2019版同步优化探究理数(北师大版)练习：第二章 第八节 函数与方程及应用解析

课时作业 A 组——基础对点练
1、(2018·乌鲁木齐模拟)函数f (x )＝e x ＋2x －3的零点所在的一个区间是( ) A 、(－1
2,0) B 、(0,12) C 、(12,1) D 、(1,32)
解析：因为f (1
2)＝－2＜0,f (1)＝e －1＞0,所以零点在区间(1
2,1)上、
答案：C
2、函数f (x )＝2x 6－x 4－1的零点个数是( ) A 、4 B 、2 C 、1
D 、0 解析：函数f (x )＝2x 6－x 4－1的零点个数,就是方程2x 6－x 4－1＝0的实根的个数,变形为2x 6＝x 4＋1,显然x ＝0不是方程的根；当x ≠0时,等价于2x 2＝1＋1x 4,令g (x )＝2x 2,h (x )＝1＋1
x 4,作出函数g (x )和h (x )的图像如图所示,数形结合知函数g (x )和h (x )的图像有2个交点,即函数f (x )有2个零点、
答案：B
3、已知f (x )是定义在R 上的奇函数,当x ≥0时,f (x )＝x 2－3x .则函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点的集合为( ) A 、{1,3} B 、{－3,－1,1,3} C 、{2－7,1,3}
D 、{－2－7,1,3}
解析：当x ≥0时,f (x )＝x 2－3x , 令g (x )＝x 2－3x －x ＋3＝0, 得x 1＝3,x 2＝1.
当x ＜0时,－x ＞0,∴f (－x )＝(－x )2－3(－x ), ∴－f (x )＝x 2＋3x ,∴f (x )＝－x 2－3x . 令g (x )＝－x 2－3x －x ＋3＝0,
x 4＝－2＋7＞0(舍),
∴函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点的集合是{－2－7,1,3},故选D. 答案：D
4、已知a ,b ,c ,d 都是常数,a ＞b ,c ＞d .若f (x )＝2 017－(x －a )(x －b )的零点为c ,d ,则下列不等式正确的是( ) A 、a ＞c ＞b ＞d B 、a ＞b ＞c ＞d C 、c ＞d ＞a ＞b
D 、c ＞a ＞b ＞d
解析：f (x )＝2 017－(x －a )(x －b )＝－x 2＋(a ＋b )x －ab ＋2 017,又f (a )＝f (b )＝2 017,c ,d 为函数f (x )的零点,且a ＞b ,c ＞d ,所以可在平面直角坐标系中作出函数f (x )的大致图像,如图所示,由图可知c ＞a ＞b ＞d ,故选D.
答案：D
5、(2018·德州模拟)已知函数y ＝f (x )是周期为2的周期函数,且当x ∈[－1,1]时,f (x )＝2|x |－1,则函数F (x )＝f (x )－|lg x |的零点个数是( ) A 、9 B 、10 C 、11
D 、18
解析：由F (x )＝0得f (x )＝|lg x |分别作f (x )与y ＝|lg x |的图像,如图,
所以有10个零点,故选B. 答案：B
6、已知函数f (x )＝⎩⎨
⎧
e x
＋a ，x ≤0，
3x －1，x ＞0
(a ∈R),若函数f (x )在R 上有两个零点,则a 的取值范围是( )
A 、(－∞,－1)
B 、(－∞,0)
C 、(－1,0)
D 、[－1,0)
解析：当x ＞0时,f (x )＝3x －1有一个零点x ＝1
3,所以只需要当x ≤0时, e x ＋a ＝0有一个根即可,即e x
＝－a .当x ≤0时,e x
∈(0,1],所以－a ∈(0,1],即a ∈[－1,0),故选D. 答案：D
7、(2018·长沙市模拟)对于满足0＜b ≤3a 的任意实数a ,b ,函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 总有两个不同的零点,则
a ＋
b －c
a 的取值范围是( )
A 、(1,74]
B 、(1,2]
C 、[1,＋∞)
D 、(2,＋∞)
解析：依题意对方程ax 2＋bx ＋c ＝0,有Δ＝b 2
－4ac ＞0,于是c ＜b 2
4a ,从而a ＋b －c a ＞a ＋b －b 2
4a a ＝1＋b a －
14(b a )2,对满足0＜b ≤3a 的任意实数a ,b 恒成立、令t ＝b a ,因为0＜b ≤3a ,所以0＜t ≤3.因此－14t 2＋t ＋1∈(1,2],故a ＋b －c
a ＞2.选D. 答案：D
