浙江省湖州市2024届高三上学期第一次质量检测数学试题含答案

湖州2024届高三第一次质量检测
数学试卷（答案在最后）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.
1.复数5
i 2-的共轭复数是（
）
A.2i +
B.
2i
-+C.
2i -- D.2i
-【答案】B 【解析】
【分析】先将复数的分母化成实数，再求其共轭复数即可.【详解】55(2i)105i
2i,i 2(2i)(2i)5
----===----+-- 而2i --的共轭复数是2i.-+故选：B.
2.已知集合{}21log ,1,,12x
A y y x x
B y y x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫
==>==>⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭
，则A B = （
）
A.
{}
01y y << B.102y y ⎧⎫
<<
⎨⎩
⎭
C.112y
y ⎧⎫
<<⎨⎬⎩⎭
D.∅
【答案】B 【解析】
【分析】求指对数函数的值域确定集合，再应用交运算求集合.【详解】由题设，{|0}A y y =>，1{|0}2
B y y =<<，
所以A B = 102y y ⎧
⎫<<
⎨⎬⎩
⎭
.故选：B
3.已知向量()0,1,1a = ，()1,1,0b = ，则向量b 在向量a
上的投影向量为（）
A.110,,22⎛⎫ ⎪⎝⎭
B.11,0,22⎛⎫
⎪⎝⎭
C.
()
0,1,1-- D.
()
1,0,1--【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，利用投影向量的定义求解即得.
【详解】向量()0,1,1a = ，()1,1,0b = ，则1,||a b a ⋅==
，
所以向量b 在向量a 上的投影向量为111
(0,,)2
22||||a b a a a a ⋅⋅==
.
故选：A
4.设5π6πθ<<，cos
2
a θ
=，则sin 4θ等于（
）
A.
12
B.
2
C.2
-
D.【答案】D 【解析】
【分析】借助5π6πθ<<，得出
2θ与4
θ
所处区间及象限，结合三角恒等变换公式即可得.【详解】5π6πθ<< ，5π,3π22θ⎛⎫∴
∈ ⎪⎝⎭，5π3π,442θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，故sin
04θ<，又cos 2a θ
=，
sin
4
θ∴==故选：D.
5.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若105:1:2S S =，则155:S S 等于（）A.3:4 B.2:3
C.1:2
D.1:3
【答案】A 【解析】
【分析】根据给定条件，利用等比数列片段和性质计算作答.
【详解】等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则51051510,,S S S S S --成等比数列，
设5S m =，则102m S =，1052m S S -=-，所以2
151024m m S S m ⎛⎫- ⎪⎝⎭
-==
，所以1534m S =，所以1553344
m
S S m ==，即155:3:4S S =.
故选：A.
6.在流行病学中，每名感染者平均可传染的人数叫做基本传染数．当基本传染数高于1时，每个感染者平均会感染一个以上的人，从而导致感染者人数急剧增长．当基本传染数低于1时，疫情才可能逐渐消散．而广泛接种疫苗是降低基本传染数的有效途径．假设某种传染病的基本传染数为0R ，1个感染者平均会接触到N 个新人()0N R ，这N 人中有V 个人接种过疫苗（V
N
称为接种率），那么1个感染者可传染的新感染人数为
()0
R N V N
-
．已知某病毒在某地的基本传染数(02log R =，为了使1个感染者可传染的新感染人数不超过1，该地疫苗的接种率至少为（）A.60% B.70%
C.
80% D.90%
【答案】A 【解析】
【分析】由题意，列出不等式()01R N V N - ，利用对数的运算性质求出0R ，代入不等式中求解V
N
，即可得到答案．
【详解】为了使1个感染者传染人数不超过1，只需()0
1R N V N
- ，所以01N V
R N -⋅
，即011V R N
⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，
因为(5
2
022log log 2 2.5R ===，
所以2.511V N ⎛⎫
-
⎪⎝
⎭
，解得0.660%V N = ，
则地疫苗的接种率至少为60%．故选：A ．
7.在四棱锥P ABCD -中，棱长为2的侧棱PD 垂直底面边长为2的正方形ABCD ，M 为棱PD 的中点，过直线BM 的平面α分别与侧棱PA 、PC 相交于点E 、F ，当PE PF =时，截面MEBF 的面积为（）
A.2
B.3
C.
