2023-2024学年广东实验中学高三第三次阶段考试数学试题+答案解析(附后)

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求2023-2024学年广东实验中学高三第三次阶段考试数学试题
的。

1.已知集合，
，则
( )A.
B.
C. D.
2.若复数z 满足，则( )
A. B. C.
D.
3.经过直线上的点作圆的切线，则切线长的最小值为( )
A. 2
B.
C. 1
D.
4.设，且
，且( )
A.
B.
C.
D.
5.以等边三角形ABC 为底的两个正三棱锥
和
内接于同一个球，并且正三棱锥
的侧面与底面ABC 所成的角为
，记正三棱锥和正三棱锥
的体积分别为
和，则
( )
A. 1
B.
C.
D.
6.根据《民用建筑工程室内环境污染控制标准》，文化娱乐场所室内甲醛浓度小于等于
为安全范
围．已知某新建文化娱乐场所施工过程中使用了甲醛喷剂，处于良好的通风环境下时，竣工1周后室内甲醛浓度为，3周后室内甲醛浓度为
，且室内甲醛浓度
单位：
与竣工后保
持良好通风的时间
单位：周近似满足函数关系式，则该文化娱乐场所竣工后的甲醛
浓度若要达到安全开放标准，至少需要放置的时间为( )A. 5周
B. 6周
C. 7周
D. 8周
7.设函数，，若函数在区间上有且仅有
一个零点，则实数m 的取值范围是( )A. B. C.
D.
8.己知均为锐角，且，则的最大值是( )
A. B. C. 2 D. 4
二、多选题：本题共4小题，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.下列结论正确的有( )
A. 某班有40名学生，从中随机抽取10名去参加某项活动，则每4人中必有一人被抽中
B. 已知，，，则
C. 设随机变量服从正态分布，且，则
D. 1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的分位数为3，分位数为8，分位数为
10.如图，在棱长为2的正方体中，M、N、P分别是、、的中点，则( )
A. M ，N，B，四点共面
B. 异面直线与MN所成角的余弦值为
C. 平面BMN截正方体所得截面为等腰梯形
D. 三棱锥的体积为
11.“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.如图，已知圆O的半径为2，点P是圆O内的定点，且
，弦AC，BD均过点P，则下列说法正确的是( )
A. 为定值
B. 的取值范围是
C. 当时，为定值
D. 当时，的最大值为12
12.布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹布劳威尔
，简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，
那么我们称该函数为“不动点”函数，而称为该函数的一个不动点.现新定义：若满足，
则称为的次不动点.下列说法正确的是( )
A. 定义在R上的偶函数既不存在不动点，也不存在次不动点
B. 定义在R上的奇函数既存在不动点，也存在次不动点
C. 当时，函数在上仅有一个不动点和一个次不动点
D. 满足函数在区间上存在不动点的正整数a不存在
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.在的展开式中，的系数为_____.
14.已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是__________.
15.已知双曲线，若过点能作该双曲线的两条切线，则该双曲线离心率e的取值范围为
__________.
16.某班级在一次植树种花活动中负责对一片圆环区域花圃栽植鲜花，该圆环区域被等分为n个部分
，每个部分从红，黄，蓝三种颜色的鲜花中选取一种进行栽植，要求相邻区域不能用同种颜色的鲜花．将总的栽植方案数用表示，则__________，__________.
