江西省南昌三中高二数学上学期期中考试试卷 理 新人教

南昌三中2011—2012学年度上学期期中考试
高二数学(理)试卷
一．选择题 （每小题５分，共50分）
1. 若双曲线x 2a 2－y 2
3
2＝1(a ＞0)的离心率为2，a ＝ ( )
A ．2 B. 3
C.3
2
D ．1 2. 从抛物线y 2
= 4x 上一点P 引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且|PM| = 5，设抛物线的焦
点为F ，则MPF ∆的面积为（ ）
A. 6
B. 8
C. 10
D. 15
3．过点（－1，3）且垂直于直线x －2y +3=0的直线方程为 ( ) A.2x+y －1=0 B.2x+y －5=0 C.x+2y －5=0 D.x －2y+7=0
4. 已知在四面体ABCD 中，,E F 分别是,AC BD 的中点，若2,4,AB CD EF AB ==⊥，则EF 与CD 所成的角的度数为（ ）
A ．90
B ．45
C ．60
D ．30
5. 已知圆心在x 轴上，半径是5且以A (5，4)为中点的弦长是25，则这个圆的方程是（ ）
A ．(x －3)2
+y 2
=25 B ．(x －7)2
+y 2
=25
C ．(x ±3)2+y 2=25
D ．(x －3)2+y 2=25或(x －7)2+y 2
=25
6. 正三棱锥内有一个内切球，经过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的图是 （ ）
A B C D
7. 已知直线l 1的方程是ax-y+b ＝0,l 2的方程是bx-y-a ＝0(ab ≠0,a ≠b)，则下列各示意图形中，正确的是 ( )
8. 由直线y=x +1上的一点向圆(x -3)2+y 2
=1引切线，则切线长的最小值为 （ ）
A ．1
B ． 22
C ．7
D ． 3
9．P 是双曲线
22
1916
x y -=的右支上一点，M 、N 分别是圆(x ＋5)2＋y 2＝4和(x －5)2＋y 2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为（ ）
A. 6
B.7
C.8
D.9
10. 已知椭圆的一个焦点为F ，若椭圆上存在点P ，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF 相切于线段PF 的中点，则该椭圆的离心率为 （ ）
A ．
3
B ．
23
C ．
2
D ．
59
二、填空题：（每小题５分，共25分）
11. 正方体各面所在的平面将空间分成_____________部分。

12. 过点P (1,2)作直线l ，使直线l 与点M (2,3)和点N (4，－5)距离相等，则直线l 的方程
为： ．
13. 若椭圆22221x y a b
+=过抛物线28y x =的焦点，且与双曲线22
1x y -=有相同的焦点，
则该椭圆的方程为： 。

14. 若AB 为抛物线y 2
=2p x (p>0)的动弦，且|AB|=a (a >2p)，则AB 的中点M 到y 轴的最近
距离是 。

15. 点P(a ,b )是双曲线x 2
-y 2
=1右支上一点，且P ，则a+b= 。

三、解答题：
16. （12分）求经过直线0623=++y x 和0752=-+y x 的交点，且在两坐标轴上的截
距相等的直线方程。

17. （12分）圆经过点A (2，－3)和B (－2，－5). （1）若圆的面积最小，求圆的方程；
（2）若圆心在直线x －2y －3=0上，求圆的方程.
18. （12分）求与双曲线116
92
2=-y x 有共同渐近线，并且经过点 （－3，32）的双曲线
方程。

19. （12分）如图，AB 是过椭圆左焦点F 的一弦，C 是椭圆的右焦点，已知|AB|=|AC|=4，
∠BAC=90°，求椭圆方程。

20. （13分） 已知圆2522=+y x ，ABC ∆内接于此圆，A 点的坐标)4,3(，O 为坐标原点．
（Ⅰ）若ABC ∆的重心是)2,3
5(G ,求直线BC 的方程；
（Ⅱ）若直线AB 与直线AC 的倾斜角互补，求证：直线BC 的斜率为定值． 21．（14分）已知一条曲线C 在y 轴右边，C 上没一点到点F(1,0)的距离减去它到y 轴距离
的差是1.
(Ⅰ)求曲线C 的方程；
(Ⅱ)是否存在正数m ，对于过点M(m,0)且与曲线C 有连个交点A,B 的任一直线，都有
FA FB •u u u r u u u r
﹤0 ? 若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由.
南昌三中2011—2012学年度上学期期中考试
高二数学(理)答卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
题号 1 2
3
4
5
6
7
8
9 10 答案
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
11. 12. 13. 14. 15. 三、解答题：
16. （12分）求经过直线0623=++y x 和0752=-+y x 的交点，且在两
坐标轴上的截距相等的直线方程。

17. （12分）圆经过点A (2，－3)和B (－2，－5). （1）若圆的面积最小，求圆的方程；
（2）若圆心在直线x －2y －3=0上，求圆的方程.
18. （12分）求与双曲线116
92
2=-y x 有共同渐近线，并且经过点 （－3，32）的双曲线方程。

