陕西省西安市高新第一中学18年-19年学年高一上学期期中考试数学试卷 Word版含解析

高新第一中学高一年级期中考试数学试题
一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分． 1．下列函数中与函数y x =是同一个函数的是（ ）．
A ．2
y =
B ．3
y =
C ．y =
D ．2
x y x
=
【答案】B
【解析】解：y x =的定义域为R ，对应法则是“函数值与自变量相等”．
选项A ：,0
||,0x x y x x x ⎧===⎨-<⎩
≥；
选项B ：2
x y x =的定义域为{}|0x x ≠；
选项C ：y x ==；
选项D ：2y =的定义域为[0,)+∞． 故选B ．
2．若一次函数y kx b =+在R 上是增函数，则k 的范围为（ ）．
A ．0k >
B ．0k ≥
C ．0k <
D ．0k ≤
【答案】A
【解析】解：有一次函数的单调性可以知道：函数()f x kx b =+在R 上是减函数，0k <． 故选A ．
3．已知集合A 满足{}{}1,2,31,2,3,4A =，则集合A 的个数为（ ）
．
A ．2
B ．4
C ．8
D ．16
【答案】C
【解析】解：∵{}
{}1,2,31,2,3,4A =，
∴{}4A =，{}1,4，{}2,4，{}3,4，{}1,2,4，{}1,3,4，{}2,3,4，{}1,2,3,4， 则集合A 的个数为8．
故选B ．
4．函数2
()=
1
f x x -在[2,0]-上的最大值与最小值之差为（ ）．
A ．83
B ．
43
C ．
23
D ． 1
【答案】B
【解析】解：∵2()log f x x =在区间[2,2]a 上为单调增函数， 由题可得：221log (2)log 22
a -=， ∴221log 22
a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，
∴a =，
点睛：求函数最值的一般方法即为利用函数的单调性，研究函数单调性的一般方法： （1）直接利用基本初等函数的单调性． （2）利用定义判断函数的单调性． （3）求导得函数单调性． 故选B ．
5．如图是①a y x =；②b y x =；③c y x =，在第一象限的图像，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）．
A ．a b c >>
B ．a b c <<
C ．b c a <<
D ．a c b <<
【答案】D 【解析】解：
6．已知函数2()8f x x kx =--在[1,4]上单调，则实数k 的取值范围为（ ）．
A ．[2,8]
B ．[8,2]--
C ．(,8][2,)-∞--+∞
D ．(,2][8,)-∞+∞
【答案】D
【解析】解：二次函数2()28f x x kx =--的对称轴为4
k
x =， ∵函数2()28f x x kx =--在区间[1,2]上不单调， ∴124
k
<
<，得48k <<． 故选B ．
7．已知函数()f x 是奇函数，在(0,)+∞上是减函数，且在区间[,](0)a b a b <<上的值域为[3,4]-，则在区间[,]b a --上（ ）．
A ．有最大值4
B ．有最小值4-
C ．有最大值3-
D ．有最小值3-
【答案】B
【解析】解：由于()f x 是奇函数，在(0,)+∞上是减函数，则()f x 在(,0)-∞上也是减函数，在区间[,](0)a b a b <<上的最小值为3-，最大值为4，
由于区间[,]b a --与[,]a b 对称，则可知()f x 在[,]b a --上最大值为3，最小值为4-． 借助函数图像可更直观的得到答案，如下图所示：
8．设0.60.6a =， 1.50.6b =，0.61.5c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）．
A ．a b c <<
B ．a c b <<
C ．b a c <<
D ．b c a <<
【答案】C
【解析】解：本题主要考查指数与指数函数。

设()0.6x f x =，() 1.5x g x =，
因为0.61<，故()f x 在R 上单调递减， 又因为当0x >时，()1f x <， 所以 1.50.50.60.61<<，
因为1.51>，故()g x 在R 上单调递增， 又因为当0x >时，()1g x >， 所以0.61.51>， 所以b a c <<． 故选C ．
二、填空题：（本大题共4个小题，每小题4分，共16分） 9．若函数2(4)()1(4)x x f x x x ⎧=⎨+<⎩
≥，则[(3)]f f =__________．
【答案】16
【解析】解：∵函数2(4)
()1(4)x x f x x x ⎧=⎨+<⎩
≥，
∴(3)314f =+=， ∴4[(3)](4)216f f f ===．
10．设函数y =A ，函数ln(1)y x =-的定义域为B ，则A C B =R __________． 【答案】[2,1)-
【解析】解：本题主要考查函数的概念与性质． 由240x -≥得[2,2]A =-，由10x ->得(,1)B =-∞， 所以[2,1)A B =-．
