微分方程的数值解法

不同的数值微分和数值积分方法、不同的函数插值方
法，就产生了不同的有限差分法与不同的有限元法。
其它数学基础： 数理方程、数值代数、最优化理论与方法等
第一部分 常微分方程初值问题的数值解法
自然界与工程技术中的许多现象，其数学表 达式归结为常微分方程定解问题。 一些偏微分方程问题可以转化为常微分方程 问题来（近似）求解。 常微分方程的数值解法为偏微分方程的数值 解法提供了可供借鉴的思路。 常微分方程数值解法主要分为两大部分：
三 线性多步公式建立的基本思想
利用前面多步的信息计算 un k，以获得较 高精度的数值公式。
设 t n t0 nh ，u (t n ) 的近似值为 u n ,并记 f n f (t n , un )，k步线性多步方法一般形式为
0un 1un 1 k un k h( 0 f n 1 f n 1 k f n k )
2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ1 , x ˆ2 ) 若 4 A( x1 , x2 )C ( x1 , x2 ) B ( x 为椭圆型偏微分方程
二阶偏微分方程的基本分类方法，可以推广到含 有两个以上自变量的非线性高阶偏微分方程。

初值问题的数值方法 边值问题的数值方法
这里只介绍初值问题。
目的：建立一阶常微分方程初值问题的数值解法。 模型
du f (t , u (t )) dt u (t0 ) u0 t0 t T
设初值问题的解析解 (理论解) 用 u (t n ) 表 示，数值解法的精确解用 u n 表示。其中n=1, 2, ，t n t n 1 hn 。 常微分方程初值问题的数值解是求上述初 值问题的解u(t)在点列 t n t n 1 hn 上的近似值 u n (n 0, 1, ) 。 以下设 hn不变，记为h。
② 基于Taylor展开的构造方法 Taylor展开更具有一般性。 将线性公式写为
un k 0un 1un 1 k 1un k 1 h( 0 f n 1 f n 1 k f n k )
并将其中的函数 u (t n i )及 u (t n i )(i=1, 2, … , k-1) 在点 t n 按 h 的幂展开，然后与微分方程的解u(t) 在 t n k 的Taylor展开式
R-K法的一般形式为
un 1 un h(c1 K1 c2 K 2 cr K r ) K1 f (t n , un ) K 2 f (t n 2 h, un h 21K1 ) K 3 f (t n 3h, un h 31K1 h 32 K 2 )
四 其它问题
（1）收敛性、截断误差估计与稳定性
① 收敛性：当步长h取得充分小时，数值解 u n 能否足够精确地逼近初值问题的真解 u (t n )。 ② 截断误差估计：估计近似替代使数值解与真 解之间产生的误差。 ③ 稳定性：最初产生的误差在以后各步的计算 中是否会无限制扩大。 （2）其它方法
① 预测校正系统：将同阶的显式公式与隐式公 式联合使用。 ② 改造的方法：外推法、混合法等。
② 用差商 (或数值微分) 代替微分方程
u(t n ) f (t n , u (t n ))
中的导数。 即
u (t n 1 ) u (t n ) h u ( ) f (t n , u (t n )) h 2 u n 1 u n f (t n , u n ) h
略去余项，并用 u n 表示 u (t n )的近似值，得到
第二部分 偏微分方程的有限差分方法
基本思想：使用离散的、只含有限个未知 数的差分方程去近似代替连续变量的微分方程 及边值条件，并将相应的差分方程解作为(初)边 值问题的近似解。
二阶线性偏微分方程的一般形式为：
2u 2u 2u u u A 2 B C 2 D E Fu G 0 x1 x1x2 x2 x1 x2
n k
t n j
常用四阶Adams公式
显式
隐式
h u n 1 u n 55 f n 59 f n 1 37 f n 2 9 f n 3 24
h u n 1 u n 9 f n 1 19 f n 5 f n 1 f n 2 24
当h充分小时略去余项 O(h p 1 ) ，则可导出p阶公式 ：
h2 h p ( p) un un un 1 un hun 2 p! u u (t ) 0 0
其中的各阶导数可表示为
f (t n , u n ) un f t (t n , u n ) f (t n , u n ) f u (t n , u n ) un
t n k t n j
f (t , u (t )) dt
要获得 u (t n k )的近似值，只要选用不同的 数值方法近似计算其中的积分项，则可导出不 同的计算公式。
通常对 f (t , y (t )) 取等距节点构造插值多项 t 式，从而对 f (t , u (t )) dt 构造数值积分公式。
略去余项，并用 u n 表示 u (t n ) 的近似值，则得 到（显式） Euler公式:
un 1 un hf (t n , un ) (n 0,1,2,)
运用推导Euler公式的方法可以构造若干公式。
)dx (b a ) f (a ) (b a ) 2 (a, b) 2
常微分方程初值问题的数值解法分为：
① 单(一)步法：计算 u n 1 时，只用到 t n 1 , t n 和 u n ，即前一步的值。 ② 多步法：计算 u n 1 时，除用到 t n 1 , t n 和 u n 以外，还用到 t n p 和 u n p ( p 1,2, k 1; k 1), 即用到前k步的值。 对单步法与多步法，有显式与隐式方法之分： 显式单步法的一般形式为
常用的二阶R-K方法有：
h un 1 un ( K1 K 2 ) 2 K1 f (t n , un ) K 2 f (t n h, un hK1 )
Euler预估校正格式
常用的四阶R-K方法有：
h u u ( K1 2 K 2 2 K 3 K 4 ) n n 1 6 K1 f (t n , un ) h hK1 ) 经典四阶Runge-Kutta公式 K 2 f (t n , un 2 2 h hK 2 K 3 f (t n 2 , un 2 ) K 4 f (t n h, un hK 3 )
ˆ2 对于变量 x1 和 x2 给定的值 x ˆ1 和 x 若 4 A( x ˆ1 , x ˆ2 )C ( x ˆ1 , x ˆ2 ) B 2 ( x ˆ1 , x ˆ2 ) 为双曲型偏微分方程
ˆ1 , x ˆ2 )C ( x ˆ1 , x ˆ2 ) B 2 ( x ˆ1 , x ˆ2 ) 若 4 A( x 为抛物型偏微分方程
u (t n 1 ) u (t n ) u (t )dt
tn t n1 t n1 tn
f (t , u (t )) dt
用左矩形数值公式计算积分，
h2 u (t n 1 ) u (t n ) hf (t n , u (t n )) f ( , u ( )) 2
二 高精度单步（Runge-Kutta） 公式建立的基本思想
得到高阶方法的直接想法是用Taylor展开。 假定初值问题的解u(t)及函数f(t, u(t))充分光滑，则
h2 h p ( p) u (t n 1 ) u (t n ) hu(t n ) u(t n ) u (t n ) O(h p 1 ) 2 p!
f tt 2 f tu f f 2 f uu f u2 f f t f u |(tn ,u n ) un


