考研数学三(概率论与数理统计)历年真题试卷汇编15(题后含答案及解析)

考研数学三（概率论与数理统计）历年真题试卷汇编15(题后含答案
及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．[2002年] 设X1和X2是两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度分别为f1(x)和．f2(x)，分布函数分别为F1(x)和F2(x)，则( )．A．f1(x)+f2(x)必为某一随机变量的概率密度
B．F1(x)F2(x)必为某一随机变量的分布函数
C．F1(x)+F2(x)必为某一随机变量的分布函数
D．f1(x)f2(x)必为某一随机变量的概率密度
正确答案：B
解析：解一由命题3．2．1．2知，仅(B)入选．解二F1(x)F2(x)=P(X1≤x)P(X2≤x)=P(X1≤x，X2≤x)．取X=max{X1，X2)，并由于P(X1≤x，X2≤x)=P(max{X1，X2)≤x)，则由定义可知，F1(x)F2(x)必为随机变量X=max{X1，X2}的分布函数．仅(B)入选．解三因故(A)不正确．又故(C)错误．取Xi在区间[0，2]上服从均匀分布，则于是有因而(D)也不成立．仅(B)入选．注：命题3．2．1．2 若F1(x)，F2(x)，…，Fn(x)分别是随机变量X1，X2，…，Xn的分布函数，则也是分布函数，且是随机变量max{X1，X2，…，X2)的分布函数．知识模块：概率论与数理统计
2．[2011年] 设F1(x)与F2(x)为两个分布函数，其相应的概率密度f1(x)与f2(x)是连续函数，则必为概率密度的是( )．
A．f1(x)f2(x)
B．2f2(x)F1(x)
C．f1(x)F2(x)
D．f1(x)F2(x)+f2(x)F1(x)
正确答案：D
解析：解一因f1(x)，f2(x)，F1(x)，F2(x)分别为随机变量的密度函数与分布函数，故f1(x)≥0，f2(x)≥0，0≤F1(x)≤1，0≤F2(x)≤1，所以f1(x)F2(x)+f2(x)F1(x)≥0．而故f1(x)F2(x)+f2(x)F1(x)为概率密度．仅(D)入选．解二由题设有则f1(x)F2(x)+f2(x)F1(x)=F1’(x)F2(x)+F1(x)F2’(x)=(F1(x)F2(x))’．因F1(x)F2(x)为随机变量max{X1，X2)的分布函数(见命题3．2．1．2)，故其导数f1(x)F2(x)+f2(x)F1(x)必为随机变量max{X1，X2}的概率密度．仅(D)入选．注：命题3．2．1．2 若F1(x)，F2(x)，…，Fn(x)分别是随机变量X1，X2，…，Xn的分布函数，则也是分布函数，且是随机变量max{X1，X2，…，X2)的分布函数．知识模块：概率论与数理统计
3．[2018年] 设随机变量X的概率密度f(x)满足f(1+x)=f(1－x)，且则P{X ≤0}=( ).
