数字信号处理 实验报告 实验二 应用快速傅立叶变换对信号进行频谱分析

数字信号处理
实验报告
实验二应用快速傅立叶变换对信号进行频谱分析
2011年12月7日
一、实验目的
1、通过本实验，进一步加深对DFT 算法原理合基本性质的理解，熟悉FFT 算法 原理和FFT 子程序的应用。

2、掌握应用FFT 对信号进行频谱分析的方法。

3、通过本实验进一步掌握频域采样定理。

4、了解应用FFT 进行信号频谱分析过程中可能出现的问题，以便在实际中正确应用FFT 。

二、实验原理与方法
1、一个连续时间信号)(t x a 的频谱可以用它的傅立叶变换表示
()()j t a a X j x t e dt +∞-Ω-∞
Ω=⎰
2、对信号进行理想采样，得到采样序列
()()a x n x nT =
3、以T 为采样周期，对)(n x 进行Z 变换
()()n X z x n z +∞
--∞=∑
4、当ω
j e
z =时，得到序列傅立叶变换SFT
()()j j n X e x n e ω
ω+∞
--∞=∑
5、ω为数字角频率
s
T F ωΩ=Ω=
6、已经知道：
12()[()]j a m X e X j T T T
ω
ωπ
+∞-∞=-∑ ( 2-6 )
7、序列的频谱是原模拟信号的周期延拓，即可以通过分析序列的频谱，得到相
应连续信号的频谱。

（信号为有限带宽，采样满足Nyquist 定理）
8、无线长序列可以用有限长序列来逼近，对于有限长序列可以使用离散傅立叶变换（DFT ）。

可以很好的反映序列的频域特性，且易于快速算法在计算机上实现。

当序列()x n 的长度为N 时，它的离散傅里叶变换为：
1
()[()]()N kn
N n X k DFT x n x n W
-===∑ 其中2j
N
N W e
π
-=，它的反变换定义为：
10
1()[()]()N kn
N k x n IDFT X k X k W N --===∑
比较Z 变换式 ( 2-3 ) 和DFT 式 ( 2-7 )，令k
N z W -=则
1
()
()[()]|
k
N
N nk
N N Z W X z x n W DFT x n ---====∑ 因此有()()
|
k
N
z W X k X z -==
k N W -是Z 平面单位圆上幅角为2k
N
πω=
的点，也即是将单位圆N 等分后的第k 点。

所以()X k 是()x n 的Z 变换在单位圆上等距采样，或者说是序列傅里叶变换的等距采样。

9、DFT 是对序列傅里叶变换的等距采样，因此可以用于序列的频谱分析。

在运用DFT 进行频谱分析的过程中有可能产生三种误差，这里给出三种误差的定性讨论。

三种误差：混叠现象、泄露现象、栅栏效应
1) 混叠现象
( 2-6 )式说明序列的频谱是原模拟信号的频谱的周期延拓，周期为2T
π。

因此当采样频率1
s F T
=
小于两倍信号（这里指是信号）最大频率时，经过采样就会发生频谱混叠，这使得采样后的信号序列频谱不能真实地反映原信号的频谱。

所以在利用DFT 分析连续信号的频谱时，必须注意这一问题。

避免混叠现象的唯一方法是保证采样速率足够高，使频谱交叠现象不致出现。

也就是说，在确定采样频率之前，必须对信号的性质有所了解，一般在采样前，信号通过一个防混叠低通滤波器。

2) 泄漏现象
实际中的信号序列往往很长，为了方便我们往往用截短的序列来近似它们，这样可以使用较短的DFT 来对信号进行频谱分析，这种截短等价于给原信号序列乘以一个矩形窗函数。

泄漏是不能与混叠完全分离开的，因为泄漏导致频谱的扩散，从而造成混叠，为了减小泄漏的影响，可以选择适当的窗函数，是频谱的扩散减到最小。

3) 栅栏效应
因为DFT 是对单位圆上Z 变换的均匀采样，所以他不可能将频谱视为一个连续函数。

这样就产生了栅栏效应，就一定意义上看，DFT 来观看频谱就好像通过一个尖桩的栅栏来观看一个图景一样，只能在离散点上看到真实频谱，这样就可能发生一些频谱的峰点或谷点被“尖桩的栅栏”所挡住，不能被我们观察到。

减小栅栏效应的一个方法就是借助在原序列的末端添补一些零值，从而变动DFT 的点数。

这一方法实际上是人为地改变了对真实谱采样的点数和位置，相当于搬动了每一根“尖桩栅栏”的位置，从而使得频谱的峰点或者谷点暴露出来。

当然，这是每根谱线所对应的频率和原来的不同了。

综上所述，DFT 可以用于信号的频谱分析，但必须注意可能产生的误差，在应用过程中要尽可能减少和消除这些误差的影响。

快速傅里叶变换FFT 是为了减少DFT 运算次数的一种算法，常用的FFT 是以2为基数的，其长度2M N =，它的效率高，程序简单，使用也十分方便，当要变换的序列长度不等于2的正整数次方时，可以用末尾补零的方法，使其长度延长到2的整数次方。