19. （12分）如图，AB 是过椭圆左焦点F 的一弦，C 是椭圆的右焦点，已知|AB|=|AC|=4，
∠BAC=90°，求椭圆方程。

20. （13分） 已知圆2522=+y x ，ABC ∆内接于此圆，A 点的坐标)4,3(，O 为坐标原点．
（Ⅰ）若ABC ∆的重心是)2,3
5(G ,求直线BC 的方程；
（Ⅱ）若直线AB 与直线AC 的倾斜角互补，求证：直线BC 的斜率为定值． 21．（14分）已知一条曲线C 在y 轴右边，C 上没一点到点F(1,0)的距离减去它
到y 轴距离的差是1. (Ⅰ)求曲线C 的方程；
(Ⅱ)是否存在正数m ，对于过点M(m,0)且与曲线C 有连个交点A,B 的任一
直线，都有FA FB •u u u r u u u r
﹤0 ? 若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明
理由.
南昌三中2011—2012学年度上学期期中考试
高二数学(理)答案
命题人：胡炳华 审题：刘明和
一．选择题 （每小题５分，共50分）
1. 若双曲线x 2a 2－y 2
3
2＝1(a ＞0)的离心率为2，a ＝ ( B )
A ．2 B. 3
C.3
2
D ．1 2. 从抛物线y 2
= 4x 上一点P 引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且|PM| = 5，设抛物线的焦
点为F ，则MPF 的面积为（ C ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 15 3．过点（－1，3）且垂直于直线x －2y +3=0的直线方程为 ( A ) A.2x+y －1=0 B.2x+y －5=0 C.x+2y －5=0 D.x －2y+7=0
4. 已知在四面体ABCD 中，,E F 分别是,AC BD 的中点，若2,4,AB CD EF AB ==⊥，则EF 与
CD 所成的角的度数为（ D ）A ．90 B ．45 C ．60 D ．30
5. 已知圆心在x 轴上，半径是5且以A (5，4)为中点的弦长是25，则这个圆的方程是
（ D ）
A ．(x －3)2+y 2=25
B ．(x －7)2+y 2
=25
C ．(x ±3)2+y 2=25
D ．(x －3)2+y 2=25或(x －7)2+y 2
=25
6. 正三棱锥内有一个内切球，经过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的图是 （ C ）
A B C D
7. 已知直线l 1的方程是ax-y+b ＝0,l 2的方程是bx-y-a ＝0(ab ≠0,a ≠b)，则下列各示意图形中，正确的是 ( D )
8. 由直线y=x +1上的一点向圆(x -3)2+y 2
=1引切线，则切线长的最小值为 （ C ）
A ．1
B ． 22
C ．7
D ． 3
9．P 是双曲线
22
1916
x y -=的右支上一点，M 、N 分别是圆(x ＋5)2＋y 2＝4和(x －5)2＋y 2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为（ D ）
A. 6
B.7
C.8
D.9
10. 已知椭圆的一个焦点为F ，若椭圆上存在点P ，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF 相切于线段PF 的中点，则该椭圆的离心率为 （ A ）
A 5
B ．
23
C ．
22
D ．
59
二、填空题：（每小题５分，共25分）
11. 正方体各面所在的平面将空间分成____27_________部分。

12. 过点P (1,2)作直线l ，使直线l 与点M (2,3)和点N (4，－5)距离相等，则直线l 的方程
为：
_3x+2y —7=0或4x+y —6=0___．
13. 若椭圆22221x y a b
+=过抛物线28y x =的焦点，且与双曲线22
1x y -=有相同的焦点，
则该椭圆的方程为： 22
x y 142
+= 。

14. 若AB 为抛物线y 2
=2p x (p>0)的动弦，且|AB|=a (a >2p)，则AB 的中点M 到y 轴的最近距离是
1
(a p)2
－。

15. 点P(a ,b )是双曲线x 2
-y 2
=1右支上一点，且P 到渐近线距离为
2，则a+b=
12。

三、解答题：
16. （12分）求经过直线0623=++y x 和0752=-+y x 的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程。

略解：交点（－4，3），3x+4y=0或x ＋y ＋1=0 17. （12分）圆经过点A (2，－3)和B (－2，－5). （1）若圆的面积最小，求圆的方程；
（2）若圆心在直线x －2y －3=0上，求圆的方程.
略解：（1）22x (y 4)5++= （2）22
(x 1)(y 2)10++=＋
18. （12分）求与双曲线116
92
2=-y x 有共同渐近线，并且经过点 （－3，32）的双曲线
方程。

略解：22
4x y 194
-= 19. （12分）如图，AB 是过椭圆左焦点F 的一弦，C 是椭圆的右焦点，已知|AB|=|AC|=4，
∠BAC=90°，求椭圆方程。

22
1= 20. （13分） 已知圆2522=+y x ，ABC ∆内接于此圆，A 点的坐标)4,3(，O 为坐标原点．
（Ⅰ）若ABC ∆的重心是)2,3
5(G ,求直线BC 的方程；
（Ⅱ）若直线AB 与直线AC 的倾斜角互补，求证：直线BC 的斜率为定值． 答案：（本小题满分12分）
解：设1122(,),(,)B x y C x y 由题意可得：12123533423x x y y ++⎧=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩
即12121212x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩……2分 又221122222525x y x y ⎧+=⎨+=⎩ 相减得：12121212()()()()0x x x x y y y y +-++-= ∴1212
1y y x x -=-- …………………………4分 ∴直线BC 的方程为1(1)y x -=--，即20x y +-=．…………………………6分
（2）设AB ：(3)4y k x =-+，代入圆的方程整理得：
2222(1)(86)92490k x k k x k k ++-+--=
∵13,x 是上述方程的两根 ∴221122383464,11k k k k x y k k
----+==++ ………………………9分 同理可得：222222
383464,11k k k k x y k k +--++==++ ………………………11分 ∴121234
BC y y k x x -==-． ………………………13 21．（14分）已知一条曲线C 在y 轴右边，C 上没一点到点F(1,0)的距离减去它到y 轴距离的差是1.
(Ⅰ)求曲线C 的方程；
(Ⅱ)是否存在正数m ，对于过点M(m,0)且与曲线C 有连个交点A,B 的任一直线，都有FA FB
•u u u r u u u r ﹤0 ? 若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由.。