广东省六校2010-2011学年高三下学期第三次模拟考试(数学理)
六校2011届高三第三次联考(理数.269K)
六校2011届高三第三次联考数学（理科）（中山纪中、深圳实验、东莞中学、珠海一中、惠州一中、广州二中） 本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分为150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡和答卷密封线内相应的位置上，用2B 铅笔将自己的学号填涂在答题卡上。
2、选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上。
3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答卷纸上作答，答案必须写在答卷纸各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4、考生必须保持答题卡的整洁和平整。
参考公式：（1）锥体的体积公式是Sh V 31=（2）记 f(k)+f(k+1)+f(k+2)++f(n)=∑=nki i f )(,其中k, n 为正整数且k ≤n 一、选择题:(每小题5分，共40分)1．若A=04|{2<-x x x }，B={}|30x x -<，则A B =（ ）A ． (0,3) B. (0,4) C. (0,3) D. (3，4) 2. 等比数列}{n a 中,已知4,242==a a ,则=6a （ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 163. 下列函数中，既是偶函数又在()0,+∞上单调递增的是A. 3y x = B. c o s y x = C.x y tan= D . ln y x = 4. 已知空间向量)1,3,(),0,1,3(-==x b a ，且a b ⊥ ，则x =（ ） A ．3- B.1- C. D. 35、已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍，则椭圆的离心率等于（ ）． A ．31 B ．32 C ．322 D ．3106. 设a 、b 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，是下列命题中正确的是（ ）A ．若//a b ，//a α，则//b αB ．若αβ⊥，//a α，则a β⊥C ．若αβ⊥，a β⊥，则//a αD ．若a b ⊥，a α⊥，b β⊥，则αβ⊥7. 方程 03log 3=-+x x 的解所在的区间是（ ） A ． （0,1） B. (1,2) C.(2,3) D. (3,4)8. 已知过点（1，2）的二次函数c bx ax y ++=2的图象如右图， 给出下列论断：①0>abc ，②0<+-c b a ,③1<b ， ④21>a . 其中正确论断是（ ） A ． ①③ B. ②④C. ②③D. ②③④二、填空题：（每小题5分，共30分，把正确答案填写在答卷相应地方上） 9. 已知}{n a 是首项为1的等差数列，且512,a a a 是的等比中项，且n n a a >+1， 则}{n a 的前n 项和n S =______10. 在ABC ∆中，a=15,b=10,A=60°，则cos 2B =_______11. 如图所示，为了计算图中由曲线轴及与直线x x xy 222== 所围成的阴影部分的面积S=_____________。
普通高等学校高中数学招生全国统一考试模拟试题(三) 理 (广东卷)
普通高等学校高中数学招生全国统一考试模拟试题（三） 理（广东卷）2011年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题（三）理科数学(必修+选修II) 第I 卷注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
不能答在试题卷上。
3．本卷共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
参考公式：如果事件A B 、互斥，那么 球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+ 24S R π=如果事件A B 、相互独立，那么 其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B = 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 343V R π=n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径()(1)(0,1,2,)k kn k n n P k C p p k n -=-=…一．选择题1. 已知集合且，则实数a 的取值范围是 ( )A.(l,)B.〔l,)C. (，1〕D.〔0,1〕2．（理科）设定义域为R 的函数(),()f x g x 都有反函数，且函数1(2)(3)f x g x -+-和的图像关于直线y x =对称，若(3)2009,(5)g f =则等于 （ ）A ．