工程光学第二章

高斯公式
1 1 1 l l f
y l yl
牛顿与高斯公式的转换: x l f ......x l f
当系统确定时，f
可根据公式，改变 x(l) 可得到不同β， 或β按要求，可计算出相应的 x(l) .
例:有一理想光组,其焦距为 f f 75mm
其前方150mm处有一物高为20mm的物体,
求像的位置和大小.若要求 0.5x 问物体应位于何处?
解:
1)根据 1 1 1 l l f
Q Q' B y
A
F
H H'
F
A'
l 150mm
-y'
f 75mm
R
R'
-x
-f
f'
B' x'
l 150mm
-l
l 1 l
一个理想光学系统可以用其基点（面）来表示，而 不需考虑其具体结构如何。
O
B O2
O1 A
A'
O' B' O'2
M
图2-3 两对共轭面已知的情况
O
B
A
O3
O1 O2
O'
A'
B'
M
图2-4 一对共轭面及两对共轭点已知的情况
第二节 理想光学系统的基点和基面
一.焦点与焦平面
1.像方焦点与像方焦平面（对应 L＝－∞）
l x f 902.605mm
以O1为原点! 以H 为原点!
x f 8.2055mm l x f 90.2605mm
L=-∞ F'
图2-12 三片型照相物镜
A
F
O1 H
lF
lH
f
x
l l
H′ O6
lF
lH
f
F′ A′
d)
二．解析法求像 1.牛顿公式：
物像距以焦点为原点（ x, x 也应遵循符号规则）
y f x
Q Q'

B
y x f y
A
xx ff
y f x y x f
F
H H'
F
A'
-y'
R
R'
-x
-f
f'
B' x'
-l
l'
2.高斯公式：物像距以主点为原点。 (l,l)
由l.l′.u.u′.β等（光学参数）计算r.n.d（结构参数）
三．理想光学系统的其他性质：
由共轴球面系统的轴对称性可证明
1. 轴上物点对应的像点也位于光轴上;且位于过光轴的某一 截面内的物点对应的共轭像点必位于该平面的共轭像面 内，同时过光轴的任一截面成像性质均相同。也即可由 一个含轴截面来代替一个共轴系统。 垂直于光轴的物平面，其共轭像平面也必与光轴垂直。 （可由点对点的性质及光学系统的轴对称性来证明）

n n
f
f n fn
xJ f .......... ..... xJ f
2.节点的应用：
①作图求像 入射光线过物方节点，则与其共轭的出 射光线过像方节点，且入射光线与出射 光线相互平行。
B
A
J
J′
A′
FH
H′
F′
B′
②用于寻找实际光学系统节点，主点位置
J FH
J′ F′ H′
一．图解法求像：理想光学系统的作图求象是应该很好 掌握的一项基本功。所谓作图求象，就是利用理想光学 系统的基点（面）的性质，选择几条典型的，具有明显 特征的光线，通过几何作图的方法求出象的位置和大小。
1)平行于光轴的入射光线，出射光线过像方焦平面上 一点.反之也然。
2)共轭光线在主面上的投射高度相等。 例：求轴上点的像（任一光线的出射光线）
B
A'
A
B'
M
图2-1 过光轴的截面
2. 垂直于光轴的平面物与所成的共轭平面像的几何形
状完全相似。（由物空间两子午面的夹角等于像空间中
两子午面的夹角）即垂直于光轴的同一平面上具有恒定
的放大率。
设AP＝BP＝CP＝y A1P1＝B1P1＝C1P1＝y1
B
A
D
P'
C OO
PB上一点D，PD＝ycosψ 对应P1B1上一点D1 且P1D1＝y1cosψ 则P1D1/PD＝y1/y
除β＝±1时，空间像将变形


x x

x2 x2

x1 x1

n n
12
三．角放大率：
1.定义： tanU U.U′：一对共轭光线倾斜角 tanU
由理想光学系统的拉氏公式 ny tan u ny tan u
tanU n 1 tanU n
求轴外点B或垂轴线段所成的像 求轴上点经双光组所成的像
A
FH
H′
F′
A
FH
H′
F′
B
A
A′
FH
H′
F′
B′
A1 F1 F2 H1 H'1 H2 F'1 H'2 a)
M1 M'1
A1
F1
F'1 b)
F'2 A'1
M'1 F2
A2
A'2 F'2
A'1
c)
M1
M'1 M2 M'2
A1 F1 F2 H1 H'1 H2 F'1 H'2 A'2 F'2
h
Q F -U H
-f
图2-9 理想光学系统的物方参数
h h
Q
Q'
H
H'
F
F'
图2-10 两主面间的关系
F'

图2-8 无限远轴外物点发出的光束
三．用一对共轭平面（主平面）和两对轴上共轭点(焦点) 可代表一个光学系统的特性，并可与实际系统性对应 即:可用 F、F′、H、H′和 f、 f′ 代替实际光组的结构参数：r.n.d
f n n n......f f fn
f (1)k1 n
f
n
理想光学系统的拉氏公式 ny tanu ny tanu
第四节．理想光学系统的放大率
一．横向放大率β 二．轴向放大率：
y f x f l y x f f l
OO
D'
A'
C'
P
B'
图２－２ 垂直于光轴的P、P'截面
＝常数（与ψ无关）
3. 一个共轴理想光学系统，如果已知两面对共轭平面 的位置和放大率，或一对共轭平面的位置和放大率，以 及轴上的两对共轭点的位置，则其他一切物点的像点都 可根据已知点、面来确定。——基点、基面 即：由二对共轭面或一对共轭面加上二对轴上共轭点， 即可定整个系统的性质。
n n......f f
n l n l
dx dl dx dl
xdx xdx 0
dx x dx x
f x 2 f n 2 n n 1...... 2
x f
fn
F
H H' J J'
F'
xJ
-x'J
图2-23 过节点的光线
①．当n＝n′时：
n 1 1 n
此时节点与主点重合
即β=1
②．当n≠n1时： xJ f ........ xJ f
证明：
n n J
f
xJ
xJ f
xJ

