探寻圆锥曲线压轴破解之策与算法优化专题 04 2022新高考数学1卷21题解析

2022新高考Ⅰ卷21题解析几何压轴题解法探究

2022新高考Ⅰ卷数学试题，据称是近20年来史上第二难高考数学试题(史上最难2003)．本文将对该卷21题解析几何压轴题，从不同的角度进行解析剖析．以期总结方法规律，优化思考方向，破解难点疑点，为广大的2023届高考师生提供有益的参考和帮助．

【2022新高考1卷21题】

已知点(2,1)A 在双曲线22

22:1(1)1

x y C a a a -=>-上，直线l 交C 于P ，Q 两点，直线,AP AQ 的斜率之和为0．

（1）求l 的斜率；

（2

）若tan PAQ ∠=，求PAQ △的面积．

【答案】（1）1- （2

）9

方法一： 直线双参+韦达法

【解析】(1) 将点(2,1)A 代入2222:11

x y C a a -=-解得22a =，所以双曲线为2212x y -= 设直线PQ 的方程为y kx m =+，设1122(,),(,)P x y Q x y ， 联立2

212x y y kx m ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩

消去y 得222(21)4220k x kmx m -+++=

2121222422,2121

km m x x x x k k +∴+=-=--， 由1

21211022

AP BP y y k k x x --+=+=--可得1221(1)(2)(1)(2)0y x y x --+--= 即1221(1)(2)(1)(2)0kx m x kx m x +--++--=

展开整理得12122(12)()4(1)0kx x m k x x m +--+--= 即2222242(12)()4(1)02121

m km k m k m k k +⋅+--⋅---=-- 即2(1)210m k k k +++-=，(1)(21)0k m k ++-=

故1k =-或12m k =-

当12m k =-时的方程为12y kx k =+-，其恒过定点(2,1)A ，与题意不符

故直线PQ 的斜率1k =-.

(2) 不妨设0AP k >，其倾斜角为θ， 由0AP BP k k +=可知22PAQ θπθ∠=-或

而tan PAQ ∠=

tan 2θ=±

即

22tan 1tan θθ

=±-

tan θ=

或tan 2θ=± 因为双曲线2

212

x y -=

渐近线斜率为2±

，故舍去tan 2θ=± 因为tan 0θ>

，故舍去tan θ=

tan θ=

故AP AQ k k =直线AP

的方程为12)y x -=-，直线AP

的方程为12)y x -=-，

2

212

12)x y y x ⎧-=⎪⎨⎪-=-⎩

消去y

得22316)2(120x x ++-+= 方程的两根为点,A P

的横坐标，所以1623P x -+=

，103

P x -=

2

212

12)x y y x ⎧-=⎪⎨⎪-=-⎩

消去y

得22316)2(120x x -+++= 方程的两根为点,A Q

的横坐标，所以1623Q x ++=

，103

Q x +=

于是||2|1)P AP x =-=

，||2|1)Q AQ x =-=

而由tan PAQ ∠=

sin 3PAQ ∠=

所以1||||sin 29

PAQ S AP AQ PAQ ∆=∠=. 【点评】联立方程韦达定理，是解析几何压轴大题最流行的方法套路．本题引入直线PQ 的双参方程y kx m =+，参与计算变形，使得运算过程相对繁复，产生了较大的运算量．要想变形到(1)(21)0k m k ++-=这一步，没有过硬的计算能力是很难达到的．

方法二： 直线单参+设点求点

【解析】(1) 将点(2,1)A 代入2222:11

x y C a a -=-解得22a =，所以双曲线为2212x y -= 设1122(,),(,)P x y Q x y ，设直线AP 的倾斜角为θ，不妨设其斜率0k >，

则直线AQ 的斜率为k -

直线AP 的方程为1(2)y k x -=-，代入2

212

x y -=整理得 222(21)4(21)2(21)20k x k k x k ---+-+=

点,A P 的横坐标为方程的两根，故2122(21)2221

k x k -+=-，22122(21)14422121k k k x k k -+-+∴==--，2112241(2)121

k k y k x k -+-=-+=- 于是点P 坐标为2222442241(,)2121

k k k k P k k -+-+---， 用k -代换k 可得2222442241(,)2121

k k k k Q k k ++----- 故22222222241241212114424422121

PQ k k k k k k k k k k k k k ----+----==-++-+---

(2) 由0AP BP k k +=可知22PAQ θπθ∠=-或

而tan PAQ ∠=

tan 2θ=±

即

22tan 1tan θθ

=±-

tan θ=

或tan 2θ=± 因为双曲线2

212

x y -=

渐近线斜率为2±

，故舍去tan 2θ=± 因为tan 0θ>

，故舍去tan θ=

tan θ=

故AP AQ k k =在,P Q

的坐标中令k =

101033

P Q x x -+=

=

于是||2|1)P AP x =-=

，||2|1)Q AQ x =-=

而由tan PAQ ∠=

sin 3PAQ ∠=

所以1||||sin 2PAQ S AP AQ PAQ ∆=∠=. 【点评】直线过圆锥曲线上已知一点时，可尝试设点求点的套路求出另一点的坐标．本题引入直线AP 的单参方程1(2)y k x -=-，可直接求出点P 的坐标，用k -代换k 立即可得点Q 的坐标，从而顺利求得PQ 的斜率．本解法思路清晰自然，单参变形所产生的运算量适中，无需特殊方法技巧．

方法三：点差法+整体代换

【解析】(1)将点(2,1)A 代入2222:11

x y C a a -=-解得22a =，所以双曲线为2212x y -= 设1122(,),(,)P x y Q x y ，则121211,22

AP BP y y k k x x --==--， 代入0AP BP k k +=化简整理得122112122240x y x y x x y y +----+=⋅⋅⋅⋅⋅⋅①

点,,P Q A 在双曲线上，故221122222

21212

2112

x y x y ⎧-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎪⎪⎪-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎨⎪⎪-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎪⎩②③④

-②③整理得121212122()y y x x x x y y -+=-+即12122()

PQ x x k y y +=+ 同理②-④,③-④可得121222,2(1)2(1)

AP AQ x x k k y y ++==++ 代入0AP BP k k +=化简整理得122112122240x y x y x x y y ++++++=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⑤

①-⑤得12122()4()0x x y y +++=，所以12122()x x y y +=-+

所以1PQ k =-.

(2)不妨设0AP k >，其倾斜角为θ，由0AP BP k k +=可知22PAQ θπθ∠=-或