四、解答题：本题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.本小题10分
已知数列中，对任意的，都有
若为等差数列，求的通项公式；
若，求的通项公式．
18.本小题12分
如图，在海岸线EF一侧有一休闲游乐场，游乐场的前一部分边界为曲线段FGBC，该曲线段是函数
，的图像，图像的最高点为边界的中间部分为长1千米的直线段CD，且游乐场的后一部分边界是以O为圆心的一段圆弧
求曲线段FGBC的函数表达式；
曲线段FGBC上的入口G距海岸线EF最近距离为1千米，现准备从入口G修一条笔直的景观路到O，求景观路GO长；
如图，在扇形ODE区域内建一个平行四边形休闲区OMPQ，平行四边形的一边在海岸线EF上，一边在半径OD上，另外一个顶点P在圆弧上，且，求平行四边形休闲区OMPQ面积的最大
值及此时的值．
19.本小题12分
已知正方形的边长为4，E，F分别为AD，BC的中点，以EF为棱将正方形ABCD折成如图所示的的二面角，点M在线段AB上．
若M为AB的中点，且直线MF与由A，D，E三点所确定平面的交点为O，试确定点O的位置，并证明直线平面EMC；是否存在点M，使得直线DE与平面EMC所成的角为；若存在，求此时二面角的余弦值，若不存在，说明理由．
20.本小题12分
为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，需要进行动物与人体试验.研究人员将疫苗注射到200只小白鼠体内，一段时间后测量小白鼠的某项指标值，按分组，绘制频率分布直方
图如图所示.试验发现小白鼠体内产生抗体的共有160只，其中该项指标值不小于60的有110只.
假设小白鼠注射疫苗后是否产生抗体相互独立.
填写下面的列联表，并根据列联表及的独立性检验，判断能否认为注射疫苗后小白鼠产
生抗体与指标值不小于60有关.
单位：只
指标值
抗体小于
60不小于
60
合计
有抗体
没有抗体
合计
为检验疫苗二次接种的免疫抗体性，对第一次注射疫苗后没有产生抗体的40只小白鼠进行第二次注射疫苗，结果又有20只小白鼠产生抗体.
用频率估计概率，求一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率
以中确定的概率p作为人体注射2次疫苗后产生抗体的概率，进行人体接种试验，记
n个人注射2
次疫苗后产生抗体的数量为随机变量试验后统计数据显示，当时，取最大值，求参加人体接种试验的人数n及
参考公式：其中
为样本容量
21.本小题12分
已知抛物线的焦点F到准线的距离为2，圆M与y轴相切，且圆心M与抛物线C的焦点重合.
求抛物线C和圆M的方程；
设为圆M外一点，过点P作圆M的两条切线，分别交抛物线C于两个不同的点
和点且，证明：点P在一条定曲线上.
22.本小题12分
已知函数
讨论的单调性；
当时，不等式恒成立，求a的取值范围.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查集合交集运算，解不等式，属于基础题.
先解不等式化简集合A，B，根据交集的定义计算即可.
【解答】
解：由，即，解得，则，
由，解得，则，
因此
故选
2.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查求复数范围内的方程的根及复数的四则运算，属于基础题.
由题意得，即，进行求解即可.
【解答】
解：由，
得，即，
则，解得
故选
3.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查直线与圆相切时切线长的最小值问题，属于基础题.
由切线长公式可知圆心到直线的距离最小时，切线长最小，即可求解.
【解答】
解：将圆方程化为标准方程得：，得到圆心，半径，设A为直线
上的任意一点，过A点向圆引切线，切点为C，则，所以当长最小时，长
最小，因为的最小值为圆心到直线的距离，所以切线长的最小值
故选
4.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了排列数的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
利用排列数的计算公式即可得出．
【解答】
解：因为，且，，，，中的最大数为，
一共有个因式，
则
故选
5.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查球内接正三棱锥体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．由题意画出图形，把正三棱锥的体积比转化为高的比，然后通过求解直角三角形得到两正三棱锥高的关系得答案．
【解答】
解：如图，正三棱锥和正三棱锥内接于同一个球，
设P到底面ABC的距离为，Q到底面ABC的距离为，
则，取AB的中点M，连接PM，CM，PQ，
