高考数学一轮复习 11.3 随机事件的概率考点及自测 理 新人教A版

第3讲 随机事件的概率
【2014年高考会这样考】
1．考查互斥事件、对立事件的概率求法． 2．考查条件概率的求法．
对应学生
168
考点梳理
1．频率与概率
(1)在相同的条件S 下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出现的次数n A 为事件A 出现的频数，称事件A 出现的比例f n (A )＝n A n
为事件A 出现的频率． (2)对于给定的随机事件A ，如果随着试验次数的增加，事件A 发生的频率f n (A )稳定在某个常数上，把这个常数记作P (A )，称为事件A 的概率，简称为A 的概率． 2．事件的关系与运算
对于任何两个事件A 和B ，在已知事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率叫做条件概率，用符号P (B |A )来表示，其公式为P (B |A )＝
P AB
P A
.
(1)在古典概型中，若用n (A )表示事件A 中基本事件的个数，则P (B |A )＝n AB
n A
.
(2) 如果B 和C 是两互斥事件，则P (B ∪C |A )＝P (B |A )＋P (C |A )． 4．概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围：0≤P (A )≤1. (2)必然事件的概率P (E )＝1. (3)不可能事件的概率P (F )＝0. (4)互斥事件概率的加法公式
①如果事件A 与事件B 互斥，则P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )． ②若事件B 与事件A 互为对立事件，则P (A )＝1－P (B )． 【助学·微博】 一个关系
两个事件对立则一定互斥，两个事件互斥未必对立．两事件对立是这两事件互斥的充分而不必要条件． 两种方法
求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：
(1)直接法：将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的求和公式计算；
(2)间接法：先求此事件的对立事件的概率，再用公式P (A )＝1－P (A )，即运用逆向思维(正难则反)，特别是“至多”、“至少”型题目，用间接法就显得比较简便．
考点自测
1．(人教A 版习题改编)从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件是( )． A ．至少有一个红球与都是红球 B ．至少有一个红球与都是白球 C ．至少有一个红球与至少有一个白球 D ．恰有一个红球与恰有二个红球
解析 对于A 中的两个事件不互斥，对于B 中两个事件互斥且对立，对于C 中两个事件不互斥，对于D 中的两个互斥而不对立． 答案 D
2．(2013·广州月考)某射手在一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别是0.20，0.30,0.10，则此射手在一次射击中不够8环的概率为( )． A ．0.40 B ．0.30 C ．0.60 D ．0.90
解析 一次射击不够8环的概率为：1－0.2－0.3－0.1＝0.4.
答案 A
3．(2011·陕西)甲乙两人一起去游“2011西安世园会”，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是( )． A.
136 B.19 C.536 D.16
解析 若用{1,2,3,4,5,6}代表6处景点，显然甲、乙两人选择结果为{1,1}、{1,2}、{1,3}、…、{6,6}，共36种；其中满足题意的“同一景点相遇”包括{1,1}、{2,2}、{3,3}、…、{6,6}，共6个基本事件，所以所求的概率值为16.
答案 D
4．(2011·辽宁)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A ＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B ＝“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )等于( )． A.18 B.14 C.25 D.12
解析 P (A )＝C 2
3＋C 2
2C 25＝410＝25，P (A ∩B )＝C 2
2C 25＝110.
由条件概率计算公式，得P (B |A )＝P A ∩B
P A ＝1
10410＝14
.
答案 B
5．(2011·湖北)在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期．从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到1瓶已过保质期饮料的概率为________(结果用最简分数表示)．
解析 所取的2瓶中都是不过期的饮料的概率为P ＝C 2
27C 230＝117
145，则至少有1瓶为已过保质期
饮料的概率P ＝1－P ＝28
145.
答案
28145
对应学生
169
考向一 随机事件的频率与概率
【例1】►某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品．现用两种新配方(分别称为A 配方和B 配方)做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：
A 配方的频数分布表
(2)已知用B 配方生产的一件产品的利润y (单位：元)与其质量指标值t 的关系式为y ＝⎩⎪⎨⎪
⎧
－2，t <94，2，94≤t <102，4，t ≥102，
估计用B 配方生产的一件产品的利润大于0的概率，并求用B 配方
生产的上述100件产品平均一件的利润．
[审题视点] 分别计算出相应的频率，由频率可估计概率．
解 (1)由试验结果知，用A 配方生产的产品中优质品的频率为22＋8100＝0.3，所以用A 配
方生产的产品的优质品率的估计值为0.3.
由试验结果知，用B 配方生产的产品中优质品的频率为32＋10
100＝0.42，所以用B 配方生产
的产品的优质品率的估计值为0.42.
