北京市海淀区北京一零一中学2022-2023学年八年级上学期期中考试数学试题(含答案)

北京市海淀区北京一零一中学2022-2023学年八年级上学期
期中考试数学试题
一、选择题：本大题共10小题，每题3分，共30分。

1．（3分）下面四个图形是我校校训“百尺竿头，更进一步”中某个字的小篆体，其中是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）在Rt△ABC中，已知∠ACB是直角，∠B＝55°，则∠A的度数是（ ）A．55°B．45°C．35°D．25°
3．（3分）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A．3，4，7B．6，7，12C．6，7，14D．3，4，8
4．（3分）如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（ ）
A．ASA B．SAS C．AAS D．SSS
5．（3分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（3，﹣1），则点A关于x轴的对称点的坐标是（ ）
A．（3，1）B．（﹣3，1）C．（﹣3，﹣1）D．（﹣1，3）6．（3分）如图，△ABC≌△ADE，如果∠B＝80°，∠C＝30°，∠DAC＝25°，那么∠EAC 的度数为（ ）
A．40°B．35°C．45°D．25°
7．（3分）等腰三角形的一个角是80°，它的底角的大小为（ ）
A．80°B．20°C．80°或20°D．80°或50°
8．（3分）如图，BE＝CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF，则还需要添加一个条件是（ ）
A．AE＝DF B．∠A＝∠D C．∠B＝∠C D．AB＝DC
9．（3分）如图，等边△ABC的边长为8，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E 是AC边上一点，若AE＝4，则当EF+CF取得最小值时，∠ECF的度数为（ ）
A．22.5°B．30°C．45°D．15°
10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，过C点作CG⊥AB于点G，交AD于点E，过D点作DF⊥AB于点F．下列结论中正确的个数是（ ）
①∠CED＝∠CDE；
②S△AEC：S△AEG＝AC：AG；
③∠ADF＝2∠FDB；
④CE＝DF．
A．1B．2C．3D．4
二、填空题：本大题共8小题，每题3分，共24分，
11．（3分）若一个多边形的边数是7，则该多边形的内角和是 度．
12．（3分）如图，点D在△ABC的边BC的延长线上，若∠B＝45°，∠ACD＝150°，则∠A 的大小为 ．
13．（3分）如图，△ABC中，D、E分别是BC，AD的中点，△ABC的面积是20，则阴影部分的面积是 ．
14．（3分）如图，AD⊥BC，BD＝CD，点C在AE的垂直平分线上，若AB＝5，BD＝3，则BE的长为 ．
15．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝60°，点D为AB边的中点，DE⊥BC于E，若BE＝1，则AC的长为 ．
16．（3分）如图，∠ACB＝90°，AC＝BC．AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是点D、E，AD ＝3，BE＝1，则DE的长是 ．
17．（3分）如图，已知等边△ABC中，BD＝CE，AD与BE相交于点P，则∠APE的度数是 °．
18．（3分）如果一条线段将一个三角形分割成2个小等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“好线”；如果两条线段将一个三角形分割成3个小等腰三角形，我们把这两
条线段叫做这个三角形的“好好线”．
（1）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC边上，且AD＝BD＝BC，则∠A＝ 度；
（2）在△ABC中，∠B＝27°，AD和DE是△ABC的“好好线”，点D在BC边上，点
E在AC边上，且AD＝BD，DE＝CE，则∠C的度数为 ．
三、解答题：本大题共7小题，第19题5分，第21、22题每题6分，第20、23、24题每
题7分，第25题8分，共46分。

19．（5分）如图，已知AB＝BC，∠BCD＝∠ABD，点E在BD上，BE＝CD．求证：AE＝BD．
20．（7分）如图，在平面直角坐标系中，A（1，2）、B（3，1）、C（﹣2，﹣1）（1）在图中作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）写出A1、B1、C1的坐标；
（3）求△A1B1C1的面积．
21．（6分）下面是小东设计的尺规作图过程．
已知：如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，
