九年级数学下册第2章二次函数2.4二次函数的应用2.4.1二次函数的应用同步练习新版北师大版

2.4.1二次函数的应用
一、夯实基础
1．如图所示的抛物线的解析式是 ( )
A．y＝x2－x＋2 B．y=－x2－x＋2
C．y＝x2＋x＋2 D．y=－x2＋x＋2
2．如图所示的是二次函数y＝ax2－x＋a2－1的图象，则a的值是．
3．已知抛物线y＝4x2－11x－3，则它的对称轴是，与x轴的交点坐标是，与y轴的交点坐标是 .
4．抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴的正半轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且线段AB的长为1，△ABC的面积为l，则b的值是．
5．用12米长的木料做成如图2－111所示的矩形窗框(包括中间的十字形)，当长、宽各为多少时，矩形窗框的面积最大?最大面积是多少?
二、能力提升
6.（xx·青海西宁·3分）如图，在△ABC中，∠B=90°，tan∠C=，AB=6cm．动点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动．若P，Q两点分别从A，B两点同时出发，在运动过程中，△PBQ的最大面积是（）
A．18cm2B．12cm2C．9cm2D．3cm2
7．如图2－112所示，△ABC的面积为2400c m2，底边BC的长为80cm，若点D在BC上，点E 在AC上，点F在AB上，且四边形BDEF为平行四边形，设BD＝x cm，S BDEF=y cm2．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)求自变量x的取值范围；
(3)当x为何值时，y最大?最大值是多少?
8．如图所示，在ABCD中，AB＝4，BC＝3，∠BAD＝120°，E为BC上一动点(不与B重合)，作EF⊥AB于F，延长FE与DC的延长线交于点G，设BE＝x，△DEF的面积为S．
(1)求证△BEF∽△CEG；
(2)用x表示S的函数关系式，并写出x的取值范围；
(3)当E运动到何处时，S有最大值，最大值为多少?
三、课外拓展
9．如图所示，在边长为8cm的正方形ABCD中，E，F是对角线AC上的两个点，它们分别从点A、点C同时出发，沿对角线以1 cm／s的相同速度运动，过E作EH垂直AC，交Rt△ADC的直角边于H；过F作FG垂直AC，交Rt△ADC的直角边于G，连接HG，EB. 设HE，EF，FG，GH围成的图形面积为S1，AE，EB，BA围成的图形面积为S2(这里规定：线段的面积为0)．若E到达C，F到达A，则停止运动．若E的运动时间为x s，解答下列问题．
(1)当0＜x＜8时，直接写出以E，F，G，H为顶点的四边形是什么四边形，并求x为何值时，S1=S2；
(2)①若y是S1与S2的和，求y与x之间的函数关系式；(图2－115为备用图)②求y的最大值．
四、中考链接
1.（xx•菏泽第8题3分）如图，Rt△ABC中，AC=BC=2，正方形CDEF的顶点D、F分别在
AC、BC边上，C、D两点不重合，设CD的长度为x，△ABC与正方形CDEF重叠部分的面积为y，则下列图象中能表示y与x之间的函数关系的是（）
A
．
B
．
C
．
D
．
2.（xx•广西贺州，第26题12分）二次函数图象的顶点在原点O，经过点A（1，）；点F（0，1）在y轴上．直线y=﹣1与y轴交于点H．
（1）求二次函数的解析式；
（2）点P是（1）中图象上的点，过点P作x轴的垂线与直线y=﹣1交于点M，求证：FM平分∠OFP；
（3）当△FPM是等边三角形时，求P点的坐标．
答案
1．D
2．1[提示：抛物线开口向上，故a＞0．因为图象过原点，所以a2－1＝0，所以a＝±1，所以a＝1．]
3．x＝ (3，0), (－，0) (0，－3)
4．－3
