解析几何问题中常见的技巧专题课件-2025届高三数学一轮复习

= 1，
9（1 ＋2 ）
1 ＋2
作差得（ 12 −
2 − 2

1 −2
1
2
2
2 ）－
＝0，则 kAB ＝
＝
9
1 −2
1 ＋2 = 2，
.对于A，
则 kAB ＝9，∵ kAB ＝9＞3，
1 ＋2 = 2，
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1 ＋2 ＝ − 2，
9
9
∴A不满足题意.对于B，
教考衔接8⇒破解解析几何问题常见
的技巧
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真题展示
【例】
2

（2024·全国乙卷11题）设 A ， B 为双曲线 x 2－ ＝1上两
9
点，下列四个点中，可为线段 AB 中点的是（
A. （1，1）
B. （－1，2）
C. （1，3）
D. （－1，－4）
）
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2
＝ 3·
−2 3
2 +4
2
3 · （1 ＋2 ）2 − 41 2
4
4 3· 2 +1
＋ 2 ＝
，
2
+4
+4
令 t ＝ 2 + 1 （ t ＞1），则 m 2＝ t 2－1，
4 3
4 3
所以 △1 ＝ 2 ＝ 3
+3
＋

≤
4 3
3
＝2，当且仅当 t ＝ ，即 t ＝
设直线 l 的方程为 x ＝ my ＋ 3 （ m ≠0），
＝＋ 3，
2＋4） y 2＋2 3 my －1＝0，Δ＞0显然成立，
由 2
得（
m
＋ 2 = 1，
4
−2 3
−1
则 y 1＋ y 2＝ 2 ， y 1 y 2＝ 2 ，
+4
+4
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1
所以 ��△1 ＝ ｜ F 1 F 2｜·｜ y 1－ y 2｜＝
（2）求△ F 1 MN 的内切圆半径 r 最大时，直线 l 的方程.
解：依题意知△ F 1 MN 的周长为｜ MF 1｜＋｜ MF 2｜＋｜ NF 1｜
＋｜ NF 2｜＝4 a ＝8，
1
1
所以 △1 ＝ ×8× r ＝4 r ，故 r ＝ △1 ，
2
4
所以△ F 1 MN 内切圆半径 r 最大，即 △1 最大.
量关系，从而快速求出双曲线实半轴长 a 的值，进而求出双曲线的离
心率，大大降低了运算量.
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技巧2 设而不求，整体代换
对于直线与圆锥曲线相交所产生的中点弦问题，在涉及求中
点弦所在直线的方程或弦的中点的轨迹方程等问题时，常用“点
差法”求解.
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【例2】
2
形于一体，是数形结合的典范，具有几何形式与代数形式的双重身
份，是数学知识的一个交汇点和联系多项知识的媒介.妙借向量，可以
有效提升圆锥曲线的解题方向与运算效率，达到良好效果.
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【例5】
2
2
如图，在平面直角坐标系 xOy 中， F 是椭圆 2 ＋ 2 ＝1（ a



＞ b ＞0）的右焦点，直线 y ＝ 与椭圆交于 B ， C 两点，且∠ BFC ＝
1
，
3
3
.
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（1）求椭圆 E 的标准方程；
解：由题意知 c ＝ 3 ，设 M （ x 1， y 1）， N （ x 2， y 2），
12
12
则 2 ＋ 2 ＝1， ①


22
22
＋ 2 ＝1， ②
2


①－②得
（1 ＋2 )(1 −2 ）
1 −2
当
＝－1时
−16 2
则 xA ＋ xM ＝
，又 xA ＝－2，
2
1+4
16 2
16 2
2−8 2
则 xM ＝－ xA －
＝2－
＝
.
2
2
2
1+4
1+4
1+4
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2 2 −8
同理，可得 xN ＝ 2 .
+4
由（1）知若存在定点，则此点必为 P
证明如下：因为 kMP ＝
2
1 −2
2 （1 ＋2 ）
2
＝0，所以 kAB ＝
＝－ 2
＝ 2 .又 kAB
1 −2