A．0．2
B．0．3
C．0.4
D．0.5
正确答案：A
解析：因为f(1+x)=f(1－x)，所以f(x)的图形关于x=1对称，因此P(x≤0)=P(x≥2)．又因为所以P(x≤0)+P(x≥2)=2P(x≤0)=1－0．6=0．4，从而P(x≤0)=0．2，故选(A)．知识模块：概率论与数理统计
4．[2010年] 设随机变量X的分布函数则P(X=1)=( )．
A．0
B．1／2
C．1／2－e-1
D．1－e－1
正确答案：C
解析：因P(X=1)=P(X≤1)－P(X＜1)=F(1)－F(1－0)，而故P(X=1)=1－e－1－1／2=1／2－e-1．仅(C)入选．知识模块：概率论与数理统计
5．[2013年] 设X1，X2，X3是随机变量，且X1～N(0，1)，X2～N(0，22)，X3～N(5，32)，pi=P{－2≤Xi≤2)(i=1，2，3)，则( )．
A．p1＞p2＞p3
B．p2＞p1＞p3。

C．p3＞p1＞2
D．p1＞p3＞p2
正确答案：A
解析：解一p1=P{－2≤X1≤2}=Φ(2)－Φ(－2)=2Φ(2)－1；因Φ(x)为单调增函数，故p1=2Φ(2)－1＞2Φ(1)－1=p2．又因为Φ(1)－Φ(－1)＞68％，故p2=Φ(1)－Φ(－1)＞0．5＞Φ(－1)＞Φ(－1)－=p3. 综上有p1＞p2＞p3．仅(A)入选．解二利用正态分布的密度函数的图形，不需计算也能判定正确选项．由于pj=P(－2≤Xj≤2)，即X1，X2，X3的积分区间一样长，但由于σj不一样，即σ1＜σ2＜σ3，这就决定了它们的分散程度不一样，从而可判定p1＞p2>p3．关于X3～N(5，32)，则表示该曲线的峰值在X=5处，因此在[-2，2]之间的概率就会更小．知识模块：概率论与数理统计
6．[2010年] 设f1(x)为标准正态分布的概率密度，f2(x)为[－1，3]上均匀分布的概率密度．若为概率密度，则a，b应满足( )．
A．2a+3b=4
B．3a+2b=4
C．a+b=1
D．a+b=2
正确答案：A
解析：由题设有又f(x)为概率密度，故即即2a+3b=4．仅(A)入选．知识模块：概率论与数理统计
7．[2004年] 设随机变量X服从正态分布N(0，1)，对给定的α(0uα)=α．若P(|X| 对照Φ(uα)=1－α知，上式中的x=u(1－α)/2．仅(C)入选．解二为判定P(|X|＜x)=α中的x等于四个数中的哪一个，只需将P(|x|＜x)=α化成P(X＞x)等于上述四数中的某一个即可．事实上，因X～N(0，1)，其曲线关于y 轴对称，故对任意正实数a，均有因而比较P(X>uα)=α即知上式中x=u(1-α)/2．仅(C)入选．解三设X的概率密度函数的图形如图3．2．4．3所示，阴影部分的面积为α，即P(|X|＜x)=α，整个面积(总面积)为1，由对称性知阴影部分两边的面积相等，且等T(1－α)／2，即P(X＞x)=(1－α)／2=P(X＜－x)．比较P(X>uα)=α，便知x=u(1－α)/2．仅(C)入选．解四因X服从标准正态分布N(0，1)，其曲线关于y轴对称，故有P(X＞a)=P(X＜－α)．于是有α=P(|X|＜x)=1－P(|X|≥x)=1－[P(X ≥x)+P(X≤－x)]=1－2P(X≥x)．则P(X≥x)=(1－α)／2．由题设有P(X＞uα)=α，比较得到x=u(1－α)/2．仅(C)入选．注：3．2．3．2 (5)若X服从标准正态分布，其分布函数为Φ(x)，则P(|x|≤a)=2Φ(a)=1，Φ(0)=0．5．知识模块：概率论与数理统计
8．[2006年] 设随机变量X服从正态分布N(μ1，σ12)，Y服从正态分布N(μ2，σ22)，且P(|X－μ1|＜1)>P(|Y－μ2|＜1)，则( )．
A．σ1＜σ2
B．σ1＞σ2
C．μ1＜μ2
D．μ1＞μ2
正确答案：A
