2010版高中数学课时讲练通(必修5)：第一章数列1数列(北师大版)
北师大版高中数学必修5《一章 数列 1 数列 1.1数列的概念》赛课导学案_26
《数列的概念》教学设计一.教学内容解析本节课为北师大版必修五第一章第一节内容，主要讲授数列的概念及数列的通项公式，这部分内容是后续学习等差数列、等比数列及数列应用的基础。
教材中通过大量的实例引入了数列的概念，将生活实际与数学有机地联系在一起。
这能让学生能够体会到数学就在身边，是符合学生的认知规律。
作为数列概念的第一节课，要着重于培养学生的研究意识、创新意识、合作意识和应用意识，营造一个良好的教学开端。
教学过程中从日常生活中的实例入切入，直观感受并掌握其中的一些基本关系，感受数列在日常生活中的广泛应用。
基于以上教材分析，我将本节课教学重点确定为：理解数列的概念，认识到数列是反映自然规律的基本数学模型，探索并掌握数列的简单表示法。
二.学生学情分析数列对于学生来说虽然是一个全新的概念，但由于数列与函数有关内容有着密切的联系。
小初阶段有过找寻数字规律的训练，前期学习的函数相关知识也为他们学习数列奠定了基础。
但是在稍复杂的数列通项公式找寻过程中学生还是会遇到困难。
基于以上学情分析，我将本节课教学难点确定为：认识数列是一种特殊的函数，发现规律并找出数列可能的通项公式。
三.教学目标设置1.理解数列的基本知识，会用数列的通项公式表示数列。
2.通过类比函数学习数列，能够参悟转化与化归的数学基本思想。
在整个教学过程中渗透抽象概括、数学建模、数学运算的核心素养。
3.学习过程中通过大量生活中的实例导入、观察与思考，体验数学魅力，感受数学在解决实际问题中的作用。
四.教学策略分析数列是高中数学的重要内容，作为数列部分的起始内容，在整个教学过程中我将展示实际问题，借鉴生活规律，展现数学之美，从而营造不一样的课堂。
营造“生态课堂”、引导学生进行“动态学习”，让学生参与到整个课堂教学中来。
所以本节课对于教师角色的定位为引导教学者，成为学生学习条件的提供者、学习环境的营造者、学习动力的激励者。
五.教法与学法为了突出重点、突破难点实现教学目标，本节课我将采用直观教学法、讨论教学法、启发式教学、多媒体辅助教学法。
北师大版高中数学(必修5)1.1《数列》
• 二、数列的分类 • 1．根据数列的项数，可以将数列分为两 类： • (1)有穷数列：项数⑥________的数列； • (2)无穷数列：项数⑦________的数列．
• 2．根据数列的增减性，可以将数列分为 以下几类： • (1)递增数列：从第2项起，每一项都大于 它前面的一项的数列叫做⑧________； • (2)递减数列：从第2项起，每一项都小于 它前面的一项的数列叫做⑨________； • (3)常数数列：数列的各项都是常数的数列 叫做⑩________； • (4)摆动数列：从第2项起，有些项大于它 的前一项，有些项小于它的前一项的数列
• 友情提示：关于数列概念的理解应注意的 几点事项： • (1)数列是按一定“次序”排成的一列数， 一个数列不仅与组成数列的“数”有关， 而且与这些数的排列顺序有关．因此，如 果组成数列的数相同而排列次序不同，那 么它们就是不同的数列； • (2)数列与数集的区别与联系：数列与数集 都是具有某种共同属性的数的全体．数列 中的数是有序的，而数集中的元素是无序 的，同一个数在数列中可以重复出现，而
• (3)数列的项与它的项数是不同的概念：数 列的项是指这个数列中的某一个确定的数， 是一个函数值，也就是相当于f(n)；而项数 是指这个数在数列中的位置序号，它是自 变量的值，相当于f(n)中的n； • (4)次序对于数列来讲是十分重要的，若两 个数列中有几个相同的数，由于它们的排 列次序不同，构成的数列就不是一个相同 的数列，显然数列与数集有本质的区别．
• 1．1 数列的概念 • 1．2 数列的函数特性
• 一、数列的概念 • 按照①________排列着的一列数都和它的序号有 关，排在第一位的数称为这个数列的第1 项(通常也叫做③________)，排在第二位 的数称为这个数列的第2项……排在第n位 的数称为这个数列的第n项．所以，数列 的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，
北师大版高中数学必修5第一章数列第1课时等比数列学案含解析
北师大版高中数学必修5：§3 等比数列3.1 等比数列 第1课时 等比数列内 容 标 准学 科 素 养 1.掌握等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式，并会应用.3.能够应用定义判断一个数列是否为等比数列.增强数学抽象 形成逻辑推理 提升数学运算授课提示：对应学生用书第17页[基础认识]知识点一 等比数列的定义2123，思考并完成以下问题 观察下面几个数列 ①1，2，4，8，16，…②1，12，14，18，116，…③1，－1，1，－1，1，… ④12，－1，2，－4，8，… (1)上面几组数列是等差数列吗？为什么？提示：都不是等差数列，因为不符合等差数列的定义．(2)如果要研究每个数列中相邻两项的关系，你会发现有怎样的共同特点？ 提示：从第2项起，每一项与前一项的比都等于同一个非零常数． (1)文字语言如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫作等比数列，这个常数叫作等比数列的公比，公比通常用字母q 表示(q ≠0)． (2)符号语言 a n ＋1a n＝q (q 为常数且q ≠0，n ∈N ＋)． 知识点二 等比数列的通项公式 1．你能用一个数学式子表示出等比数列的定义吗？提示：能.a n ＋1a n ＝q 或a na n －1＝q (n ≥2)或a n ＋1＝qa n 或a n ＝q ·a n －1(n ≥2)．2．根据问题1中的式子，你能归纳出等比数列的通项公式吗？提示：能．由a 2＝a 1q ，a 3＝a 2q ＝a 1q 2，a 4＝a 3q ＝a 1q 3，…可猜测a n ＝a 1q n －1. 已知等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q (q ≠0)，则(1)递推公式：a na n －1＝q (n ≥2)；(2)通项公式：a n ＝a 1q n －1．[自我检测]1．下列各组数成等比数列的是( )①1，－2，4，－8；②－2，2，－22，4；③x ，x 2，x 3，x 4；④a －1，a －2，a －3，a －4. A ．①② B ．①②③C ．①②④D ．①②③④解析：由等比数列的定义知，①、②、④是等比数列，③中当x ＝0时，不是等比数列，故选C.答案：C2．已知等比数列{a n }中，a 1＝32，公比q ＝－12，则a 6等于( )A ．1B ．－1C ．2 D.12解析：a 6＝a 1q 5＝32×⎝⎛⎭⎫－125＝－1.故选B.答案：B3．在等比数列{a n }中，a 1＝2，公比q ＝2，若a n ＝128，则n ＝________．解析：a n ＝2×2n －1＝2n ，由2n ＝128，解得n ＝7. 答案：7授课提示：对应学生用书第18页探究一 等比数列的判定[阅读教材P22例1及解答]以下数列中，哪些是等比数列？(1)1，－12，14，－18，116；(2)1，1，1，1， (1)(3)1，2，4，8，12，16，20； (4)a ，a 2，a 3，…，a n . 题型：等比数列的判定． 方法步骤：①明确定义． ②验证得结论．[例1] 数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝a 2n ＋6a n ＋6(n ∈N ＋)，设c n ＝log 5(a n ＋3)．求证：{c n }是等比数列．[解题指南] 利用定义得出a n ＋1a n＝q .q 是一个与n 无关的常数即可．[证明] 由a n ＋1＝a 2n ＋6a n ＋6， 得a n ＋1＋3＝(a n ＋3)2.∴log 5(a n ＋1＋3)＝log 5(a n ＋3)2＝2log 5(a n ＋3)， 即c n ＋1＝2c n ，又c 1＝log 55＝1≠0， ∴c n ＋1c n＝2，∴{c n }是等比数列． 方法技巧 判断一个数列{a n }是等比数列的方法(1)定义法：若数列{a n }满足a n ＋1a n ＝q (q 为常数且不为零)或a na n －1＝q (n ≥2，q 为常数且不为零)，则数列{a n }是等比数列．(2)通项公式法：若数列{a n }的通项公式为a n ＝a 1q n －1(a 1≠0，q ≠0)，则数列{a n }是等比数列． (3)构造法：在条件中出现a n ＋1＝ka n ＋b 关系时，往往构造数列，方法是把a n ＋1＋x ＝k (a n ＋x )与a n ＋1＝ka n ＋b 对照，求出x 即可．拓展：若{a n }是等比数列，则{ka n }成等比数列，(其中k 为不为零的常数)；若{a n }、{b n }成等比数列，则{a n b n }、⎩⎨⎧⎭⎬⎫a nb n 成等比数列．