11．方程23x x k +=的解都在[1,2]内，则k 的取值范围为__________．
【答案】5
【解析】解：令函数3(2)f x x x k +=-， 则()f x 在R 上是增函数．
当方程23x x k +=的解在(1,2)内时，(1)(2)0f f ⋅<， 即5)10(()0k k --<， 解得510k <<. 当(1)0f =时，5k =．
12．已知函数1()log 1a x
f x x
-=+（0a >且1a ≠）有下列四个结论： ①恒过定点； ②()f x 是奇函数；
③当1a >时，()0f x <的解集为{}|0x x >； ④若m ，(1,1)n ∈-，那么()()1m n f m f n f mn +⎛⎫
+= ⎪+⎝⎭
．
其中正确的结论是__________．（请将所有正确结论的序号都填在横线上） 【答案】①④
【解析】解：①2x y a +=的图像可由x y a =的图像向左平移2个单位得到，①正确； ②2x y =与2log y x =互为反函数，所以的图像关于直线y x =对称，②错误；
③由255log (21)log (2)x x +=-，得22
210
20212x x x x +>⎧⎪
->⎨⎪+=-⎩，
即1213x x x x x ⎧>-⎪⎪⎪
><⎨⎪=-=⎪⎪⎩
3x =，所以③错误； ④设()ln(1)ln(1)f x x x =+--，定义域为(1,1)-，关于原点对称， ()ln(1)ln(1)[ln(1)ln(1)]()f x x x x x f x -=--+=-+--=-，
所以()f x 是奇函数，④正确，故正确的结论是①④．
三、解答题：（本大题共5小题，共44分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 13．（本小题满分8分） 求下列各式的值：
（1
）2
25
3
1050.064π-⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪
⎢⎥⎝
⎭⎣⎦
．
（2
）2lg5+． 【答案】见解析．
【解析】解：（1）原式111
12
1
4
33
4
3
3
144433333101
(3)(3)10301021033-
----⎡⎤⎛⎫
⎛⎫⎛⎫⎢⎥=-⨯+-⨯=--= ⎪
⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭
⎝⎭⎝⎭
⎢⎥⎣⎦
．
（2
）原式2
112lg 2lg 2lg522⎛⎫=+⋅+ ⎪⎝⎭
211(lg 2)lg 2lg522=+⋅2111
(lg2)lg2lg51lg2222=+⋅+- 11lg2(lg2lg5)1lg222
=++- 1=．
14．（本小题满分8分）
已知函数1()2ax
f x ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，a 为常数，且函数的图像过点(1,2)-．
（1）求a 的值．
（2）若()42x g x -=-，且()()g x f x =，求满足条件的x 的值． 【答案】见解析．
【解析】解：（1）由已知得122a
-⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
，计算得出1a =．
（2）由（1）知1()2x
f x ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，
又()()g x f x =，则1422x x
-⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即112042x x
⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即2
112022x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫--=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，
令12x
t ⎛⎫
= ⎪⎝⎭，则220t t --=，即(2)(1)0t t -+=， 又0t >，故2t =，即122x
⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，计算得出1x =-，
满足条件的x 的值为1-．
15．（本小题满分8分）
已知集合{}
2(,)|1A x y y x mx ==-+-，{}(,)|3,03B x y y x x ==-≤≤． （1）当4m =，求A B ．
（2）若A B 是只有一个元素的集合，求实数m 的取值范围． 【答案】见解析．
【解析】解：（1）两集合的交集即两集合的公共部分，所以应联立方程解方程组．
（2）要使A B 是只有一个元素的集合，只需联立的方程只有一个根，消去y 或x 后整理出一元二次方程，当判别式等于0时，对称轴需在[0,3]内，当判别式大于0时，函数的一个零点应在 [0,3]内． 解析：
（1） 241
13203
y x x x y x y x ⎧=-+-=⎧⎪
=-⇒⎨⎨
=⎩⎪⎩≤≤， 所以{}(1,2)A B = ．
（2）213y x mx y x
⎧=-+-⎨=-⎩ 消去y 整理可得 2(1)40x m x -++=，因为A