求作：点D，使点D在BC边上，且到AB和AC的距离相等．
作法：①如图，以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB，AC于点M、N；
②分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P；
③画射线AP，交BC于点D．
所以点D即为所求．
根据小东设计的尺规作图过程：
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：过点D作DE⊥AC于点E，连接MP，NP．
在△AMP与△ANP中，
∵AM＝AN，MP＝NP，AP＝AP，
∴△AMP≌△ANP（SSS）．
∴∠ ＝∠ ．
∵∠ABC＝90°，
∴DB⊥AB．
又∵DE⊥AC，
∴DB＝DE（ ）（填推理的依据）
22．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，连接AD，BE平分∠ABC 交AC于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F．
（1）若∠C＝36°，求∠BAD的度数；
（2）求证：FB＝FE．
23．（7分）我们规定在网格内的某点进行一定条件操作到达目标点：H代表所有的水平移动，H1代表向右水平移动1个单位长度，H﹣1代表向左平移1个单位长度；S代表上下移动，S1代表向上移动1个单位长度，S﹣1代表向下移动1个单位长度，P（H_→S_）表示点P在网格内先一次性水平移动，在此基础上再一次性上下移动；
（1）如图1，在网格中标出A（H2→S4）移动后所到达的目标点A'；
（2）如图2，在网格中的点B到达目标点A，写出点B的移动方法 ；
（3）如图3，在网格内有格点线段（即端点在格点上的线段）AC，现需要由点A出发，到达目标点D，使得A、C、D三点构成的格点三角形（即顶点在格点上的三角形）是等腰直角三角形，在图中标出所有符合条件的点D的位置并写出点A的移动方法．
24．（7分）在等边△ABC外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为D，连结BD，CD，其中CD交直线AP于点E．
（1）如图1，若∠PAB＝30°，则∠ACE＝ ；
（2）如图2，若60°＜∠PAB＜90°，请补全图形，判断由线段AB，CE，ED可以构成一个含有多少度角的三角形，并说明理由．
25．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，经过点M（0，m）并且平行于x轴的直线可以记作直线y＝m．我们给出如下的定义：点P（x，y）先关于x轴对称得到点P1，再将点P1关于直线y＝m对称得点P'，则称点P'为点P关于x轴和直线y＝m的二次反射点．
（1）点A（2，4）关于x轴和直线y＝2的二次反射点A'的坐标是 ；
（2）若点B（5，﹣2）关于x轴和直线y＝m的二次反射点B的坐标是（5，6），那么m ＝ ；
（3）若点C的坐标是（0，m），其中m＞0，点C关于x轴和直线y＝m的二次反射点是C'，求线段CC'的长（用含m的式子表示）；
（4）已知一个三角形的三个顶点坐标分别为（0，0）、（3，0）、（2，2），如果点P（2，1），Q（2，2）关于x轴和直线y＝m的二次反射点分别为P'，Q'，且线段P'Q'与三角形的边没有公共点，直接写出m的取值范围．
北京市海淀区北京一零一中学2022-2023学年八年级上学期
期中考试数学试题
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每题3分，共30分。

1．（3分）下面四个图形是我校校训“百尺竿头，更进一步”中某个字的小篆体，其中是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据轴对称图形的定义分别判断得出答案．
【解答】解：A．是轴对称图形，故此选项符合题意；
B．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．不是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：A．
【点评】本题主要考查轴对称图形的定义，熟练掌握轴对称图形的定义是解决本题的关键．
2．（3分）在Rt△ABC中，已知∠ACB是直角，∠B＝55°，则∠A的度数是（ ）A．55°B．45°C．35°D．25°
【分析】根据直角三角形的两锐角互余求出即可．
【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，
∴∠B+∠A＝90°，
∵∠B＝55°，
∴∠A＝35°，
故选：C．
【点评】此题考查了直角三角形的性质，熟记“直角三角形的两锐角互余”是解题的关键．
3．（3分）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A．3，4，7B．6，7，12C．6，7，14D．3，4，8
【分析】根据三角形的三边关系判断即可．