D.
【答案】D 【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量共面确定点的坐标，利用向量数量积及三角形面积公式即可求出.【详解】由题意，PD
⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，
如图，建立空间直角坐标系D xyz -
，
则()0,2,0C ，()0,0,2P ，()2,0,0A ，()0,0,1M ，()2,2,0B ，()2,0,2PA =- ，()2,2,1BM =--
，设()2,0,2PE tPA t t ==-
，01t ≤≤，则()2,0,22E t t -，
又PE PF =，PA PC =，所以()0,2,2PF tPC t t ==-
，则()0,2,22F t t -，由题意，M E B F 、、、四点共面，所以BM xBE yBF =+
，所以()()()()2222222212222t x y
x t y t x t y
⎧-=--⎪
-=-+-⎨⎪=-+-⎩
，解得32,43x y t ===，
所以42,0,33E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，420,,33F ⎛⎫
⎪⎝⎭，所以2222,2,,2,,3333BE BF ⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭ ，所以28
79cos ,11BE BF
BE BF BE BF
⋅==
，即7cos 11EBF ∠=，
所以62
sin 11
EBF ∠=，所以11446242
sin 229113
EBF S BE BF EBF =
⨯⨯∠=⨯⨯=
，又4141,0,,0,,3333ME MF ⎛⎫⎛⎫
=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
所以1
19
cos ,17
ME MF
ME MF ME MF
⋅==
，即1cos 17
EMF ∠=
，
所以sin 17
EMF ∠=，
所以1117sin 229173
EMF S ME MF EMF =
⨯⨯∠=⨯=
，所以截面MEBF
的面积为33
EBF EMF S S S =+=+= 故选：D
8.已知椭圆()221112211:10x y C a b a b +=>>与双曲线()22
2222222:10,0x y C a b a b -=>>具有相同的左、右焦点
1F ，2F ，点P 为它们在第一象限的交点，动点Q 在曲线1C 上，若记曲线1C ，2C 的离心率分别为1e ，2e ，
满足121e e ⋅=，且直线1PF 与y 轴的交点的坐标为230,2a ⎛
⎫
⎪⎝⎭
，则12F QF ∠的最大值为（）
A.
π3
B.
π2
C.
2π3 D.
5π6
【答案】A 【解析】
【分析】根据椭圆、双曲线的定义可得112
212PF a a PF a a ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩，结合离心率可得1121
1a c e a e c
⎧=⎪⎨
⎪=⎩，在12PF F △中，利用余弦定理可得11
2
e =，进而结合椭圆性质可知：当Q 为椭圆短轴顶点时，12F QF ∠取到最大值，分析求解即可.
【详解】由题意可知：12112222PF PF a PF PF a ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，解得112
2
12PF a a PF a a ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩，
又因为1122
121c e a c e a e e ⎧=⎪⎪⎪=⎨
⎪⎪⋅=⎪⎩，可得1
121
1a c e a e c ⎧
=⎪⎨⎪=⎩，由直线1PF 与y 轴的交点的坐标为2
30,
2a ⎛⎫ ⎪⎝
⎭
可得12cos PF F ∠=
=
，
在12PF F △中，由余弦定理可得()()()()()
2
2
2
22
2
12
121122
12112
122cos 222a a c a a PF F F PF PF F PF F F a a c ++--+-∠=
=⋅+⋅()22212121111211a a c c c a a c e c e c c e e ++===
+⎛⎫++ ⎪⎝⎭
，
11
2
1e e =
+，整理得42118210e e +-=，解得2114e =或211
2
e =-（舍去），且10e >，所以112
e =
，由椭圆性质可知：当Q 为椭圆短轴顶点时，12F QF ∠取到最大值，此时12111
sin
22
F QF c e a ∠===，且()120,πFQF ∠∈，则12π0,22F QF ⎛∠⎫∈ ⎪⎝⎭
，所以12π26F QF ∠=，即12π
3F QF =∠.故选：
A.