记PQ与平面ABC的交点为R，
由两个正三棱锥和内接于同一个球，设球心为O，则PQ
一定为球O的直径，且由题意可知，R为等边三角形ABC的中心，
因此，PR，QR分别为正三棱锥和正三棱锥的高，，
由，，，且M为AB的中点，
可得，，，
则为正三棱锥的侧面与底面ABC所成的角，为，
，，记球的半径为r，于是，
在中，由勾股定理可得，，
解得，于是，
则
故选
6.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查指数函数的简单应用，指数不等式的解法等知识，属于较难题．
由，相除可得，再解不等式，由指数函数性质估计出，从而可得的范围，由此可得结论．
【解答】
解：由题意可知，，，
，因为，所以解得
设该文化娱乐场所竣工后放置周后甲醛浓度达到安企开放标准，
则，
整理得，设，因为，
所以，即，则，即
故至少需要放置的时间为6周．
故选：
7.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了函数的零点与方程的根的综合应用，函数的切线，解决函数零点或方程根的问题，常用的方法
有：方程法直接解方程得到函数的零点；图象法直接画出函数的图象分析得解；方程+图
象法令函数为零，再重新构造两个函数，数形结合分析得解，属于中档题．
构造函数，则问题转化为在区间上有且仅有一个根，
进一步转化为函数的图象与直线在区间只有一个交点，利用导数研究曲线的切线问题，确定边界状态的m的值，结合图象求解即可得到答案．
【解答】
解：令，
则，
令，即，故，
所以，
作出函数的图象如图所示，
函数的零点个数即为函数的图象与直线
的交点个数，
直线过定点，
当直线过点时，；
当直线与曲线相切
时，
设切点坐标为，
由，
故切线的斜率为，
所以，解得，
则，解得，
结合图象可知，当或时，函数的图象与直线只有一个交点，
即函数在区间上有且仅有一个零点，
所以实数m的取值范围是
故选：
8.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查同角三角函数的基本关系与两角和与差公式，利用基本不等式求最值，属于中档题.
利用同角三角函数的基本关系及两角和与差公式化简得出，再利用基本不等式即可求解.
【解答】
解：均为锐角，，
，
，
由均为锐角，得，
，
当且仅当，即时等号成立.
则的最大值是
故选
9.【答案】BCD
【解析】【分析】
本题主要考查随机抽样，条件概率，正态分布概率计算，正态曲线及性质和样本估计百分位.
对于A：根据随机抽样的概念得出结论;
对于B：根据条件概率的计算公式得出结论;
对于C：根据正态分布概率计算和正态曲线及性质得出结论;
对于D：根据样本估计百分位的计算方法得出结论.
【解答】
对于A：某班内有40名学生，抽取10名去参加某项活动，则每4人中有一人抽中，也可以全部抽到别的学生，这几个人不一定抽到，故选项A错误；
对于B：由以及得：
又
故选项B正确；
对于C：服从正态分布，可得：
正态曲线关于直线对称，
，
又，
，
故选项C正确；
对于D：数据个数为：
当时，
分位数为：3，
当时，
分位数为：8，
当时，
分位数为：，
故选项D正确．
故选
10.【答案】BCD
【解析】【分析】
本题主要考查了异面直线所成的角，考查了正方体的截面问题，空间中的共面问题，以及三棱锥的体积，
属于中档题．
由MN，是异面直线可判断A，因为，所以为与MN所成的角，利用余弦定理即可判断B，由平面BMN截正方体截面为可判断C，利用等体积法可判断
【解答】
解：对于A，由于，可知MN，是异面直线，，N，B，四点不共面，故A错误；
对于B，，为与MN所成的角，
，，，
，故B正确；
对于C，，平面BMN截正方体截面为，
而，截面为等腰梯形，故C正确；
对于D，取AB的中点E，连接ME与PN交于点O，则O为ME的中点，
点M到平面PNB的距离等于点E到平面PNB的距离，
，
故D正确.
故选
11.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查了向量的加法、减法、数乘运算和向量的数量积，是较难题.
如图，设直线PO与圆O分别交于E、F，由题意得，进而即可求解
判断A；取AC的中点为M，连接OM，可得
，由
，即可求解判断B；当时，，结合选
项A，即可求解判断C；如图分别取AC，BD的中点为M，N，由题意得，且，
可得，利用基本不等式即可求解判断
【解答】
解：如图，设直线PO与圆O分别交于E、F，
则
，A正确；
取AC的中点为M，连接OM，
则
，而，
故的取值范围是，B错误；
当时，
，C正确；
如图分别取AC，BD的中点为M，N，
则，，
又，
所以四边形OMPN为矩形，则，且，
可得，，而，，
则，
当且仅当时等号成立，
所以的最大值为12，D正确．
故选
12.【答案】BC
【解析】【分析】
本题考查函数新定义问题，考查函数与方程，考察学生的计算能力和逻辑推理能力，属于难题.