5．解：设窗框的长为x米，则窗框的宽为米，矩形窗框的面积y＝x()＝－x2＋4x．配方得y ＝－(x－2)2＋4．∵a=－l＜0，∴函数y＝－(x－2)2＋4有最大值．当x＝2时，y最大值＝4平方米，此时＝4－2＝2(米)，即当长、宽各为2米时，矩形窗框的面积最大，最大值为4平方米．
6.解：∵tan∠C=，AB=6cm，
∴=，
∴BC=8，
由题意得：AP=t，BP=6﹣t，BQ=2t，
设△PBQ的面积为S，
则S=×BP×BQ=×2t×（6﹣t），
S=﹣t2+6t=﹣（t2﹣6t+9﹣9）=﹣（t﹣3）2+9，
P：0≤t≤6，Q：0≤t≤4，
∴当t=3时，S有最大值为9，
即当t=3时，△PBQ的最大面积为9cm2；
故选C．
7．解：(1)设A到BC的距离为d cm，E到BC的距离为h cm，则y=SBDEF=xh．∵S△ABC＝BC·d，∴2400=×80d，∴d=60．∵ED∥AB，∴△EDC∽△ABC，∴，即，∴h=，∴y＝x＝－x2＋60x．(2)自变量x的取值范围是0＜x＜80．(3)∵a=－＜0，－＝40，0＜40＜80，∴当x＝40时，y最大值＝1200．8．(1)证明：∵AB∥CD，∴∠B＝∠ECG．又∠BEF=∠CEG，∴△BEF∽△CEG．
(2)解：由(1)得，∠G＝∠BFE＝90°，∴DG为△DEF中EF边上的高．在Rt△BFE中，∠B=60°，EF＝BEsin B＝x.在Rt△CGE中，CE=3－x，CG=(3－x)cos 60°=，∴DG=DC＋CG=，∴S=EF·DG=－x2＋x，其中0＜x≤3．
(3)解：∵a=－＜0，对称轴x＝，∴当0＜x≤3时，S随x的增大而增大，∴当x＝3，即E与C重合时，S有最大值，S最大值＝3．
9．解：(1)以E，F，G，H为顶点的四边形是矩形．∵正方形ABCD的边长为8，∴AC=16．∵AE ＝x，过点B作BO⊥AC于O，如图2－116所示，则BO＝8，∴S2＝4x．∵HE=x，EF＝16－2x，∴S1=x(16－2x)．当S1＝S2，即x(16－2x)=4x时，解得x1=0(舍去)，x2＝6．∴当x＝6时，S1＝S2．
(2)①当0≤x＜8时，如图2－116所示．y=x(16－2x)＋4x＝－2x2＋20x．
当8≤x≤16时，如图所示，AE＝x，CE=HE＝16－x，EF＝16－2(16－x)=2x－16，∴S1＝(16－x)(2x－16)，∴y＝(16－x)(2x－16)＋4x=－2x2＋52x－256．
(2)解法1：②当0≤x＜8时，y＝－2x2＋20x＝－2(x2－10x＋25)＋50=－2(x－5)2＋50，∴当x ＝5时，y的最大值为50．当8≤x≤16时，y＝－2x2＋52x－256=－2(x－13)2＋82，∴当x＝13时，y的最大值为82．综上可得，y的最大值为82．
解法2：②y＝－2x2＋20x(0≤x＜8)，当x＝－＝5时，y最大值＝＝50．y=－2x2＋52x－256(8≤x≤16)，当x=－＝13时，y最大值=＝82．综上可得，y的最大值为82．
中考链接：
1.A
2.解答：（1）解：∵二次函数图象的顶点在原点O，
∴设二次函数的解析式为y=ax2，
将点A（1，）代入y=ax2得：a=，
∴二次函数的解析式为y=x2；
（2）证明：∵点P在抛物线y=x2上，
∴可设点P的坐标为（x，x2），
过点P作PB⊥y轴于点B，则BF=x2﹣1，PB=x，
∴Rt△BPF中，
PF==x2+1，
∵PM⊥直线y=﹣1，
∴PM=x2+1，
∴PF=PM，
∴∠PFM=∠PMF，
又∵PM∥x轴，
∴∠MFH=∠PMF，
∴∠PFM=∠MFH，
∴FM平分∠OFP；
（3）解：当△FPM是等边三角形时，∠PMF=60°，∴∠FMH=30°，
在Rt△MFH中，MF=2FH=2×2=4，
∵PF=PM=FM，
∴x2+1=4，
解得：x=±2，
∴x2=×12=3，
∴满足条件的点P的坐标为（2，3）或（﹣2，3）．。