8、已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪
⎧
|2x
－1|，x ＜2，3
x －1，x ≥2，若方程f (x )－a ＝0有三个不同的实数根,则实数a 的取值范
围为( ) A 、(1,3) B 、(0,3) C 、(0, 2)
D 、(0,1)
解析：画出函数f (x )的图像如图所示,
观察图像可知,若方程f (x )－a ＝0有三个不同的实数根,则函数y ＝f (x )的图像与直线y ＝a 有3个不同的交点,此时需满足0＜a ＜1,故选D. 答案：D
9、(2018·汕头模拟)设函数f (x )是定义在R 上的周期为2的函数,且对任意的实数x ,恒有f (x )－f (－x )＝0,当x ∈[－1,0]时,f (x )＝x 2,若g (x )＝f (x )－log a x 在x ∈(0,＋∞)上有三个零点,则a 的取值范围为( ) A 、[3,5]
B 、[4,6]
C 、(3,5)
D 、(4,6)
解析：∵f (x )－f (－x )＝0,∴f (x )＝f (－x ),∴f (x )是偶函数,根据函数的周期性和奇偶性作出函数f (x )的图像如图所示：
∵g (x )＝f (x )－log a x 在(0,＋∞)上有三个零点, ∴y ＝f (x )和y ＝log a x 的图像在(0,＋∞)上有三个交点, 作出函数y ＝log a x 的图像,如图,
∴⎩⎨⎧
log a 3＜log a 5＞a ＞1
,解得3＜a ＜5.故选C.
答案：C
10、(2018·湖北七校联考)已知f (x )是奇函数且是R 上的单调函数,若函数y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )只有一个零点,则实数λ的值是( ) A.14 B.18 C 、－78
D 、－38
解析：令y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )＝0,则f (2x 2＋1)＝－f (λ－x )＝f (x －λ),因为f (x )是R 上的单调函数,所以2x 2＋1＝x －λ只有一个根,即2x 2－x ＋1＋λ＝0只有一个根,则Δ＝1－8(1＋λ)＝0,解得λ＝－7
8.故选C. 答案：C
11、已知定义在R 上的奇函数y ＝f (x )的图像关于直线x ＝1对称,当－1≤x ＜0
时,则方程f (x )－1
2＝0在(0,6)内的所有根之和为( )
A 、8
B 、10
C 、12
D 、16
解析：∵奇函数f (x )的图像关于直线x ＝1对称,∴f (x )＝f (2－x )＝－f (－x ),即f (x )＝－f (x ＋2)＝f (x ＋4),∴f (x )是周期函数,其周期T ＝4.又当x ∈[－1,0)时,f (x )＝－log 1
2(－x ),故f (x )在(0,6)上的函数图像如
图所示、
由图可知方程f (x )－1
2＝0在(0,6)内的根共有4个,其和为x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝2＋10＝12,故选C.
答案：C
12、已知函数f (x )＝e |x |＋|x |.若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根,则实数k 的取值范围是 、
解析：易知函数f (x )＝e |x |＋|x |为偶函数,故只需求函数f (x )在(0,＋∞)上的图像与直线y ＝k 有唯一交点时k 的取值范围、当x ∈(0,＋∞)时,f (x )＝e x ＋x ,此时f ′(x )＝e x ＋1＞0,所以函数f (x )在(0,＋∞)上单调递增,从而当x ＞0时,f (x )＝e x ＋x ＞f (0)＝1,所以要使函数f (x )在(0,＋∞)上的图像与直线y ＝k 有唯一交点,只需k ＞1,故所求实数k 的取值范围是(1,＋∞)、 答案：(1,＋∞)
13、已知函数若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不等的实数根,则实数k 的取值
范围是 、
解析：作出函数y ＝f (x )与y ＝k 的图像,如图所示：
由图可知k ∈(0,1]、 答案：(0,1]
14、函数f (x )＝⎩⎨
⎧
ln x －x 2
＋2x ，x ＞0，
4x ＋1，x ≤0
的零点个数是 、
解析：当x ＞0时,令ln x －x 2＋2x ＝0, 得ln x ＝x 2－2x ,
作y ＝ln x 和y ＝x 2－2x 图像, 显然有两个交点、
当x ≤0时,令4x ＋1＝0, ∴x ＝－1
4.