(2)由条件知，用B 配方生产的一件产品的利润大于0，需其质量指标值t ≥94，由试验结果知，质量指标值t ≥94的频率为0.96，所以用B 配方生产的一件产品的利润大于0的概率估计值为0.96.用B 配方生产的产品平均一件的利润为1
100×[4×(－2)＋54×2＋42×4]
＝2.68(元)．
概率可看成频率在理论上的稳定值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性
的大小，它是频率的科学抽象，当试验次数越来越多时频率向概率靠近，只要次数足够多，所得频率就近似地当作随机事件的概率．
【训练1】 某射击运动员在同一条件下进行练习，结果如表所示：
(1)(2)根据表中数据，估计该运动员射击一次命中10环的概率．
解 (1)表中击中10环的频率依次为0.8,0.95,0.88,0.93，0.89，0.906. (2)估计该运动员射击一次命中10环的概率为0.9.
考向二 条件概率
【例2】►(2012·湖北)根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X (单位：mm)对工期的影响如下表：
历史气率分别为0.3,0.7,0.9，求：
(1)工程延误天数Y 的均值与方差；
(2)在降水量X 至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率．
[审题视点] (1)先求出离散型随机变量的分布列，再根据期望、方差公式求解(2)利用概率性质及条件概率公式求解．
解 (1)由已知条件和概率的加法公式有：
P (X <300)＝0.3，P (300≤X <700)＝P (X <700)－P (X <300)＝0.7－0.3＝0.4，
P (700≤X <900)＝P (X <900)－P (X <700)＝0.9－0.7＝0.2，P (X ≥900)＝1－P (X <900)＝1－
0.9＝0.1.
所以Y 的分布列为：
于是，E (Y )D (Y )＝(0－3)2×0.3＋(2－3)2×0.4＋(6－3)2×0.2＋(10－3)2×0.1＝9.8.
故工期延误天数Y 的均值为3，方差为9.8.
(2)由概率的加法公式，得P (X ≥300)＝1－P (X <300)＝0.7， 又P (300≤X <900)＝P (X <900)－P (X <300)＝0.9－0.3＝0.6. 由条件概率，得P (Y ≤6|X ≥300)＝P (X <900|X ≥300)＝
P X
P X
＝0.60.7＝67
.
故在降水量X 至少是300 mm 的条件下，工期延误不超过6天的概率是6
7
.
条件概率的求法：(1)定义法：先求P (A )和P (AB )，再由P (B |A )＝
P AB
P A
求
P (B |A )．(2)基本事件法：借助古典概型概率公式，先求事件A 包含的基本事件数n (A )，
再求事件AB 所包含的基本事件数n (AB )，得P (B |A )＝
n AB
n A
.
【训练2】 (2011·湖南)如图，EFGH 是以O 为圆心，半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”，B 表示事件“豆子落在扇形OHE (阴影部分)内”，则(1)P (A )＝________；(2)P (B |A )＝________.
解析 圆的面积是π，正方形的面积是2，扇形的面积是π
4，根据几何概型的概率计算公
式得P (A )＝2π，根据条件概率的公式得P (B |A )＝P AB
P A ＝12π2π＝14
.
答案
2π 14
考向三 互斥事件、对立事件的概率
【例3】►据统计，某食品企业在一个月内被消费者投诉次数为0,1,2的概率分别为0.4,0.5,0.1.
(1)求该企业在一个月内被消费者投诉不超过1次的概率；
(2)假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响，求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率．
[审题视点] (1)根据互斥事件，第(1)问可转化为求被消费者投诉0次和1次的概率和． (2)第(2)问可转化为求以下三种情形的概率和：①1,2月份各被投诉1次；②1,2月份各被投诉0,2次；③1,2月份各被投诉2,0次．
解 法一 (1)设事件A 表示“一个月内被投诉的次数为0”，事件B 表示“一个月内被投诉的次数为1”，
∴P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝0.4＋0.5＝0.9.
(2)设事件A i 表示“第i 个月被投诉的次数为0”，事件B i 表示“第i 个月被投诉的次数为1”，事件C i 表示“第i 个月被投诉的次数为2”，事件D 表示“两个月内共被投诉2次”．
∴P (A i )＝0.4，P (B i )＝0.5，P (C i )＝0.1(i ＝1,2)，
∵两个月中，一个月被投诉2次，另一个月被投诉0次的概率为P (A 1C 2＋A 2C 1)， 一、二月份均被投诉1次的概率为P (B 1B 2)，
∴P (D )＝P (A 1C 2＋A 2C 1)＋P (B 1B 2)＝P (A 1C 2)＋P (A 2C 1)＋P (B 1B 2)， 由事件的独立性得
P (D )＝0.4×0.1＋0.1×0.4＋0.5×0.5＝0.33.