跟踪探究 1.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝13(a n －1)(n ∈N ＋)．(1)求a 1，a 2.(2)求证：数列{a n }是等比数列．解析：(1)由S 1＝13(a 1－1)，得a 1＝13(a 1－1)，所以a 1＝－12，又S 2＝13(a 2－1)，即a 1＋a 2＝13(a 2－1)，得a 2＝14.(2)证明：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝13(a n －1)－13(a n －1－1)得a n a n －1＝－12，故{a n }是首项为－12，公比为－12的等比数列．探究二 等比数列中基本量的计算[阅读教材P23例2及解答]一个等比数列的首项是2，第2项与第3项的和是12，求它的第8项的值．题型：等比数列基本量的计算．方法步骤：①根据已知条件确定首项a 1和公比q . ②结合通项公式求出a 8. [例2] 在等比数列{a n }中，(1)若a 2＝4，a 5＝－12，求a n ；(2)若a 2＋a 5＝18，a 3＋a 6＝9，a n ＝1，求n .[解题指南] (1)由a 2＝4，a 5＝－12能否建立a 1，q 的方程组求出a 1，q ？怎样写出通项公式a n?(2)由已知条件能否求a 1，q ？怎样求？怎样求n? [解析] 设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q .(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝a 1q ＝4，a 5＝a 1q 4＝－12∴q ＝－12，a 1＝－8. ∴a n ＝a 1q n －1＝－8×⎝⎛⎭⎫－12n －1＝(－2)4－n . (2)∵a 3＋a 6＝(a 2＋a 5)q ，即9＝18q ，∴q ＝12.由a 1q ＋a 1q 4＝18得a 1＝32.由a n ＝a 1q n －1＝1知n ＝6.方法技巧 1.求等比数列某项的方法先建立关于a 1和q 的两个方程，从而求出a 1和q ，再求其他项． 2．等比数列通项公式的求法(1)根据已知条件，建立关于a 1，q 的方程组，求出a 1，q 后再求a n ，这是常规方法．(2)充分利用各项之间的关系，直接求出q 后，再求a 1，最后求a n ，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算． 跟踪探究 2.(2019·昌吉市模拟)在等比数列{a n }中，a 1＝1，a 5＝4，则a 3＝( ) A ．2 B ．－2 C ．±2 D. 2解析：在等比数列中，由a 5＝4得a 5＝q 4＝4，得q 2＝2，则a 3＝a 1q 2＝2.故选A. 答案：A3．在等比数列{a n }中，a 1·a 9＝256，a 4＋a 6＝40，则公比q ＝________．解析：∵a 1a 9＝a 21q 8，a 4a 6＝a 1q 3·a 1q 5＝a 21q 8，∴a 1a 9＝a 4a 6，列方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 6＝40，a 4·a 6＝256.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝32，a 6＝8或⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝8，a 6＝32. ∴q 2＝a 6a 4＝832＝14或q 2＝328＝4.∴q ＝±12或q ＝±2.答案：－2或2或－12或12探究三 等比数列项的设法[例3] 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．[解题指南] 可设这四个数依次为2a q －a ，aq，a ，aq (a ≠0，q ≠0)然后依据条件建立方程组求解．[解析] 设这四个数依次为2a q －a ，aq，a ，aq (a ≠0，q ≠0)，由条件得⎩⎨⎧2aq －a ＋aq ＝16.a q＋a ＝12.解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a ＝8或⎩⎪⎨⎪⎧q ＝13，a ＝3.当q ＝2，a ＝8时，所求四个数为0，4，8，16；当q ＝13，a ＝3时，所求四个数为15，9，3，1.延伸探究 若将本例中的“和是16”改为“积是－128”，将“和是12”改为“积为16”，如何求解？解析：设所求四个数依次为2a q －aq ，aq，aq ，aq 3.则由已知⎩⎨⎧⎝⎛⎭⎫a q ·（aq ）＝16， ①⎝⎛⎭⎫2a q －aq ·（aq 3）＝－128. ②由①得a 2＝16，所以a ＝4或a ＝－4. 由②得2a 2q 2－a 2q 4＝－128. 将a 2＝16代入整理，得q 4－2q 2－8＝0，解得q 2＝4， 所以q ＝2或q ＝－2.所以所求的四个数分别为－4，2，8，32或4，－2，－8，－32. 方法技巧 几个数成等比数列的设法(1)三个数成等比数列设为aq，a ，aq .推广到一般：奇数个数成等比数列设为：…，a q 2，aq，a ，aq ，aq 2，…(2)四个符号相同的数成等比数列设为： a q 3，aq，aq ，aq 3. 推广到一般：偶数个符号相同的数成等比数列设为：…，a q 5，a q 3，aq，aq ，aq 3，aq 5，….跟踪探究 4.三个数成等比数列，其积为512，如果第一个数与第三个数各减去2，则这三个数成等差数列，求这三个数．解析：设这三个数依次为aq，a ，aq ，∵a q·a ·aq ＝512，∴a ＝8， ∵⎝⎛⎭⎫a q －2＋(aq －2)＝2a ，∴2q 2－5q ＋2＝0，∴q ＝2或q ＝12.∴这三个数为4，8，16或16，8，4.授课提示：对应学生用书第19页[课后小结](1)等比数列的判断或证明①利用定义：a n ＋1a n＝q (与n 无关的常数)．②利用等比中项：a 2n ＋1＝a n a n ＋2(n ∈N ＋)．(2)等比数列的通项公式a n ＝a 1q n －1共涉及a 1，q ，n ，a n 四个量，已知其中三个量可求得第四个量．(3)巧设等差数列、等比数列的方法：①若三数成等差数列，常设成a －d ，a ，a ＋d .若三数成等比数列，常设成aq，a ，aq 或a ，aq ，aq 2.②若四个数成等比数列，可设为a q ，a ，aq ，aq 2.若四个正数成等比数列，可设为a q 3，aq，aq ，aq 3.[素养培优]忽略数列首项致误已知数列{a n }的前n 项和S n 满足关系式lg(S n ＋1)＝n (n ＝1，2，…)，试说明数列{a n }是等比数列．易错分析 判断数列为等比数列时，根据定义，是从第2项起，后一项与前一项的比是同一非零常数．故需讨论a n 与a n (n ≥2)的关系，即要验证n ＝1是否成立，否则就会使论证不够严密，甚至出现错误的结果．本题考查逻辑推理的学科素养． 自我纠正 由已知可知：S n ＝10n －1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(10n －1)－(10n －1－1)＝9×10n －1. 又当n ＝1时，a 1＝S 1＝9也满足上述通项公式．∴数列{a n }的通项公式a n ＝9×10n －1.而当n ≥2时，a n a n －1＝9×10n －19×10n －2＝10为一常数．∴数列{a n }是等比数列.。
北师大高二数学必修五40分钟课时作业：1-1-1数列的概念
分钟课时作业一、选择题：每小题5分，共30分.1.下列说法中，正确的是（）A.数列1,3,5,7可表示为｛1,3,5,7｝B.数列1,0, — 1, —2与数列一2, —1,0,1是相同的数列C.数列｛字｝的第比项为1+£D.数歹!] 024,6$…可记为｛2〃｝解析：A中，｛135/7｝表示集合，所以A不正确；数列中的各项是有顺序的，所以B不正确；D中，数列应记为｛2〃一2｝, 所以D不正确；很明显C正确.答案：C2.数列1，0丄0丄0丄0,…的一个通项公式是（ ） ▲ 1—(—1 严 1+(—1严 A ・ a - — 2 13 ・ ci n ~— 2 (-iy-i —1—(—1)"—2 JD ・ a n = ■ 2 解析:斤=1时，验证知B 正确. 答案：B3.已知数列一1,的值为（）1A-51C,25解析：当n = 5时, 答案：D1 1 1_彳（_1）"庐则它的第5项B.-（T）A点D.254.数列迈，A/5, 2辺，V11,…，则2审是该数列的（A.第6项B.第7项C.第10项D.第11项解析：由ci n—1 — 2^/5,解得zi=7.答案：B5・已知数列的通项公式冷于（）A. 70 B・ 28C・20D・8f3n+l, 〃为奇数,[2n—2, 〃为偶数,则等C.3n+1, 〃为奇数，, 心解析：由给=]2〃_2农为俚数得。
2。