（1 ＋2 ）
0+1
1
2
1
＝
＝ ，所以 2 ＝ .又9＝ c 2＝ a 2－ b 2，解得 b 2＝9， a 2＝18，所
3−1
2

2
2
2
以椭圆 E 的标准方程为 ＋ ＝1.
18
一种朴素而又重要的策略和思想方法.圆锥曲线的定义既是有关圆锥曲
线问题的出发点，又是新知识、新思维的生长点.对于相关的圆锥曲线
中的数学问题，若能根据已知条件，巧妙灵活应用定义，往往能达到
化难为易、化繁为简、事半功倍的效果.
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【例1】
2
如图， F 1， F 2是椭圆 C 1： ＋ y 2＝1与双曲线 C 2的公共焦

6
5
＋
＝
6
− ，0
5
2−82

+2
1+42
2−82
6
5
1+42
＋
5
＝
，
2
4−4
5
同理可计算得 kPN ＝
.
2
4−4
所以直线 MN 过 x 轴上的一定点 P
.
6
− ，0
5
.
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反思感悟
2−8 2
本例在第（2）问中可应用根与系数的关系求出 xM ＝
，这体
（1）当直线 AM 的斜率为1时，求点 M 的坐标；
解：直线 AM 的斜率为1时，直线 AM 的方程为 y ＝ x ＋2，
代入椭圆方程并化简得5 x 2＋16 x ＋12＝0.
6
解得 x 1＝－2， x 2＝－ ，所以 M
5
6
4
− ，
5
5
.
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（2）当直线 AM 的斜率变化时，直线 MN 是否过 x 轴上的一定
如 y ＝ ax ＋ b ± ＋ （ a ， b ， c ， d 均为常数，且 ac ≠0）的函数
常用此法求解，但在换元时一定要注意新元的取值范围，以保证等价
转化，这样目标函数的值域才不会发生变化.
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技巧5
妙借向量，更换思路
平面向量是衔接代数与几何的纽带，沟通“数”与“形”，融数
则 kAB ＝－ ，∵ kAB ＝－ ＜
2
2
1 ＋2 = 4，
1 ＋2 = 2，
－3，∴B不满足题意.对于C，
则 kAB ＝3，∴C不满足题
1 ＋2 = 6，
1 ＋2 ＝ − 2，
9
9
意.对于D，
则 kAB ＝ ，则直线 AB 的方程为 y ＋4＝
4
4
1 ＋2 ＝ − 8，
9
7
（ x ＋1），即 y ＝ x － .由
题；第二步再对代数式进行转化、化简与求值.因其条件复杂，运算量
大，一直是学生的“痛点”.如何在求解解析几何问题时简化运算步
骤，减少运算量，提升解题效率，下面就从常见的五种技巧入手，予
以例析.
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破解解析几何问题常见的技巧
技巧1
回归定义，化繁为简
回归定义的实质是重新审视概念，并用相应的概念解决问题，是
2
1+4
现了整体思想.这是解决解析几何问题时常用的方法，简单易懂，通过
设而不求，大大降低了运算量.
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技巧4
巧妙“换元”减少运算量
变量换元的关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是
变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而将非标
准型问题转化为标准型问题，将复杂问题简单化.变量换元法常用于求
解复合函数的值域、三角函数的化简或求值等问题.
【例4】
2
2
已知椭圆 E ： 2 ＋ 2 ＝1（ a ＞ b ＞0）的左、右焦点分别为


F 1（－ 3 ，0）， F 2（ 3 ，0），过点 F 2的直线 l 与椭圆交于不同两
点 M ， N . 当直线 l 的斜率为－1时，弦 MN 的中点坐标为
4
解析：
2

由双曲线方程 x 2－ ＝1知 a ＝1， b ＝3，则其渐近线方程
9
为 y ＝±3 x .观察选项知，四个点均在双曲线外，∴点 A ， B 分别在双
曲线的两支上，∴－3＜ kAB ＜3.设 A （ x 1， y 1）， B （ x 2， y 2），则
12 −
22 −
12
9
22
9
= 1，
4
点， A ， B 分别是 C 1， C 2在第二、四象限的公共点.若四边形 AF 1 BF 2
为矩形，则 C 2的离心率是（
A. 2
3
C.
2
B. 3
D.
6
2
）
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解析：
由已知，得 F 1（－ 3 ，0）， F 2（ 3 ，0），设双曲线 C 2
的实半轴长为 a ，由椭圆及双曲线的定义和已知，可得
面向量的坐标运算来转化圆锥曲线中的相关问题，从形入手转化为相
｜1 ｜＋｜2 ｜ = 4，
｜2 | − |1 ｜ = 2，
解得 a 2＝2，故 a ＝ 2 .所以双曲线 C 2
｜1 ｜2 ＋｜2 ｜2 = 12，
的离心率 e ＝
3
6
＝ .
2
2
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反思感悟
本题巧妙运用椭圆和双曲线的定义建立｜ AF 1｜，｜ AF 2｜的等
4
4
9
7
＝ − ，
4
4
2