【解答】解：A、∵3+4＝7，∴不能组成三角形，本选项不符合题意；
B、∵6+7＞12，∴能组成三角形，本选项符合题意；
C、∵6+7＜14，∴不能组成三角形，本选项不符合题意；
D、∵3+4＜8，∴不能组成三角形，本选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查的是三角形的三边关系，熟记三角形两边之和大于第三边、三角形的两边差小于第三边是解题的关键．
4．（3分）如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（ ）
A．ASA B．SAS C．AAS D．SSS
【分析】全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，根据定理得出即可．
【解答】解：画一个三角形A′B′C′，使∠A′＝∠A，A′B′＝AB，∠B′＝∠B，
符合全等三角形的判定定理ASA，
故选：A．
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，直角三角形全等还有HL 定理．
5．（3分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（3，﹣1），则点A关于x轴的对称点的坐标是（ ）
A．（3，1）B．（﹣3，1）C．（﹣3，﹣1）D．（﹣1，3）
【分析】根据关于x轴对称的两个点的坐标的特征进行判断即可．
【解答】解：∵关于x轴对称的两个点，其横坐标不变，纵坐标互为相反数，
∴点A（3，﹣1）关于x轴的对称点的坐标是（3，1），
故选：A．
【点评】本题考查关于x轴对称的点的坐标，掌握“关于x轴对称的两个点，其横坐标不变，纵坐标互为相反数”是正确解答的关键．
6．（3分）如图，△ABC≌△ADE，如果∠B＝80°，∠C＝30°，∠DAC＝25°，那么∠EAC 的度数为（ ）
A．40°B．35°C．45°D．25°
【分析】根据三角形的内角和定理列式求出∠BAC，再根据全等三角形对应角相等可得∠DAE＝∠BAC，然后根据∠EAC＝∠DAE﹣∠DAC代入数据进行计算即可得解．
【解答】解：∵∠B＝80°，∠C＝30°，
∴∠BAC＝180°﹣80°﹣30°＝70°．
∵△ABC≌△ADE，
∴∠DAE＝∠BAC＝70°．
∴∠EAC＝∠DAE﹣∠DAC＝70°﹣25°＝45°．
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和三角形内角和定理的应用，注意：全等三角形的对应角相等，对应边相等．
7．（3分）等腰三角形的一个角是80°，它的底角的大小为（ ）
A．80°B．20°C．80°或20°D．80°或50°【分析】因为题中没有指明该角是顶角还是底角，则应该分两种情况进行分析．
【解答】解：①当顶角是80°时，它的底角＝（180°﹣80°）＝50°；
②底角是80°．
所以底角是50°或80°．
故选：D．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；若题目中没有明确顶角或
底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．8．（3分）如图，BE＝CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF，则还需要添加一个条件是（ ）
A．AE＝DF B．∠A＝∠D C．∠B＝∠C D．AB＝DC
【分析】根据垂直定义求出∠CFD＝∠AEB＝90°，再根据全等三角形的判定定理推出即可．
【解答】解：条件是AB＝CD，
理由是：∵AE⊥BC，DF⊥BC，
∴∠CFD＝∠AEB＝90°，
在Rt△ABE和Rt△DCF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△DCF（HL），
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，能灵活运用全等三角形的判定定理进行推理是解此题的关键．
9．（3分）如图，等边△ABC的边长为8，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E 是AC边上一点，若AE＝4，则当EF+CF取得最小值时，∠ECF的度数为（ ）
A．22.5°B．30°C．45°D．15°
【分析】过E作EM∥BC，交AD于N，连接CM交AD于F，连接EF，推出M为AB 中点，求出E和M关于AD对称，根据等边三角形性质求出∠ACM，即可求出答案．【解答】解：过E作EM∥BC，交AD于N，
∵AC＝8，AE＝4，
∴EC＝4＝AE，
∴AM＝BM＝4，
∴AM＝AE，
∵AD是BC边上的中线，△ABC是等边三角形，
∴AD⊥BC，
∵EM∥BC，
∴AD⊥EM，
∵AM＝AE，
∴E和M关于AD对称，
连接CM交AD于F，连接EF，
则此时EF+CF的值最小，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，AC＝BC，