三、实验内容及步骤
1）观察高斯序列的时域及幅频特性
高斯序列为：
⎩
⎨
⎧-≤≤--=else
N n q
p n n x a 01
0/)(exp[)(2
●固定信号中的参数p=16、N=32. q=2、10、30
观察时域特性及幅频特性（FFT 点数>=256）当q 取不同值时，对信号时域及频域特性的影响。

q=2 FFT
q=10 FFT
q=30 FFT
时域：q取值的增大，信号波形变宽，变矮，在最大值处过度变的平缓。

频域：信号的频谱向低频靠近。

方差q=2 时，信号变化相对快，高频分量大。

方差q=30时，信号变化相对慢，低频分量大。

因为随着q取值的增大，高斯信号逐渐变得平缓，过渡带变得平滑并延长，从而低频分量增加，高频分量减少。

●固定信号中的参数q=10、N=32.
p=25、30、32
观察p变换对信号时域及频域特性的影响（注意：p等于多少时，会发生较为明显的泄露现象，混叠是否也随之出现？）
p=25 FFT
p=30 FFT
p=32 FFT
时域：p取值的增大，信号波形逐渐向右平移。

频域：信号的频谱中高频分量逐渐增加，频谱泄漏逐渐明显，并逐渐出现频谱混叠现象。

当p=32时，能力泄漏至旁边的频率，出现较明显的频谱泄漏与频谱混叠现象。

随着p值增大，信号被截断部分增多，截断部分的过渡带过陡，产生高频分量增多，而造成频谱泄漏与混叠。

2）观察正弦序列
截断正弦序列为：
⎩⎨
⎧-≤≤=else
N n fn n x b 0
1
0)
2sin()(π
（1）f =0.0625,N=32,FFT 点数=32
检查谱峰出现位置是否正确？谱峰的形状如何？
当FFT 点数为32时，频谱为单线谱，只在谱峰处有值，其他位置都为0。

（2）f =0.0625,N=32,FFT 点数=512 谱的形状如何？
用频域采样定理分析该现象并分别绘出其幅频特性曲线。

FFT 点数为512时除谱峰以外，其他位置也有值。

出现这种现象是由于栅栏效应引起的，导致采样时只采到谱峰与零值点。

利
用频谱估计频率时，N
m
f =，m 为谱峰的位置，估计值与实际值一致，所以谱峰
的位置正确。

（3）f=0.265625 N=32、64 FFT 点数=32、64
观察幅频特性曲线，何时从幅频特性曲线上可以观测到原正弦信号的模拟频率？
N=32
时域波形 FFT 点数=32 FFT 点数=64
N=64
时域波形 FFT 点数=32 FFT 点数=64
N=FFT 点数=32、64时没有出现单线谱 N=FFT 点数=64的时候出现单线谱
因为当点数为32时，FFT 对频域采样点没有采到谱峰位置，而有一定的相位差，其他点采到了各个旁瓣的峰值。

而当点数为64点时，正好采样采到谱峰
和旁瓣的零点。

要使频谱正好采到谱峰，满足
N
k Fs f =。

此处，64
17
265625.0==f ，所以64点FFT 可以采到谱峰，而32点FFT 不
可以。

（4）f =0.245 N=256
观察时域曲线（注意由于采样引起的假调制现象）
通过选择FFT 点数，是否能使该信号频谱出现单线谱？
时域波形
FFT 点数=64 FFT 点数=256 FFT 点数=512
（5）f=1.96kHz 采样频率Fs=8kHz N=256 此时频谱分辨率是多少?
通过FFT 离散谱观察到的的信号模拟频率与实际频率相差多少？
1、当f=0.245时，正弦序列的时域波形发生了假调制现象，这是因为时域点数
为)2,1,0m 2m =（，而只有当为整数）k m k
f m ,(2
=时，对正弦函数的采样才能在
每个周期内采到最大值点，从而出现等幅波。

而当245.0=f 时不能写成这种方式，造成在一个周期内采样时与最大值点有一定的相位差，由于相位的累积，从而造成每个周期内采样最大值的周期性变化， 从整体上看即呈现出假调制现象。