解析：因于是由题设P(|Xμ1|＜1)＞P(|Y－μ2|＜1). 得到2Φ(1／σ1)－1＞2Φ(1／σ2)－1，即Φ(1／σ1)＞Φ(1／σ2)．标准正态分布的分布函数Φ(x)为严格单调增加函数，这是因为对任意实数x，都有故由Φ(1／σ1)＞Φ(1／σ2)得到1／σ1＞1／σ2即σ2＞σ1．仅(A)入选．知识模块：概率论与数理统计
9．[2008年] 设随机变量X，Y独立同分布，且X的分布函数为F(x)，则Z=max(X，Y)的分布函数为( )．
A．F2(x)
B．F(x)F(y)
C．1－[1－F(x)]2
D．[1－F(x)][1－F(y)]
正确答案：A
解析：解一因X与Y同分布，故y的分布函数也是F(x)．由命题3．2．5．2(2)知，Fmax(x)=F(x)F(y)=F2(x)．仅(A)入选．解二仅(A)入选．设Z的分布函数为FZ(x)，则FZ(x)=P(Z≤x)=P(max(X，Y)≤x)=P(X≤x，Y≤x)．因X，Y独立同分布，故FZ(x)=P(X≤x)P(Y≤x)=F(x)F(x)=F2(x)．解三仅(A)入选．因Z的分布函数为一元函数，而非二元函数，故不能选(B)、(D)．又因选项(C)为min(X，Y)的分布函数．事实上，有P(min(X，Y)≤x)=1－P(min(X，Y)＞x)=1－P(X＞x，Y＞x)=1－P(X＞x)P(Y＞x) =1－[1－P(X≤x)][1－P(Y≤x)]=1－[1－F(x)][1一F(y)] =1－[1－F(x)]2．注：命题3．2．5．2 (2)当X1，X2，…，Xn相互独立且有相同分布函数F(z)时，有Fmax(z)=[F(z)]n，Fmin(z)=1－[1－F(z)]n．知识模块：概率论与数理统计
填空题
10．[2008年] 设随机变量X服从参数为1的泊松分布，则P(X=E(X2))=___________．
正确答案：e－1／2
解析：由X服从参数为1的泊松分布知，E(X)=D(X)=1．因而E(X2)=D(X)+[E(X)]2=1+1=2．又因X服从λ=1的泊松分布，有P(X=k)=λkeλ／k!，故P(X=2)=12e-1／2!=e-1／2．知识模块：概率论与数理统计
11．[2004年] 设随机变量X服从参数为λ的指数分布，则
正确答案：e－1
解析：解一由题设知D(X)=1／λ2，由命题3．2．3．2(4)即得或解二由题设X的分布函数为则注：命题3．2．3．2 (4)若X服从参数为λ的指数分布，其中λ＞0，a＞0，则P(X＞a)=e-λa，P(X＜a)=1－e－λa．知识模块：概率论与数理统计
12．[2006年] 设随机变量X，Y相互独立，且均服从区间[0，3]上的均匀分布，则P(max(X，Y)≤1)=__________．
正确答案：1／9
解析：解一由X，Y相互独立，得到P(max(X，Y)≤1)=P(X≤1，Y ≤1)=P(X≤1)P(Y≤1)=P(0≤X≤1)P(0≤Y≤1)．因X，Y在[0，3]上服从均匀分布，所以P(0≤X≤1)=(1－0)／(3-0)=1／3，P(0≤Y≤1)=(1－0)／(3-0)=1／3，故P(max(X，Y)≤1)=1／9．解二因X，Y独立，故解三因随机变量X与Y独立，且都在[0，3]上服从均匀分布．由命题3．3．4．1知，(X，Y)在区域G={(x，y)|0≤x≤3，0≤y≤3)上服从二维均匀分布．令G1={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤1}(见图3．3．4．1)，则由命题3．3．4．2或由几何型概率得到P(max(X，Y)≤1)=P(X≤1，Y≤1) =SG1／SG=(1×1)／(3×3)=1／9．知识模块：概率论与数理统计
13．[2002年] 设总体X的概率密度为X1，X2，…Xn是来自总体X 的简单随机样本，则未知参数θ的矩估计量为___________．
