知识梳理4 解三角形及数列

第十二章 解三角形及数列
一.重点知识
1.解三角形重点知识：
1、正弦定理：
外接圆的半径）是ABC (2sin sin sin ∆===R R C
c
B b A a 2、余弦定理：C
ab b a c B ac c a b A
bc c b a cos 2cos 2cos 2222222222-+=-+=-+=
3、三角形面积公式：B ac A bc C ab S ABC sin 2
1
sin 21sin 21===∆
2.数列重点知识
1．在数列{a n }中，前n 项和S n 与通项a n 的关系为：⎩⎨
⎧∈≥-===-)
N n ,2( )1(
111n S S n S a a n n n
2.等差与等比数列的定义、通项公式、求和公式重要性质比较
3．知识梳理（数列求和的方法）
1.公式法：1）等差数列求和公式；2）等比数列求和公式；3）可转化为等差、等比的数列；
2.分组求和法：把数列的每一项分成多个项或把数列的项重新组合，使其转化成等差数列或等比数列，然后由等差、等比数列求和公式求解。

3.裂项相消法：即把每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只余有限几项，可求和。

如：1）
11
1111
()
n n n n
a a d a a
++
=-
⋅
；21
d
=。

常见裂项公式：（1）
111
(1)1
n n n n
++
=-；（2）1111
()
()
n n k k n n k
++
=-；
4.错位相减法：适用于差比数列（如果{}n a等差，{}n b等比，那么{}
n n
a b叫做差比数列）即把每一项都乘以{}n b的公比q，向后错一项，再对应同次项相减，转化为等比数列求和.
二．课前自测
1.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知1
=
a，1=
b，︒
=120
C，则=
c. 2．在ABC
∆中，已知
35
513
sin B,cos A
==，则cosC＝.
3.已知锐角△ABC的面积为33，BC＝4，CA＝3，则角C的大小为________．
4.在中，若，则最大角的余弦值等于_______________.
5、已知数列{a n}的前n项和S n＝n2＋3n＋1，求通项．
6、数列{}n a适合：11
a=，
1
n
a
+
2
2
n
n
a
a
=
+
，写出前四项并写出其通项公式；
7、在等差数列{a n}中，已知a15＝10，a45＝90，求a60
8、在等比数列{}n a中，若1232
a a a=，
234
16
a a a=, 则公比q=
ABC
∆6
:2:1
:
:=
c
b
a
三．典例解析
【例1】在∆ABC
中，已知=a
c 060=B ，求b 及A ；
【变式训练1】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2=
c ，6=b ，
︒=120B 。

求角A ，C ，边a 及三角形的面积
【例2】(1)在等差数列{a n }中，已知a 6＝10，S 5＝5，求a 8和S 8．
（2）已知等比数列{a n }中，a 1＋a n ＝66，a 2a n －1＝128，S n ＝126，求项数n 和公比q 的值．
【变式训练2】 在等差数列{a n }中，已知log 2(a 5＋a 9)＝3，则等差数列{a n }的前13项的和S 13＝________.
【变式训练3】等比数列中，，，则前9项之和等
于（ ）
A ．50
B ．70
C ．80
D ．90
{}n a 12340a a a ++=45620a a a ++=
【例3】记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2446,10a a S +==. （1）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）令2n n n b a =⋅*(N )n ∈，求数列{}n b 的前n 项和n T .
【变式训练3 】 已知数列的前项和为，且，. （1）求的值；（2）求数列的通项公式；
{}n a n n S 11=a n n S a 21=+432,,a a a {}n a n a。