3 = 2 X 10 = 20.二选答案：C6.已知a n=n那么（）A. 0是数列中的一项B. 21是数列中的一项C. 702是数列中的一项D.以上答案都不对解析:9：a f=n(n+\^且702 = 26X27, A 702 是第26 项, 故选C.答案：C二、填空题：每小题5分，24 35 48 637-数列亍~59 10, 17, 26J共15分.…的一个通项公式为解析：此数列各项都是分式，且分母都减去1为1,4,9,16,25,…，故分母可用n 2+l 表肩 若分子各项都加1为 16,25,36,49,64,…，故分子可用(n+3)2—1表贰 故其通项公式(“ + 3)2—1n 2+18.数列｛给｝的通项公式为©=log 卄心+2),则它前14项的可为a n =5+3)2—1/ +1积为_________解析：log234og34*log45 • • • • *logi516 = log216=4.答案：49.已知数列他a n = cosn3, OV0V&贝V «io =兀 兀又•••OV0V/ •••&=忑rm答案: 三、解答题：每小题15分，共45分.二根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式:八 兀 5&=2hi± 亍伙 WZ)— cos 15, Cl\o — cos -^ 2*1解析: •Cl4 14 2⑴弓，刁T1 9 25(2)刁2, 2* 8, 2 ,…；⑶1,3,6,10,15,…；(4)7,77,777,….解：(1)注意前4项中有两项的分子为4,不妨把分子统一为4,即为扌，春，卷，…，于是它们的分母依次相差3,因而有43/1 + 2*(2)把分母统一为2,则有*, |,学,y因而有an2-⑶注意6 = 2X3,10=2X5,15 = 3X5,规律还不明显，再把各 因而有a n =(4)把各项除以7,得1,11,111,再乘以9,得9,99,999, 7 因而有给=0(10"—1).项的分子和分母都乘以2,即 1X2 2X3 3X4 4X5 5X611.在数列｛©｝中，°i = 0, =a n J r(2n — 1)(«GN ),试写出数列的前4项，并归纳出通项公式.解：VtZi =0? a n+i =a n-\-(2n—1)(〃WN)，/.6/2=6Z I+(2X 1 —1)=1,6/3=02+(2X2 —1)=4，04=03 + (2x3—1) = 9,…■ 2a n = (n—1) •Yl12.(1)已知数列｛©｝的通项公式为给=齐干试判断0.7是不是数列｛给｝中的一项？若是，是第几项?riTT⑵已知数列｛给｝的通项公式为给=3 —2cos~y・求证:〃7解：⑴令n2qr[=0-7^ 则3H2 = 7,即n=y 此时斤无整数解，故0.7不是这个数列中的项.(2)因为给卄4=3 —2cos (777 + 4)兀2+4 仇m •。
高中数学北师大版必修五《第一章 数列1 数列》课件
(1) lim C C (2) lim C 0 (3) lim qn 0 . ( q 1 )
n
n n
n
三.例.求下列数列的极限
3n 1
1.
lim n 2n
n2 1
2.
lim
n
n2
1000
3.
lim
n
n2 n
3 1
n
4. lim n
n2
4
n
n2
7
n
...
3n 1 n2 n
1)四则运算法则只对任意有限个数列可进行四 则运算，(1)小题数列个数是无穷的，不适用 于四则运算法则，因此应先求和后求极限.
观察பைடு நூலகம்
数列
1
(1)n1 n
当
n
时的
变化趋势.
问题: 当 n无穷增大时, an是否无穷接近于某一
肯定的数值?如果是,如何肯定?
通过上面演示实验的视察:
当n
无限增大时,
an
1
(1)n1 n
无限接近于 1.
对极限仅仅停留于直观的描写和视察是非常不够的
凭视察能判定数列 明显不能
an
(1
1 )n n
的极限是多少吗
“无穷接近”意味着什么?如何用数学语言刻画它. 这问题有 待在高等数学中作系统的深入研究.
1. 定义 如果当n时，数列an无穷趋近于一个肯定
的常数A，那么A就叫做数列an当n 时的极限. 记
作
lim
n
an
A
严格的数学定义
e 如果对于任意给定的正数
( 不论它多么
小 ), 总存在正数 N , 使得对于 n > N 时的一切 a n ,
北师大版高中必修5第一章数列课程设计
北师大版高中必修5第一章数列课程设计一、背景数列是数学中一种基本的概念，也是高中数学必修的一个章节。
数列的概念不仅在数学中有广泛的应用，也涉及到某些实际问题的策略和方法。
因此，数列的学习对高中数学的日常课程以及未来的学习和发展有重要的影响。
二、课程设计目标通过本课程，学生应该能够达到以下目标：•掌握数列的概念和性质；•熟练进行数列的公式推导及题目求解；•对数列的应用能够有一定的理解和掌握。
三、教学内容3.1 数列的概念1.数列概念1.等差数列的概念2.等比数列的概念3.斐波那契数列的概念2.数列的性质1.数列有界性及数列极限的概念2.数列的递推公式及通项公式3.2 数列的基本操作1.求和公式的推导及实际应用2.数列基本操作题目讲解及习题完成3.3 数列的应用1.数列在实际问题中的应用2.数列应用题目讲解及习题完成四、教学步骤4.1 第一课时4.1.1 导入数列是数学中的一个基础概念，本章的教学将介绍所涉及到的数列类型及数列的基本性质，让同学们对此有一个清晰的认识。
4.1.2 引入本节课将主要讲解等差数列的概念及性质，包括差、首项、公差等。
学生应该学会如何求出等差数列的通项公式及其与和式的关系。
4.1.3 操作1.老师首先讲解等差数列的概念及性质。
2.引导学生完成一系列简单的等差数列题目，以掌握其推导和应用方法。
3.最后让学生独立完成几道综合性的等差数列应用题目。
4.2 第二课时4.2.1 导入本节课将主要讲解等比数列的概念及性质，包括比、首项、公比等。
学生应该学会如何求出等比数列的通项公式及其与和式的关系。
4.2.2 引入本章主要讲解斐波那契数列的概念及其应用，引导学生从一个简单的问题入手，渐渐深入到一系列的高层应用。
4.2.3 操作1.老师首先讲解等比数列的概念及性质。
2.引导学生完成一系列简单的等比数列题目，以掌握其推导和应用方法。
3.最后让学生独立完成几道综合性的等比数列应用题目。
4.3 第三课时4.3.1 导入数列学习的最后一个环节是数列的应用，是这个学习过程的重点，将深入介绍数列在实际问题中的应用。
数学北师大版高中必修5北师大版高中数学必修5第一章《数列》第一课时 数列的概念
第一课时 1.1.1 数列的概念一、教学目标1、知识与技能：（1）理解数列及其有关概念；（2）了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；（3）对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的通项公式。
2、过程与方法：（1）采用探究法，按照思考、交流、实验、观察、分析、得出结论的方法进行启发式教学；（2）发挥学生的主体作用，作好探究性学习；（3）理论联系实际，激发学生的学习积极性。
3、情感态度与价值观：（1）.通过日常生活中的大量实例，鼓励学生动手试验.理论联系实际，激发学生对科学的探究精神和严肃认真的科学态度，培养学生的辩证唯物主义观点；（2）.通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣二、教学重点：数列及其有关概念，通项公式及其应用教学难点根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式.三、教学方法：探究、交流、实验、观察、分析四、教学过程（一）、揭示课题:今天开始我们研究一个新课题．先举一个生活中的例子：场地上堆放了一些圆钢，最底下的一层有100根，在其上一层（称作第二层）码放了99根，第三层码放了98根，依此类推，问：最多可放多少层？第57层有多少根？从第1层到第57层一共有多少根？我们不能满足于一层层的去数，而是要但求如何去研究，找出一般规律．实际上我们要研究的是这样的一列数象这样排好队的数就是我们的研究对象——数列．（二）、推进新课［合作探究］折纸问题师请同学们想一想，一张纸可以重复对折多少次？请同学们随便取一张纸试试(学生们兴趣一定很浓生一般折5、6次就不能折下去了，厚度太高了师你知道这是为什么吗？我们设纸原来的厚度为1长度单位，面积为1面积单位，随依次折的次数，它的厚度和每层纸的面积依次怎样？生随着对折数厚度依次为:2，4，8，16，…，256，…；随着对折数面积依次为21,41 ,81 ,161 ,…,2561生 对折8次以后，纸的厚度为原来的256倍，其面积为原来的分 1[]256式，再折下去太困难了师 说得很好，随数学水平的提高，我们的思维会更加理性化.请同学们观察上面我们列出的这一列一列的数，看它们有何共同特点？生 均是一列数生 还有一定次序师 它们的共同特点：都是有一定次序的一列数［教师精讲］1.