正确答案：
解析：解一先求出矩估计方程，为此求出总体一阶原点矩即总体期望：样本均值为令样本均值替换E(X)即得到θ的矩估计量为亦即解二令即得θ的矩估计量为知识模块：概率论与数理统计
解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

[2004年] 设A，B为两个随机事件，且P(A)=1／4，P(B|A)=1／3，P(A|B)=1／2，令求
14．二维随机变量(X，Y)的概率分布；
正确答案：(X，Y)的所有可能的取值为(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)．利用题设将二维随机变量(X，Y)的各对取值转化为随机事件A，B的运算来表示．注意到P(AB)=P(A)P(B|A)=1／12，P(AB)=P(B)P(A|B)，即P(B)=P(AB)／P(A|B)=1／6．于是下面将与A，B有关的事件概率尽量向P(A)，P(B)，P(AB)这三个量上化，从而可简便求出其概率，即P(X=1，Y=1)=P(AB)=1／12，P(X=1，Y=0)==P(A)一P(AB)=1／6，P(X=0，Y=1)==P(B)=P(AB)=1／12，P(X=0，Y=0)==1一P(A∪B)=1一[P(A)+P(B)一P(AB)]=2／3，或P{X=0，Y=0}=1—1／12—1／6—1／12=2／3，故(X，Y)的概率分布为涉及知识点：概率论与数理统计
15．X与Y的相关系数ρXY；
正确答案：解一用同一表格法求之．为此，将(X，Y)的概率分布改写下述形式：由上表即得，随机变量，X，X2，Y，Y2，XY，X2+Y2的概率分布分别为因而E(X)=1／4，E(X2)=1／4，E(Y)=1／6，E(Y2)=1／6，E(XY)=1／12．D(X)=E(X2)－[E(X)]2=1／4－(1／4)2=3／16，D(Y)=E(Y2)－[E(Y)]2=1／6－(1／6)2=5／36．cov(X，Y)=](XY)一E(X)E(Y)=1／12=(1／4)(1／6)=1／24，解二由(1)中(X，Y)的联合分布表即表①知，X，Y分别服从参数为1／4，1／6的0-1分布．由命题3．3．1．3即得E(X)=1／4，D(X)=(1／4)(1－1／4)=3／16，E(Y)=1／6，D(Y)=(1／6)(1－1／6)=5／36，E(XY)=P(X=1，Y=1)=1／12．于是cov(X，Y)=E(XY)=E(X)E(Y)=1／24，注：命题3．3．1．3 已知(X1，X2)的联合分布律，其中单个随机变量X1与X2分别服从参数为p1，p2的0-1分布，则E(X1)=E(X12)=p1，E(X2)=E(X22)=p2，D(X1)=p1(1－p1)，D(X2)=p2(1－p2)，E(X1X2)=P(X1=1，X2=1)．涉及知识点：概率论与数理统计
16．Z=X2+Y2的概率分布．
正确答案：解一由上述表格②即得X2+Y2的概率分布为解二Z的可能取值为0，1，2．P(Z=0)=P(X2+Y2=0)=P(X=0，Y=0)=2／3，P(Z=1)=P(X2+Y2=1)=P(X=0，Y=1)+P(X=1，Y=0)=1／4，P(Z=2)=P(X2+Y2=2)=P(X=1，Y=1)=1／12，即Z的概率分布为涉及知识点：概率论与数理统计
[2011年] 设随机变量X与Y的概率分布分别为且P(X2=Y2)=1．
17．求二维随机变量(X，y)的概率分布；
正确答案：显然(X，Y)的所有可能取值为(0，－1)，(0，0)，(0，1)(1，－1)，(1，0)，(1，1)．再利用题设P(X2=Y2)=1及概率分布的归一性得到P(X=0，Y=－1)=P(X=0，Y=1)=P(X=1，Y=0)=0．设P(X=0，Y=0)=p12，P(X=1，Y=－1)=p21，P(X=1，Y=1)=p23，由联合分布及边缘分布的关系得到1／3=p1.=p11+p12+p13=p12=P(X=0)，1／3=p.1=P(Y=－1)=p21，1／3=p.3=P(Y=1)=p13+p23=0+p23=p23．则其联合分布律为涉及知识点：概率论与数理统计