缺点： 计算高阶导数十分困难。
Runge-Kutta公式建立的基本思想 用不同点的函数值作线性组合构造近似公式； 再将近似公式与解析解的Taylor展式相比较； 要求二者前面的若干项吻合，从而使近似公式 达到一定的阶数。
计算材料学讲座
科学研究的基础
—— 微分方程的数值解法
数理方程数值解法概述
基本思路：将连续的偏微分方程及 初边值条件离散为线性方程组，并加以 求解。 由于离散的出发点不同、所依据的 理论不同，因此产生出各种不同的数值 方法。
基本方法：有限差分法、有限元法、 谱方法、有限分析法。
数学基础：数值逼近 有限差分法 —数值微分 有限体积法（也可与有限差分法统称为有限差分法 ） — 数值积分 有限元法 — 函数插值
K r f (t n r h, u n h r1 K1 h r 2 K 2 h r , r 1 K r 1 )
其中 i , ij , ci 为常数。 选取这些常数的原则
要求第一式右端与 (t n , un )处Taylor展式中 的 h0 , h1 , h 2 , , h p 项重合，从而构造p阶方法。
k 0, 0 , 0 不全为零。 其中 j , j 为常数，
构造线性多步公式主要有数值积分法和 Taylor展开法。
① 基于数值积分的构造方法 将 u f (t , u (t )) 两端从 t n j 到 t n k 积分，得：
u (t n k ) u (t n j )
即（显式） Euler公式:
un 1 un hf (t n , un ) (n 0,1,2,)
u (t n ) u (t n 1 ) u (t n ) h u ( ) (t n , t n 1 ) h 2
③ 对微分方程 u (t ) f (t , u (t )) 两端积分。 即
un 1 un h (t n , un , h)
隐式单步法的一般形式为
un 1 un h (t n , un , un 1 , h)
显式、隐式多步法的一般形式类似。
一 低精度单步公式建立的基本思想
以显式欧拉(Euler)方法为例 设节点为 tn t0 nh (n 0,1, 2,) 。 ① 在 t n附近把 u (t n )根据Taylor级数展开
h2 u (t n h) u (t n ) hu (t n ) u (t n ) 2 h2 u (t n ) hf (t n , u ( xn )) u (t n ) 2 取h的线性部分，并用 u n 表示 u (t n ) 的近似值，
un 1 un hf (t n , un ) (n 0, 1, 2, ) 得 上述公式称为（显式） Euler公式。 由给定的初值，则可得到点列 t n t n 1 hn 上解析解 u ( xn )的近似值 un (n 1, 2, ) 。
(kh) 2 (kh) p ( p ) u (t n k ) u (t n ) (kh)u(t n ) u(t n ) u (t n ) O(h p 1 ) 2 p!
比较，要求 un k 与 u (t n k ) 有p+1项重合，则可 构造p阶方法。 四阶Adams公式也可用Taylor展开的方法构造。