数列的定义：按一定顺序排列着的一列数叫做数列注意：（1）数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；（2）定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现2.数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第1项(或首项)，第2项，…，第n 项，….同学们能举例说明吗？生 例如，上述例子均是数列，其中①中，“2”是这个数列的第1项(或首项)，“16”是这个数列中的第4项为表述方便给出几个名称：项--------数列中的每一个数叫做这个数列的项.首项-------其中数列的第一项也称首项.通项-------数列的第n 项叫数列的通项．以上述两个数列为例，让学生练习指出某一个数列的首项是多少，第二项是多少，指出某一个数列的一些项的项数．由此可以看出，给定一个数列，应能够指明第一项是多少，第二项是多少，……，每一项都是确定的，即指明项数，对应的项就确定．所以数列中的每一项与其项数有着对应关系，这与我们学过的函数有密切关系．3.数列的分类：1)根据数列项数的多少分：有穷数列：项数有限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6是有穷数列无穷数列：项数无限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6…是无穷数列2)根据数列项的大小分：递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列.递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列.常数数列：各项相等的数列.摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列请同学们观察：课本的六组数列，哪些是递增数列、递减数列、常数数列、摆动数列？ 生 这六组数列分别是(1)递增数列，(2)递增数列，(3)常数数列，(4)递减数列，(5)摆动数列，(6)1.递增数列，2.递减数列4、通项公式法:如数列的通项公式为 ；的通项公式为 ；的通项公式为 ；数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第 项，又是这个数列中所有各项的一般表示．通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系，给了数列的通项公式，这个数列便确定了，代入项数就可求出数列的每一项．例如，数列 的通项公式 ，则 ． 值得注意的是，正如一个函数未必能用解析式表示一样，不是所有的数列都有通项公式，即便有通项公式，通项公式也未必唯一． ［知识拓展］师 你能说出上述数列①中的256是这数列的第多少项？能否写出它的第n 项？ 生 256是这数列的第8项，我能写出它的第n 项，应为a n =2n［例题剖析］例1.根据下面数列{a n }的通项公式，写出前5项：(1)a n =1 n n ;(2)a n =(-1)n ·n师 由通项公式定义可知，只要将通项公式中n 依次取1，2，3，4，5，即可得到数列的前5项生 解：(1)n =1,2,3,4,5.a 1=21;a 2=32;a 3=43;a 4=54;a 5=65 (2)n =1,2,3,4,5.a 1=-1;a 2=2;a 3=-3;a 4=4;a 5=-师 好！就这样解例2.根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：(1)3，5，7，9，11，…；(2)32，154，356，638，9910，…； (3)0，1，0，1，0，1，…；(4)1，3，3，5，5，7，7，9，9，…；(5)2，-6，12，-20，30，-42，师 这里只给出数列的前几项的值，哪位同学能写出这些数列的一个通项公式？(给学生一定的思考时间生老师，我写好了！解：(1)a n ＝2n ＋1；(2)a n ＝)12)(12(2+-n n n ；(3)a n ＝2)1(1n-+； (4)将数列变形为1＋0，2＋1，3＋0，4＋1，5＋0，6＋1，7＋0，8＋1，…，a n ＝n ＋2)1(1n -+；(5)将数列变形为1×2，-2×3，3×4，-4×5，5×6，…，a n ＝(-1)n +1n (n ＋师 完全正确！这是由“数”给出数列的“式”的例子，解决的关键是要找出这列数呈现出的规律性的东西，然后再通过归纳写出这个数列的通项公式（三）、学生课堂练习：课本本节练习1、2、3、4补充题：已知数列{a n }的通项公式是a n =2n 2-n ，那么(A.30是数列{a n }的一项B .44是数列{a n }的一项C.66是数列{a n }的一项 D .90是数列{a n }的一项分析：注意到30，44，66，90均比较小，可以写出这个数列的前几项，如果这前几项中出现了这四个数中的某一个，则问题就可以解决了.若出现的数比较大，还可以用解方程求正整数解的方法加以解决答案：点评：看一个数A 是不是数列{a n }中的某一项，实质上就是看能不能找出一个非零自然数n ，使得a n =A（四）、课堂小结：对于本节内容应着重掌握数列及有关定义，会根据通项公式求其任意一项，并会根据数列的前n 项求一些简单数列的通项公式。
2010版高中数学课时讲练通(必修5)：目录(北师大版)
第一章 数 列
§1 数 列
1.1 数列的概念㊃2
1.2 数列的函数特性㊃7
§2 等差数列
2.1 等差数列
第1课时 等差数列㊃10
第2课时 等差数列的性质㊃15
2.2 等差数列的前n项和
第1课时 等差数列的前n项和㊃19
第2课时 等差数列习题课㊃23§3 等比数列
3.1 等比数列
第1课时 等比数列㊃28
第2课时 等比数列的性质㊃32
3.2 等比数列的前n项和
第1课时 等比数列的前n项和㊃36
第2课时 等比数列习题课㊃40§4 数列在日常经济生活中的应用㊃45●单元质量评估(一)(教师专用)●阶段质量评估(一)(教师卷)
第二章 解三角形
§1 正弦定理与余弦定理
1.1 正弦定理㊃50
1.2 余弦定理㊃55
§2 三角形中的几何计算㊃59
§3 解三角形的实际应用举例㊃64 ●单元质量评估(二)(教师专用) ●阶段质量评估(二)(教师卷)
第三章 不等式
§1 不等关系㊃68
§2 一元二次不等式
2.1 一元二次不等式的解法㊃72
2.2 一元二次不等式的应用㊃77 §3 基本不等式
3.1 基本不等式㊃81
3.2 基本不等式与最大(小)
值㊃85
§4 简单线性规划
4.1 二元一次不等式(组)与
平面区域㊃89
4.2 简单线性规划㊃94
4.3 简单线性规划的应用㊃98
●单元质量评估(三)(教师专用) ●阶段质量评估(三)(教师卷) ●综合质量评估(教师专用)。
高中数学1.1数列第1课时练习北师大必修5
第一章 §1 第1课时一、选择题1．下列有关数列的说法正确的是( )①同一数列的任意两项均弗成能相同；②数列－1,0,1与数列1,0，－1是同一个数列；③数列中的每一项都与它的序号有关．A ．①②B ．①③C ．②③D ．③[答案] D[解析] ①是错误的，例如无穷个3构成的常数列3,3,3，…的各项都是3；②是错误的，数列－1,0,1与数列1,0，－1各项的按次分歧，即暗示分歧的数列；③是正确的，故选D ．2．下面四个结论：①数列可以看作是一个定义在正整数集(或它的有限子集{1,2,3……，n})上的函数． ②数列若用图像暗示，从图像上看都是一群孤立的点．③数列的项数是无限的．④数列通项的暗示式是独一的．其中正确的是( )A ．①②B ．①②③C ．②③D ．①②③④[答案] A[解析] 数列的项数可以是有限的也可以是无限的．数列通项的暗示式可以不独一．例如数列1,0，－1,0,1,0，－1,0……的通项可以是an ＝sin nπ2，也可以是an ＝cos n ＋3π2等等． 3．已知an ＝n2＋n ，那么( )A ．0是数列中的项B ．20是数列中的项C ．3是数列中的项D ．930不是数列中的项[答案] B[解析] ∵an ＝n(n ＋1)，且n ∈N ＋，∴an 的值为正偶数，故排除A 、C ；令n2＋n ＝20，即n2＋n －20＝0，解得n ＝4或n ＝－5(舍去)．∴a4＝20，故B 正确； 令n2＋n ＝930，即(n ＋31)(n －30)＝0.∴n ＝30或n ＝－31(舍去)，∴a30＝930，故D 错．4．数列2，5，22，11，…，则25是该数列的( )A ．第6项B ．第7项C ．第10项D ．第11项[答案] B[解析] 数列2，5，22，11，…的一个通项公式为an ＝3n －1(n ∈N ＋)，令25＝3n －1，得n ＝7.故选B ．5．数列1，－3,5，－7,9，…的一个通项公式为( )A ．an ＝2n －1B ．an ＝(－1)n(1－2n)C ．an ＝(－1)n(2n －1)D ．an ＝(－1)n(2n ＋1)[答案] B[解析] 当n ＝1时，a1＝1排除C 、D ；当n ＝2时，a2＝－3排除A ，故选B ．6．