＋2b r )⊥(k a r －b r
)．
18. （本小题满分12分）
已知函数()2sin()(0.0)2
f x x π
ωϕωϕ=-><<的最小正周期为π，且
6
π
是它的一个零点． （1）求函数()f x 的解析式； （2）若,[0,
]2
π
αβ∈，5(
)22
12f α
π+
=，()326
f βπ
+=，求cos()αβ+的值．
19.（本题满分12分）
某学校为加强学生的交通安全教育，对学校旁边A ，B 两个路口进行了8天的检测调查，得到每天各路口不按交通规则过马路的学生人数（如茎叶图所示），且A 路口数据的平均数比B 路口数据的平均数小2.
（1）求出A 路口8个数据中的中位数和茎叶图中m 的值；
（2）在B 路口的数据中任取大于35的2个数据，求所抽取的两个数据中至少有一个不小于40的概率.
20.（本小题满分12分）
已知函数2
()sin 22sin f x x x =-. （1）求函数()f x 的最小正周期；
（2）求函数()f x 的最大值及()f x 取最大值时x 的集合.
21.（本小题满分12分） 某校对高一年级学生寒假参加社区服务的次数进行了统计，随机抽取了M 名学生作为样本，
得到这M 名学生参加社区服
务的次数，根据此数据作出了频率分布统计表和频率分布直方图如下：
分组频数频率
[10,15)20 0.25
[15,20)50 n
[20,25)m p
[25,30) 4 0.05
合计M N
（1）求表中,n p的值和频率分布直方图中a的值，并根据频率分布直方图估计该校高一学生寒假参加社区服务次数的中位数；
（2）如果用分层抽样的方法从样本服务次数在[10,15)和[25,30)的人中共抽取6人，再从这6人中选2人，求2人服务次数都在[10,15)的概率.
22．（本小题满分10分）
如图，已知以点A(－1,2)为圆心的圆与直线l1：x＋2y＋7＝0相切．过点B(－2,0)的动直线l与圆A相交于M，N两点，Q是MN的中点，直线l与l1相交于点P.
（1）求圆A的方程；
（2）当|MN|＝219时，求直线l的方程．
高一文科数学试题
参考答案
一、选择题：DDCCB BDBAC CD
二、填空题：13．30 14．－35 15．－12 16. 34
- 三、解答题：
17．解：由已知得，a r ·b r ＝4×8×1()2-＝－16. …………………………………2分 (1)∵|a r ＋b r |2＝22()2()a a b b +⋅+r r r r ＝16＋2×(－16)＋64＝48，
∴|a r ＋b r |＝43.………………………………………………………………………6分
(2)∵(a r ＋2b r )⊥(k a r －b r )，∴(a r ＋2b r )·(k a r －b r )＝0，……………………………7分
∴22()(21)2()0k a k a b b +-⋅-=r r r r ，
即16k －16(2k －1)－2×64＝0.∴k＝－7.
即k ＝－7时，a r ＋2b r 与k a r －b r 垂直．………………………………………………12分
18. 解：（1）∵函数()2sin()(0.0)2f x x π
ωϕωϕ=-><<的最小正周期为π，故 2π
πω=，∴2ω=．
∴ ()2sin(2)f x x ϕ=-．……………………………………………………………2分 又6
π是它的一个零点，即sin()03πϕ-= ，∴,Z 3k k πϕπ-=∈ ∴,Z 3k k π
ϕπ=
-∈， ∵02π
ϕ<<，∴0,3k π
ϕ==，………………………………………………………5分
∴()f x 的解析式为()2sin(2)3f x x π
=- ．…………………………………………6分
（2）由（1）知()2sin(2)3f x x π=-
，
又∵5()212f α
π+=()26
f βπ+=
故sin()2
2π
α+=，sin 2β=，………………………………………………8分
∴cos 2α=，又,[0,]2παβ∈．…………………………………………………9分 ∴,43π
π
αβ==
，………………………………………………………………………11分
∴cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=⋅-⋅= ．…………………………12分
另解：sin()22π
αβ+==8分
∴cos 2
α=，又,[0,]2παβ∈，……………………………………………………9分
∴1sin 22
αβ==，……………………………………………………………11分
∴cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=⋅-⋅=
．…………………………12分 19.解：（1）A 路口8个数据的中位数为343534.52
+=.……………………3分 ∵A 路口8个数据的平均数为2130313435353749348
+++++++=， ∴B 路口8个数据的平均数为36， ∴24323637384245(30)368
m ++++++++=，4m =.………………6分 （2）B 在路口的数据中人去2个大于35的数据，有如下10种可能结果：
(36,37)，(36,38)，(36,42)，(36,45)，(37,38)，(37,42)，(37,45)，(38,42)，(38,45)，(42,45).…………………………………………………………………9分
其中 “至少有一次抽取的数据不小于40”的情况有如下7种：(36,42)，(36,45)，(37,42)，(37,45)，(38,42)，(38,45)，(42,45). 故所求的概率为710
p =
.…………………………………………………………12分
20.解：（1）2()sin 22sin sin 2cos 21f x x x x x =-=+-
)14
x π=+-，…………………………………………………………………4分 ∴函数()f x 的最小正周期为22T ππ=
=.……………………………………………6分 （2）当2242x k π
π
π+=+，即8x k π
π=+，Z k ∈时，
()f x
1，………………………………………………………………10分
()f x
1时x 的集合为|,Z 8x x k k ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭
.……………………12分 21.解：（1）∵200.25M ÷=，∴80M =，∴500.62580
N ==，…………………2分 310.250.6250.050.07540
p =---==，……………………………………………3分
10.12558
n a ===.………………………………………………………………………4分 中位数位于区间[15,20)，设中位数为（15+x ），
则0.1250.25x =，∴2x =，
故学生参加社区服务次数的中位数为17次.……………………………………………6分
（2）由题意知样本服务次数在[10,15)有20人，样本服务次数在[25,30)有4人，
如果用分层抽样的方法从样本服务次数在[10,15)和[25,30)的人中共抽取6人，则抽取的服务次数在
[10,15)和[25,30)的人数分别为：206524⨯=和46124
⨯=.…………… 8分 记服务次数在[10,15)为12345,,,,a a a a a ，在[25,30)的为b .
从已抽取的6人任选两人的所有可能为：
121314151232425234(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),a a a a a a a a a b a a a a a a a b a a
3534545(,),(,),(,),(,),(,),a a a b a a a b a b 共15种，……………………………………10分
设“2人服务次数都在[10,15)”为事件A ，则事件A 包括
1213141523242534(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),a a a a a a a a a a a a a a a a 3545(,),(,)a a a a
共10种， 所有102()153P A =
=. ………………………………………………………………… 12分
22．解：(1)设圆A 的半径为R.
由于圆A 与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切， ∴R＝|－1＋4＋7|
5＝25.………………………………………3分
∴圆A 的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝20. …………………………4分
(2)①当直线l 与x 轴垂直时，易知x ＝－2符合题意；………5分
②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k(x ＋2)．
即kx －y ＋2k ＝0. ……………………………………………………………6分
连接AQ ，则AQ⊥MN.
∵|MN|＝219，∴|AQ|＝20－19＝1，……………………………………7分
则由|AQ|＝|k －2|
k 2＋1＝1，………………………………………………………8分
得k ＝3
4，∴直线l ：3x －4y ＋6＝0. …………………………………… 9分
故直线l 的方程为x ＝－2或3x －4y ＋6＝0. ………………………………10分
高一下学期期末数学试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分。