综上共有3个零点、 答案：3
15、已知函数f (x )＝|x －a |－2
x ＋a ,a ∈R,若方程f (x )＝1有且只有三个不同的实数根,则实数a 的取值范围是 、
解析：令g (x )＝|x －a |＋a ,h (x )＝2x ＋1,作出函数h (x )＝2x ＋1的图像,易知直线y ＝x 与函数h (x )＝2
x ＋1的图像的两交点坐标为(－1,－1)和(2,2),又函数g (x )＝|x －a |＋a 的图像是由函数y ＝|x |的图像的顶点在直线y ＝x 上移动得到的,且当函数h (x )＝2
x ＋1的图像和g (x )＝|x －a |＋a 的图像相切时,切点为(2,1＋2),(－2,1－2),切线方程为y ＝－x ＋22＋1或y ＝－x －22＋1,又两切线与y ＝x 的交点分别为(1＋222,1＋222),(1－222,1－222),故a ＝1±22
2,结合图像可知a 的取值范围是(－∞,1－222)∪(1＋22
2,2)、 答案：(－∞,
1－222)∪(1＋22
2
,2) B 组——能力提升练
1、已知符号函数sgn(x )＝⎩⎨⎧
1，x ＞0，
0，x ＝0，
－1，x ＜0，
设函数f (x )＝
sgn (1－x )＋12·f 1
(x )＋sgn (x －1)＋1
2
·f 2(x ),其中f 1(x )＝x 2＋1,f 2(x )＝－2x ＋4.若关于x 的方程[f (x )]2－3f (x )＋m ＝0恒好有6个根,则实数m 的取值范
围是( ) A 、(－∞,9
4) B 、(－∞,9
4] C 、[2,94]
D 、(2,94)
解析：①若x ＞1,则f (x )＝－1＋12·f 1(x )＋1＋12·f 2(x )＝－2x ＋4.②若x ＝1,则f (x )＝0＋12·f 1(x )＋0＋1
2·f 2(x )＝x 2－2x ＋52＝2.③若x ＜1,则f (x )＝1＋12·f 1(x )＋－1＋12
·f 2(x )＝x 2＋1.
综上,f (x )＝⎩⎨⎧
x 2＋1，x ＜1，
2，x ＝1，
2x ＋4，x ＞1，
作出其图像如图所示、若要使方程[f (x )]2－3f (x )＋m ＝0恒好有6个
根,令t ＝f (x ),则关于t 的方程t 2－3t ＋m ＝0需有两个不相等的实数根,故Δ＝9－4m ＞0,得m ＜9
4.数形结合知1＜f (x )＜2,所以函数g (t )＝t 2－3t ＋m 在(1,2)上有两个不同的零点,又函数g (t )图像的对称轴
为t ＝3
2∈(1,2),所以需⎩⎨
⎧
g (1)＞0，g (2)＞0，即⎩⎨⎧
1－3＋m ＞0，22－3×2＋m ＞0，
得2＜m ＜9
4,故选D. 答案：D
2、(2018·湘中名校联考)已知函数f (x )＝－1
3x 3＋ax 2＋bx ＋c 有两个极值点x 1,x 2,若x 1＜f (x 1)＜x 2,则关于x 方程[f (x )]2－2af (x )－b ＝0的实数根的个数不可能为
( )
A 、2
B 、3
C 、4
D 、5
解析：由题意,得f ′(x )＝－x 2＋2ax ＋b .因为x 1,x 2是函数f (x )的两个极值点,所以x 1,x 2是方程－x 2＋2ax ＋b ＝0的两个实数根,所以由[f (x )]2－2af (x )－b ＝0,可得f (x )＝x 1或f (x )＝x 2.由题意,知函数f (x )在(－∞,x 1),(x 2,＋∞)上单调递减,在(x 1,x 2)上单调递增,又x 1＜f (x 1)＜x 2,依题意作出简图,如图所示,结合图形可知,方程[f (x )]2－2af (x )－b ＝0的实根个数不可能为5,故选D.