已知数列12，23，34，45，…，n n ＋1，则0.96是该数列的( ) A ．第22项B ．第24项C ．第26项D ．第28项[答案] B [解析] 因为数列的通项公式为an ＝n n ＋1， 由n n ＋1＝0.96得n ＝24，故选B ． 二、填空题 7．已知数列3，3，15，21，33，…，32n －1，…，则9是这个数列的第________项．[答案] 14[解析] 数列可写为3，3×3，3×5，3×7，3×9，…，32n －1，…，所以an ＝32n －1，令32n －1＝9.∴n ＝14.8．已知数列{an}的通项公式是an ＝n2＋n ＋1n ＋1，则它的前4项为________． [答案] 32，73，134，215[解析] 取n ＝1,2,3,4，即可计算出结果．当n ＝1时，a1＝1＋1＋11＋1＝32， 当n ＝2时，a2＝4＋2＋12＋1＝73， 当n ＝3时，a3＝9＋3＋13＋1＝134， 当n ＝4时，a4＝16＋4＋14＋1＝215. 三、解答题9．按照下面数列{an}的通项公式，写出它的前5项．(1)an ＝n2－12n －1；(2)an ＝sin nπ2；(3)an ＝2n ＋1. [解析] (1)在通项公式中依次取n ＝1,2,3,4,5，获得数列{an}的前5项为0,1，85，157，83；(2)在通项公式中依次取n ＝1,2,3,4,5，获得数列{an}的前5项为：1,0，－1,0,1；(3)在通项公式中依次取n ＝1,2,3,4,5，获得数列{an}的前5项为3,5,9,17,33.10．写出下列各数列的一个通项公式：(1)4,6,8,10，…；(2)12，34，78，1516，3132，…； (3)23，－1，107，－179，2611，－3713，…；(4)3,33,333,3 333, ….[解析] (1)各项是从4开始的偶数，所以an ＝2n ＋2；(2)每一项分子比分母少1，而分母可写成21,22,23,24,25，…，分子分别比分母少1，故所求数列的通项公式可写为an ＝2n －12n ；(3)数列中正、负数相间，故每项中必需含有一个(－1)n ＋1这个因式，而后去掉负号，观察可得．将第二项－1写成－55.分母可化为3,5,7,9,11,13，…，为正奇数，而分子可化为12＋1,22＋1,32＋1,42＋1,52＋1,62＋1，…，故其通项公式可写为an ＝(－1)n ＋1·n2＋12n ＋1； (4)将数列各项写为93，993，9993，9 9993，…，分母都是3，而分子分别是10－1,102－1,103－1,104－1，…，所以an ＝13(10n －1).一、选择题1．数列2，－83，4，－325，…的通项公式是( )A ．an ＝2n(n ∈N ＋)B ．an ＝－2n 2n －1(n ∈N ＋) C ．an ＝－2n ＋1n ＋1(n ∈N ＋) D ．an ＝2n 2n －1(n ∈N ＋) [答案] C[解析] 观察数列前n 项的变化规律，即可得出．2．已知数列{an}的通项公式为an ＝n2－14n ＋65，则下列叙述正确的是( )A ．20不是这个数列中的项B ．只有第5项是20C ．只有第9项是20D ．这个数列第5项、第9项都是20[答案] D[解析] 令an ＝20，得n2－14n ＋45＝0，解得n ＝5或n ＝9，故选D ．3．数列2,0,4,0,6,0，…的一个通项公式是( )A ．an ＝n 2[1＋(－1)n]B ．an ＝n ＋12[1＋(－1)n ＋1]C ．an ＝n 2[1＋(－1)n ＋1]D ．an ＝n ＋12[1＋(－1)n] [答案] B[解析] 经验证可知B 符合要求．4．已知数列{an}的通项公式是an ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3n ＋1n 为奇数2n －2n 为偶数，则a2a3等于( )A ．70B ．28C ．20D ．8[答案] C[解析] 由通项公式可得a2＝2，a3＝10，∴a2a3＝20.二、填空题5．在数列{an}中，a1＝2，a2＝1，且an ＋2＝3an ＋1－an ，则a6＋a4－3a5＝________.[答案] 0[解析] 解法一：∵a1＝2，a2＝1，an ＋2＝3an ＋1－an ，∴a3＝3a2－a1＝3×1－2＝1，a4＝3a3－a2＝3×1－1＝2，a5＝3a4－a3＝3×2－1＝5，a6＝3a5－a4＝3×5－2＝13，∴a6＋a4－3a5＝13＋2－3×5＝0.解法二：∵an ＋2＝3an ＋1－an ，令n ＝4，则有a6＝3a5－a4，∴a6＋a4－3a5＝0.6．已知数列{an}的通项公式an ＝n2－4n －12(n ∈N ＋)则(1)这个数列的第4项是________；(2)65是这个数列的第________项；(3)这个数列从第________项起各项为正数．[答案] (1)－12 (2)11 (3)7[解析] (1)由a4＝42－4×4－12＝－12，得第4项是－12；(2)由an ＝n2－4n －12＝65，得n ＝11或n ＝－7(舍去)，∴65是第11项；(3)设从第n 项起各项为正数，由⎩⎪⎨⎪⎧ an>0，an －1≤0，得⎩⎪⎨⎪⎧n2－4n －12>0，n2－6n －7≤0，解得6<n≤7. 又∵n 是正整数，∴n ＝7，即从第7项起各项为正数．三、解答题7．已知数列{an}中，a1＝2，a17＝66，通项公式是项数n 的一次函数．(1)求数列{an}的通项公式；(2)88是否是数列{an}中的项？[解析] (1)设an ＝an ＋b ，∴a1＝a ＋b ＝2，①a17＝17a ＋b ＝66，②②－①得16a ＝64，∴a ＝4，b ＝－2，∴an ＝4n －2(n ∈N ＋)．(2)令4n －2＝88，∴4n ＝90，n ＝452∉N ＋(舍去)， ∴88不是数列{an}中的项．8．(1)在数列1，5，3，13，17，…中，35是数列的第几项？(2)已知无穷数列：1×2,2×3,3×4，…，n(n ＋1)，…，判断420与421是否为该数列的项？若是，应为第几项？[解析] (1)∵a1＝1＝1，a2＝5＝1＋4，a3＝1＋4×2，a4＝1＋4×3，由此归纳得an ＝1＋4n －1＝4n －3.令an ＝4n －3＝35，∴n ＝12.故35是此数列的第12项．(2)由an ＝n(n ＋1)＝420，解得n ＝20或n ＝－21(舍去)，故420是此数列的第20项．由an ＝n(n ＋1)＝421，得n2＋n －421＝0，此方程无正整数解，故421不是该数列中的项．[方式总结] 数列{an}的通项公式为an ＝f(n)，对于一个数m ，若m 是此数列中的项，则方程f(n)＝m 必有正整数解；反之，若f(n)＝m 无正整数解，则m 必定不是此数列中的项．。
高中数学必修5(北师版)第一章数列1.5(与最新教材完全匹配)知识点总结含同步练习题及答案
(n + 1)(n + 2) an = , 2×3 a1
又因为 a1 = 2 ，所以
an =
(n + 1)(n + 2) . 3 (n + 1)(n + 2) ． 3
当 n = 1 时，a1 = 2 满足通项公式，所以 an =
4.待定系数法 描述： 若数列的递推公式形如 an+1 = pan + q (p 、q 为常数)，p ≠ 0． 1. 当 p = 1 时，数列 {an } 是公差为 q 的等差数列． 2. 当 q = 0 且 a1 ≠ 0 时 ，数列 {an } 为公比为 p 的等比数列． 3. 当 p ≠ 1 且 q ≠ 0 时，构造 an+1 + x = p(an + x)，使得数列 {an + x} 是一个等比数 列．
5.辅助数列法 描述： 通过观察数列递推公式的结构特征，并对它进行适当的变形，构造辅助数列，使问题转化为我们 熟悉的等差或等比数列． 例题： 已知数列 {an } 中，a1 = 1 ，an+1 = 解：因为 an+1 =
an ，等式两边同时取倒数，得 2an + 1 an+1 1 =
an ，求数列 {an } 的通项公式． 2an + 1 2an + 1 1 = + 2, an an
an+1 n+3 ，所以 n+1 an
n+3 ，其中 n ∈ N + ，求通项公式 an ． n+1 n+3 ．当 n ⩾ 2 时，则 = n+1 , , , , n+1 , n−1 n+2 . n
北师大版高中数学必修5第一章《数列》数列的概念
2
（3）认知目标：通过教学培养学生观察问题、分析 问题的能力，学习辩证的观点从特殊到一般的认识事 物规律，大胆猜测、归纳。
（4）德育目标：从德育方面进行教育、善比较、细 分析、做生活中的有心人，发现规律，不要马马虎虎、 似是而非，做符合时代的“创新型”的人才。
0(n为奇数） （1 n为偶1数9 ）
例3 已知数数列列的例a题n 3的第1项是1，
以写后出的这各个项数由列公的式前5a项n 。1
1 给出， an1
a3
a1 1
1 1 a2
1
a2 1 13 22
1 1 a1
a4 1
1
1
1 1 a3
2
2 3
4
堆 放 的 钢 管
4，5，6，7，8，9，10.