.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键在于找到12cos PF F ∠的两种表达方式，构造了关于1e 的方程，从而得解.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.设函数()πcos 3f x x ⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
，则下列结论正确的是（）
A.()y f x =的一个周期为2π
B.()y f x =的图像关于直线8
π3
x =
对称C.()πy f x =+的一个零点为π6x = D.()y f x =在π,π2⎛⎫
⎪⎝⎭
单调递减
【答案】ABC 【解析】
【分析】对于选项A ，通过2π
T ω
=
计算函数的周期；
对于选项B ，将8π3x =
代入函数()πcos 3f x x ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，若所得结果为1或1-，则B 选项正确；
对于选项C ，计算ππ(π)cos(πcos()33
y f x x x =+=++=-+，将π
6x =代入函数，若结果为0，则选项
C 正确；
对于选项D ，当π,π2x ⎛⎫∈
⎪⎝⎭
，则π5π4π,363t x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，然后分析cos y t =在5π4π,63⎛⎫
⎪⎝⎭上的单调性.
【详解】因为函数cos π
()()3
f x x =+，所以它的一个周期为2π，故A 正确；令8π3x =
，求得()1f x =-为最小值，故()f x 的图像关于直线8π3
x =对称，故B 正确；对于ππ(π)cos(π)cos()33
y f x x x =+=++
=-+，令π
6x =，可得()π0f x +=，
故()πy f x =+的一个零点为π
6
x =，故C 正确；
当π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，
π5π4π,363x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，函数cos y x =在5π,π6⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在4π,3π⎛⎫ ⎪⎝
⎭上单调递增，所以函数()f x 在π,π2⎛⎫
⎪⎝⎭
上没有单调性，故D 错误．故选：ABC
10.18世纪30年代，数学家棣莫弗发现，如果随机变量X 服从二项分布(),B n p ，那么当n 比较大时，可
视为X 服从正态分布(
)2
,N μσ
，其密度函数()()2
2
2,
x x μσμσ
ϕ--
=
，x ∈R .任意正态分布
()
2,X B μσ~，可通过变换X Z μ
σ
-=
转化为标准正态分布（0μ=且1σ=）.当()0,1Z N 时，对任
意实数x ，记()()t x P Z x =<，则（）
A.()()
1t x t x -=-B.当0x >时，()()12P Z x t x <=-C.随机变量()2
,X N μσ ，当μ减小，σ增大时，概率()P X μσ-<保持不变
D.随机变量()2
,X N μσ ，当μ，σ都增大时，概率()P X μσ-<单调增大
【答案】AC 【解析】
【分析】根据()()t x P Z x =<结合正态曲线的对称性，可判断A;由定义即可判断B;根据正态分布的3σ准则可判断C,D.