答案：D
3、(2018·合肥市质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
2x ＋1，x ＜|12x 2
－2x ＋1|，x ≥0.方程[f (x )]2－af (x )＋b ＝0(b ≠0)有6个
不同的实数解,则3a ＋b 的取值范围是( ) A 、[6,11] B 、[3,11] C 、(6,11)
D 、(3,11)
解析：首先作出函数f (x )的图像(如图),对于方程[f (x )]2
－af (x )＋b ＝0,可令f (x )＝t ,那么方程根的个数就是f (x )＝t 1与f (x )＝t 2的根的个数之和,结合图像可知,要使总共有6个根,需要一个方程有4个根,另一个方程有2个根,从而可知关于t 的方程t 2－at ＋b ＝0有2个根,分别位于区间(0,1)与(1,2)内,进
一步由根的分布得出约束条件⎩⎨⎧
b ＞
1－a ＋b ＜
4－2a ＋b ＞0
,画出可行域(图略),计算出目标函数z ＝3a ＋b 的
取值范围为(3,11)、
答案：D
4、(2018·洛阳统考)已知x 1,x 2是函数f (x )＝e －x －|ln x |的两个零点,则( ) A.1
e ＜x 1x 2＜1 B 、1＜x 1x 2＜e C 、1＜x 1x 2＜10
D 、e ＜x 1x 2＜10
解析：在同一直角坐标系中画出函数y ＝e －x 与y ＝|ln x |的图像(图略),结合图像不难看出,在x 1,x 2中,其中一个属于区间(0,1),另一个属于区间(1,＋∞)、不妨设x 1∈(0,1),x 2∈(1,＋∞),则有e －x 1＝|ln x 1|＝－ln x 1∈(e －1,1),e －x 2＝|ln x 2|＝ln x 2∈(0,e －1),e －x 2－e －x 1＝ln x 2＋ln x 1＝ln(x 1x 2)∈(－1,0),于是有e －1＜x 1x 2＜e 0,即1
e ＜x 1x 2＜1,故选A. 答案：A
5、设函数f (x )＝e x ＋x －2,g (x )＝ln x ＋x 2－3.若实数a ,b 满足f (a )＝0,g (b )＝0,则( ) A 、g (a )＜0＜f (b ) B 、f (b )＜0＜g (a ) C 、0＜g (a )＜f (b ) D 、f (b )＜g (a )＜0
解析：∵f (x )＝e x ＋x －2, ∴f ′(x )＝e x ＋1＞0, 则f (x )在R 上为增函数, 且f (0)＝e 0－2＜0,f (1)＝e －1＞0, 又f (a )＝0,∴0＜a ＜1. ∵g (x )＝ln x ＋x 2－3, ∴g ′(x )＝1
x ＋2x .
当x ∈(0,＋∞)时,g ′(x )＞0, 得g (x )在(0,＋∞)上为增函数, 又g (1)＝ln 1－2＝－2＜0, g (2)＝ln 2＋1＞0,且g (b )＝0, ∴1＜b ＜2,即a ＜b , ∴⎩⎨⎧
f (b )＞f (a )＝0，
g (a )＜g (b )＝0.故选A. 答案：A
6、对于函数f (x )和g (x ),设α∈{x |f (x )＝0},β∈{x |g (x )＝0},若存在α,β,使得|α－β|≤1,则称f (x )与g (x )互为“零点相邻函数”、若函数f (x )＝e x －1＋x －2与g (x )＝x 2－ax －a ＋3互为“零点相邻函数”,则实数a 的取值范围是( ) A 、[2,4] B.⎣⎢⎡
⎦⎥⎤2，73 C.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤73，3 D 、[2,3]
解析：函数f (x )＝e x －1＋x －2的零点为x ＝1,设g (x )＝x 2－ax －a ＋3的零点为b ,若函数f (x )＝e x －1＋x －2与g (x )＝x 2－ax －a ＋3互为“零点相邻函数”,则|1－b |≤1,∴0≤b ≤2.由于g (x )＝x 2－ax －a ＋3的图像过点(－1,4),∴要使其零点在区间[0,2]上,则g ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2≤0,即⎝ ⎛⎭⎪⎫
a 22－a ·
a 2－a ＋3≤0,解得a ≥2或a ≤－6(舍去),易知g (0)≥0,即a ≤3,此时2≤a ≤3,满足题意、 答案：D
7、设x 0为函数f (x )＝sin πx 的零点,且满足|x 0|＋f ⎝ ⎛
⎭⎪⎫x 0＋12＜33,则这样的零点有( ) A 、61个 B 、63个 C 、65个
D 、67个
解析：依题意,由f (x 0)＝sin πx 0＝0得,πx 0＝k π,k ∈Z,即x 0＝k ,k ∈Z.当k 是奇数时,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋12＝sin π⎝ ⎛⎭⎪
⎫
k ＋12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2＝－1,|x 0|＋f ⎝ ⎛
⎭⎪⎫x 0＋12＝|k |－1＜33,|k |＜34,满足这样条件的奇数k 共有34个；当k 是偶
数时,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋12＝sin π⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2＝1,|x 0|＋f ⎝ ⎛
⎭⎪⎫x 0＋12＝|k |＋1＜33,|k |＜32,满足这样条件的偶数k
共有31个、综上所述,满足题意的零点共有34＋31＝65(个),选C. 答案：C
8、设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
x ，0≤x 1
x ＋1
－1，－1<x <0,设函数g (x )＝f (x )－4mx －m ,其中m ≠0.若函数g (x )在区间(－
1,1)上有且仅有一个零点,则实数m 的取值范围是( ) A 、m ≥1
4或m ＝－1 B 、m ≥1
4 C 、m ≥1
5或m ＝－1
D 、m ≥1
5
解析：f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
x ， 0≤x ＜1，1
x ＋1－1， －1＜x ＜0.