法二 (1)设事件A 表示“一个月内被投诉2次”，事件B 表示“一个月内被投诉的次数不超过1次”．
∵P (A )＝0.1，∴P (B )＝1－P (A )＝1－0.1＝0.9. (2)同法一．
本题主要考查随机事件，互斥事件有一个发生的概率及相互独立事件同时发生
的概率；实际生活中的概率问题，在阅读理解的基础上，利用互斥事件分类，有时还借助对立事件寻求间接求解问题的捷径，这类问题重在考查学生思维的灵活性和解决实际问题的能力．
【训练3】 某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得，1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A 、B 、C ，求： (1)P (A )，P (B )，P (C )； (2)1张奖券的中奖概率；
(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．
解 (1)P (A )＝11 000，P (B )＝101 000＝1100，P (C )＝501 000＝1
20.
故事件A ，B ，C 的概率分别为11 000，1100，1
20
.
(2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖．设“1张奖券中奖”这个事件为M ，则
M ＝A ∪B ∪C .∵A 、B 、C 两两互斥，∴P (M )＝P (A ∪B ∪C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝
1＋10＋50
1 000
＝
61
1 000
. 故1张奖券的中奖概率为61
1 000
.
(3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N ，则事件N 与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件， ∴P (N )＝1－P (A ∪B )＝1－⎝
⎛⎭⎪
⎫11 000＋1100＝9891 000
.
故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为989
1 000
.
对应学生
171
热点突破27——全面突破概率与统计的综合性问题
【命题研究】 通过近三年的高考试题分析，概率与统计的综合性问题越来越受到命题人的青睐，多数以解答题的形式出现，难度中等．
【真题探究】► (2012·北京)近年来，某市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱．为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1 000吨生活垃圾，数据统计如下(单位：吨)：
(1)(2)试估计生活垃圾投放错误的概率；
(3)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a ，
b ，
c ，其中a >0，a ＋b ＋c ＝600.当数据a ，b ，c 的方差s 2最大时，写出a ，b ，c 的值(结
论不要求证明)，并求此时s 2
的值．
(注：s 2＝1n
[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2
]，其中x 为数据x 1，x 2，…，x n 的平
均数)
[教你审题] 第1步 用厨余垃圾箱中的400除以厨余垃圾总数． 第2步 先求其对立事件的概率． 第3步 运用方差公式．
[解法] (1)厨余垃圾投放正确的概率约为
“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量厨余垃圾总量＝400400＋100＋100＝2
3
.
(2)设生活垃圾投放错误为事件A ，则事件A －
表示生活垃圾投放正确．
事件A －
的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量与“其他
垃圾”箱里其他垃圾量的总和除以生活垃圾总量，即P (A －
)约为400＋240＋601 000＝0.7，
所以P (A )约为1－0.7＝0.3.
(3)当a ＝600，b ＝c ＝0时，s 2
取得最大值． 因为x ＝1
3
(a ＋b ＋c )＝200，
所以s 2＝13[(600－200)2＋(0－200)2＋(0－200)2
]＝80 000.
即s 2
的最大值为80 000.
[反思] 概率统计综合题一般是先给出样本数据或样本数据的分布等，在解题中首先要处理好数据，如数据的个数、数据的分布规律等，即把数据分析清楚，然后再根据题目的要求进行相关的计算．
【试一试】 某小型超市发现每天营业额Y (单位：万元)与当天进超市顾客人数X 有关．据统计，当X ＝700时，Y ＝4.6；当X 每增加10，Y 增加0.05.已知近20天X 的值为：1 400，1 100，1 900,1 600,1 400,1 600,2 200,1 100,1 600,1 600，1 900，1 400,1 100,1 600,2 200,1 400,1 600,1 600，1 900，700. (1)完成如下的频率分布表：
近20天每天进超市顾客人数频率分布表
(2)率，求今天营业额低于10.6万元高于4.6万元的概率．
解 (1)在所给数据中，进超市顾客人数为1 100的有3个，为1 600的有7个，为1 900的有3个，为2 200的有2个．故近20天每天进超市顾客人数频率分布表为
(2)由已知可得Y ＝4.6＋
10×0.05＝200
X ＋1.1， ∵4.6<Y <10.6，∴4.6<X
200＋1.1<10.6， ∴700<X <1 900.
