函数的概念和图像

第二章函数概念与基本初等函数I
2．1 函数的概念和图像
2.1.1函数的概念和图像
一、基本知识
1、函数的定义
（1）如何理解函数符合“y=f(x)”中的“f”?
符号“y= f(x)”中的“f”表示对应法则，在不同的具体函数中，“f”的含义不一样，可以把函数的对应法则“f”形象地看做一个“暗箱”。

（2）符号y= f(x)的含义是什么？f(x)与f(a)有何区别？y= f(x)中式关于x的解析式，y=f(a)是x=a时所得的函数值。

（3）对应是否为函数？
①这个对应所涉及到的两个集合是否都是非空数集；
②对应法则f：x→y是否满足对于任何一个x可取的值都有唯一的值y与之对应。

如果同时满足这两条，那么这个对应就是函数，否则就不是函数。

(4)判定两个函数是否相同，就看定义域和对应法则是否完全一致，完全一致的两个函数才算相同。

（5）求函数的定义域：由于函数的定义域就是函数中所有的输入值x组成的集合，所以求函数的定义域一般要考虑使函数有意义的所有条件，不可有遗漏。

（6）求函数值域的方法：求函数的值域的方法往往因题而异，如果函数的自变量是有限个值，那么就可将函数值求出得到值域；如果函数的自变量是无数个值时，显然不能再采取上述方法求其值域，而可根据函数表达式的特点采取相应的方法来求其值域，常用的方法有观察法，配方法，判别式法等。

2、函数的图像
（1）函数的图像都是连续的曲线吗？
不一定，一般来说，如果自变量的取值是连续的，那么它的图像四连续的，如一次函数，二次函数。

但如果自变量的取值不是连续的，那么它的图像就是一些孤立点。

（2）凡是图像都是函数的图像吗？
检查一个图形是否为某个函数的图像，只要用以条垂直x轴的直线沿x轴方向左右平移，观察图形与该直线交点的个数，当交点个数为两个或两个以上时，该图形一定不是函数的图像。

因为一个x值对应了多个y值。

（3）函数的图像对于今后的解题的用途是非常大的，如某些函数图像较易画出来，就可以利用函数图像直接求出其值域。

我们还可以利用函数的图像来比较某两个数值的大小等等。

二、经典例题
1、试判断以下各组函数中，是否表示同一函数？
（1）f(x)= 2x；g(x)= 33x
（2） f(x)=1212++n n x , g(x)= 1212)(--n n x (n ∈+N )
2、求函数y=
35--x x 的定义域，并用区间把这个函数的定义域表示出来。

3、 已知f(x)= x
+11(x ∈R 且x ≠-1),g(x)=2x +2(x ∈R). (1) 求f(2)，g(2)的值；
(2) 求f ()[]2g 的值；
(3) 求f ()[]x g 的解析式。

4、函数y= )41(542≤≤++-x x x 的值域是（ ）
A 、[]8,5
B 、[]8,1
C 、[]9,5
D 、[]9,8
5、根据所给的不同的定义域，画出函数y=222+-x x 的图像。

（1）x ∈R ； （2）x ∈(],21-； （3）x ∈(],21-且x ∈Z
6、以墙为一边，用篱笆围成长方形的场地，并用平行于一边的篱笆隔开，已知篱笆总长为定值L,写出场地面积y 关于一边长x 的函数，并求出函数的定义域及面积的最大值。

7、函数y=x 111
+的定义域是
A 、{x|x ∈R 且x ≠0}
B 、{x|x ∈R 且x ≠1}
C 、{x|x ∈R x ≠0且x ≠-1}
D 、R
8、函数y=
932-+x x 的定义域是 。

9、函数y=1
2-x 的定义域是（-∞，1）∪[2,6),则其值域是 . 10、已知函数f(x)=
{,1,1,1,3≤+>+-
x x x x 则f ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛25f 等于
A 、2
1-
B 、23
C 、25
D 、20
11、函数4
32-=x x y 的值域是 A 、⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞⋃-∞,34)34,( B 、⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞⋃-∞,32)32,( C 、R D ⎪⎭
⎫ ⎝⎛+∞⋃-∞,34)32,( 12、函数()22-+=x x x f 的定义域[]2,1-则()x f 的值域是 。

13、已知函数()c bx ax x f ++=2，若()0f =0，且()1)(1++=+x x f x f ，则()x f =
14、已知函数22221x ax a y +--=（-1≤x ≤1）的最小值为().a f
（1）求().a f 的表达式；
（2）若a ∈[-2,0],求().a f 的值域。