5
正整数的的倒数：
1, 1 , 1 , 1 , 1 , 2 345
2精确到1，0.1,0.01,0.001,的值：
1， 1.4， 1.41，1.414， …，
-1的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂，…排成的一列数：
-1， 1，-1， 1， -1， 1， …
北师大版高中数学必修 5第一章《数列》
法门高中姚连省制1作
1、教学内容： 本节的主要内容是数列的概念和通项公式。掌握数 列函数集合三者的关系用函数观点理解序号与项的 关系，再分析给出项或通项公式，分析就深刻具体， 面面俱到，发现规律，了解递推公式也是数列的一 种表示方法。
2、教学目标： （1）知识目标：理解数列概念；给出前几项， 求通项的分析方法；数列的表示方法；递推公式 的定义及简单应用。
高中数学 第1章 数列1数列同步教学案 北师大版必修5
高中数学 第1章 数列1数列同步教学案 北师大版必修5课时目标 1.理解数列及其有关概念；2.理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；3.对于比较简单的数列，会根据其前n 项写出它的通项公式．1．一般地，按一定________排列的一列数叫作数列，数列中的每一个数叫作这个数列的项．数列一般形式可以写成a 1，a 2，a 3，…，a n ，…简记为数列{a n }，其中数列的第1项a 1也称首项；a n 是数列的第n 项，也叫数列的通项．2．项数有限的数列称________数列，项数无限的数列称为______数列．3．如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的________公式．一、选择题1．数列2,3,4,5，…的一个通项公式为( ) A ．a n ＝n B ．a n ＝n ＋1 C ．a n ＝n ＋2 D ．a n ＝2n2．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1＋－1n ＋12，则该数列的前4项依次为( )A ．1,0,1,0B ．0,1,0,1 C.12，0，12，0 D ．2,0,2,0 3．若数列的前4项为1,0,1,0，则这个数列的通项公式不可能是( )A ．a n ＝12[1＋(－1)n －1]B ．a n ＝12[1－cos(n ·180°)]C ．a n ＝sin 2(n ·90°)D ．a n ＝(n －1)(n －2)＋12[1＋(－1)n －1]4．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－n －50，则－8是该数列的( ) A ．第5项 B ．第6项 C ．第7项 D ．非任何一项 5．数列1,3,6,10，…的一个通项公式是( )A ．a n ＝n 2－n ＋1 B ．a n ＝n n －12C ．a n ＝n n ＋12D ．a n ＝n 2＋16．设a n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n (n ∈N ＋)，那么a n ＋1－a n 等于( )A.12n ＋1B.12n ＋2C.12n ＋1＋12n ＋2D.12n ＋1－12n ＋2二、填空题7．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3n ＋1n 为正奇数4n －1n 为正偶数.则它的前4项依次为_____．8．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1nn ＋2(n ∈N ＋)，那么1120是这个数列的第______项．9．用火柴棒按下图的方法搭三角形：按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数a n 与所搭三角形的个数n 之间的关系式可以是______________．10．传说古希腊毕达哥拉斯(Pythagoras ，约公元前570年—公元前500年)学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数．比如，他们将石子摆成如图所示的三角形状，就将其所对应石子个数称为三角形数，则第10个三角形数是______．三、解答题11．根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式： (1)－1,7，－13,19，… (2)0.8,0.88,0.888，… (3)12，14，－58，1316，－2932，6164，… (4)32，1，710，917，… (5)0,1,0,1，…12．已知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫9n 2－9n ＋29n 2－1； (1)求这个数列的第10项；(2)98101是不是该数列中的项，为什么？ (3)求证：数列中的各项都在区间(0,1)内；(4)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23内有、无数列中的项？若有，有几项？若没有，说明理由．能力提升13．数列a ，b ，a ，b ，…的一个通项公式是____________________________．14．根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n 个图中有多少个点．1．与集合中元素的性质相比较，数列中的项也有三个性质：(1)确定性：一个数在不在数列中，即一个数是不是数列中的项是确定的． (2)可重复性：数列中的数可以重复．(3)有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数的排列次序也有关． 2．并非所有的数列都能写出它的通项公式．例如，π的不同近似值，依据精确的程度可形成一个数列3,3.1,3.14,3.141，…，它没有通项公式．3．如果一个数列有通项公式，则它的通项公式可以有多种形式．例如：数列－1,1，－1,1，－1,1，…的通项公式可写成a n ＝(－1)n ，也可以写成a n ＝(－1)n ＋2，还可以写成a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1 n ＝2k －1，1 n ＝2k ，其中k ∈N ＋.1.2 数列的函数特性课时目标 1.了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；2.会根据数列的递推公式写出数列的前几项；3.了解数列和函数之间的关系，能用函数的观点研究数列．1．如果数列{a n }的第1项或前几项已知，并且数列{a n }的任一项a n 与它的前一项a n －1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式． 2．数列可以看作是一个定义域为____________(或它的有限子集{1,2,3，…，n })的函数，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一列________． 3．一般地，一个数列{a n }，如果从________起，每一项都大于它的前一项，即__________，那么这个数列叫做递增数列．如果从________起，每一项都小于它的前一项，即__________，那么这个数列叫做递减数列．如果数列{a n }的各项________，那么这个数列叫做常数列．一、选择题1．已知a n ＋1－a n －3＝0，则数列{a n }是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．常数项D ．不能确定 2．数列1,3,6,10,15，…的递推公式是( ) A ．a n ＋1＝a n ＋n ，n ∈N ＋B ．a n ＝a n －1＋n ，n ∈N ＋，n ≥2C ．a n ＋1＝a n ＋(n ＋1)，n ∈N ＋，n ≥2D ．a n ＝a n －1＋(n －1)，n ∈N ＋，n ≥23．已知数列{a n }的首项为a 1＝1，且满足a n ＋1＝12a n ＋12n ，则此数列第4项是( )A ．1 B.12C.34D.584．数列{a n }中，a 1＝1，对所有的n ≥2，都有a 1·a 2·a 3…a n ＝n 2，则：a 3＋a 5等于( ) A.259 B.2516 C.6116 D.31155．已知数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧2a n⎝⎛⎭⎪⎫0≤a n<12，2a n－1 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12≤a n<1.若a 1＝67，则a 2 010的值为( )A.67B.57C.37D.176．已知a n ＝n －98n －99，则这个数列的前30项中最大项和最小项分别是( )A ．a 1，a 30B ．a 1，a 9C ．a 10，a 9D ．a 10，a 30二、填空题7．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝3,4S n ＝6a n －a n －1＋4S n －1，则a n ＝________. 8．已知数列{a n }满足：a 1＝a 2＝1，a n ＋2＝a n ＋1＋a n ，(n ∈N ＋)，则使a n >100的n 的最小值是________．9．若数列{a n }满足：a 1＝1，且a n ＋1a n＝n ＋2n(n ∈N ＋)，则当n ≥2时，a n ＝________.10．已知数列{a n }满足：a n ≤a n ＋1，a n ＝n 2＋λn ，n ∈N ＋，则实数λ的最小值是________．三、解答题11．在数列{a n }中，a 1＝12，a n ＝1－1a n －1(n ≥2，n ∈N ＋)．(1)求证：a n ＋3＝a n ； (2)求a 2 010.12．已知a n ＝9nn ＋110n(n ∈N ＋)，试问数列{a n }中有没有最大项？如果有，求出这个最大项；如果没有，说明理由．能力提升13．已知数列{a n }满足a 1＝－1，a n ＋1＝a n ＋1n n ＋1，n ∈N ＋，则通项公式a n ＝________.14．