1. 与角－70°终边相同的角是
A. 70°
B. 110°
C. 250°
D. 290°
2. sin43°cos17°＋cos43°sin17°的值为 A. 21- B. 21 C. 23 D. 2
3- 3. 已知向量a ＝)1,(x ，b ＝),4(x ，若向量a 和b 方向相同，则实数x 的值是
A. －2
B. 2
C. 0
D. 5
8 4. 函数)3sin(π-=x y
的单调递增区间是 A. )](265,26[Z k k k ∈++-
ππππ B. )](2611,265[Z k k k ∈++ππππ C. )](234,23[Z k k k ∈++ππππ
D. )](23
,232[Z k k k ∈++-ππππ 5. 若直线过点（1，1），（2，31+），则此直线的倾斜角的大小为
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 90° 6. 在等差数列}{n a 中，1091=+a a ，则5a 的值为
A. 5
B. 6
C. 8
D. 10
7. 如图所示， M 是△ABC 的边AB 的中点，若b CA a CM ==,，则CB ＝
A. b a 2-
B. b a -2
C. b a 2+
D. b a +2
8. 与直线012=+-y x 关于直线1=x 对称的直线的方程是
A. 012=-+y x
B. 012=-+y x
C. 032=-+y x
D. 032=-+y x
9. 设n S 为等比数列}{n a 的前n 项和，已知23,233243-=-=a S a S ，则公比q 等于
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
10. 已知直线过点A （1，2），且原点到这条直线的距离为1，则这条直线的方程是
A. 0543=+-y x 和1=x
B. 0534=+-y x 和1=y
C. 0543=+-y x 和1=y
D. 0534=+-y x 和1=x
11. 设y x ,满足约束条件⎪⎩
⎪⎨⎧-≥≤≤+21y x y y x ，则y x z +=3的最大值为
A. －8
B. 3
C. 5
D. 7
12. 点),(y x P 是函数)25,21(sin 23)(⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-∈=x x x f π图象上的点，已知点Q （2，0），O 为坐标原点，则⋅的取值范围为
A. ]0,1[-
B. ]2,1[-
C. ]3,0[
D. ]13,1[--
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分。