作函数y ＝f (x )的图像,如图所示、
函数g (x )零点的个数⇔函数y ＝f (x )的图像与直线y ＝4mx ＋m 交点的个数、 当直线y ＝4mx ＋m 过点(1,1)时,m ＝1
5；
当直线y ＝4mx ＋m 与曲线y ＝1
x ＋1－1(－1＜x ＜0)相切时,可求得m ＝－1.
根据图像可知,当m ≥1
5或m ＝－1时,函数g (x )在区间(－1,1)上有且仅有一个零点、 答案：C
9、已知f (x )是定义在R 上的奇函数,且x >0时,f (x )＝ln x －x ＋1,则函数g (x )＝f (x )－e x (e 为自然对数的底数)的零点个数是( ) A 、0 B 、1 C 、2
D 、3
解析：当x >0时,f (x )＝ln x －x ＋1,f ′(x )＝1
x －1＝1－x x ,所以x ∈(0,1)时,f ′(x )>0,此时f (x )单调递增；x ∈(1,＋∞)时,f ′(x )<0,此时f (x )单调递减、因此,当x >0时,f (x )max ＝f (1)＝ln 1－1＋1＝0.根据函数f (x )是定义在R 上的奇函数作出函数y ＝f (x )与y ＝e x 的大致图像,如图,观察到函数y ＝f (x )与y ＝e x 的图像有两个交点,所以函数g (x )＝f (x )－e x (e 为自然对数的底数)有2个零点、故选C.
答案：C
10、已知函数f (x )＝ln x －ax 2＋x 有两个零点,则实数a 的取值范围是( ) A 、(－∞,1)
B 、(0,1)
C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1＋e e 2
D.⎝
⎛
⎭⎪⎫0，1＋e e 2
解析：依题意,关于x 的方程ax －1＝ln x x 有两个不等的正根、记g (x )＝ln x
x ,则g ′(x )＝1－ln x x 2,当0<x <e 时,g ′(x )>0,g (x )在区间(0,e)上单调递增；当x >e 时,g ′(x )<0,g (x )在区间(e,＋∞)上单调递减,且g (e)＝1
e ,当0<x <1时,g (x )<0.设直线y ＝a 1x －1与函数g (x )的图像相切于点(x 0,y 0),则有⎩⎪⎨⎪⎧
a 1＝1－ln
x 0
x 20a 1x 0－1＝ln x 0
x 0
,
由此解得x 0＝1,a 1＝1.在坐标平面内画出直线y ＝ax －1(该直线过点(0,－1)、斜率为a )与函数g (x )的大致图像,结合图像可知,要使直线y ＝ax －1与函数g (x )的图像有两个不同的交点,则a 的取值范围是(0,1),选B. 答案：B
11、已知f ′(x )为函数f (x )的导函数,且f (x )＝12x 2－f (0)x ＋f ′(1)e x －1,g (x )＝f (x )－1
2x 2＋x ,若方程g ⎝ ⎛⎭⎪⎫
x 2
a －x －x ＝0在(0,＋∞)上有且仅有一个根,则实数a 的取值范围是( ) A 、(－∞,0)∪{1} B 、(－∞,－1] C 、(0,1] D 、[1,＋∞)
解析：∵f (x )＝1
2x 2－f (0)x ＋f ′(1)e x －1,∴f (0)＝f ′(1)e －1,f ′(x )＝x －
f (0)
＋
f ′(1)e x －1,
＝1,∴f (x )＝1
2∴f ′(1)＝1－f ′(1)e －1＋f ′(1)e 1－1,∴f ′(1)＝e,∴f (0)
＝f ′(1)e －1
x 2－x ＋e x ,∴g (x )＝f (x )－12x 2＋x ＝12x 2－x ＋e x －1
2x 2＋x ＝e x , ∵g ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x 2
a －x －x ＝0, ∴g ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x 2
a －x ＝x ＝g (ln x ),∴x 2a －x ＝ln x ,∴x 2a ＝x ＋ln x 、当a >0时,只有y ＝x 2a (x >0)和y ＝x ＋ln x 的图像相切时,满足题意,作出图像如图所示,由图像可知,a ＝1,当a <0时,显然满足题意,∴a ＝1或a <0,故选A. 答案：A