∴P (4.6<Y <10.6)＝P (700<X <1 900)＝P (X ＝1 100)＋P (X ＝1 400)＋P (X ＝1 600)＝320＋
4
20
＋
720＝1420＝710
. 即今天营业额低于
10.6
万元高于
4.6
万元的概率为
710
.
对应学生
333
A 级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．把红、黑、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四个人，每人分得1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是
( )．
A ．对立事件
B ．不可能事件
C ．互斥但不对立事件
D ．以上答案都不对
解析 由于甲和乙有可能一人得到红牌，一人得不到红牌，也有可能甲、乙两人都得不到红牌，故两事件为互斥但不对立事件． 答案 C
2．(2013·日照模拟)从一箱产品中随机抽取一件，设事件A ＝{抽到一等品}，事件B ＝{抽到二等品}，事件C ＝{抽到三等品}，且已知P (A )＝0.65，P (B )＝0.2，P (C )＝0.1，则事件“抽到的不是一等品”的概率为
( )．
A ．0.7
B ．0.65
C ．0.35
D ．0.3
解析 由对立事件可得P ＝1－P (A )＝0.35. 答案 C
3．(2013·海口模拟)盒中装有10个乒乓球，其中6个新球，4个旧球．不放回地依次取出2个球使用，在第一次取出新球的条件下，第二次也取到新球的概率为
( )． A.35
B.
1
10 C.5
9
D.25
解析 第一次结果一定，盒中仅有9个乒乓球，5个新球4个旧球，所以第二次也取到新球的概率为5
9.
答案 C
4．(2013·揭阳二模)把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件A ，“第二次出现正面”为事件B ，则P (B |A )等于
( )．
A.12
B.1
4
C.1
6 D.18
解析 法一 P (B |A )＝P AB
P A ＝1412
＝12
.
法二 A 包括的基本事件为{正，正}，{正，反}，AB 包括的基本事件为{正，正}，因此P (B |A )＝12. 答案 A
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．对飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹．设A ＝{两次都击中飞机}，B ＝{两次都没击中飞机}，C ＝{恰有一次击中飞机}，D ＝{至少有一次击中飞机}，其中彼此互斥的事件是________，互为对立事件的是________．
解析 设I 为对飞机连续射击两次所发生的所有情况，因为A ∩B ＝∅，A ∩C ＝∅，B ∩C ＝∅，
B ∩D ＝∅.故A 与B ，A 与
C ，B 与C ，B 与
D 为彼此互斥事件，而B ∩D ＝∅，B ∪D ＝I ，故B
与D 互为对立事件．
答案 A 与B 、A 与C 、B 与C 、B 与D B 与D
6．(2013·成都模拟)某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品．若生产中出现乙级品的概率为0.03，丙级品的概率为0.01，则对成品抽查一件抽得正品的概率为________． 解析 记“生产中出现甲级品、乙级品、丙级品”分别为事件A ，B ，C .则A ，B ，C 彼此互斥，由题意可得P (B )＝0.03，P (C )＝0.01，所以P (A )＝1－P (B ＋C )＝1－P (B )－P (C )＝1－0.03－0.01＝0.96. 答案 0.96 三、解答题(共25分)
7．(12分)某战士甲射击一次，问：
(1)若事件A (中靶)的概率为0.95，事件A －
(不中靶)的概率为多少？
(2)若事件B (中靶环数大于6)的概率为0.7，那么事件C (中靶环数不大于6)的概率为多少？
解 (1)∵事件A (中靶)的概率为0.95，
根据对立事件的概率公式得到A －
的概率为1－0.95＝0.05.
(2)由题意知中靶环数大于6与中靶环数不大于6是对立事件，∵事件B (中靶环数大于6)的概率为0.7，
∴事件C (中靶环数不大于6)的概率为1－0.7＝0.3.
8．(13分)某公务员去开会，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为0.3,0.2,0.1,0.4，且只乘一种交通工具去开会．
(1)求他乘火车或乘飞机去开会的概率；
(2)求他不乘轮船去开会的概率；
(3)如果他乘某种交通工具去开会的概率为0.5，请问他有可能是乘何种交通工具去开会
的？
解(1)记“他乘火车去开会”为事件A1，“他乘轮船去开会”为事件A2，“他乘汽车去开会”为事件A3，“他乘飞机去开会”为事件A4，这四个事件不可能同时发生，故它们是彼此互斥的．故P(A1＋A4)＝P(A1)＋P(A4)＝0.3＋0.4＝0.7.
(2)设他不乘轮船去开会的概率为P，
则P＝1－P(A2)＝1－0.2＝0.8.