在这种情况下，由于FFT 点数为)2,1,0m 2m =（，因此无法使频谱出现单载波。

2、●当利用64点的FFT 估计频率时，
频谱分辨率为kHz N Fs F 125.064
8===
实际信号频率为⎡⎤⎪⎩⎪
⎨⎧=⨯=='==⨯=⋅=kHz k N F f N f k s 216648
1668.1564245.0 误差为 kHz f f 04.0=-'=δ
●当利用256点的FFT 估计频率时：
频谱分辨率为kHz N Fs F 03125.0256
8===
实际信号频率为⎡⎤⎪⎩
⎪
⎨⎧=⨯=='==⨯=⋅=kHz k N F f N f k s 96875.1632568
6372.62256245.0 误差为 kHz f f 00875.0=-'=δ。

●当利用512点的FFT 估计频率时： 频谱分辨率为kHz N Fs F 015625.0512
8===
实际信号频率为⎡⎤⎪⎩⎪
⎨⎧=⨯=='==⨯=⋅=kHz k N F f N f k s 96875.11265128
12644.125512245.0 误差为 kHz f f 00875.0=-'=δ。

结论：
（1）FFT 的点数越多，信号的频谱分辨率越高，利用频谱估计得到的信号频率 与实际的误差越小。

（2）且在增加FFT 点数到512时，频谱分辨率增加，但是实际信号频率与模拟频率误差相等，说明已达取该FFT 点数范围内的最大精度。

3）观察衰减正弦序列
衰减正弦序列为：
⎩⎨
⎧-≤≤=-e l s e
N n fn e n x n c 0
1
0)
2sin()(πα
令1.0=α f=0.21875、0.4375、0.5625 N=32 FFT 点数=32、256
观察在不同的f 取值情况下，谱峰出现的位置、形状，有无频谱混叠和泄漏现象发生，并分析产生现象的原因。

f=0.21875
时域波形 FFT 点数32 FFT 点数64
f=0.4375
时域波形FFT点数32 FFT点数64
f=0.5625
时域波形FFT点数32 FFT点数64 满足Nyquist定理时
s
F
f
f0
=
2f
F
s
≥，即5.0
≤
f
f=0.5625时不满足Nyquist定理。

随着f的增大，频谱的谱峰逐渐向右平移，两谱峰逐渐向中间靠拢。

因为0625
.0
5.0
4375
.0-
=，0625
.0
5.0
5625
.0+
=，
f=0.4375和f=0.5625频谱图关于π
ω=对称
造成观察到的频谱完全相同，但实际上表示的意义却不相同。

f=0.4375时的谱峰位于n=113处，
f=0.5625时的谱峰位于n=143处。

由于存在泄漏现象，出现了高频分量，虽然在f=0.4375时满足Nyquist定理，但实际上已发生了频谱混叠。

4）观察三角波序列和反三角波序列
三角波序列为：
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≤
≤
-
≤
≤
+
=
e l s e
n
n
n
n
n
x
d
7
4
8
3
1
)
(
反三角波序列为：
⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤≤-=e l s e
n n n n n x d 0743
304)(
取FFT 点数=8、256
分析三角序列和反三角序列的幅频特性，观察两者的序列形状和频谱的异同点，及对于不同点数FFT 幅频特性曲线的变化。

三角序列
时域波形 FFT 点数8 FFT 点数256
反三角序列
时域波形 FFT 点数8 FFT 点数256
FFT 点数=8，虽然两者的时域波形不同，但是频域波形却相同，因为二者满足循环移位关系，即)())4(()(88n R n x n x d e -=，从而)()(k X k X e d =，这种现象是栅栏效应引起的。

FFT 点数=256，对两序列后续补零，导致二者不再满足循环移位关系，)()(k X k X e d ≠，所以频谱不相同。

四、实验总结与分析
（1）利用FFT来估计模拟信号的频率，FFT的点数越多，信号的频谱分辨率越高，利用频谱估计得到的信号频率与实际的误差越小。

要想提高估计精度，应当使FFT点数在允许的范围内尽可能的大。

（2）当信号发生截断效应时，会产生高频分量，这种情况下会出现频谱混叠和频谱泄漏现象，截断效应越明显，泄漏越大。

（3）对信号抽样时，在满足Nyquist定理的情况下，由于频谱泄漏，会发生频谱混叠，因此，采样频率尽量高。

（4）由于栅栏效应使得有些不同的信号的频谱图相同，这种情况可以通过增加FFT点数来判断。

（5）在正弦信号f=0.245 N=256时，观察时域曲线，会产生由采样引起的假调制。

（6）方差q=2 时，信号变化相对快，高频分量大。

方差q=30时，信号变化相对慢，低频分量大。

因为随着q取值的增大，高斯信号逐渐变得平缓，过渡带变得平滑并延长，从而低频分量增加，高频分量减少。

（7）随着p值增大，信号被截断部分增多，截断部分的过渡带过陡，产生高频分量增多，而造成频谱泄漏与混叠。