【精品解析】河北省唐山市高三数学上学期期末统一考试 文(教师版)

唐山市2012届高三上学期期末统一考试数学
【试题总体说明】本套试题严格按照《考试说明》的要求，精心设计，力求创新．所命试卷呈现以下几个特点：（1）注重对基础知识、基本能力和基本方法的考查，严格控制试题难度，基础题、中档题和难题的比例控制在必做题部分为4:4:2；（2）知识点覆盖全面，既注重对传统知识的考查，又注重对新增内容的考查，更注重对主干知识的考查；（3）遵循源于教材、高于教材的原则，部分试题根据教材中的典型例题或习题改编而成；（4）深入探究2011高考试题，精选合适的试题进行改编；（5）题型新颖，创新度高，部分试题是原创题，有较强的时代特色．（6）在知识网络的交汇处命题，强调知识的整合，突出考查学生综合运用数学知识分析问题、解决问题的能力，总体来说，本套试卷很好地体现了2012年高考数学学科《考试说明》的精神，体现了2012年高考数学的命题趋势和方向，有较高的模拟训练的价值． 说明：
1．本试卷包括三道大题，22道小题，共150分。

其中第一道大题为选择题。

2．答题前请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题。

3．做选择题时，每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的标号涂黑，如需改
动，用橡皮将原选涂答案擦干净后，再选涂其他答案。

4．考试结束后，将本试卷与原答题卡一并交回。

参考公式：
样本数据n x x x ,,21的标准差
锥体体积公式
])()()[(1
22221x x x x x x n
S n -++-+-=
Sh V 3
1=
其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积，h 为高 柱体体积公式
球的表面积、体积公式
Sh V =
3
23
4,4R V R S ππ=
= 其中S 为底面面积，h 为高 其中R 为球的半径 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且
只有一项符合题目要求。

1．复数1(1)(1)i i
-+= （ ） A ．2i B ．-2i
C ．2
D ．-2
【答案】 A
【解析】2
1(1)(1)(1)(1)(1)2.i i i i i i
-+=++=+=故选A.
2．函数y =
（ ）
A ．(]0,8
B ．(]2,8-
C ．(]2,8
D ．[)8,+∞
【答案】B
【解析】由题意可知，1lg(2)0,x -+≥整理得：210,
lg(2)1lg10,20,
x x x +≤⎧+≤=∴⎨
+>⎩解得
28,x -<≤故函数的定义域为(2,8].-此题需注意真数大于零这个隐含条件.
3．设()4x f x e x =+-，则函数()f x 的零点位于区间
（ ）
A ．（-1，0）
B ．（0，1）
C ．（1，2）
D ．（2，3） 【答案】 C
【解析】利用判断零点所在区间的方法，验证区间端点值的正负即可.
22(1)1430,(2)2420,(1)(2)0,f e e f e e f f =+-=-<=+-=->∴<故选C.
4．
已知双曲线的渐近线为y =，焦点坐标为（-4，0），（4，0），则双曲线方程为（ ）
A ．
22
1824x y -= B ．
12
1124x y -=
C ．
22
1248
x y -= D ．
22
1412
x y -=
【答案】D
【解析】由题意可设双曲线方程为22
221(,0)x y a b a b
-=>，利用已知
条件可得：
222224,,1244b b a a a
b c a b ⎧⎧⎧===⎪⎪⎪∴∴⎨⎨⎨=⎪⎩⎪⎪=+=⎩⎩
即双曲线方程为22
1.412
x y -=故选D.
5．执行右面的程序框图，如果输出的是341a =，那么判断框（ ） A ．4?k < B ．5?k < C ．6?k < D ．7?k < 【答案】 C
【解析】利用框架图可知，11411,12;a a k k =+==+=
21213232415,13;4121,14;a a k k a a k k =+==+==+==+=
4343544185,15;41341.a a k k a a =+==+==+=
要使得输出的结果是341,a =判断框中可以是6?k <故答案为C. 6．2(sin 22.5cos22.5)︒+︒的值为
（ ）
A ．12
-
B ．12
+
C 1
D ．2
【答案】 B
【解析】2
2
(sin 22.5cos 22.5)12sin 22.5cos 22.51sin 451.+=+=+=+
故答案为 B.
7．若01,10a b <<-<<，则函数1
y b x a
=+
+的图象为
（ ）
【答案】 C 【解析】函数1y b x a =+
+的图像可以看做由函数1
y x
=的图像向左平移a 个单位，然后向下平移b -的单位得到，结合反比例函数图像和a b 、的范围可知正确答案为C 。

