【全国百强校word】河北省衡水中学2018届高三高考押题(二)理数试题

河北衡水中学2018年高考押题试卷
理数试卷（二）
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合2{|60,}A x x x x Z =--<∈，{|,,}B z z x y x A y A ==-∈∈，则A
B =（ ） A ．{0,1} B ．{0,1,2}
C ．{0,1,2,3}
D ．{1,0,1,2}-
2.设复数z 满足121z i i +=-+，则1||z
=（ ） A ．5 B ．
15 C ．55 D ．525 3.若1cos()43πα+=，(0,)2
πα∈，则sin α的值为（ ） A ．426- B ．426+ C ．718
D ．23 4.已知直角坐标原点O 为椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的中心，1F ，2F 为左、右焦点，在区间(0,2)任取一个数e ，则事件“以e 为离心率的椭圆C 与圆O ：2222
x y a b +=-没有交点”的概率为（ ） A ．24 B ．424- C ．22
D ．222- 5.定义平面上两条相交直线的夹角为：两条相交直线交成的不超过90的正角.已知双曲线
E ：22
22
1(0,0)x y a b a b -=>>，当其离心率[2,2]e ∈时，对应双曲线的渐近线的夹角的取值范围为（ ） A ．[0,]6π B ．[,]63ππ C ．[,]43ππ D ．[,]32ππ
6.某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为32π+，则它的表面积是（ ）
A ．313(3)2222π+++
B ．3133()22242
π+++ C ．
13222π+ D ．13224π+ 7.函数sin ln y x x =+在区间[3,3]-的图象大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
8.二项式1()(0,0)n ax a b bx
+>>的展开式中只有第6项的二项式系数最大，且展开式中的第3项的系数是第4项的系数的3倍，则ab 的值为（ ）
A ．4
B ．8
C ．12
D ．16
9.执行如图的程序框图，若输入的0x =，1y =，1n =，则输出的p 的值为（ ）
A ．81
B ．812
C ．814
D ．818
10.已知数列11a =，22a =，且222(1)n n n a a +-=--，*n N ∈，则2017S 的值为（ ）
A ．201610101⨯-
B ．10092017⨯
C ．201710101⨯-
D ．10092016⨯
11.已知函数()sin()f x A x ωϕ=+(0,0,)2A π
ωϕ>><的图象如图所示，令()()'()g x f x f x =+，则下
列关于函数()g x 的说法中不正确的是（ ）
A ．函数()g x 图象的对称轴方程为()12x k k Z ππ=-
∈ B ．函数()g x 的最大值为22
C ．函数()g x 的图象上存在点P ，使得在P 点处的切线与直线l ：31y x =-平行
D ．方程()2g x =的两个不同的解分别为1x ，2x ，则12x x -最小值为
2π 12.已知函数32()31f x ax x =-+，若()f x 存在三个零点，则a 的取值范围是（ ）
A ．(,2)-∞-
B ．(2,2)-
C ．(2,)+∞
D ．(2,0)(0,2)-
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.向量(,)a m n =，(1,2)b =-，若向量a ，b 共线，且2a b =，则mn 的值为 ． 14.设点M 是椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>上的点，以点M 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆的焦点F ，圆M 与y 轴相交于不同的两点P 、Q ，若PMQ ∆为锐角三角形，则椭圆的离心率的取值范围为 ．
15.设x ，y 满足约束条件230220220x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则y x 的取值范围为 ． 16.在平面五边形ABCDE 中，已知120A ∠=，90B ∠=，120C ∠=，90E ∠=，3AB =，3AE =，当五边形ABCDE 的面积[63,93)S ∈时，则BC 的取值范围为 ．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，112
a =，*121(2,)n n S S n n N -=+≥∈.
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）记*12log ()n n b a n N =∈，求1
1{
}n n b b +的前n 项和n T . 18.如图所示的几何体ABCDEF 中，底面ABCD 为菱形，2AB a =，120ABC ∠=，AC 与BD 相交于O 点，四边形BDEF 为直角梯形，//DE BF ，BD DE ⊥，222DE BF a ==，平面BDEF ⊥底面ABCD
.
（1）证明：平面AEF ⊥平面AFC ；
（2）求二面角E AC F --的余弦值.
19.某校为缓解高三学生的高考压力，经常举行一些心理素质综合能力训练活动，经过一段时间的训练后从该年级800名学生中随机抽取100名学生进行测试，并将其成绩分为A 、B 、C 、D 、E 五个等级，统计数据如图所示（视频率为概率），根据以上抽样调查数据，回答下列问题：
（1）试估算该校高三年级学生获得成绩为B 的人数；
（2）若等级A 、B 、C 、D 、E 分别对应100分、90分、80分、70分、60分，学校要求平均分达90分以上为“考前心理稳定整体过关”，请问该校高三年级目前学生的“考前心理稳定整体”是否过关？
（3）为了解心理健康状态稳定学生的特点，现从A 、B 两种级别中，用分层抽样的方法抽取11个学生样本，再从中任意选取3个学生样本分析，求这3个样本为A 级的个数ξ的分布列与数学期望.