B 是只有一个元素的集合，即此
方程在 [0,3] 只有一个根，
所以 2(1)160
1032
m m
⎧∆=+-=⎪
⎨+⎪⎩≤
≤或2(1)160(0)(3)0m f f ⎧∆=+->⎨⎩≤， 解得3m =或10
3
m ≥．
16．（本小题满分10分）
定义：已知函数()f x 在[,]()m n m n <上的最小值t ，若t m ≤恒成立，则称函数()f x 在[,]()m n m n <上具有“GX ”性质．
（1）判断函数2()22f x x x =-+在[1,2]上是否具有“GX ”性质？说明理由． （2）若2()2f x x ax =-+在[,1]a a +上具有“GX ”性质，求a 的取值范围． 【答案】见解析．
【解析】解（1）∵2()22f x x x =-+，[1,2]x ∈， ∴min ()11f x =≤，
∴函数()f x 在[1,2]上具有“GX ”性质．
（2）2()2[,1]f x x ax x a a =-+∈+，其对称轴为2
a x =
． ①当2
a
a ≤即0a ≥时，22min ()()22f x f a a a ==-+=，
若函数()f x 具有“GX ”性质，则有2a ≤总成立，即2a ≥． ②当12a a a <<+时，即20a -<<时，2min ()224a a f x f ⎛⎫
==-+ ⎪⎝⎭
，
若函数()f x 具有“GX ”性质，则有2
24
a a -+≤总成立，计算得出：a ∈∅．
③当12
a
a +≥时，即2a -≤时，min ()(1)3f x f a a =+=+，
若函数()f x 具有 “GX ”性质，则有3a a +≤，计算得出：a ∈∅． 综上所述：若函数()f x 在[,1]a a +上具有“GX ”性质，则有2a ≥．
17．（本小题满分10分）
已知函数2()32log f x x =-，2()log g x x =．
（1）当[1,4]x ∈时，求函数()[()1]()h x f x g x =+⋅的值域．
（2）如果对任意的[1,4]x ∈，不等式2()()f x f k g x ⋅>⋅恒成立，求实数k 的取值范围． 【答案】见解析．
【解析】解：（1）2222()(42log )log 2(log 1)2h x x x x =-⋅=--+， 因为[1,4]x ∈， 所以2log [0,2]x ∈， 故函数()h x 的值域为[0,2]．
（2）由2()()f x f k g x ⋅>⋅得222(34log )(3log )log x x k x -->⋅，
令2log t x =， 因为[1,4]x ∈， 所以2log [0,2]t x =，
所以(34)(3)t t k t -->⋅对一切的[0,2]t ∈恒成立，
1︒当0t =时，k ∈R ，
2︒当[0,2]t ∈时，(34)(3)t t k t --<
恒成立，即9
415k t t
<+-， 因为9412t t +≥，当且仅当94t t =，即3
2t =时取等号，
所以9
415t t
+-的最小值为3-．
综上， (,3)k ∈-∞-． 附加题：
1．（本小题满分8分）
若定义在(,1)(1,)-∞+∞上的函数()f x 满足2017()220171x f x f x x +⎛⎫+=- ⎪-⎝⎭
，则(2019)f =__________．
【答案】见解析．
【解析】解：当1x =时，由2013(1)24025x f x f x x +⎛⎫
++=- ⎪⎝⎭
，
得：(2)2(2014)402514024f f +=-=①，
当2013x =时，由2013(1)24025x f x f x x +⎛⎫
++=- ⎪⎝⎭
，
得：(2014)2(2)402520132012f f +=-=②， ①2⨯-②得3(2014)40242201232012f =⨯-=⨯， 则(2014)2012f =，
因此，本题正确答案是：2012．
2．（本小题满分12分）
设()|lg |f x x =，a 、b 为实数，且0a b <<，若a ，b 满足()()22a b f a f b f +⎛⎫
== ⎪⎝⎭
，试写出a 与b 的关
系，并证明在这一关系中存在b 满足34b <<．
【答案】见解析．
【解析】解：（1）由()1f x =得，lg 1x =±， 所以10x =或
1
10
． （2）结合函数图像，由()()f a f b =，可判断(0,1)a ∈，(1,)b ∈+∞，
从而lg lg a b -=，从而1ab =， 又122
b
a b b
++=， 因为(1)b ∈+∞， 所以
12
a b
+>， 从而由()22a b f b f +⎛⎫
= ⎪⎝⎭，
可得2
lg 2lg lg 22a b a b b ++⎛⎫== ⎪⎝⎭， 从而2
2a b b +⎛⎫
= ⎪⎝⎭．
（3）由2
2a b b +⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，
得2242b a b ab =++，
221240b b b ++-=，令221
()24g b b b b
=++-， 因为(3)0g <，(4)0g >，根据零点存在性定理可知， 函数()g b 在(3,4)内一定存在零点， 即方程
221
240b b b
++-=存在34b <<的根．。