18．求Z=XY的概率分布；
正确答案：将上题中(X，Y)的概率分布改写成同一表格形式，得到由此得到XY、X、Y、X2及y2的概率分布：涉及知识点：概率论与数理统计
19．求X与Y的相关系数ρXY．
正确答案：为求相关系数ρXY，应先求协方差cov(X，Y)．如果cov(X，Y)=0，就不必再计算D(X)，D(y)．由上述概率分布，易求得E(XY)=0，E(X)=2／3，E(Y)=0，E(X2)=2／3，E(Y2)=2／3，cov(X，Y)=E(XY)一E(X)E(y)=0－0=0，故涉及知识点：概率论与数理统计
[2014年] 设随机变量X，Y的概率分布相同，X的概率分布为且X与Y 的相关系数
20．求(X，Y)的概率分布；
正确答案：解一由已知由命题(3．3．1．3)即可写出E(X)=E(Y)=2／3，D(X)=D(Y)=2／3(1－2／3)=2／9．又由相关系数可求得E(XY)=5／9．由命题(3．3．1．3)知E(XY)=P(X=1，Y=1)=5／9．根据已知边缘分布及P(X=1，Y=1)=5／9可设联合分布为再由边缘分布与联合分布的关系即得p12=2／3－5／9=1／9，p21=2／3－5／9=1／9 p11=1／3=p12=1／3－1／9=2／9，故得到(X，Y)的概率分布如下表所示：解二考虑到事件为一完备事件组可用全集分解式求出(X，Y)的概率分布，为此令事件B={Y=0)，事件由解一知
p22=P(X=1，Y=1)=P({X=1}∩{Y=1})==5／9，利用此可求出其余的概率元素．由得P即P(X=1)=P(X=1，Y=0)4-P(X=1，Y=1)，于是2／3=P(X=1，Y=0)+5／9，故p21=p(X=1，Y=0)=1／9．同样由得即亦即p12=P(X=0，Y=1)=P({X=1)－{Y=1})=2／3一5／9=1／9 由B=AB+AB得即P(Y=0)=P(X=0，Y=0)+P(X=1，Y=0)，于是1／3=P(X=0，Y=0)+1／9，故p11=P(X=0，Y=0)=1／3－1／9=2／9，因而得到(X，Y)的概率分布如上表所示．注：命题3．3．1．3 已知(X1，X2)的联合分布律，其中单个随机变量X1与X2分别服从参数为p1，p2的0-1分布，则E(X1)=E(X12)=p1，E(X2)=E(X22)=p2，D(X1)=p1(1－p1)，D(X2)=p2(1－p2)，E(X1X2)=P(X1=1，X2=1)．涉及知识点：概率论与数理统计
21．求P{X+Y≤1}．
正确答案：或P(X+Y≤1)=1－P(X+Y>1)=1－P(X=1，Y=1)= 涉及知识点：概率论与数理统计
[2011年] 设二维随机变量(X，Y)服从区域G上的均匀分布，其中G是由．x －y=0，x+y=2与y=0所围成的三角形区域．
22．求X的概率密度fX(x)；
正确答案：因(X，Y)在区域G上服从均匀分布，由图3．3．2．2易看出G 的面积SG=2×1／2=1，故(X，Y)的概率密度为则X的概率密度为当0≤x≤1时，当1＜x≤2时，当x＜0或x＞2时，因f(x，y)=0，故fX(x)=0．综上所述，得到涉及知识点：概率论与数理统计
23．求条件概率密度fX|Y(x|y)．
正确答案：Y的概率密度为当Y=y(0≤y＜1)时，fY(y)≠0，X的条件概率密度为涉及知识点：概率论与数理统计
[2007年] 设二维随机变量(X，Y)的概率密度为
24．求P(X＞2Y)；
正确答案：如图3．3．3．1所示，涉及知识点：概率论与数理统计
25．求Z=X+Y的概率密度fZ(z)．