根据题目的新定义，逐项分析即可.
【解答】
解：对于选项A：取函数，，0既是的不动点，又是的次不动点，故选项A 错；
对于选项B：定义在R上的奇函数满足，故选项B正确；
对于选项C：当时，
即
令，，在区间单调递增，在单调递增，满足
有唯一解，则
当时，
即
令，，在区间单调递增，在单调递增，满足
有唯一解，则，于是，故选项C正确；
对于选项D：因为函数在区间上存在不动点，
则在上有解，则在上有解，
令，则，再令，则，解得
，所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以在上恒成立，所以在上单调递增，
所以，，
所以实数a满足为自然对数的底数，正整数，故选项D错误.故答案选：
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了二项展开式的特定项与特定项的系数，属于基础题.
写出展开式的通项公式，进而可求出的系数.
【解答】
解：的展开式的通项公式为，
令，则，
又的展开式的通项公式为，
令，则，
所以的展开式中的系数为
故答案为
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了利用正弦函数的单调性求参数的范围，属于基础题.
由题意得，列不等式组求解即可.
【解答】
解：函数，
由，得的一个单调递增区间为，
由题设得，
所以，解得，
则的取值范围是 .
故答案为：
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查求双曲线的离心率，属于中档题.
根据过点能作该双曲线的两条切线判断该点在双曲线外部，得到a的范围，从而求出离心率的范围.【解答】
解：过能作两条切线说明该点在双曲线外部，故，故，
，
又点不在该双曲线渐近线上，故，即，
综上，
16.【答案】；
【解析】【分析】
本题考查数列的通项公式、数列的递推关系、等比数列的通项公式、两个计数原理的综合应用，属于较难题.
根据题意，考虑第n块与第1块颜色相同与不同两种情况，可得数列的递推关系，从而求出的值；再令，可构造等比数列，利用等比数列通项公式求出，从而可得
【解答】
解：圆环区域的第一块有3种选法，为了从第2块开始，每一块都与前一块不同，
则第2块到第n块有两种选法，即共有种选法，
现考虑第n块，若与第1块不同，则有种选法，
若与第1块相同，则有种选法，
故，
，，
，
故，
令，有，
，
，
所以
故答案为：
17.
【答案】解：由条件，可得：，，
因为为等差数列，设公差为d，
由上式可得：，，解得，，
所以的通项公式为；
由条件，可得：，
两式相减得：，
由，，解得，
所以数列的奇数项是以首项为3，公差为4的等差数列；
偶数项是以首项为1，公差为4的等差数列，
则，，
，，
综上：
【解析】本题考查了利用数列递推关系求通项公式，等差数列的通项公式，属于基础题.
结合条件可得：，，利用等差数列通项公式求解即可；
由条件可得，进而得数列的奇数项是以首项为3，公差为4的等差数列，偶数项是以首项为1，公差为4的等差数列，分情况求解即可.
18.【答案】解：由已知条件，得，
又，，
又当时，有，且，
，
曲线段FGBC的解析式为
由，
根据图像得到，解得，
又，，
景观路GO长为千米.