20.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b
+=>>的离心率为22，且过点23(,)22P ，动直线l ：y kx m -+交椭圆C 于不同的两点A ，B ，且0OA OB ⋅=（O 为坐标原点）.
（1）求椭圆C 的方程.
（2）讨论2232m k -是否为定值？若为定值，求出该定值，若不是请说明理由.
21.设函数22()ln ()f x a x x ax a R =-+-∈.
（1）试讨论函数()f x 的单调性；
（2）设2()2()ln x x a a x ϕ=+-，记()()()h x f x x ϕ=+，当0a >时，若方程()()h x m m R =∈有两个不相等的实根1x ，2x ，证明12'()02
x x h +>. 请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，曲线1C ：3cos 2sin x t y t
αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数，0a >），在以坐标原点为极点，x 轴的非负
半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C ：4sin ρθ=.
（1）试将曲线1C 与2C 化为直角坐标系xOy 中的普通方程，并指出两曲线有公共点时a 的取值范围；
（2）当3a =时，两曲线相交于A ，B 两点，求AB .
23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()211f x x x =-++.
（1）在下面给出的直角坐标系中作出函数()y f x =的图象，并由图象找出满足不等式()3f x ≤的解集；
（2）若函数()y f x =的最小值记为m ，设,a b R ∈，且有22a b m +=，试证明：221418117
a b +≥++.
参考答案及解析
理科数学（Ⅱ）
一、选择题
1-5: BCAAD 6-10: AABCC 11、12：CD
二、填空题
13. 8- 14. 625122e --<< 15. 27[,]54 16. [3,33) 三、解答题
17.解：（1）当2n =时，由121n n S S -=+及112
a =
， 得2121S S =+，即121221a a a +=+，解得214a =. 又由121n n S S -=+，①
可知121n n S S +=+，②
②-①得12n n a a +=，即11(2)2
n n a n a +=≥. 且1n =时，2112a a =适合上式，因此数列{}n a 是以12为首项，12为公比的等比数列，故*1()2
n n a n N =∈. （2）由（1）及*12log ()n n b a n N =∈， 可知121log ()2n
n b n ==， 所以11111(1)1
n n b b n n n n +==-++， 故2231111n n n n T b b b b b b +=
++⋅⋅⋅11111[(1)()()]2231n n =-+-+⋅⋅⋅+-+1111n n n =-=++. 18.解：（1）因为底面ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥，
又平面BDEF ⊥底面ABCD ，平面BDEF
平面ABCD BD =，
因此AC ⊥平面BDEF ，从而AC EF ⊥.
又BD DE ⊥，所以DE ⊥平面ABCD ，
由2AB a =，222DE BF a ==，120ABC ∠=，
可知22426AF a a a =+=，2BD a =，
22426EF a a a =+=，224823AE a a a =+=，
从而222AF FE AE +=，故EF AF ⊥.
又AF AC A =，所以EF ⊥平面AFC .
又EF ⊂平面AEF ，所以平面AEF ⊥平面AFC .
（2）取EF 中点G ，由题可知//OG DE ，所以OG ⊥平面ABCD ，又在菱形ABCD 中，OA OB ⊥，所以分别以OA ，OB ，OG 的方向为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系O xyz -（如图示）， 则(0,0,0)O ，(3,0,0)A a ，(3,0,0)C a -，(0,,22)E a a -，(0,,2)F a a ， 所以(0,,22)(3,0,0)AE a a a =--(3,,22)a a a =--，
(3,0,0)(3,0,0)AC a a =--(23,0,0)a =-，(0,,2)(0,,22)EF a a a a =--(0,2,2)a a =-. 由（1）可知EF ⊥平面AFC ，所以平面AFC 的法向量可取为(0,2,2)EF a a =-.
设平面AEC 的法向量为(,,)n x y z =，
则00
n AE n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即32200x y z x ⎧--+=⎪⎨=⎪⎩，即220y z x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，令2z =，得4y =， 所以(0,4,2)n =. 从而cos ,n EF
n EF n EF ⋅<>=⋅63363a a
==. 故所求的二面角E AC
F --的余弦值为
33.
19.解：（1）从条形图中可知这100人中，有56名学生成绩等级为B ，
所以可以估计该校学生获得成绩等级为B 的概率为
561410025
=， 则该校高三年级学生获得成绩为B 的人数约有1480044825
⨯=. （2）这100名学生成绩的平均分为1(321005690780100⨯+⨯+⨯370260)91.3+⨯+⨯=， 因为91.390>，所以该校高三年级目前学生的“考前心理稳定整体”已过关.
（3）由题可知用分层抽样的方法抽取11个学生样本，其中A 级4个，B 级7个，从而任意选取3个，这3个为A 级的个数ξ的可能值为0，1，2，3. 则03473117(0)33C C P C ξ===，124731128(1)55
C C P C ξ===， 214731114(2)55C C P C ξ===，30473114(3)165
C C P C ξ===. 因此可得ξ的分布列为： ξ 0 1 2 3 P 733 2855
1455 4165 则72814()012335555E ξ=⨯+⨯+⨯412316511
+⨯=. 20.解：（1）由题意可知22
c a =，所以222222()a c a b ==-，即222a b =，① 又点23(,)22P 在椭圆上，所以有2223144a b
+=，② 由①②联立，解得21b =，22a =，
故所求的椭圆方程为2
212
x y +=. （2）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由0OA OB ⋅=，
可知12120x x y y +=.