【详解】对于A ，根据正态曲线的对称性可得：()()()1()1()t x P Z x P Z x P Z x t x -=<-=≥=-<=-，故A 正确；
对于B,当0x >时，()()t x P Z x =<，故B 错误；
对于C ，D ，根据正态分布的3σ准则，在正态分布中σ代表标准差，μ代表均值,
x μ=即为图象的对称轴，根据3σ原则可知X 数值分布在(),μσμσ-+中的概率为0.6826，是常数，
故由(||)()P X P X μσμσμσ-<=-<<+可知，C 正确，D 错误，故选：AC
11.已知F 是抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点，直线AB 经过点F 交抛物线于A 、B 两点，则下列说法正确的是（
）
A.以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切
B.若2AF
FB =
，则直线AB 的斜率3
k =C.弦AB 的中点M 的轨迹为一条抛物线，其方程为222y px p =-D.若4p =，则||4||AF BF +的最小值为18
【答案】AD 【解析】
【分析】A ：利用抛物线的定义求得AB 的中点M 准线的距离即可判断；B ：联立直线与抛物线，然后由条
件和根与系数的关系即可判定；C ：设(,)M x y ，结合选项AB 可得：122y y y mp +==，2
22
m p p
x =+，消去m 即可判定；D ：可得124,x x =结合基本不等式即可判定.【详解】A ：由抛物线的方程可得焦点,02p F ⎛⎫
⎪⎝⎭
，准线方程为：2p
x =-，
设()()1122,,,A x y B x y ，则AB 的中点1212,22x x y y M ++⎛⎫
⎪⎝⎭
，利用焦点弦的性质可得12||AB x x p =++，而AB 的中点M 准线的距离：
()121211
222
2x x p d x x p AB +⎛⎫=
--=++= ⎪⎝⎭，∴以AB 为直径的圆与该抛物线的准线相切，因此A 正确；
B ：设直线AB 的方程为102p x my k m =+=>，，联立222p x my y px
⎧
=+
⎪⎨⎪=⎩，
整理可得：2220y mpy p --=，易知0∆>，可得2
12122,y y mp y y p +==-，
1222AF FB y y =∴=-
，，解得212,4y mp y mp =-=，2228m p p ∴-=-，解得21
8
m =
，k ∴=
=B 不正确；C ：设(,)M x y ，结合A 、B 可得：12
2
y y y mp +=
=，()122122222
m y y x x p p x m p ++==+=+，消去m 可得：22
2p y px =-，因此C 错误；D ：若4p =，则抛物线2
:8C y x =，不妨设120x x >>，()
2
1212
464
y y x x ==
，
12224441041041018AF BF x x x x ∴+=++=
++≥⨯=，
当且仅当211,4x x ==时取等号，因此D 正确．故选：AD ．
.
【点睛】方法点睛：直线AB 与抛物线2:2(0)C y px p =>交于()()1122,,,A x y B x y 两点，与对称轴交点
(),0N n ，则21212,2x x n y y pn ==-，进而可以使用基本不等式求与()1212,0x x y y λλλ++>有关的最值
问题.
12.已知函数(),()f x g x 的定义域均为R ，且()(2)1g x f x +-+=,()(1)1f x g x -+=，若()y f x =的图象关于直线1x =对称，则以下说法正确的是（）
A.()g x 为奇函数
B.3()0
2
g -=C.x ∀∈R ，()(4)
f x f x =+ D.若()f x 的值域为[,]m M ，则
()()1
f x
g x m M +=+-【答案】BCD 【解析】
【分析】由()(2)1g x f x +-+=得(1)(1)1g x f x ++-=，与()(1)1f x g x -+=联立得
()(1)2f x f x +-=，再结合()y f x =的图象关于直线1x =对称，可得()y f x =的周期、奇偶性、对称中
心，可依次验证各选项正误.
【详解】()(2)1g x f x +-+= ，(1)(1)1g x f x ∴++-=，
()(1)1f x g x -+= ，()(1)2f x f x ∴+-=，()f x 关于1x =对称，(1)(1)f x f x ∴-=+，
()()12f x f x ∴++=，()()122f x f x ∴+++=，()(2)f x f x ∴=+，
2,T ∴=∴()(4)f x f x =+，故C 正确；
()f x 关于1x =对称，()(2)f x f x ∴=-，()()f x f x ∴=-，()f x ∴为偶函数，
()(2)1g x f x +-+= ，()()1g x f x ∴+=，()()1g x f x ∴-+-=，()()1g x f x ∴-+=，()()g x g x ∴=-，
()g x ∴为偶函数，故A 错误；
()(1)2f x f x +-= ，()f x ∴图象关于点1
,12
⎛⎫
⎪⎝
⎭
中心对称，
∴存在一对最小值点与最大值点也关于1,12⎛⎫
⎪⎝⎭
对称，2
m M ∴+=()()11g x f x m M ∴+==+-，故D 正确；
由()(1)2f x f x +-=得1()12f =，又2T =，所以3()12
f -=，由()()1
g x f x +=得33(()122g f -+-=，所以3()02
g -=，故B 正确；故选：BCD
【点睛】关键点点睛：对含有()(),f x g x 混合关系的抽象函数，要探求()(),f x g x 性质首先要消去一个函数只剩下另一下函数，消去其中一个函数的方法就是对x 进行合理的赋值，组成方程组消去一个函数，再考查剩余函数的性质.对抽象函数的周期性、奇偶性、单调性以及图象的对称性的综合应用，解决该问题应该注意的事项：
（1）赋值法使用，注意和题目条件作联系；（2）转化过程要以相关定义为目的，不断转变.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.在等比数列{}n a 中，12a =，前n 项和为n S ，若数列{1}n a +也是等比数列，则n S 等于_____.【答案】2n 【解析】
【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，根据等比数列定义及性质求得公比q ，然后根据等比数列的求和公式即得.