∵AM＝BM，
∴∠ECF＝∠ACB＝30°．
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线分线段成比例定理等知识点的应用．
10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，过C点作CG⊥AB于点G，交AD于点E，过D点作DF⊥AB于点F．下列结论中正确的个数是（ ）
①∠CED＝∠CDE；
②S△AEC：S△AEG＝AC：AG；
③∠ADF＝2∠FDB；
④CE＝DF．
A．1B．2C．3D．4
【分析】由∠ACB＝90°，CG⊥AB得∠ACE＝∠B，再由三角形外角的性质得∠CED＝∠CDE，得CE＝CD；根据角平分线的性质，得CD＝DF，根据等高的两个三角形面积之比等于底边之比得出S△AEC：S△AEG＝AC：AG；等量代换得CE＝DF，从而得出答案．【解答】解：∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠BAD，
∵∠C＝90°，∠CGA＝90°，
∴∠CDE＝90°﹣∠CAD，∠AEG＝90°﹣∠BAD，
∴∠AEG＝∠CDE，
∴∠CED＝∠CDE，故①正确；
如图，过点E作EH⊥AC于点H，则EH＝EG，
∴S△AEC＝AC•EH＝AC•EG，
∵S△AEG＝AG•EG，
∴S△AEC：S△AEG＝AC：AG，故②正确；
无法证明∠ADF＝2∠FDB；
∵∠CED＝∠CDE，
∴CE＝CD，
∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DF⊥AB，
∴CD＝DF，
∴CE＝DF，故④正确，
故选：C．
【点评】此题主要考查角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了直角三角形的性质和三角形的面积．
二、填空题：本大题共8小题，每题3分，共24分，
11．（3分）若一个多边形的边数是7，则该多边形的内角和是　900　度．【分析】由多边形的内角和定理，即可计算．
【解答】解：∵（7﹣2）×180°＝900°，
∴该多边形的内角和是900°，
故答案为：900．
【点评】本题考查多边形的内角和定理，关键是掌握：多边形内角和定理：（n﹣2）•180°（n≥3且n为整数）．
12．（3分）如图，点D在△ABC的边BC的延长线上，若∠B＝45°，∠ACD＝150°，则∠A的大小为　105°　．
【分析】根据三角形外角的性质求解即可．
【解答】解：∵∠ACD＝∠A+∠B，
又∵∠B＝45°，∠ACD＝150°，
∴∠A＝150°﹣45°＝105°，
故答案为：105°．
【点评】本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键．13．（3分）如图，△ABC中，D、E分别是BC，AD的中点，△ABC的面积是20，则阴影部分的面积是　5　．
【分析】根据三角形的中线将三角形面积分为相等的两部分可知，S△ABC＝2S△ADC，S△ADC＝2S△AEC，根据△ABC的面积是20解答即可．
【解答】解：∵△ABC中，D、E分别是BC，AD的中点，
∴AD是△ABC的中线，CE是△ADC的中线，
∴S△ABC＝2S△ADC，S△ADC＝2S△AEC，
∴S△ABC＝4S△AEC，
∵△ABC的面积是20，
∴△AEC的面积为5，
即阴影部分的面积是5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了三角形的面积和中线的性质：三角形的中线将三角形分为相等的两部分，知道中线将三角形面积分为相等的两部分是解题的关键．
14．（3分）如图，AD⊥BC，BD＝CD，点C在AE的垂直平分线上，若AB＝5，BD＝3，则BE的长为　8　．
【分析】由AD⊥BC，BD＝DC知，点C在AE的垂直平分线上，由垂直平分线的性质得AB＝AC＝CE，即可得到结论．
【解答】解：∵AD⊥BC，BD＝CD，
∴AB＝AC，
∵点C在AE的垂直平分线上，
∴AC＝EC，
∴AB＝AC＝CE＝5，
∵BD＝CD＝3，
∴DE＝CD+CE＝3+5＝8，
故答案为：8．
【点评】本题主要考查线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解答此题的关键．
15．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝60°，点D为AB边的中点，DE⊥BC于E，若BE＝1，则AC的长为　4　．
【分析】根据直角三角形的性质得到BD＝2BE＝2，求出AB，根据等边三角形的判定定理和性质定理解答即可．
【解答】解：∵DE⊥BC，∠B＝∠C＝60°，
∴∠BDE＝30°，
∴BD＝2BE＝2，
∵点D为AB边的中点，
∴AB＝2BD＝4，