(3)由于0.3＋0.2＝0.5,0.1＋0.4＝0.5,1－(0.3＋0.2)＝0.5,1－(0.1＋0.4)＝0.5，
故他有可能乘火车或轮船去开会，也有可能乘汽车或飞机去开会．
B级能力突破(时间：30分钟满分：45分)
一、选择题(每小题5分，共10分)
1．甲：A1，A2是互斥事件；乙：A1，A2是对立事件．那么( )．A．甲是乙的充分但不必要条件
B．甲是乙的必要但不充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件
解析根据互斥事件和对立事件的概念可知互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件．
答案 B
2．从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是( )．
A.1
10
B.
3
10
C.
3
5
D.
9
10
解析从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球通过列举知共有10个基本事件；所取的3个球中至少有1个白球的反面为“3个球均为红色”，有1个基本事件，所以所取的
3个球中至少有1个白球的概率是1－1
10＝
9
10
.
答案 D
二、填空题(每小题5分，共10分)
3．某中学部分学生参加全国高中数学竞赛取得了优异成绩，指导老师统计了所有参赛同学的成绩(成绩都为整数，试题满分120分)，并且绘制了条形统计图(如下图所示)，则该中学
参加本次数学竞赛的人数为________，如果90分以上(含90分)获奖，那么获奖的概率大约是________．
解析 由题图可知，参加本次竞赛的人数为4＋6＋8＋7＋5＋2＝32；90分以上的人数为7＋5＋2＝14，所以获奖的频率为14
32＝0.437 5，即本次竞赛获奖的概率大约是0.437 5.
答案 32 0.437 5
4．(2013·浙江五校联考)在100件产品中有95件合格品，5件不合格品．现从中不放回地取两次，每次任取一件，则在第一次取到不合格品后，第二次再次取到不合格品的概率为________．
解析 设A ＝{第一次取到不合格品}，B ＝{第二次取到不合格品}，则P (AB )＝C 2
5
C 2100，所以
P (B |A )＝P AB
P A ＝5×4
100×995100＝499
答案
499
. 三、解答题(共25分)
5．(12分)(2013·长春模拟)黄种人群中各种血型的人所占的比如下表所示：
AB 型血的人，其他不同血型的人不能互相输血．小明是B 型血，若小明因病需要输血，问： (1)任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少？ (2)任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少？
解 (1)对任一人，其血型为A ，B ，AB ，O 型血的事件分别记为A ′，B ′，C ′，D ′，它们是彼此互斥的．由已知，有P (A ′)＝0.28，P (B ′)＝0.29，P (C ′)＝0.08，P (D ′)＝0.35. 因为B ，O 型血可以输给B 型血的人，故“可以输给B 型血的人”为事件B ′＋D ′.根据互
斥事件的概率加法公式，有P(B′＋D′)＝P(B′)＋P(D′)＝0.29＋0.35＝0.64.
(2)法一由于A，AB型血不能输给B型血的人，故“不能输给B型血的人”为事件A′＋
C′，且P(A′＋C′)＝P(A′)＋P(C′)＝0.28＋0.08＝0.36.
法二因为事件“其血可以输给B型血的人”与事件“其血不能输给B型血的人”是对立事件，故由对立事件的概率公式，有P(B′＋D′])＝1－P(B′＋D′)＝1－0.64＝0.36.
即：任找一人，其血可以输给小明的概率为0.64，其血不能输给小明的概率为0.36. 6．(13分)(2011·陕西)如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，据统计，通过两条路径所用的时间互不影响，所用时间落在各时间段内的频率如下表：
(1)为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站，甲和乙应如何选择各自的路径？
(2)用X表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数，针对(1)的选择方案，求
X的分布列和数学期望．
解(1)A i表示事件“甲选择路径L i时，40分钟内赶到火车站”，B i表示事件“乙选择路径L i时，50分钟内赶到火车站”，i＝1,2.
用频率估计相应的概率可得
P(A1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5，
∵P(A1)＞P(A2)，∴甲应选择L1；
P(B1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，
∵P(B2)＞P(B1)，∴乙应选择L2.
(2)A，B分别表示针对(1)的选择方案，甲、乙在各自允许的时间内赶到火车站，
由(1)知P(A)＝0.6，P(B)＝0.9，又由题意知，A，B独立，
∴P(X＝0)＝P(AB)＝P(A)P(B)＝0.4×0.1＝0.04，
P(X＝1)＝P(A B＋A B)＝P(A)P(B)＋P(A)P(B)
＝0.4×0.9＋0.6×0.1＝0.42，
P(X＝2)＝P(AB)＝P(A)P(B)＝0.6×0.9＝0.54.
∴X的分布列为
∴E(X)。