【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则1
2n n a q
-=,
又数列{}1n a +也是等比数列，则()()()2
12111n n n a a a +++=++，∴2
11222n n n n n n a a a a a a +++++=⋅++,∴()()(
)2
2
22n n n n n
n a q a q a a q
a
a q ⋅+⋅=⋅⋅++⋅，即22n n n a q a a q ⋅=+⋅,
∴(
)
2
120n a q q +-=,即2210q q -+=,∴1q =，2n a =,所以2n S n =.故答案为：2n .
14.已知()1n
x +的展开式中，唯有3x 的系数最大，则()1n
x +的系数和为______．
【答案】64【解析】
【分析】由题意，列出不等式组32
34
C C C C n n
n
n ⎧>⎨>⎩，可解得6n =，利用赋值法求系数和，即得解【详解】由题意知3234
C C C C n n
n n ⎧>⎨>⎩，则()()()
()()()()()
1216212123624n n n n n n n n n n n n ⎧--->⎪⎪⎨-----⎪>⎪⎩
，解得57n <<，又N n ∈，因此6n =，则令1x =，可得()6
1x +的系数和为6264=．故答案为：64
15.如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为1cm ，高为5cm ，一质点自A 点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达1A 点的最短路线的长为
___________.
【答案】【解析】
【分析】曲面最值问题一般都化曲为平，变成两点间线段最短.
【详解】
如图将正三棱柱侧面展开2次，可知曲面上的最小值即为对角线=
16.已知函数f (x )＝22(1)23(1)
x xe x x x x x ⎧--≤⎨->⎩，当x ∈(－∞，m ]时，f (x )∈1,1e ⎛
⎤-∞- ⎥⎝⎦，则实数m 的取值范围是
________.【答案】1
[1,2]2e
--【解析】
【分析】先分类讨论，求解在不同区间的最值，利用最值取得的条件对参数m 进行讨论．【详解】当1x 时，()()()
12x
f x x e =+-'，
令()0f x ¢>，则ln21x <<或1x <-；()0f x '<，则1ln2x -<<，
∴函数f(x)在()1,ln2-上单调递减，在()(),1,ln2,1-∞-单调递增，∴函数f(x)在=1x -处取得极大值为()111f e
-=-
，在ln2x =出的极小值为()()()2
ln2ln2,31f f e =-=-.当1x >时，()11231,12e 2e
f x x x =--
∴<- ，综上所述，m 的取值范围为11,22e ⎡
⎤--⎢⎥
⎣
⎦故答案为：1
[1,2]2e
--
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.
17.已知数列{}n a 满足：112,2n
n n a a a +==+.
