第五届北方数学奥林匹克邀请赛

第五届北方数学奥林匹克邀请赛
第一天
一、(25分)设数列{x n }满足x 1=1,x n =
x 2
n -1+x n -1+x n -1(n \2).
求数列{x
n }的通项公式.
(张 雷 供题)
图1
二、(25分)如图1,在锐角v ABC 中,已知AB >AC ,cos B +cos C =1,E 、F 分别是AB 、
AC 延
长线上的点,且满足ABF =ACE =90b .
(1)求证
:BE +CF =EF ;(2)设
EBC 的平分线与EF 交于点P ,求证:CP 平分
BCF .
(刘康宁 吕建恒 徐庆金 供题)三、(25分)已知有26个互不相等的正整数,其中任意六个数中都至少有两个数,一个数整除另一个数.证明:一定存在六个数,其中一个数能被另外五个数整除.
(张同君 供题)
四、(25分)船长和三位水手共得到2009枚面值相同的金币.四人商定按照如下规则对金币进行分配:水手1、水手2、水手3每人写下一个正整数分别为b 1、b 2、b 3,满足b 1\b 2\b 3,且b 1+b 2+b 3=2009;船长在不知道水手写的数的情况下,将2009枚金币分成3堆,各堆数量分别为a 1、a 2、a 3,且a 1\a 2\a 3.对于水手k (k =1,2,3),当b k <a k 时,可以从第k 堆拿走b k 枚金币,否则
不能拿.最后所有余下的金币归船长所有.若
无论三位水手怎样写数,船长总可以确保自
己拿到n 枚金币.试确定n 的最大值,并证明你的结论.
(张利民 供题)
第二天
五、(25分)如图2,在给定的扇形AOB 图2
中,圆心角为锐角.在弧AB 上取异于A 、B 的一点C ,在线段OC 上取一点P ,联结AP ,过点B 作直线BQ M AP 交射线OC 于点Q .证明:封闭图形OAQPBO 的面积
与点C 、P 的选取无关.(徐庆金 供题)
六、(25分)设x 、y 、z >0,且x 2
+y 2
+z 2
=
3.求证:
x
2009
-2008(x -1)y +z \1
2
(x +y +z ).
(杨海滨 贾应红 供题)
七、(25分)记[m ]为不超过实数m 的最大整数.设x 、y 均为正实数,且对所有的正整数n ,都有[x [ny ]]=n -1成立.证明:xy =1,且y 是大于1的无理数.
(刘康宁 供题)
八、(25分)求能被209整除且各位数字之和等于209的最小正整数.
(张 雷 供题)
参考答案
第一天
一、易证x n 是正数.
注意到
1x n
=1
x 2
n -1+x n -1+x n -1=x 2
n -1+x n -1-x n -1
x n -1
=
1+
1x n -1
-1,
即
1
x n
+1=1+
1x n -1=,=1+
1
x 112n -1
=212n -1
=2
2
1-n
.
故
x n =
1
22
-1
.
二、(1)因为ABF
=ACE
=90b ,
所以
,E 、B
、C 、F
四点共圆.于是,
CFE =
ABC,BEF =ACB .
故cos CFE +cos BEF =cos ABC +cos ACB =1
,即 CF EF +BE EF =1.
因此,BE +CF =EF .图3
(2)如图3
,在线段EF 上取一点Q ,使
EQ =
EB .
由(1)的结论知FQ =FC
.
因FQC
=12(180b -C FQ )=1
2
EBC =PBC ,所以,B 、
C 、P 、Q 四点共圆.
故BCP =BQE =
12(180b -BEQ )=12BCF .
于是,CP 平分BCF .三、将26个数由小到大按升幂排列.把最小数编号为1,对后续数的编号原则为:如果它前面的数都不能整除它,就将这个数编号为1;如果它前面的数有的能整除它,设能够整除它的数中最大编号为k ,就将这个数编号为k +1.当将26个数全部编号后,可以证明这26个数中一定有编号为6的数.
假设没有编号为6的数,即这26个数的
编号只能是1,2,3,4,5.
由抽屉原则知,一定有六个数编号相同,
则这六个数必然不能相互整除,与已知矛盾.
因此,这26个数中一定有编号为6的数.
如果有一个数编号为6,这说明它有一个编号为5的因数.同理,这个数有一个编号为4的因数,,,这样,就得到由六个数组成的因数链,其中每一个数都能被下一个数整除.显然,这六个数中最大的一个能被其余五个数整除.问题得证.
四、最大值是673.首先,船长可以确保得到不少于673枚金币.
事实上,当船长把金币分成的3堆数目分别为671、670、668时,(1)若b 1\671,则船长可得到不少于671+2=673枚;
(2)若b 1<671,则因b 1[670,b 1+b 2+b 3=2009,所以,只有b 1=b 2=670,b 3=669,船长得到的金币数不少于1+670+668>673枚.
其次,船长无法确保得到多于673枚金币.
事实上,
(1)若a 1[671,则a 2[671,a 3\667.当b 1=a 1+2,b 2=a 2-1,b 3=a 3-1时,船长至多得到671+2=673枚;
(2)若a 1>671,则因
a 3[2009-a 12[13372
=66815,
故a 3[668.