8．四棱锥P —ABCD ABCD 是边长为2的正方形，则CD 与PA 所
成角的余弦值为
（ ）
A ．
5 B ．
5
C ．
45
D ．
35
【答案】 A
【解析】如图所示，因四边形ABCD 为正方形，故,CD AB ∥ 则CD 与PA 所成的角即为AB 与PA 所成的角,PAB ∠
在三角形PAB
内，2,PB PA AB ===利用余弦定理可知
:
222
cos 2PA AB PB PAB PA AB +-∠===⨯⨯
故答案为B.
9
．函数()2cos2f x x x =+ （ ）
A ．在(,)36π
π
--单调递减 B ．在(
,)63ππ
单调递增
C ．在(,0)6
π
-
单调递减
D ．在(0,)6
π
单调递增
11
25 2.a b
+=+==故答案为D.
11．在边长为1的正三角形ABC 中，1
3
BD BA =
，E 是CA 的中点，则CD BE ⋅= （ ）
A ．23
-
B ．12-
C ．13
-
D ．16
-
【答案】 B
【解析】 如图所示，建立直角坐标系，
则
1
1(,0),(,0),(,0),(,),22
A B C D x E x y -
111111,(,00)(1,0),;3236
BD BA x x =∴--=-∴=
2211,,24CE CA x y =∴=-=
13131
(,(,)()(.624464242
CD BE ⋅=-⋅-=⨯-+-⨯=-故答案为A.
12．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的
表面积为 （ ）
A ．163π
B ．83
π
C ．
D ．
【答案】A
程为 1.197 3.660y x =-，由此估计，当肌骨长度为50cm 时，肱骨长度的估计值为 cm.
【答案】 56.19
【解析】根据回归方程ˆ 1.197 3.660,y
x =-将50x =代入求解得56.19.y =
14．已知变量x ，y 满足约束条件10,310,10,y x y x y x +-≤⎧⎪
--≤⎨⎪-+≥⎩
则2z x y =+的最大值为 。

要是目标函数取得最大值，即直线的截距最大， 观察图像可知，当直线过A 点时取得截距最大。

max 10,
(1,0).20 2.10,
x y A z x y +-=⎧∴∴=+=⎨
--=⎩ 15．F 是抛物线2
2y x =的焦点，A 、B 是抛物线上的两点，|AF|+|BF|=6，则线段AB 的中点
到y 轴的距离为 。

【答案】
52
【解析】 设1122(,),(,),A x y B x y 利用抛物线定义可知：
1212126,1, 5.22
p p
AF BF x x x x p p x x +=
+++=++==∴+=则AB 的中点的横坐标为1
25
,22x x +=即为AB 的中点到y 轴的距离。

16．在ABC ∆
中，60,C AB AB =︒=边上的高为4
,3
则AC+BC= 。

【答案】
【解析】依题意，利用三角形面积相等有:
11
sin 60,22
AB h AC BC ⨯=
1418sin 60,.2323
AC BC AC BC ∴=∴= 利用余弦定理可知222
22
3
cos60,cos60,8223
AC BC AB
AC BC AC BC
+-+-=
∴=⨯解得：
22
17.
3
AC BC +=
又因2
2
2
1716
()211,33
AC BC AC BC AC BC AC BC +=++=
+=∴+=
三、解答题：大本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分）
在等差数列{}n a 中，234567,18.a a a a a +=++=
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设数列{
}n a 的前n 项和为n S ，求
36
311
1.n
S S S ++
+
为了检测某批棉花的质量，质检人员随机抽取6根，其平均纤维
长度为25mm 。

用(1,2,3,4,5,6)n X n =表示第n 根棉花的纤维长度，且前5根棉花的纤
维长度如下表：
（1）求X6及这6根棉花的标准差s；
（2）从这6根棉花中，随机选取2根，求至少有1根的长度在区间（20，25）内的概率。

19．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥S—ABCD中，SD⊥底面ABCD，底面ABCD
==，E是SA的中点。