如图，
，
，
作轴于点，在中，
，
在中，
，
，
，；
当时，即时，
平行四边形面积有最大值为平方千米
【解析】本题考查了三角函数在实际问题中的应用，同时考查了学生的作图能力，属于较难题．由题意可得，，代入点求，从而求解析式；
令求解x，从而求景观路GO的长；
作图求平行四边形的面积，，从而求最值．
19.【答案】解：因为直线平面ABFE，
故点O在平面ABFE内也在平面ADE内，所以点O在平面ABFE与平面ADE的交线上，
延长FM交EA的延长线于O，
因为，M为AB的中点，所以≌，
所以，，所以点O在EA的延长线上，且，
连接DF交EC于N，因为四边形CDEF为矩形，所以N是FD的中点，
连接MN，因为MN为的中位线，所以，
又因为平面EMC，平面EMC，
所以直线平面
由已知可得，，，，AE、平面ADE，
所以平面ADE，
又平面ABFE，
所以平面平面ADE，
取AE的中点H为坐标原点，以HA，HD所在直线分别为x轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
所以，，，，
所以，，
设，则，
设平面EMC的法向量，
则
取，则，，所以，因为DE与平面EMC所成的角为，
所以，
所以，所以，
解得或，
所以存在点M，使得直线DE与平面EMC所成的角为，取ED的中点Q，因为平面ADE，平面ADE，所以，
又因为，，DE，平面CEF，所以平面CEF，则为平面CEF的法向量，
因为，，
所以，，
设二面角的大小为，
所以
，
因为当时，，平面平面CDEF，
所以当时，为钝角，所以
当时，为锐角，所以
【解析】此题考查了线面平行，用空间向量解决线面所成角，二面角等，属于较难题．
利用中位线不难得到O的位置，连接DF交CE于N，则，证得线面平行；
取AE 中点H，以H为原点建立空间坐标系，设，利用线面所成角去列方程，解得t值，然后确定二面角的两个面的法向量，利用公式求解即可．
20.【答案】解：由频率分布直方图，知200只小白鼠按指标值分布为：
在内有只
在内有只
在内有只
在内有只
在内有只
由题意，有抗体且指标值小于60的有50只；而指标值小于60的小白鼠共有只，所以指标值小于60且没有抗体的小白鼠有20只，同理，指标值不小于60且没有抗体的小白鼠有20只，故列联表如下：
单位：只
指标值
合计
抗体
小于60不小于60
有抗体50110160
没有抗体202040
合计70130200
零假设为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60无关联.
根据列联表中数据，得
根据的独立性检验，推断不成立，即认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关，
此推断犯错误的概率不大于
令事件“小白鼠第一次注射疫苗产生抗体”，事件“小白鼠第二次注射疫苗
产生抗体”，事件“小白鼠注射2次疫苗后产生抗体”.
记事件A，B，C发生的概率分别为，，，
则，，
所以一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率
由题意，知随机变量，
因为最大，所以
解得，因为n是整数，所以或，所以接受接种试验的人数为109或
①当接种人数为109时，
②当接种人数为110时，
【解析】本题考查了独立性检验的应用以及概率的计算，属于较难题.
21.【答案】解：由题设得，所以抛物线C的方程为，
因此，抛物线的焦点为，即圆M的圆心为，
由圆M与y轴相切，所以圆M半径为1，
所以圆M的方程为；
证明：由于，每条切线都与抛物线有两个不同的交点，则
故设过点P且与圆M相切的切线方程为，即
依题意得，整理得①；
设直线的斜率分别为，则是方程①的两个实根，
故，②，
由得③，
因为点，，
则④，⑤，
由②，④，⑤三式得：
，
即，
则，即，
所以点P在圆
【解析】本题考查圆与抛物线的标准方程，考查化简运算能力，属于较难题.
根据抛物线的焦点F到准线的距离可得p的值，即可得抛物线方程，根据圆的性质确定圆心与半径，即可得圆M的方程；
根据直线与圆相切，切线与抛物线相交联立，结合韦达定理，即可得所满足的方程.
22.【答案】解：由题意，的定义域为，又，
当时，因为，所以，故在上单调递减；
当时，令，解得：，
当时，，故在上单调递增，
当时，，故在上单调递减.
综上所述，当时，函数的单调递减区间为；
当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为
，
设，其中，则，
设，则，
当时，，，且等号不同时成立，则恒成立；
当时，，，则恒成立，则在上单调递增，
又因为，，所以，存在使得，
当时，；当时，
所以，函数在上单调递减，在上单调递增，且，作出函数的图象如下图所示：
由中函数的单调性可知，
①当时，在上单调递减，
当时，，当时，，
所以，，此时，不合乎题意；
②当时，，
且当时，，
此时函数的值域为即
当时，即当时，恒成立，合乎题意；
当时，即当时，取，结合图象可知，不合乎题意.
综上所述，实数a的取值范围是
【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数研究函数恒成立问题，属于较难题．求出的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；
令，其中，讨论的单调性，根据函数的单调性求出a的范围即可．。