把答案填在题中横线上。

13. 如果2
1cos =α，且α为第四象限角，那么αtan 的值是__________。

14. 在△ABC 中，若===C AC BC ,2,2150°，则△ABC 的面积为__________。

15. 将函数x y 2sin =的图象向左平移)20(πϕ
ϕ<<个单位，得到函数)12sin(+=x y 的图象，则ϕ的值是__________。

16. 102
110813412211++++Λ＝__________。

17. 已知点)0)(2,(>a a A 到直线03=+-y x 的距离为1，则=a __________。

18. 定义运算符号：“X ”，这个符号表示若干个数相乘，例如：可将1×2×3×…×n 记作∏=∈n i N
n i 1*)(，记X n
i i n a T 1==，其中i a 为数列)}({*N n a n ∈中的第i 项。

①若23-=n a n ，则4T ＝__________；
②若)(2*2N n n T n ∈=，则n a ＝__________。

三、解答题：本大题共5小题，共46分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

19. （9分）已知向量),2(),2,1(x b a -==。

（Ⅰ）当1-=x 时，求向量a 与b 的夹角的余弦值；
（Ⅱ）当)4(b a a +⊥时，求｜b ｜。

20. （9分）设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为c b a ,,，且2,5
4cos ==b B。

（Ⅰ）当A ＝30°时，求a 的值；
（Ⅱ）当△ABC 的面积为3时，求c a +的值。

21. （9分）已知直线01:,03:21=--=-+y x l y x l 。

（Ⅰ）求过直线1l 与2l 的交点，且垂直于直线012:3=-+y x l 的直线方程； （Ⅱ）过原点O 有一条直线，它夹在1l 与2l 两条直线之间的线段恰被点O 平分，求这条直线的方程。

22. （10分）已知函数
R x x x x x x f ∈-+=,2cos 21cos sin 32sin )(2。

（Ⅰ）求)(x f 的最小正周期和值域； （Ⅱ）若)20(00π≤≤
x x 为)(x f 的一个零点，求02sin x 的值。

23. （9分）已知等差数列}{n a 中，公差0>d ，其前n 项和为n S ，且满足4542=⋅a a ，1451=+a a 。

（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式及其前n 项和n S ； （Ⅱ）令)(11*2N n a b n n ∈-=
，若数列}{n c 满足)(,41*11N n b c c c n n n ∈=--=+。