∵∠B＝∠C＝60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴AC＝AB＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查的是直角三角形的性质、等边三角形的性质，掌握在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．
16．（3分）如图，∠ACB＝90°，AC＝BC．AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是点D、E，AD ＝3，BE＝1，则DE的长是　2　．
【分析】根据条件可以得出∠E＝∠ADC＝90°，进而得出△CEB≌△ADC，就可以得出BE＝DC，就可以求出DE的值．
【解答】解：∵BE⊥CE，AD⊥CE，
∴∠E＝∠ADC＝90°，
∴∠EBC+∠BCE＝90°．
∵∠BCE+∠ACD＝90°，
∴∠EBC＝∠DCA．
在△CEB和△ADC中，
，
∴△CEB≌△ADC（AAS），
∴BE＝DC＝1，CE＝AD＝3．
∴DE＝EC﹣CD＝3﹣1＝2
故选答案为2．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键，学会正确寻找全等三角形，属于中考常考题型．
17．（3分）如图，已知等边△ABC中，BD＝CE，AD与BE相交于点P，则∠APE的度数是　60　°．
【分析】通过证△ABD≌△BCE得∠BAD＝∠CBE；运用外角的性质求解．
【解答】证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠ABD＝∠C＝60°，
在△ABD和△BCE中，
∵，
∴△ABD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE．
∴∠BAD＝∠CBE，
∴∠APE＝∠BAD+∠ABP＝∠ABP+∠PBD＝∠ABD＝60°．
故答案是：60．
【点评】本题考查了等边三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，三角形外角与内角的关系的运用，解答时证明三角形全等是关键．
18．（3分）如果一条线段将一个三角形分割成2个小等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“好线”；如果两条线段将一个三角形分割成3个小等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的“好好线”．
（1）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC边上，且AD＝BD＝BC，则∠A＝　36　度；
（2）在△ABC中，∠B＝27°，AD和DE是△ABC的“好好线”，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD＝BD，DE＝CE，则∠C的度数为　18°或42°　．
【分析】（1）利用等边对等角得到三对角相等，设∠A＝∠ABD＝x，表示出∠BDC与∠C，列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可确定出∠A的度数．
（2）设∠C＝x．①当AD＝AE时，利用三角形外角的性质得到2x+x＝27+27，解得x＝18°；②当AD＝DE时，利用三角形内角和定理得到27°+27°+2x+x＝180°，解得x＝42°．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∵BD＝BC＝AD，
∴∠A＝∠ABD，∠C＝∠BDC，
设∠A＝∠ABD＝x，则∠BDC＝2x，∠C＝，
可得2x＝，
解得：x＝36°，
则∠A＝36°；
故答案为：36；
（2）设∠C＝x．
①当AD＝AE时，
∵2x+x＝27°+27°，
∴x＝18°．
②当AD＝DE时，
∵27°+27°+2x+x＝180°，
∴x＝42°．
所以∠C的度数是18°或42°．
故答案为：18°或42°．
【点评】此题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质以及三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解本题的关键．
三、解答题：本大题共7小题，第19题5分，第21、22题每题6分，第20、23、24题每题7分，第25题8分，共46分。

19．（5分）如图，已知AB＝BC，∠BCD＝∠ABD，点E在BD上，BE＝CD．求证：AE＝BD．
【分析】根据题目中的条件和全等三角形判定的方法，可以写出△ABE≌△BCD成立的条件，然后即可得到AE＝BD．
【解答】证明：∵∠BCD＝∠ABD，
∴∠BCD＝∠ABE，
在△ABE和△BCD中，
，
∴△ABE≌△BCD（SAS），
∴AE＝BD．
【点评】本题考查全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
20．（7分）如图，在平面直角坐标系中，A（1，2）、B（3，1）、C（﹣2，﹣1）（1）在图中作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）写出A1、B1、C1的坐标；