设{a n }是首项为1的正项数列，且(n ＋1)·a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1a n ＝0(n ＝1,2,3，…)，则它的通项公式是________．函数与数列的联系与区别一方面，数列是一种特殊的函数，因此在解决数列问题时，要善于利用函数的知识、函数的观点、函数的思想方法来解题，即用共性来解决特殊问题．另一方面，还要注意数列的特殊性(离散型)，由于它的定义域是N ＋或它的子集{1,2，…，n }，因而它的图像是一系列孤立的点，而不像我们前面所研究过的初等函数一般都是连续的曲线，因此在解决问题时，要充分利用这一特殊性，如研究单调性时，由数列的图像可知，只要这些点每个比它前面相邻的一个高(即a n >a n －1)，则图像呈上升趋势，即数列递增，即{a n }递增⇔a n ＋1>a n 对任意的n (n ∈N ＋)都成立．类似地，有{a n }递减⇔a n ＋1<a n 对任意的n (n ∈N ＋)都成立．§1 数 列 1．1 数列的概念答案知识梳理1．次序 2.有穷 无穷 3.通项 作业设计 1．B 2.A3．D [令n ＝1,2,3,4代入验证即可．]4．C [n 2－n －50＝－8，得n ＝7或n ＝－6(舍去)．]5．C [令n ＝1,2,3,4，代入A 、B 、C 、D 检验即可．排除A 、B 、D ，从而选C .]6．D [∵a n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n∴a n ＋1＝1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n ＋12n ＋1＋12n ＋2，∴a n ＋1－a n ＝12n ＋1＋12n ＋2－1n ＋1＝12n ＋1－12n ＋2.]7．4,7,10,15 8．10解析 ∵1n n ＋2＝1120，∴n(n ＋2)＝10×12，∴n ＝10.9．a n ＝2n ＋1解析 a 1＝3，a 2＝3＋2＝5，a 3＝3＋2＋2＝7，a 4＝3＋2＋2＋2＝9，…，∴a n ＝2n ＋1. 10．55解析 三角形数依次为：1,3,6,10,15，…，第10个三角形数为：1＋2＋3＋4＋…＋10＝55.11．解 (1)符号问题可通过(－1)n 或(－1)n ＋1表示，其各项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6，故通项公式为a n ＝(－1)n(6n －5)(n ∈N ＋)．(2)数列变形为89(1－0.1)，89(1－0.01)，89(1－0.001)，…，∴a n ＝89⎝ ⎛⎭⎪⎫1－110n (n ∈N ＋)． (3)各项的分母分别为21,22,23,24，…易看出第2,3,4项的分子分别比分母少3.因此把第1项变为－2－32，因此原数列可化为－21－321，22－322，－23－323，24－324，…，∴a n ＝(－1)n·2n－32n (n ∈N ＋)．(4)将数列统一为32，55，710，917，…对于分子3,5,7,9，…，是序号的2倍加1，可得分子的通项公式为b n ＝2n ＋1，对于分母2,5,10,17，…联想到数列1,4,9,16…即数列{n 2}，可得分母的通项公式为c n ＝n 2＋1，∴可得它的一个通项公式为a n ＝2n ＋1n 2＋1(n ∈N ＋)．(5)a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧0 n 为奇数1n 为偶数或a n ＝1＋－1n2(n ∈N ＋)或a n ＝1＋cos n π2(n ∈N ＋)．12．(1)解 设f (n )＝9n 2－9n ＋29n 2－1＝3n －13n －23n －13n ＋1＝3n －23n ＋1.令n ＝10，得第10项a 10＝f (10)＝2831.(2)解 令3n －23n ＋1＝98101，得9n ＝300.此方程无正整数解，所以98101不是该数列中的项．(3)证明 ∵a n ＝3n －23n ＋1＝3n ＋1－33n ＋1＝1－33n ＋1，又n ∈N ＋，∴0<33n ＋1<1，∴0<a n <1.∴数列中的各项都在区间(0,1)内．(4)解 令13<a n ＝3n －23n ＋1<23，则⎩⎪⎨⎪⎧3n ＋1<9n －69n －6<6n ＋2，即⎩⎪⎨⎪⎧n >76n <83.∴76<n <83. 又∵n ∈N ＋，∴当且仅当n ＝2时，上式成立，故区间⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23上有数列中的项，且只有一项为a 2＝47.13．a n ＝a ＋b 2＋(－1)n ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 2 解析 a ＝a ＋b 2＋a －b 2，b ＝a ＋b 2－a －b2，故a n ＝a ＋b 2＋(－1)n ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 2. 14．解 图(1)只有1个点，无分支；图(2)除中间1个点外，有两个分支，每个分支有1个点；图(3)除中间1个点外，有三个分支，每个分支有2个点；图(4)除中间1个点外，有四个分支，每个分支有3个点；…；猜测第n 个图中除中间一个点外，有n 个分支，每个分支有(n －1)个点，故第n 个图中点的个数为1＋n (n －1)＝n 2－n ＋1.1．2 数列的函数特性知识梳理2．正整数集N ＋ 函数值 3.第2项 a n ＋1>a n 第2项 a n ＋1<a n 都相等 作业设计1．A 2.B 3.B4．C [a 1a 2a 3＝32，a 1a 2＝22，a 1a 2a 3a 4a 5＝52，a 1a 2a 3a 4＝42，则a 3＝3222＝94，a 5＝5242＝2516.故a 3＋a 5＝6116.]5．C [计算得a 2＝57，a 3＝37，a 4＝67，故数列{a n }是以3为周期的周期数列，又知2 010除以3能整除，所以a 2 010＝a 3＝37.]6．C [∵a n ＝n －99＋99－98n －99＝99－98n －99＋1∴点(n ，a n )在函数y ＝99－98x －99＋1的图像上，在直角坐标系中作出函数y ＝99－98x －99＋1的图像，由图像易知当x ∈(0，99)时，函数单调递减．∴a 9<a 8<a 7<…<a 1<1， 当x ∈(99，＋∞)时，函数单调递减，∴a 10>a 11>…>a 30>1. 所以，数列{a n }的前30项中最大的项是a 10，最小的项是a 9.]7．3·21－n8．12 9.n n ＋12解析 ∵a 1＝1，且a n ＋1a n ＝n ＋2n(n ∈N ＋)．∴a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3…a n －1a n －2·a n a n －1＝31·42·53·…n n －2·n ＋1n －1，即a n ＝n n ＋12. 10．－3解析 a n ≤a n ＋1⇔n 2＋λn ≤(n ＋1)2＋λ(n ＋1)⇔λ≥－(2n ＋1)，n ∈N ＋⇔λ≥－3.11．(1)证明 a n ＋3＝1－1a n ＋2＝1－11－1a n ＋1＝1－11－11－1a n＝1－11－a n a n －1＝1－1a n －1－a n a n －1＝1－1－1a n －1＝1－(1－a n )＝a n . ∴a n ＋3＝a n .(2)解 由(1)知数列{a n }的周期T ＝3，a 1＝12，a 2＝－1，a 3＝2.又∵a 2 010＝a 3×670＝a 3＝2， ∴a 2 010＝2.12．解 因为a n ＋1－a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫910n ＋1·(n ＋2)－⎝ ⎛⎭⎪⎫910n ·(n ＋1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫910n ＋1·⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ＋2－109n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫910n ＋1·8－n 9，则当n ≤7时，⎝ ⎛⎭⎪⎫910n ＋1·8－n 9>0，当n ＝8时，⎝ ⎛⎭⎪⎫910n ＋1·8－n 9＝0，当n ≥9时，⎝ ⎛⎭⎪⎫910n ＋1·8－n 9<0，所以a 1<a 2<a 3<…<a 7<a 8＝a 9>a 10>a 11>a 12>…，故数列{a n }存在最大项，最大项为a 8＝a 9＝99108.13．－1n解析 ∵a n ＋1－a n ＝1n n ＋1，∴a 2－a 1＝11×2；a 3－a 2＝12×3；a 4－a 3＝13×4；… …a n －a n －1＝1n －1n；以上各式累加得，a n －a 1＝11×2＋12×3＋…＋1n －1n＝1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n＝1－1n.∴a n ＋1＝1－1n ，∴a n ＝－1n.14.1n解析 ∵(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n a n ＋1＝0， ∴[(n ＋1)a n ＋1－na n ]·(a n ＋1＋a n )＝0， ∵a n >0，∴a n ＋a n ＋1>0， ∴(n ＋1)a n ＋1－na n ＝0.方法一a n ＋1a n ＝n n ＋1. ∴a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·a 5a 4·…·a n a n －1＝12·23·34·45·…·n －1n ， ∴a n a 1＝1n. 又∵a 1＝1，∴a n ＝1na 1＝1n.方法二 (n ＋1)a n ＋1－na n ＝0，∴na n ＝(n －1)a n －1＝…＝1×a 1＝1，∴na n ＝1，a n ＝1n.。
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动数列 、 有界数列 、 无界数列 、 周期数列等 . ( ) 数列的给出方式主要有四种 2 栙 列出方式
( ) 数列可与函数 、 方程 、 不等式 、 解析几何等知识 相 结 2 , 、 合 综合考查学生分析问题 解决问题的能力 .