求数列}{n c 的通项公式n c ； （Ⅲ）求)(9)(*N n c b n n f n
n ∈-=
的最小值。

【试题答案】
一、选择题（每小题3分，共36分）
二、填空题（每小题3分，共18分） 13. 3-； 14. 1； 15. 21； 16. 102156- 17. 12-；
18. 280，⎪⎩⎪⎨⎧≥-==).2()1
(),1(22n n n n a n 三、解答题（共56分）
19. （9分）
（Ⅰ）1-=x Θ，4)1(2)2(1-=-⨯+-⨯=⋅∴b a ，5||,5||==b a 。

∴向量a 与向量b 的夹角的余弦值为54||||cos -=⋅=
b a b a θ。

4分 （Ⅱ）依题意)8,2(4x b a +=+。

0)4(),4(=+⋅∴+⊥b a a b a a Θ。

02162=++∴x 。

9-=∴x 。

)9,2(--=∴b 。

85814||=+=∴b 。

9分 20. （9分） （Ⅰ）因为54cos =B ，所以5
3sin =B 。

由正弦定理B b A a sin sin =，可得31030sin =︒a 。

所以3
5=a 。

（Ⅱ）因为△ABC 的面积53sin ,sin 21==B B ac S
， 所以10,310
3==ac ac 。

由余弦定理B ac c a b cos 2222-+=， 得165
842222-+=-+=c a ac c a ，即2022=+c a 。

所以40)(,202)(22=+=-+c a ac c a ，所以102=+c a 。

21. （Ⅰ）由⎩⎨⎧=--=-+01,03y x y x 得⎩
⎨⎧==1.2y x ∵所求的直线垂直于直线012:3=-+y x l ，∴所求直线的斜率为
21， ∴所求直线的方程为02=-y x 。

4分
（Ⅱ）如果所求直线斜率不存在，则此直线方程为0=x ，不合题意。

所以设所求的直线方程为kx y =。

所以它与21,l l 的交点分别为)1,11(),13,13(
k k k k k k --++。

由题意，得
01113=-++k k 。

解得2=k 。

所以所求的直线方程为02=-y x 。

9分 22. （Ⅰ）x x x x f 2cos 2
12sin 322cos 1)(-+-= 21)62sin(2212cos 2sin 3+-=+
-=πx x x ， 所以)(x f 的最小正周期为π。

)(x f 的值域为⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-25,23。

（Ⅱ）由02162sin 2)(00=+⎪⎭⎫ ⎝⎛
-
=πx x f ，得04162sin 0<-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-πx 。

又由200π
≤≤x ，得6
56260ππ
π
≤-≤-x 。

因为062sin 0<⎪⎭⎫ ⎝⎛
-πx ，所以06260<-≤-π
πx ， 所以4
1562cos 0=⎪⎭⎫ ⎝⎛-πx 。

此时，⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=662sin 2sin 00ππx x 6sin 62cos 6cos 62sin 00ππππ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x x 214152341⨯+⨯-=8315-=。

10分
23. （Ⅰ）因为数列}{n a 是等差数列，所以144251=+=+a a a a 。

因为0>d ，所以 解方程组⎩⎨⎧==+.45,144242a a a a 得⎩⎨⎧==.
9,542a a 所以.2,31==d a 所以12+=n a n 。

因为d n n na S n )1(2
11-+=，所以n n S n 22+=。

所以数列}{n a 的通项公式12+=n a n ，前n 项和公式n n S n 22+=。

4分 （Ⅱ）因为12),(11*2+=∈-=n a N n a b n n n ，所以)1(41+=n n b n 。

因为数列}{n c 满足)1(41,4111+=--
=+n n c c c n n ， 所以)111(411n
n c c n n --=-+，
)111(411n
n c c n n --=
--， …，… )2
11(4112-=-c c ， 所以)1(4)111(4111+=+-=
-+n n n c c n 。