(i)当a 2-a 3\3时,若b 1=a 1-1,b 2=a 2-1,b 3=a 3+2,则船长至多可得a 3+2[668+2=670枚;
(ii)当a 2-a 3[2时,若a 3=1,则a 2[3,a 1-a 2\2002,当b 1=a 1-2,b 2=a 2+1,b 3=a 3+1时,船长至多可得2+3+1=6枚;
若a 3>1,则
2a 2=(a 2+a 3)+(a 2-a 3)
[2009-672+2=1339]a 2[669.
所以,a 1-a 2\672-669=3,当b 1=a 1
-1,b 2=a 2+2,b 3=a 3-1时,船长至多可得a 2+2[671枚.
第二天
五、联结AB 交OC 于点M .
由于BQ M AP ,则四边形APBQ 是梯形.所以,S v AQ M =S v BPM .故S OAQPB =S OA M PB +S v AQM =S O AMPB +S v BMP =S v OAB
为定值,即五边形OAQPB 的面积与点C 、P 的选取无关.
六、因为x 2
+y 2
+z 2
\(x +y +z )
2
3
,所以,x +y +z [3.
故只要证x 2009
-2008(x -1)y +z \3
2.
而x
2009
+2008=x
2009
+1+1+,+1
2008个
\2009x ,同理,y 2009
+2008\2009y ,
z
2009
+2008\
2009z .
所以,只要证x y +
z \3
2Z x y +z +
1\92
Z
x +y +z y +z \9
2
.
¹
而式¹左边1
2(x +y )1
x +
y \92
3
(x +y )
1y +z =92
.综上,原不等式成立.七、
由x ny -1<x
ny [x ny ,
ny ]x ny -1-1<n -1[nxy.故
n xy -1<x ,n 1-xy [1.
显然,无论xy >1,还是xy <1,以上不等式组对任意的正整数都不能恒成立.
因此,xy =1.故
ny
y
=n -1Z n -1[ny
y <n Z ny -y [ny <ny.
¹
式¹右边不等式表明,ny 不是整数,从而,y 是无理数.
对式¹左边不等式,当y >1时,显然成立;
当0<y <1时,取n =1
1-y
+1,则11-y <n [1
1-y +1.解得
n -2n -1[y <n -1
n
,即n 2
-2n
n -1
[ny <n -1.所以,ny [n -2[n -1y .
于是,
ny y
<
ny
y
[n -1,矛盾.综上,xy =1,且y 是大于1的无理数.八、最小数为2@1024
+2@1023
-1015
-1.证明:由于
209=11@19,209=9@23+2,
故该数至少为24位,且被11和19整除.
(1)如果该数为24位数,设从右向左数其第i 位的数字为a i (1[i [24),该数设为S .则
S =
24
i =1
10
i -1
a i S
24
i =1
(-1)
i -1
a i
S 0(m od 11).
设S 1=a 1+a 3+,+a 23,S 2=a 2+a 4+,+a 24.则S 1S S 2(m od 11).
又S1+S2=209,由于S1、S2中的最大数不大于108,则最小数不小于101,其差的绝对值不大于7.而S1、S2一奇一偶,故S1-S2 X0,即S1¢S2(m od11),矛盾.
所以,满足条件的数至少为25位.
(2)如果该数为25位数,类似上面的设法,令该数为S,
S1=a1+a3+,+a25,
S2=a2+a4+,+a24.
1)如果a25=1,由于S1、S2中的最大数不大于109,则最小数不小于100,其差的绝对值不大于9.而S1、S2一奇一偶,故S1-S2X 0,即S1¢S2(m od11).此时,不存在满足条件的数.
2)如果a25=2,由于S1、S2中的最大数不大于110,则最小数不小于99,其差的绝对值
不大于11.而S1、S2一奇一偶,故S1-S2X0,只有S1=110,S2=99可能满足条件.此时, a1=a3=,=a23=9.
(i)如果a24=0,则该数为
S=2@1024+1023-1,
除以19余5,不满足条件.
(ii)如果a24=1,则该数为
S=2@1024+2@1023-1-10x,
其中,x为奇数.
由于2@1024+2@1023-1S8(m od19),而10k模19的余数为10,5,12,6,3,11,15, 17,18,9,14,7,13,16,8,4,2,1循环,于是, x=18t+15.故x=15.此时,满足条件的数为2@1024+2@1023-1015-1.
综上,满足条件的最小数为
2@1024+2@1023-1015-1.
(张同君提供)
课外训练
数学奥林匹克初中训练题(122)
第一试
一、选择题(每小题7分,共42分)
1.已知x是无理数,且(x+1)(x+3)是
有理数.在上述假定下,有下面四个结论:
¹x2是有理数;
º(x-1)(x-3)是无理数;
»(x+1)2是有理数;
¼(x-1)2是无理数.
其中,正确的个数是().
(A)0(B)1(C)2(D)3
2.已知关于x的方程
5 2x-a=
8
5
x+142,
当a为某些正整数时,方程的解为正整数.则正整数a的最小值是().
(A)2(B)3(C)4(D)5
3.设a、b N+,且满足
56[a+b[59,019<
a
b
<0191.
则b2-a2等于().
(A)171(B)177(C)180(D)182
图1
4.如图1,在v ABC
中,已知AB>AC,点
D、E分别在AB、AC
上,且BD=CE.取BE、
CD的中点M、N,直线
MN分别交AB、AC于
点P、Q.则().。