正确答案：解一直接用卷积公式求之．将f(x，y)改写成在xOz平面上绘出厂取正值的区域为0＜x＜1，0＜z－x＜1所围成的区域，记为
D(见图3．3．3．2中阴影部分)，则下面只需对f取正值的区域D的x进行积分．为此将区域D分成两部分D1与D2，即当0≤x＜1时，当1≤x ＜2时，当z取其他值时，由于不同时满足0＜x＜1，0＜z－x＜1，f(x，z －x)=0，则fz(z)=0．综上所述，解二先求分布函数FZ(z)．将f(x，y)取正值的区域的四个边界点(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)分别代入x+y=z得到z=0，z=1，z=1和z=2．因而对z需分z≤0，0＜z≤1，1＜z≤2，z>2四种情况讨论(见图3．3．3．3)．(1)当z≤0时，f(x，y)=0，FZ(z)=P(Z≤z)=P()=0．(2)当0＜z＜1时，(3)当1≤z＜2时，或(4)当z≥2时，故所以涉及知识点：概率论与数理统计
[2005年] 设二维随机变量(X，Y)的概率密度为求
26．(X，Y)的边缘概率密度fX(x)，fY(y)；
正确答案：当x≤0或z≥1时，f(x，y)=0，故fX(x)=0．当0＜x＜1时(见图3．3．3．4)，f(x，y)取值非零的区域，如图3．3．3．5中的阴影部分所示．则故同法可求得当y≤0或y≥2时，因f(x，y)=0，故fY(y)=0．当0＜y ＜2时，故涉及知识点：概率论与数理统计
27．Z=2X－y的概率密度fZ(z)；
正确答案：解一Z的分布函数为注意到2x－y=z与z轴的交点为z／2．区域G={(x，y)|2x－y≤z}与f(x，y)的非零值的区域D相交的情况可由点z／2的位置确定．①当z／2＜0时，区域G={(x，y)|2x－y≤z}在直线2x—y=z的上方它与D不相交(见图3．3．3．5(a))．故从而fZ(z)=FZ’(z)=0．②当0≤z／2＜1即0≤z＜2时，区域G为直线2x－y=z的上方，它与D相交(见图3．3．3．5(b))，其相交部分的面积可由D的面积1减去小三角形面积[(2－z)(1－z／2)]／2，得到，即当0≤z／2≤1即0≤z≤2时(见图3．3．3．5(b))，也可用二重积分求出FZ(z)．事实上，有故fZ(z)=FZ’(z)=1-z/2.
③当z／2≥1时(见图3．3．3．5(c))区域G：2x－y≤z与D的交集为D，因而故fZ(z)=FZ’(z)=0．综上所述，得到解二用卷积公式(3．3．3．1)求之，即因f(x，y)取非零值的区域边界与坐标轴的交点为(0，0)，(1，0)，(1，2)．将这些坐标值分别代入z=2x－y中得到z=0，2．于是分z＜0，0≤z因而当z＜0或z≥2时，fZ(z)=0．当0≤z＜2时，由图3．3．3．5(d)得到综上所述，Z的概率密度函数为涉及知识点：概率论与数理统计
28．P(Y≤1／2|X≤1／2)．
正确答案：涉及知识点：概率论与数理统计
[2006年] 设总体X的概率密度为其中θ(0＜θ＜1)是未知参数，X1，X2，…，Xn为来自总体X的简单随机样本．记N为样本值x1，x2，…，xn中小于1的个数．求：
29．θ的矩估计；
正确答案：先求出X的数学期望，列出矩估计方程．即θ=3／2=E(X)．因而被估参数θ是总体期望E(X)的线性函数．先用样本矩估计总体矩E(X)，再用样本矩的线性函数估计总体矩E(X)的同一线性函数3／2－E(X)，即得θ的矩估计为涉及知识点：概率论与数理统计
30．θ的最大似然估计．
正确答案：先写出似然函数．因为总体X为连续型，所以其似然函数是(X1，X2，…，Xn)的联合概率密度．对于总体X的样本值，记似然函数为L(θ)，则当0＜xi1，…，xiN＜1，1≤xiN+1，…，xin＜2时，在上式两边取对数得到lnL(θ)=Nlnθ+(θ－N)ln(1－θ)．令解得因而θ的最大似然估计为涉及知识点：概率论与数理统计。