因为4
11-=c ，所以)1(4)111(4111+=+-=-+n n n c c n ， 所以)
1(411+-=+n c n 。

),1(*N n n ∈≥ 所以n
c n 41-=。

6分 （Ⅲ）因为n c n n b c b n n f n n n n 41,)1(41,9)(-=+=-=，所以119)(++=n n n f 。

因为9
11191119)(-+++=++=n n n n n f ， 所以9
111912911191-+⋅+≥-+++n n n n 。

所以959132)(=-≥n f ，当且仅当1
191+=+n n ，即2=n 时等号成立。

所以 当2=n 时，)(n f 最小值为95。

9分
高一下学期期末数学试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分. 1．1和5的等差中项是
A ．5
B ．5±
C ．3
D ．3±
2．设a b >，则下列不等式中正确的是 A ．11a b
＞
B ．a c b c ++＞
C ．22ac bc ＞
D ．22a b ＞
3．直线l 经过原点O 和点(1,1)P ，则其斜率为
A ．1
B ．-1
C ．-2
D ．2
4．下列结论中正确的是
A ．经过三点确定一个平面
B ．平行于同一平面的两条直线平行
C ．垂直于同一直线的两条直线平行
D ．垂直于同一平面的两条直线平行
5．空间两点(1,2,2)A -，(1,0,1)B --之间的距离为
A ．5
B ．3
C ．2
D ．1
6．如图，O A B '''△是水平放置的OAB △的直观图，则OAB △
的面积为
A ．6
B ．32
C ．12
D ．62
7．在ABC △中，面积3
S =
，2c =，60B =°，则a = A ．2
B ．3
C ．2
D ．1
8．圆224x y +=与圆22(3)1x y -+=的位置关系为 A ．内切
B ．相交
C ．外切
D ．相离
9．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
A ．4π
B ．6π
C ．8π
D ．16π
10．设x ,y 满足如图所示的可行域（阴影部分），则1
2
z x y =
-的最大值为
A ．
1
2 B ．0 C ．12
-
D ．1-
（第9题图）
（第10题图）
（第6题图）
45O
O ′
y ′ B ′
4 x ′A ′
3
11．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的一部数学专著，书中有如下问题：今
有女子善织，日增等尺，七日织28尺，第二日，第五日，第八日所织之和为15尺，则第九日所织尺数为
A ．8
B ．9
C ．10
D ．11
12．设x ∈R ，记不超过x 的最大整数为[x ]，令{x }=x -[x ]，则{
51
+}，[
51
+]， 51
+ A ．成等差数列但不成等比数列 B ．成等比数列但不成等差数列 C ．既成等差数列又成等比数列 D ．既不成等差数列也不成等比数列
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分． 13．设1x >，则1
1
x x +
-的最小值为 ． 14．若直线2y kx =+与直线21y x =-互相平行，则实数=k . 15．表面积为4π的球的半径为_________.
16．已知ABC △的三边a ，b ，c 成等比数列，则角B 的取值范围是 .
三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）
已知直线1l ：3420x y +-=，2l ：220x y ++=相交于点P . （1）求点P 的坐标；
（2）求过点P 且与直线210x y --=垂直的直线l 的方程.
18．（本小题满分12分）
已知不等式2(1)460a x x --+＞的解集为{}31x x -＜＜. （1）求a 的值；
（2）若不等式230ax mx ++≥的解集为R ，求实数m 的取值范围.
19．（本小题满分12分）
已知数列{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，且36a =,312S =，设2n a
n b =.
（1）求n a ；
（2）求数列{}n b 的前n 项和n T .
20．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AB AD ⊥，BC ∥AD ，2PA AB BC ===, 4AD =． （1）求四棱锥P ABCD -的体积； （2）求证：CD⊥平面PAC.
21．（本小题满分12分）
b ，
c ，且
如图，在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，
3sin C c
b
=.