（1）求{}n a 的通项公式；
（2）若212231
111log ,n n n n n b a T b b b b b b +==
+++ ，求n T .【答案】（1）2n n a =；（2）1
n n
T n =+.【解析】
【分析】(1)利用累加法，即可求解通项公式.（2）利用列项相消，即可求和.【详解】（1）由已知得12n
n n a a +-=，当n ≥2时，()()()
121321n
n n a a a a a a a a -=+-+-++- (
)1
21212222222
12
n n n
---=++++=+
=- 又12a =，也满足上式，故2n n a =（2）由（1）可知：211111
log ,
(1)1
n n n n b a n b b n n n n +====-++，1223111111111111223111n n n n T b b b b b b n n n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=
+++=-+-++=-= ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 故1
n n
T n =
+.18.
已知(si n a x = ，()2
c s cos ,o x b x = ，且(
)2
f x a b =⋅-
（1）求()y f x =的单调区间.
（2）在ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，当1a =，2b =，12A f ⎛⎫
=
⎪⎝⎭
，求ABC 的面积.【答案】（1）在5,1212k k ππππ⎡⎤-
++⎢⎥⎣⎦
（Z k ∈）单调递增；在12127,k k ππππ⎡⎤
++⎢⎥⎣⎦（Z k ∈）单调递减；（2）
3
2
.【解析】【分析】
【详解】（1）
(sin a x = ，()
2
cos ,cos b x x =
()2sin cos
2
f x x x x ∴=⋅+-
()
21sin 22cos 122
x x =
+-13sin 2222
x x =+sin 23x π⎛
⎫=+ ⎪
⎝
⎭令52222321212
k x k k x k πππππππππ-
+≤+≤+∴-+≤≤+所以函数()f x 在5,1212k k ππππ⎡⎤
-
++⎢⎥⎣⎦
，（Z k ∈）单调递增；
令
372222321212
k x k k x k πππππ
ππππ+≤+≤+∴+≤≤+所以函数()f x 在12127,k k ππππ⎡⎤
++⎢⎥⎣⎦
，（Z k ∈）单调递减.（2）由（1）可知()sin 23f x x π⎛⎫=+
⎪⎝
⎭
sin 12,2332A f A A k k Z
ππππ⎛⎫⎛
⎫=+=∴+=+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭a b
< ∴角A 为锐角，6
A π
∴=
由正弦定理，
sin 1sin sin 2
a b B B A B π=∴=∴=
即三角形为直角三角形，c ==
则1122
ABC
S =⨯= 19.如图，在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 是边长为2的正三角形且与底面垂直，底面ABCD 是菱形，且60ABC ∠=︒，M 为棱PC 上的动点，且
[]()0,1PM
PC
λλ=∈．
（1）求证：PBC 为直角三角形；
（2）试确定λ的值，使得平面PAD 与平面ADM 25
．【答案】（1）证明见解析（2）13
λ=【解析】
【分析】（1）取AD 的中点O ，连接,,OP OC AC ，由已知可证明出AD ⊥平面POC ，进而可以证明
BC PC ⊥，即PBC 为直角三角形；
（2）先证明,,OC PO AD 两两垂直，以O 为原点，建立空间直角坐标系O xyz -，写出点的坐标，求出平面的法向量，利用二面角的向量公式列方程，求出λ的值.【小问1详解】
证明：取AD 的中点O ，连接,,OP OC AC ，依题意可知PAD ，ACD 均为正三角形，所以OC AD ⊥，
OP AD ⊥，又因为OC OP O = ，OC ⊂平面POC ，OP ⊂平面POC ，所以AD ⊥平面POC ，
又因为PC ⊂平面POC ，所以AD PC ⊥，因为BC AD ∥，所以BC PC ⊥，即90PCB ∠=︒，从而PBC 为直角三角形．
【小问2详解】
由（1）可知OP AD ⊥，又因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =，PO ⊂平面
PAD ，所以PO ⊥平面ABCD ，又因为OC ⊂平面ABCD ，所以OC PO ⊥，所以,,OC PO AD 两两垂
直．
以O 为原点，建立空间直角坐标系O xyz -，如图所示，
则()0,0,0O
，(3P ，()0,1,0A -，()0,1,0D ，)3,0,0C ，所以3,0,3PC =
．
由)3,0,3PM PC λλλ== ，可得点M 的坐标为
)
333λλ，