（3）求△A1B1C1的面积．
【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C关于y轴的对称点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；
（2）根据平面直角坐标系写出各点的坐标即可；
（3）利用三角形所在的矩形的面积减去四周三个小直角三角形的面积，列式计算即可得解．
【解答】解：（1）△A1B1C1如图所示；
（2）A1（﹣1，2）B1（﹣3，1）C1（2，﹣1）；
（3）△A1B1C1的面积＝5×3﹣×1×2﹣×2×5﹣×3×3，
＝15﹣1﹣5﹣4.5，
＝15﹣10.5，
＝4.5．
【点评】本题考查了利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．
21．（6分）下面是小东设计的尺规作图过程．
已知：如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，
求作：点D，使点D在BC边上，且到AB和AC的距离相等．
作法：①如图，以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB，AC于点M、N；
②分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P；
③画射线AP，交BC于点D．
所以点D即为所求．
根据小东设计的尺规作图过程：
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：过点D作DE⊥AC于点E，连接MP，NP．
在△AMP与△ANP中，
∵AM＝AN，MP＝NP，AP＝AP，
∴△AMP≌△ANP（SSS）．
∴∠　PAM　＝∠　PAN　．
∵∠ABC＝90°，
∴DB⊥AB．
又∵DE⊥AC，
∴DB＝DE（　角平分线上的点到角的两边的距离相等　）（填推理的依据）
【分析】（1）根据作图过程即可补全图形；
（2）根据全等三角形的性质和角平分线的性质即可完成证明．
【解答】解：（1）如图，即为补全的图形；
（2）证明：过点D作DE⊥AC于点E，连接MP，NP．
在△AMP与△ANP中，
∵AM＝AN，MP＝NP，AP＝AP，
∴△AMP≌△ANP（SSS）．
∴∠PAM＝∠PAN．
∵∠ABC＝90°，
∴DB⊥AB．
又∵DE⊥AC，
∴DB＝DE（角平分线上的点到角的两边的距离相等）．
故答案为：PAM，PAN，角平分线上的点到角的两边的距离相等．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，解决本题的关键是掌握角平分线的作法．
22．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，连接AD，BE平分∠ABC 交AC于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F．
（1）若∠C＝36°，求∠BAD的度数；
（2）求证：FB＝FE．
【分析】（1）利用等腰三角形的三线合一的性质证明∠ADB＝90°，再利用等腰三角形的性质求出∠ABC即可解决问题．
（2）只要证明∠FBE＝∠FEB即可解决问题．
【解答】（1）解：∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC，
∵∠C＝36°，
∴∠ABC＝36°，
∵BD＝CD，AB＝AC，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣36°＝54°．
（2）证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE＝∠ABC，
∵EF∥BC，
∴∠FEB＝∠CBE，
∴∠FBE＝∠FEB，
∴FB＝FE．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
23．（7分）我们规定在网格内的某点进行一定条件操作到达目标点：H代表所有的水平移动，H1代表向右水平移动1个单位长度，H﹣1代表向左平移1个单位长度；S代表上下移动，S1代表向上移动1个单位长度，S﹣1代表向下移动1个单位长度，P（H_→S_）表示点P在网格内先一次性水平移动，在此基础上再一次性上下移动；
（1）如图1，在网格中标出A（H2→S4）移动后所到达的目标点A'；
（2）如图2，在网格中的点B到达目标点A，写出点B的移动方法　B（H﹣3→S﹣2）或B（S﹣2→H﹣3）　；
（3）如图3，在网格内有格点线段（即端点在格点上的线段）AC，现需要由点A出发，到达目标点D，使得A、C、D三点构成的格点三角形（即顶点在格点上的三角形）是等腰直角三角形，在图中标出所有符合条件的点D的位置并写出点A的移动方法．
【分析】（1）点A向右平移2个单位，再向上平移4个单位得到A'；