（1）求角B 的大小；
（2）设点D 为AB 上的一点，记BDC θ∠=，若
2
π
θπ＜＜，2CD =，5AD =，85
a =
，求sin θ和b 的值.
22．（本小题满分12分）
已知圆22:(3)(4)4C x y -+-=，直线1l 经过点A (1，0). （1）若直线1l 与圆C 相切，求直线1l 的方程；
（2）若直线1l 与圆C 相交于P ，Q 两点，求三角形CPQ 面积的最大值，并求此时直线1l 的方程.
参考答案
数学
（第20题图）
（第21题图）
参考答案 （B ）
15．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．3 14．2 15．1 16．(0,]3
π
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（1）由3420220x y x y +-=⎧⎨
++=⎩，，得2
2x y =-⎧⎨=⎩
，
所以P (2-，2)； ……………………………………………………5分
（2）直线210x y --=的斜率为
1
2
， 所以2-=l
k ，
所以直线l 的方程为220x y ++=.………………………………………10分
18．（1）由已知，10a -＜，且方程2(1)460a x x --+=的两根为3-，1.
有4
311631a
a ⎧=-+⎪⎪-⎨⎪=-⎪-⎩
，解得3a =；……………………………………………6分
（2）不等式2330x mx ++≥的解集为R ，
则24330m ∆=-⨯⨯≤，解得66m -≤≤，
实数m 的取值范围为(6,6)-. ……………………………………………12分
19．（1）3113
1626
221233122n a a d a a n S a d d ⎧=+=⎧=⎧⎪⎪⇒⇒⇒=⎨
⎨⎨=+==
⎪⎩⎪⎩⎩；……………………………6分
（2）2224n a
n n n b ===，
123...n n T b b b b =++++23444...4n =++++
144444
143
n n +-⨯-==
-. ……………………………………………………12分
21
所以tan B =
,故6B π
=；…………………………………………………6分
（2）在BCD △中，
sin sin CB CD
B
θ=
，所以sin θ=，……………………………8分
在ACD △中，由sin θ=
,2
πθπ＜＜,所以cos ADC ∠10分
在ACD △中，由余弦定理的2222cos AC AD CD AD CD ADC =+-⋅⋅∠，
即222225AC =+-=，
所以b = …………………………………………………………………12分
22．（1）①若直线1l 的斜率不存在，则直线1x =，符合题意． ……………………1分 ②若直线1l 斜率存在，设直线1l 为(1)y k x =-，即0kx y k --=. 由题意知，圆心（3，4）到已知直线1l 的距离等于半径2，
即
2=，解得34
k =
， 所求直线方程为1x =，或3430x y --=；………………………………6分
（2）直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，设直线方程为0kx y k --=，
则圆心到直线
1l 的距离d =，
又∵三角形CPQ 面积
1
2
S d =⨯==
∴当d S 取得最小值2，则
d =17k k ==或，
故直线方程为y ＝x －1，或y ＝7x －7. ……………………………………12分
高一下学期期末数学试卷
参考答案
数学理
1．在ABC ∆中，若23,45,600
0==∠=∠BC B A ,则=AC ( )
A.34
B.32
C.3
D.
2
3 2．若在⊿ABC
( ) A 等腰或直角三角形 B 等腰三角形 C 直角三角形 D 不能判定
3．以下说法中，正确的个数是 （ ） ①平面α内有一条直线和平面β平行，那么这两个平面平行 ②平面α内有两条直线和平面β平行，那么这两个平面平行 ③平面α内有无数条直线和平面β平行，那么这两个平面平行 ④平面α内任意一条直线和平面β都无公共点，那么这两个平面平行 A.0个 B.1个 C.2个 D ．3个
4．已知直线⊥l 平面α，直线m ⊂平面β，给出下列命题,其中正确的是 （ ） ①m l ⊥⇒βα// ②m l //⇒⊥βα ③βα⊥⇒m l // ④βα//⇒⊥m l
A.②④
B.②③④
C.①③
D.①②③
5．已知正四面体ABCD 中，E 是AB 的中点，则异面直线CE 与BD 所成角的余弦值为 ( )
A. 16
B. C. 13
D.
6.下列命题中错误的是 ( ) （A ）过平面α外一点可以作无数条直线与平面α平行
（B ）与同一个平面所成的角相等的两条直线必平行
（C ）若直线l 垂直平面α内的两条相交直线，则直线l 必垂直平面α （D ）垂直于同一个平面的两条直线平行。