2009B ．2010C ．2011D ．20123．已知变量x y ，满足约束条件1031010y x y x y x +-⎧⎪--⎨⎪-+⎩≤，≤，≥，则2z x y =+的最大值为（ ）A ．4B ．2C ．1D ．4-4.等差数列|a n |的前n 项和为S n ，若，则下列结论不正确的是 ( ) .A.B.C.D.5.不等式22x x a --+≥有解，则实数a 的取值范围是 （ ）4444A a B a C a D a ≥-≤-≤≥、、、、6．上海世博园区志愿者部要将5名志愿者分配到三个场馆服务，每个场馆至少1名，至多2名，则不同的分配方案有 （ ） A ．30种 B ．90种 C ．180种 D ．270种 7．将函数3sin(2)y x θ=+的图象F 1按向量(,1)6π-平移得到图像F 2，若图象F 2关于直线4x π=对称，则θ的一个可能取值是（ ）A ．23π-B ．23π C ．56π-D ．56π 8．在ABC ∆中，若(2),(2)AB AB AC AC AC AB ⊥-⊥-，则ABC ∆的形状为（ ）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形 9．设地球是半径为R 的球，地球上A 、B 两地都在北纬45°的纬线上，A 在东经20°、B 在东经110°的经线上，则A 、B 两地的球面距离是 （ ）A ．43R π B ．23R π C ．13R π D ．53R π 10.已知点P 在曲线y=41x e +上，a 为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则a 的取值范围是 ( ) A. [0,4π) B. [,)42ππ C. 3(,]24ππ D. 3[,)4ππ 11. 已知，则等于( )A.9B. 11C. -11D. 1212.过双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的左焦点F 的直线l 与双曲线的左支交于A 、B 两点，且以S E F A B C 线段AB 为直径的圆被双曲线C 的左准线截得的劣弧的弧度数为3π，那么双曲线的离心率为 ( )（A ）2 （B ）3 （C ）2 （D ）233第Ⅱ卷注意事项：1．用0.5毫米的黑色字迹签字笔在答题卡上作答。
广东省六校2010-2011学年高三下学期第三次模拟考试
广东省六校2010-2011学年高三下学期第三次模拟考试高三2011-05-30 22:12广东省六校2010-2011学年高三下学期第三次模拟考试语文试题一、本大题4小题，每小题3分，共12分。
1．下列词语中加点的字，每对读音都不相同的一组是( )A．对弈/友谊秘籍/慰藉分发/分外B．联袂/昧心轶事/秩序创伤/重创C．缉私/嫉妒隔阂/核算桂冠/冠军D．祛除/趣谈轻佻/跳动湖泊/停泊2．依次填入下列各句横线处的词语，最恰当的一组是( )①国务院食品安全委员会日前已印发《“瘦肉精”专项整治方案》，部署各地区、各有关部门以生猪、肉牛、肉羊为重点，在全国范围内开展“瘦肉精”专项。
②从今天开始，新京报将连续6天推出100版大型系列特刊，从清华大学百年风物、历史、学子、老师和成就诸方面，这座中国名校的历史风云，探究它的精神和未来。
③自中国开办高等教育起，国人就发现了这里（清华大学）有一种神奇的力量，能够挽精神颓亡于既倒，发科学民主之萌芽。
A．整治再现往往 B．整顿展现往往C．整治展现常常 D．整顿再现常常3．下列各句中，加点的词语使用错误的一项是( )鲁迅作品之所以能够穿越时代、具有坚不可摧的力量，在于它对旧中国社会群体的解读、对中国传统文化的认识，可谓独具只眼。
比如，《阿Q正传》在现代文学史上不可替代的地位，不仅在于它对几千年积淀的国民性的分析入木三分，更在于历经蹉跎岁月之后，它的“现实意义”和“针对性”一点也没有减退，反而日显其尖锐。
可见，鲁迅作品对时下仍然有启迪意义。
A．坚不可摧 B．独具只眼 C．入木三分 D．蹉跎岁月4．下列各句中，没有语病的一句是( )A．2011年4月25日上午，来自五大洲的五名大学生在清华大学采集了深圳第26届世界大学生运动会的圣火。
代表亚洲大学生的采火使者是来自深圳大学的学生栗璐雅。
B．在地沟油、染色馒头、瘦肉精等不断挑战民众“抗毒”能力的诸多食品安全问题出现之后，一场打击违法食品添加剂为主题的餐桌安全“整风运动”在政策密集加码中强势拉开。
2010届广东省高三六校第三次联考数学(理)试卷