是矩形，且SD AD
（1）求证：平面BED⊥平面SAB；
（2）求直线SA与平面BED所成角的大小。

【命题分析】本题考查面面垂直的证明和线面角的求解，考查
学生的空间想象能力和计算能力。

第一问关键抓住垂直关
系进行转换和判断；第二问利用线面角的定义求解。

解：
（Ⅰ）∵SD⊥平面ABCD，∴平面SAD⊥平面ABCD，
∵AB⊥AD，∴AB⊥平面SAD，∴DE⊥AB．…3分
∵SD＝AD，E是SA的中点，∴DE⊥SA，
∵AB∩SA＝A，∴DE⊥平面SAB
∴平面BED⊥平面SAB．…6分
（Ⅱ）作AF ⊥BE ，垂足为F ． 由（Ⅰ），平面BED ⊥平面SAB ，则AF ⊥平面BED ， 则∠AEF 是直线SA 与平面BED 所成的角． …8分
设AD ＝2a ，则AB ＝2a ，SA ＝22a ，AE ＝2a ， △ABE 是等腰直角三角形，则AF ＝a ．
在Rt △AFE 中，sin ∠AEF ＝AF AE ＝2
2
，
故直线SA 与平面BED 所成角的大小45︒． …12分
20．（本小题满分12分）
过椭圆2
212
x y +=的左焦点F 作斜率为(0)k k ≠的直线交椭圆于A ，B 两点，使得AB 的中点M 在直线20x y +=上。

（1）求k 的值； （2）设C （-2，0），求tan .ACB ∠
由点M 在直线x ＋2y ＝0上，知－2k 2
＋2k ＝0， ∵k ≠0，∴k ＝1．
…6分 （Ⅱ）将k ＝1代入①式，得3x 2
＋4x ＝0，
不妨设x 1＞x 2，则x 1＝0，x 2＝－ 4
3
，
…8分
记α＝∠ACF ，β＝∠BCF ，则
tan α＝
y 1
x 1＋2＝x 1＋1x 1＋2＝ 1 2，tan β＝－y 2x 2＋2＝－x 2＋1x 2＋2＝ 1 2
， ∴α＝β，
∴ta n ∠ACB ＝tan 2α＝2tan α1－tan 2
α＝ 4
3
．…12分
21．（本小题满分12分） 已知函数2()ln (0).f x x ax x a =-->
（1）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线斜率为-2，求a 的值以及切线方程；
（2）若()f x 是单调函数，求a 的取值范围。

请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，E 是圆O 内两弦AB 和CD 的交点F 是AD 延长线
上一点，FG 与圆O 相切于点G ，且EF=FG ，求证： （1）EFD AFE ∆∆； （2）EF//BC 。

【命题分析】本题考查三角形相似的证明以及线线平行的证明，考查学生的转化和划归能力。

第一问利用切割线定理进行转化证明三角形相似；第二问要充分借助第一问的结论证明线线平行.
证明：
（Ⅰ）∵FG 与圆O 相切于点G ，∴FG 2＝FD ·FA ，
∵EF ＝FG ，EF 2＝FD ·FA ，∴EF FD ＝FA EF
， ∵∠EFD ＝∠AFE ，∴△EFD ∽△AFE ．
…5分
（Ⅱ）由（Ⅰ），有∠FED ＝∠FAE ， ∵∠FAE 和∠BCD 都是BD ⌒上的圆周角，∴∠FED ＝∠BCD ，
∴EF ∥BC ．…10 分
23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
直角坐标系xOy 和极坐标系Ox 的原点与极点重合，x 轴正半轴与极轴重合，单位长度
相同，在直角坐标系下，曲线C 的参数方程为4cos ,(2sin x y ϕϕϕ=⎧⎨
=⎩为参数）。

（1）在极坐标系下，曲线C 与射线4πθ=和射线4πθ=-分别交于A ，B 两点，求AOB
∆的面积； （2）在直角坐标系下，直线l
的参数方程为2,x t y t ⎧=⎪⎨=-⎪⎩（t 为参数），求曲线C 与直
线l 的交点坐标。

24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知()|1||1|,()4f x x x f x =++-<不等式的解集为M 。

（1）求M ；
（2）当,a b M ∈时，证明：2|||4|.a b ab +<+。