所以)333AM λλ=
，)
3,33DM λλ=
-
，设平面ADM 的法向量为(),,n x y z =
，
则·0·0n AM n DM ⎧=⎨=⎩ ，即))33303330
x y z x y z λλλλ++=-+
-
=令z λ=，得1x λ=-，0y =，则()1,0,n λλ=-
为平面ADM 的一个法向量，显然平面PAD 的一个法向量为)
3,0,0OC =
，
令()
()2
23125
cos ,5
13
n OC n OC n OC
λλλ-<>===
-+⨯
，解得1
3λ=
或1λ=-（舍去），所以当13
λ=时，平面PAD 与平面ADM 25
．
20.为进一步激发青少年学习中华优秀传统文化的热情，某校举办了“我爱古诗词”对抗赛，在每轮对抗赛中，高二年级胜高三年级的概率为
25，高一年级胜高三年级的概率为1
3
，且每轮对抗赛的成绩互不影响．（1）若高二年级与高三年级进行4轮对抗赛，求高三年级在对抗赛中至少有3轮胜出的概率；
（2）若高一年级与高三年级进行对抗，高一年级胜2轮就停止，否则开始新一轮对抗，但对抗不超过5轮，求对抗赛轮数X 的分布列与数学期望．【答案】（1）
297
625
（2）分布列见解析；期望为389
【解析】
【分析】（1）先求得高三年级胜高二年级的概率，再根据相互独立事件的概率计算公式求解即可；（2）先确定出X 的所有可能取值，分别求出相应概率，从而列出分布列，求得数学期望．
【小问1详解】
由题意，知高三年级胜高二年级的概率为
35
．设高三年级在4轮对抗赛中有x 轮胜出，“至少有3轮胜出”的概率为P ，则
()()3
4
3
4
32329734C 555625P P x P x ⎛⎫⎛⎫==+==⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
．【小问2详解】
由题意可知2X =，3，4，5，
则()2
11239
P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()12
1114
3C 133327P X ⎛⎫==⨯⨯-⨯= ⎪⎝⎭，()2
13
1114
4C 133327
P X ⎛⎫==⨯⨯-⨯=
⎪⎝⎭，()34
14111165C 11133327P X ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-⨯+-=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
故X 的分布列为X 2
3
4
5
P
19427427
16
27
()1441638
234592727279
E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．
21.已知直线:10l ax y -+=与圆22:6440C x y x y +-++=交于A ，B 两点，过点()5,1Q -的直线m 与圆C 交于M ，N 两点.
()1若直线m 垂直平分弦AB ，求实数a 的值；
()2已知点()6,2S --，在直线SC 上（C 为圆心）
，存在定点T （异于点S ），满足：对于圆C 上任一点P ，都有
PS PT
为同一常数，试求所有满足条件的点T 的坐标及该常数.
【答案】()12a =-；()2在直线SC 上存在定点()2,2T -使得
||
||
PS PT 为常数3.
【解析】
【分析】()1化简圆的方程为标准方程，求出圆的半径，转化求解实数a 的值；
()2设直线SC 上的点(),2T t -，取直线SC 与圆C 的交点()10,2P -，则
11
6
PS PT t
=
，取直线SC 与圆C 的交点()26,2P -，则2212
6
P S P T
t =
-，然后求解存在这样的定点()2,2T -，进而求证结论.
【详解】解：()1依题意，圆C 方程变形为()()2
2
329x y -++=，圆心()3,2C -，半径3
r =又直线l 的方程即为1
y ax =+因为m 垂直平分弦AB ，∴圆心()3,2C -必在直线m 上
∴m 过点()5,1Q -和()3,2C -，斜率1
2
m k =
，∴2l k a ==-()2设直线SC 上的点(),2T t -取直线SC 与圆C 的交点()10,2P -，则
11
6
PS PT t
=取直线SC 与圆C 的交点()26,2P -，则
2212
6
P S P T
t =
-.令612
6t t =-，解得2t =或6t =-（舍去，与S 重合），此时3PS PT
=若存在这样的定点T 满足题意，则必为()
2,2T -下证：点()2,2T -满足题意.设圆上任意一点(),P x y ，则()()
2
2
293y x +=--∴
()()()()
()()()()
()222
22
2
22
2262693924183692424
22293PS x y x x x x x x x y x x PT +++++--++====++-++-+--∴
3
PS PT
=综上可知，在直线SC 上存在定点()2,2T -使得
PS PT
为常数3.