2 − = 1
9
消去 y ，得63 x 2＋126 x －
193＝0，∵Δ＝1262－4×63×（－193）＞0，且 x 1 x 2＜0，∴直线 AB
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解法分析
解析几何是用代数方法研究几何问题中中学数学的重要分支，解题的
第一步通常是把几何条件转化为代数语言，即转化为方程或函数问
点？若过定点，请给出证明，并求出该定点；若不过定点，
请说明理由.
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解：设直线 AM 的斜率为 k ，直线 AM 的方程为 y ＝ k （ x ＋2），
联立方程
＝（ + 2),
2
＋ 2
4
= 1，
化简得（1＋4 k 2） x 2＋16 k 2 x ＋16 k 2－4＝0.
公式计算长度的方法来解；也可以利用一元二次方程，使相关的点的
同名坐标为方程的根，由根与系数的关系求出两根间的关系或有关线
段长度间的关系.后者往往计算量小，解题过程简捷.
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【例3】
2
已知椭圆 ＋ y 2＝1的左顶点为 A ，过 A 作两条互相垂直的
4
弦 AM ， AN 交椭圆于 M ， N 两点.
2 3

“＝”，此时 m ＝± 2 ，直线 l 的方程为 x ± 2 y － 3 ＝0.
3 时取
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反思感悟
破解此类问题的关键：一是利用已知条件，建立关于参数的方
程，解方程，求出参数的值，二是通过变量换元法将所给函数转化为
值域容易确定的另一函数，求得其值域，从而求得原函数的值域，形
1 −2
2
＋
（1 ＋2 )(1 −2 ）
2
8
2
， x 1＋ x 2＝ ， y 1＋ y 2＝ .
3
3
＝0， ③
代入③，化简得 a 2＝4 b 2，又 a 2＝ b 2＋ c 2， c ＝ 3 ，
所以 b 2＝1， a 2＝4，
2
所以椭圆 E 的标准方程为 ＋ y 2＝1.
4
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9
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反思感悟
本题设出 A ， B 两点的坐标，却不求出 A ， B 两点的坐标，巧妙
地表达出直线 AB 的斜率，通过将直线 AB 的斜率“算两次”建立几何
量之间的关系，从而快速解决问题.
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技巧3 巧用“根与系数的关系”化繁为简
某些涉及线段长度关系的问题可以通过解方程、求坐标，用距离

，
2
−

，
2
3

2
，＝
− ，
3 2
1 2
3 2
1
3 2
2
2
2
2
＝ c － a ＋ b ＝ c － a ＋ （ a － c ）＝ c －
4
4
4
4
1 2

6
2
2
a ＝0，则有3 c ＝2 a ，所以该椭圆的离心率 e ＝ ＝ .
2

3
4
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反思感悟
本题通过相关向量坐标的确定，结合∠ BFC ＝90°，巧妙借助平
2
6
3 .
90°，则该椭圆的离心率是
⁠
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2
2
3
3
解析：把 y ＝ 代入椭圆 2 ＋ 2 ＝1，可得 x ＝± a ，则 B ቀ− ，
2


2
2

，C
ቁ
2
3

2
−
3

，
2
2

，
2

3
ቁ·
2
2
−
，而 F （ c ，0），则 ＝ −
3

2
，又∠ BFC ＝90°，故有 ·＝ ቀ−
18
9
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解析：
－2，
设 A （ x 1， y 1）， B （ x 2， y 2），则 x 1＋ x 2＝2， y 1＋ y 2＝
12
12
＋ 2
2

22
22
＋ 2
2


= 1，①
= 1，②
①－②得
（1 ＋2 )(1 −2 ）
2
＋
（1 ＋2 )(1 −2 ）
2
已知椭圆 E ： 2 ＋ 2 ＝1（ a ＞ b ＞0）的右焦点为 F （3，


0），过点 F 的直线交 E 于 A ， B 两点.若 AB 的中点坐标为（1，－
1），则 E 的标准方程为（
）
2
2
A. ＋ ＝1
45
36
2
2
B. ＋ ＝1
36
27
2
2
C. ＋ ＝1
27
18
2
2
D. ＋ ＝1