前启后的作用 , 自然也就成为高考重点考查的内容之一 .
一步延伸 , 是进一步学习高等数学的基础 , 因此数列起着 承
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
棆棆棆棆棆棆棆棆
( ) 与等差数列的概念相比较 . 1
a n , 于是数 列 { 就 给 定 了. 其优点是体现了函数 b b n= n} 2 a 1 n+ 与方程的特点与关系 , 能训练或考查学生的运算变形能力 .
转化思想 . 常用的方法有 : 类比法 、 归纳法 、 迭代法 、 累加法、 累乘法 、 倒序相加法 、 错位相减法 、 待定系数法等 .
( ) 数列知识蕴含着丰富深刻的数学思想方法 , 主要 有 3 函数与方程的思想 、 数 形 结 合 思 想、 分 类 讨 论 思 想、 化归与
3, 5, 7, 9, …是用列出方式给 出 的. 如数列 1 , 其 3 7 1 11 51 9 棆棆棆棆棆棆棆棆 优点是一目了然 , 查找方便 , 缺点是难以揭示数列项的生 成 规律 .
、 “ 实例 , 介绍了 “ 零存整取 暠 定期自动转存 暠 和“ 分期付款 暠 的 计算方法 , 体现了等差数列 、 等比数列在存款和贷款方面 的 应用 . 本章教学地位及与其他章节的联系 2. ( ) 数列是高中数学的重要内容之一 , 是函数内容的 进 1
棆棆棆棆棆棆棆棆 棆棆棆棆棆棆棆棆 棆棆棆棆棆棆棆棆 棆棆棆棆棆棆棆棆 棆棆棆棆棆棆棆棆 棆棆棆棆棆棆棆棆 棆棆棆棆棆棆棆棆 棆棆棆棆棆棆棆棆
等比数列的概念 3. 概念 :
( ) 对于等差数列的概念 , 要强调两点 : 2 一是作差的顺序 ; 二是差为同一个常数 . 建议教师在教学中 , 从以下两个方面强调等比数列的
3 b 1, n -2 确定的 递 推 关 系 式 , 如 数 列b 其 优 点 棆棆棆棆棆棆棆棆 b . 1= n+1 = 3 b 8 n -5 是能表达出相邻两 项 之 间 的 变 化 规 律 , 缺 点 是 不 便 于 求 指 棆棆棆棆棆棆棆棆 定项与项的关系 . 栜 生成数列 棆棆棆棆棆棆棆棆 , 也就是定义数列 , 如a 定义数列 { 使 n-1 n暿N+ , b n =2 n}
2 n-1} 了该数 列 的 通 项 公 式 , 如数列{ 就是用通项公式 棆棆棆棆棆棆棆棆 4 n-1
棆棆棆棆棆棆棆棆 栚 通项公式 } , 把数列 { 的第 项 用 关 于 的 关 系 式 给 出 即 给 出 a n n n
棆棆棆棆棆棆棆棆
特征 .
( ) 结合三个具体数列 , 引导学生分析三个数列的共 同 1
( 配北师大版 ) 第一章 暋 数 暋 列
第一章 暋 数 暋 列
名师授课指导
教材内容分析 暋暋 一 、
等比中项的概念教学 4. 建议在教学中 : ( ) 强调作 “ 比暠 的顺序及比值相等 . 2 ( ) 运用类比的思维方法搞好这节课的教学 . 1 ( ) , 强调任何两个数一定有等差中项且唯一 而任意 两 棆棆棆棆棆棆棆棆 2
棆棆棆棆棆棆棆棆 棆棆棆棆棆棆棆棆 棆棆棆棆棆棆棆棆 棆棆棆棆棆棆棆棆 棆棆棆棆棆棆棆棆 棆棆棆棆棆棆棆棆
减性的一般方法 .
念, 介绍了求数列通 项 公 式 的 一 般 规 律 和 判 断 一 个 数 列 增
出了数列 、 通项 公 式 和 递 增 数 列、 递减数列及常数列的概
本章包括四大节内容 : 1. 第1节: 数列 , 包括 数 列 的 概 念 和 数 列 的 函 数 特 性 , 给
和, 给出了等比数列 , 等 比 中 项 的 概 念, 归纳出等比数列的
( ) 由S 必须分 n=1 和 n曒2 两 种 情 况 分 别 棆棆棆棆棆棆棆棆 4 n 求a n 时, 计算 , 然后验证能否 统 一 , 若 不 能 统 一, 应写成“ 分 段 函 数 暠 棆棆棆棆棆棆棆棆 的通项公式形式 . 拓展补充 2. ( ) 按照不同的分类标准 , 数列有不同的分类 . 1 按项数分为有穷数列和无穷数列 ; 递 减 数 列、 摆 按项的变化情况 分 为 常 数 列 、 递 增 数 列、
二、 主要问题及教学建议
数列与函数的关系是学生理解的难点 1. 数列的最大项相比较 , 以加深学生的理解 . 等差数列概念的教学 2. 建议教师在教学中
函数的方法与表示 数 列 的 方 法 相 比 较 , 把函数的最大值与
建议教学时引导学 生 用 函 数 的 观 点 看 待 数 列 , 把表示
2 n-1给出的 其优点 是 a a . n= n 随 序 标n 的 变 化 规 律 逐 渐 棆棆棆棆棆棆棆棆 4 n-1 清晰 , 利于研究数列项的特点 , 缺点是相邻项之间的变化 规 棆棆棆棆棆棆棆棆 律不明显 . 栛 递推公式 这种给出方式包括 两 方 面 的 信 息 , 一 组 边 界 条 件 以 及 棆棆棆棆棆棆棆棆
第2节: 等差数列 , 包括等差数列和等差数列的前 n 项
项与项数 、 数列的递推公式与通项公式等概念 . ( ) 数列的通项公式可能不唯一 . 2 ( ) 3 不完全归纳法猜想的结论不一定正确 .
疑难警示 1. 棆棆棆棆棆棆棆棆 ( ) 数列的主要特点是顺序性 , 学习时容易混淆数列 的 1
通项公式 , 并介绍了其简单应用 , 还介绍了等比数列前 n 项 和公式的推导及应用 . 第4节: 数列在日常经济生活中的应用 . 通过三个具 体
个数不一定有等比中项 , 若有 , 一定有两个 .
法, 为“ 错位相减法 暠 求和打下基础 .
等比数列前 n 项和公式的推导 5. 棆棆棆棆棆棆棆棆 建议教师在 “ 贷 款暠 游 戏 中, 让学生充分探究S 3 0的求
三、 其他应注意的问题
项公式的应用 、 前 n 项和公式的推导及应用 .
和, 给出了等差数列 、 等 差 中 项 的 概 念, 介绍了等差数列通 第3节: 等比数列 , 包括等比数列和等比数列的前 n 项