12、已知函数y ＝f (x )是定义域为R 的偶函数、当x ≥0时,f (x )＝⎩⎪⎨
⎪⎧
54sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π2x (0≤x ≤1)⎝ ⎛⎭
⎪⎫14x
＋1(x >1),若关于x
的方程5[f (x )]2－(5a ＋6)f (x )＋6a ＝0(a ∈R)有且仅有6个不同的实数根,则实数a 的取值范围是( )
A 、(0,1)∪⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
54
B 、[0,1]∪⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
54
C 、(0,1]∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫
54
D.⎝ ⎛
⎦
⎥⎤1，54∪{0} 解析：作出f (x )＝⎩⎪⎨
⎪⎧
54sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π2x (0≤x ≤1)⎝ ⎛⎭
⎪⎫14x
＋1(x >1)的大致图像如图所示,又函数y ＝f (x )是定义域为R 的偶函
数,且关于x 的方程5[f (x )]2－(5a ＋6)f (x )＋6a ＝0(a ∈R)有且仅有6个不同的实数根,等价于f (x )＝6
5和f (x )＝a (a ∈R)有且仅有6个不同的实数根、由图可知方程f (x )＝6
5有4个不同的实数根,所以必须且只需方程f (x )＝a (a ∈R)有且仅有2个不同的实数根,由图可知0<a ≤1或a ＝5
4.故选C.
答案：C
13、在平面直角坐标系xOy 中,若直线y ＝2a 与函数y ＝|x －a |－1的图像只有一个交点,则a 的值
为 、
解析：若直线y ＝2a 与函数y ＝|x －a |－1的图像只有一个交点,则方程2a ＝|x －a |－1只有一解,即方程|x －a |＝2a ＋1只有一解,故2a ＋1＝0,所以a ＝－12. 答案：－1
2
14、函数f (x )＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12|x －1|＋2cos πx (－4≤x ≤6)的所有零点之和为 、
解析：问题可转化为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x －1|
与y ＝－2cos πx 在－4≤x ≤6的交点的横坐标的和,因为两个函数图
像均关于x ＝1对称,所以x ＝1两侧的交点对称,那么两对应交点的横坐标的和为2,分别画出两个函数的图像(图略),易知x ＝1两侧分别有5个交点,所以所求和为5×2＝10. 答案：10
15、已知函数f (x )＝⎩⎨⎧
1－|x ＋1|，x ＜
x 2
－4x ＋2，x ≥1
,则函数g (x )＝2|x |f (x )－2的零点个数为 、
解析：由g (x )＝2|x |f (x )－2＝0得,f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |－1,作出y ＝f (x ),y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
12|x |－1的图像,由图像可知共有2个交
点,故函数的零点个数为2.
答案：2
16、已知函数f (x )＝⎩⎨
⎧
2x －1(x ≥2)
2(1≤x ＜2),若方程f (x )＝ax ＋1恰有一个解,则实数a 的取值范围
是 、
解析：如图,当直线y ＝ax ＋1过点B (2,2)时,a ＝1
2,满足方程有两个解；当直线y ＝ax ＋1与f (x )＝2x －1(x ≥2)的图像相切时,a ＝－1＋5
2,满足方程有两个解；当直线y ＝ax ＋1过点A (1,2)时,a ＝1,
满足方程恰有一个解、故实数a 的取值范围为⎝ ⎛
⎭⎪⎫0，12∪⎝ ⎛⎦
⎥⎤－1＋52，1.
答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪⎝ ⎛⎦⎥⎤－1＋52，1。