【点睛】本题考查直线与圆的方程的综合应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题.22.设函数()()e 24,x
f x a x ab a b =+++∈R ．
（1）求函数()f x 的单调区间；
（2）若函数()y f x ab =-有两个不同的零点1x ，()212x x x <，()f x '为()f x 的导函数，求证：
()
()
121f x f x '>-'．
【答案】（1）当0a ≥时，()f x 的单调递增区间为R ，无单调递减区间；当a<0时，()f x 的单调递增区间为2,ln a ⎛⎫
⎛⎫-∞-
⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，单调递减区间为2ln ,a ⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
（2）证明见解析【解析】
【分析】（1）求导，对参数a 分类，讨论()f x '的正负，研究函数的单调性；（2）由已知a<0，且12
122e
2x x x u x -+=
=+，则()0,1u ∈，进而得到()122112ln 11u u x x u u u -⎡
⎤+++=-⎢-+⎣⎦
，构造函数判断函数的单调性知1220x x ++>，进而得到()()120f x f x ''+<，再判断()20f x '<，即可证得结论.【小问1详解】
由题可得，()e 2x
f x a '=+，
当0a ≥时，()0f x ¢>，函数()f x 的单调递增区间为R ，无单调递减区间；
当a<0时，令()0f x ¢>，得2ln x a ⎛⎫<- ⎪⎝⎭
，令()0f x '<，得2ln x a ⎛⎫
>- ⎪⎝⎭
，所以函数()f x 的单调递增区间
为2,ln a ⎛⎫
⎛⎫-∞-
⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，单调递减区间为2ln ,a ⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
．
综上，当0a ≥时，()f x 的单调递增区间为R ，无单调递减区间；当a<0时，()f x 的单调递增区间为
2,ln a ⎛⎫
⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，单调递减区间为2ln ,a ⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
．【小问2详解】
因为函数()y f x ab =-有两个不同的零点1x ，()212x x x <，
所以a<0，且11e 240x a x ++=，22e 240x a x ++=，消去a ，得1
2
122
e
2
x x x x -+=
+．
设12122e 2x x x u x -+==+，则()0,1u ∈，1ln 21u u x u +=-，2ln 21
u x u +=-，所以()()121ln 21122ln 111u u u u x x u u u u +-⎡⎤
+++=-=-⎢--+⎣⎦
．设()()
21ln 1u h u u u -=-+，()0,1u ∈，则()()()()222114011u h u u u u u -'=-=>++，所以()h u 在()0,1上单调递增，所以()0h u <，故()122112ln 011u u x x u u u -⎡⎤+++=
->⎢-+⎣⎦，所以()()()121212e 2e 2220x x f x f x a a x x ''+=+++=-++<，所以()()12f x f x ''<-．
又()()222ln ln 122121211x u u u f x ae x u u -+⎛⎫'=+=-+=--=-⋅ ⎪--⎝⎭
，设()ln 1p u u u =-+，()0,1u ∈，则()110p u u
'=->，所以()p u 在()0,1上单调递增，所以()0p u <，故()20f x '<，所以
()()121f x f x '>-'．【点睛】方法点睛：本题考查研究函数的单调性及构造函数证明不等式，解含参数的不等式，通常需要从几个方面分类讨论：
（1）看函数最高次项系数是否为0，需分类讨论；
（2）若最高次项系数不为0，通常是二次函数，若二次函数开口定时，需根据判别式讨论无根或两根相等的情况；。