（2）点B向下平移2个单位，再向左平移3个单位得到A或向左平移3个单位，再向下平移2个单位得到A；
（3）有5种情况，满足A、C、D三点构成的格点三角形是等腰直角三角形，写出从点A
出发到点D的移动方法即可．
【解答】解：（1）如图1所示：
（2）B（H﹣3→S﹣2）或B（S﹣2→H﹣3）；
故答案为：B（H﹣3→S﹣2）或B（S﹣2→H﹣3）；
（3）如图3，符合条件的点D有5个，
A（H﹣2→S4）、A（H﹣1→S2）、A（H2→S1）、A（H3→S﹣1）、A（H4→S2）．
【点评】本题是三角形综合题，考查全等三角形的性质，理解新定义，熟知平移的符号表示是解答此题的关键．
24．（7分）在等边△ABC外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为D，连结BD，CD，其中CD交直线AP于点E．
（1）如图1，若∠PAB＝30°，则∠ACE＝　30°　；
（2）如图2，若60°＜∠PAB＜90°，请补全图形，判断由线段AB，CE，ED可以构成一个含有多少度角的三角形，并说明理由．
【分析】（1）根据题意作出图形，根据题意可得∠DAP＝∠BAP＝30°，然后根据AB＝AC，∠BAC＝60°，得出AD＝AC，∠DAC＝120°，最后根据三角形的内角和公式求解；（2）由线段AB，CE，ED可以构成一个含有60度角的三角形，连接AD，EB，根据对称可得∠EDA＝∠EBA，然后证得AD＝AC，最后即可得出∠BAC＝∠BEC＝60°．
【解答】解：（1）如图1中，连接AD．
∵AB，AD关于AP对称，
∴∠BAP＝∠DAP＝30°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠CAB＝60°，
∴∠CAD＝120°，
∵AD＝AB＝AC，
∴∠ACE＝∠ADC＝（180°﹣120°）＝30°．
故答案为：30°；
（2）图形如图所示，线段AB，CE，ED可以构成一个含有60°角的三角形．
理由：连接AD，EB，如图2．
∵点D与点B关于直线AP对称，
∴AD＝AB，DE＝BE，
∴∠EDA＝∠EBA，
∵AB＝AC，AB＝AD，
∴AD＝AC，
∴∠ADE＝∠ACE，
∴∠ABE＝∠ACE．
设AC，BE交于点F，
又∵∠AFB＝∠CFE，
∴∠BAC＝∠BEC＝60°，
∴线段AB，CE，ED可以构成一个含有60°角的三角形．
【点评】本题考查了根据轴对称变换作图以及等腰三角形的性质，解答本题的关键是根据轴对称的性质作出对应点的位置以及掌握等腰三角形的性质．
25．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，经过点M（0，m）并且平行于x轴的直线可以记作直线y＝m．我们给出如下的定义：点P（x，y）先关于x轴对称得到点P1，再将点P1关于直线y＝m对称得点P'，则称点P'为点P关于x轴和直线y＝m的二次反射点．
（1）点A（2，4）关于x轴和直线y＝2的二次反射点A'的坐标是　（2，8）　；
（2）若点B（5，﹣2）关于x轴和直线y＝m的二次反射点B的坐标是（5，6），那么m ＝　4　；
（3）若点C的坐标是（0，m），其中m＞0，点C关于x轴和直线y＝m的二次反射点是C'，求线段CC'的长（用含m的式子表示）；
（4）已知一个三角形的三个顶点坐标分别为（0，0）、（3，0）、（2，2），如果点P（2，1），Q（2，2）关于x轴和直线y＝m的二次反射点分别为P'，Q'，且线段P'Q'与三角形的边没有公共点，直接写出m的取值范围．
【分析】（1）根据二次反射点的定义直接得出答案；
（2）根据二次反射点的定义得出B′（5，2m﹣2），则2m﹣2＝6，由此可得m的值；（3）根据二次反射点的定义得出C′（0，m），则可得出答案；
（4）根据二次反射点的定义得出P'（1，2m+1），Q'（1，2m+2），由题意分两种情况列出不等式组，解不等式组可得出答案．
【解答】解：（1）∵点A（2，4），
∴点A关于x轴对称得到点A1（2，﹣4），
∴点A1关于直线y＝2对称得到点A'（2，8）．
故答案为：（2，8）；
（2）∵点B（5，﹣2），
∴点B关于x轴对称得到点B1（5，2），
∴点B1关于直线y＝m对称得到点B'（5，2m﹣2），
∴2m﹣2＝6，解得m＝4，
故答案为：4；
（3）∵点C的坐标是（0，m），
∴点C关于x轴对称得到点C1（0，﹣m），
∴点C1关于直线y＝m对称得到点C'（0，2m+m），即C'（0，m），
∴CC′＝m﹣m＝3m；
（4）由题意可知，点P（2，1），Q（2，2）关于x轴和直线y＝m的二次反射点分别为P'（1，2m+1），Q'（1，2m+2），
∴P′Q′∥y轴，P′Q′＝1，且2m+2＞2m+1，
∴线段P'Q'与正方形的边没有公共点，有三种情况：
①2m+1＞2，解得m＞；
②，解得﹣＜m＜0；
③2m+2＜0，解得m＜﹣1．
综上，若线段P'Q'与正方形的边没有公共点，则m的取值范围m＞或﹣＜m＜0或m ＜﹣1．
【点评】本题考查了平面直角坐标系中坐标与图形变化，考查了正方形的性质，轴对称性质，新定义二次反射点的理解和运用，解题关键是对新定义二次反射点的正确理解．。