n n
f ............xJ
三．多光组系统求像
1
f1
x1 x2 f2
A1
H1 H'1
A1'
H2
F1
F'1 A2 F2
l1
l2
d1
H'2 F2'
过渡公式： l2 l1 d1
x2 x1 1
1 d1 f1 f2
1.过渡公式： F1′→F2 ＝Δ1 ： 光学间隔，焦点间隔，顺光路为正 H1′→H2 ＝d1 ： 光组间隔
M M'

-U A
U' A'
近轴区
u n 1 u n
图2-21 光学系统的角放大率
四．光学系统中的节点
1．定义： 1 的共轭点称为节点。
tanU n 1 1 tanU n
U = U′
意义：过节点的光线，方向不变。
（入射光线与出射光线相互平行）
x l f ......x l f
代入牛顿公式，推出：
B
f f 1
y
l l
A
Q
Q'
F
H H'
F
A'
f l f l
-y'
R
R'
-x
-f
f'
B' x'
-l
l'
当 f f 时:
牛顿公式 xx f 2
y f x y x f
H
H'
F
F'
四. 实际光学系统的基点、基面和焦距的计算 P18例：已知三片照相物镜结构参数 r.n.d，
利用近轴平行光线追迹， 可得实际系统的f′、l′H、l′F及 f、lH、lF 1）原始参数：l1＝－∞（u1=0） h1＝10（可任取）
(l′与u无关 i1＝h1/r1 ) 2）逐面“追迹”光线（小l公式+过渡公式）
f＝82.055mm，lF＝70.0184mm， 换回正向光路符号：
f＝－82.055mm，l′F＝－70.0184mm，l′H＝12.0366mm 注意: lH、lF均以O1为原点
L=-∞ F'
图2-12 三片型照相物镜
F
O1 H
H′ O6
F′
lF
lH
f
lF
lH
f
第三节 理想光学系统的物像关系
l
例P22：
已知： lF 67.4907 mm lF 70.0184 mm
f f 82.055mm
要求:β＝－（1/10）（根据光组的性质判断β的符号）
问:物平面应放在什么位置? 解: x f 820 .55mm

l x l f 890 .5684 mm
第二章 理想光学系统
第一节 理想光学系统与共线成像理论
1841年由高斯提出——“高斯光学”
一．理想光学系统的概念 光学系统对远轴物点或对近轴物点以宽光束成像时，
其所的成像是不完善的。如果把成像范围和成像光束加以 限制，仅以近轴光成像，则所成的像是完善像。
但是这样的光学系统是没有实用价值的。之所以还要 研究近轴光成像，其意义在于能以近轴区成像为依据来衡 量实际光学系统成像的不完善程度。把近轴区成完善像拓 展成“在任意大的空间中以任意宽的光束均能成完善像” 的 理想模型，这样的光学系统就是理想光学系统。
2.物方焦点与物方焦平面（对应 L′＝+∞ ）
A
B
Q' E'
h
H'UBiblioteka F'f'
图2-7 理想光学系统的像方参数
二．主点与主平面（β＝＋1的一对共轭面） 1.像方主点与像方主平面： 过平行光轴的入射光线与其共轭出射光线的交点， 作垂直光轴并交于光轴上的点。 2.物方主点与物方主平面
3.像方焦距 H′F′＝f′＝h/tgu′ 推出：f′＝ h/tgu′ 4.物方焦距 f＝ h/tgu
J′ H′
F′
五．用平行光管测焦距的原理
tan() y f1
M M'
-U
H H'
U'
A
F
-X
-f
F′
f' X'
-L
L'
图2-20 两焦距的关系
又因为
x


f

f
(
y
y)
x f f ( y y )
代入上式可得 fytanu f y tanu
在近轴区有 fyu f y u
由拉氏公式 nyu nyu
L=-∞
F'
图2-12 三片型照相物镜
3）结果： l′F＝ l′＝67.4907 f′＝h1/tgu′k＝h1/u′k＝82.055mm 注意: u′k与h有关,近轴区tgu′= u′ l′H＝l′F － f′＝－14.5644mm 注意: l′H、l′f均以Ok为原点！
4）反向计算物方参数：
即把系统倒转．Ok→O1, r要改变符号 重复上述计算可得：
lk lk1 dk1
xk xk 1 k 1 k dk fk fk1
2.放大率公式：

y y
y1 y1
y2 ...... y2
yk yk
12......k
四．f与f′的关系 由图中几何关系可得 l tanu h ltanu (x f ) tanu h (x f ) tanu
y y 20mm
xx f 2 x l f 75mm
l'
x 75mm
2)根据 y f x 0.5
y x f x f 150 mm
x f 37.5mm
l x f 150 75 225mm l x f 37.5 75 112.5mm l 0.5
二．共线成像 点对应点，直线对应直线，平面对应平面 在理想光学系统中，任何一个物点发出的光线经系
统作用后所有的光线都仍然交于一点.由光路的可逆性 和折、反射定率中光线方向的确定性可得出“每一个物 点对应唯一的一个像点”即点对应点,再根据直线传播定 律，得出直线对应直线，平面对应平面。 建立理想光学系统的意义 1.作为像质评价的基准； 2.进行光学系统的外形尺寸计算：