联立方程组2212
y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，
消去y 化简整理得222
(12)4220k x kmx m +++-=， 由2222168(1)(12)0k m m k ∆=--+>，得22
12k m +>，所以122412km x x k +=-+，21222212m x x k -=+，③ 又由题知12120x x y y +=，
即1212()()0x x kx m kx m +++=，
整理为221212(1)()0k x x km x x m ++++=. 将③代入上式，得22
222224(1)01212m km k km m k k -+-⋅+=++. 化简整理得22
2322012m k k
--=+，从而得到22322m k -=. 21.解：（1）由22
()ln f x a x x ax =-+-，可知2'()2a f x x a x =-+-222(2)()x ax a x a x a x x --+-==. 因为函数()f x 的定义域为(0,)+∞，所以，
①若0a >时，当(0,)x a ∈时，'()0f x <，函数()f x 单调递减，当(,)x a ∈+∞时，'()0f x >，函数()f x 单调递增；
②若0a =时，当'()20f x x =>在(0,)x ∈+∞内恒成立，函数()f x 单调递增；
③若0a <时，当(0,)2a x ∈-时，'()0f x <，函数()f x 单调递减，当(,)2
a x ∈-
+∞时，'()0f x >，函数()f x 单调递增.
（2）证明：由题可知()()()h x f x x ϕ=+2(2)ln (0)x a x a x x =+-->， 所以'()2(2)a h x x a x
=+--22(2)(2)(1)x a x a x a x x x +---+==. 所以当(0,)2
a x ∈-时，'()0h x <；当(,)2a x ∈-
+∞时，'()0h x >；当2a x =时，'()02
a h =. 欲证1
2'()02x x h +>，只需证12'()'()22x x a h h +>，又2'()20a h x x
=+>，即'()h x 单调递增，故只需证明1222x x a +>. 设1x ，2x 是方程()h x m =的两个不相等的实根，不妨设为120x x <<，
则21112222(2)ln (2)ln x a x a x m x a x a x m
⎧+--=⎪⎨+--=⎪⎩， 两式相减并整理得1212(ln ln )a x x x x -+-22121222x x x x =-+-， 从而2212121212
22ln ln x x x x a x x x x -+-=-+-， 故只需证明2212121212122222(ln ln )
x x x x x x x x x x +-+->-+-， 即221212121212
22ln ln x x x x x x x x x x -+-+=-+-. 因为1212ln ln 0x x x x -+-<，
所以(*)式可化为121212
22ln ln x x x x x x --<+， 即1121222
2ln 1x x x x x x -<+. 因为120x x <<，所以12
01x x <<， 不妨令12x t x =，所以得到22ln 1
t t t -<+，(0,1)t ∈. 设22()ln 1
t R t t t -=-+，(0,1)t ∈，所以22214(1)'()0(1)(1)t R t t t t t -=-=≥++，当且仅当1t =时，等成立，因此()R t 在(0,1)单调递增.
又(1)0R =，
因此()0R t <，(0,1)t ∈， 故22ln 1
t t t -<+，(0,1)t ∈得证， 从而1
2'()02x x h +>得证.
22.解：（1）曲线1C ：3cos 2sin x t y t
αα=+⎧⎨=+⎩，消去参数t 可得普通方程为222(3)(2)x y a -+-=. 曲线2C ：4sin ρθ=，两边同乘ρ.可得普通方程为22(2)4x y +-=.
把22(2)4y x -=-代入曲线1C 的普通方程得：222
(3)4136a x x x =-+-=-，
而对2C 有222(2)4x x y ≤+-=，即22x -≤≤，所以2125a ≤≤故当两曲线有公共点时，a 的取值范围为[1,5].
（2）当3a =时，曲线1C ：22
(3)(2)9x y -+-=， 两曲线交点A ，B 所在直线方程为23
x =
. 曲线22(2)4x y +-=的圆心到直线23x =的距离为23d =， 所以4822493
AB =-=. 23.解：（1）因为()211f x x x =-++3,112,1213,2
x x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=-+-≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩， 所以作出图象如图所示，并从图可知满足不等式()3f x ≤的解集为[1,1]-
.
（2）证明：由图可知函数()y f x =的最小值为
32，即32m =. 所以2232a b +=，从而227112
a b +++=， 从而
2222142[(1)(1)]117
a b a b +=+++++22222214214(1)()[5()]1711b a a a b a b +++=++≥++++ 2222214(1)18[52]7117
b a a b ++=+⋅=++. 当且仅当222214(1)11
b a a b ++=++时，等成立， 即2
16a =，243
b =时，有最小值， 所以221418117a b +≥++得证.。