广东省六所名校2010届高三第三次联考数学（理科） 2009.12.18一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是合 题目要求的．1．如图1，正方体1111D C B A ABCD -中，异面直线1BD 与D A 1所成的角等于A ．︒30B ．︒45C ．︒60D ．︒902．要得到函数⎪⎭⎫ ⎝⎛π-=42cos x y 的图象，只要将函数x y 2sin =的图象A ．向左平移8π个单位B ．向右平移8π个单位C ．向左平移4π个单位D ．向右平移4π个单位3．设],[b a X =，],[d c Y =都是闭区间，则“直积”},|),{(Y y X x y x Y X ∈∈=⨯表示直角坐标平面上的A ．一条线段B ．两条线段C ．四条线段D ．包含内部及边界的矩形区域4．设4443342241404)(x C x C x C x C C x f +-+-=，则导函数)('x f 等于A ．3)1(4x -B ．3)1(4x +-C ．3)1(4x +D ．3)1(4x -- 5．函数)1(log 13x y +=在定义域内有A ．最大值41 B ．最小值41C ．最大值22D ．最小值226．公差不为零的等差数列}{n a 中，2a ，3a ，6a 成等比数列，则其公比q 为A ．1B ．2C ．3D ．4 7．已知向量y x b a ,,,满足1||||==b a ，0=⋅b a ，且⎩⎨⎧-=+-=y x b yx a 2，则|y ||x |+等于A ．32+B ．52+C ．53+D ．78．已知点),(y x 所在的可行域如图2所示．若要使目标函数y ax z +=取得最大值的最优解有无数多个，则a 的值为A ．4B ．41C ．35D ．53二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分．把答案填在题中横线上．9．将编号分别为1，2，3，4，5的五个红球和五个白球排成一排，要求同编号球相邻，但同色球不相邻，BCD A1B 1C 1D 1A 1图2图则不同排法的种数为 _____（用数字作答）．10．若△ABC 的三个内角满足C C B B A 222sin sin sin sin sin ++=，则A ∠等于 _______ ． 11．据研究，甲、乙两个磁盘受到病毒感染，感染的量y （单位：比特数）与时间x （单位：秒）的函数 关系式分别是x e y =甲和2x y =乙,显然，当1≥x 时，甲磁盘受到的病毒感染增长率比乙磁盘受到的病毒感 染增长率大．试根据上述事实提炼一个不等式是 ．12．若偶函数)(x f 在]0,(-∞内单调递减，则不等式)(lg )1(x f f <-的解集是 ______ ． 13．如图3，有一轴截面为正三角形的圆锥形容器，内部盛水的高度为h ，放入一球后，水面恰好与 球相切，则球的半径为 _______ （用h 表示）． 14．给出下列四个命题：①设∈21,x x R ，则11>x 且12>x 的充要条件是221>+x x 且121>x x ； ②任意的锐角三角形ABC 中，有B A cos sin >成立； ③平面上n 个圆最多将平面分成4422+-n n 个部分； ④空间中直角在一个平面上的正投影可以是钝角．其中真命题的序号是 （要求写出所有真命题的序号）．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 15．（本小题满分12分）设有同频率的两个正弦电流)3100sin(31ππ+=t I ，)6100sin(2ππ-=t I ，把它们合成后，得到电流21I I I +=．（1）求电流I 的最小正周期T 和频率f ；（2）设0≥t ，求电流I 的最大值和最小值，并指出I 第一次达到最大值和最小值时的t 值． 16．（本小题满分12分）如图4，正三棱柱111C B A ABC -中，11==AB AA ，P 、Q 分别是侧棱1BB 、1CC 上的点，且使得折线1APQA 的长1QA PQ AP ++最短． （1）证明：平面⊥APQ 平面C C AA 11； （2）求直线AP 与平面PQ A 1所成角的余弦值．17．（本小题满分14分）已知函数)(x f 满足C x x f x x f +-⎪⎭⎫⎝⎛+=2332')(（其中⎪⎭⎫ ⎝⎛32'f 为)(x f 在点32=x 处的导数，C 为常数）．（1）求函数)(x f 的单调区间；（2）若方程0)(=x f 有且只有两个不等的实数根，求常数C ；BCA1A 1C 1B PQ4图3图（3）在（2）的条件下，若031>⎪⎭⎫⎝⎛-f，求函数)(xf的图象与x轴围成的封闭图形的面积．18．（本小题满分14分）如图5，G是△OAB的重心，P、Q分别是边OA、OB上的动点，且P、G、Q三点共线．（1）设PQPGλ=，将OG用λ、、OQ表示；（2）设OAxOP=，OByOQ=，证明：yx11+是定值；（3）记△OAB与△OPQ的面积分别为S、T．求ST的取值范围．19．（本小题满分14分）已知数列}{na的前n项和)1(23-=nnaS，+∈Nn．（1）求}{na的通项公式；（2）设∈n N+，集合},,|{+∈≤==NiniayyAin，},14|{+∈+==NmmyyB．现在集合nA中随机取一个元素y，记By∈的概率为)(np，求)(np的表达式．20．（本小题满分14分）如果对于函数)(xf的定义域内任意的21,xx，都有|||)()(|2121xxxfxf-≤-成立，那么就称函数)(xf是定义域上的“平缓函数”．（1）判断函数xxxf-=2)(，]1,0[∈x是否是“平缓函数”；（2）若函数)(xf是闭区间]1,0[上的“平缓函数”，且)1()0(ff=．证明：对于任意的∈21,xx]1,0[，都有21|)()(|21≤-xfxf成立．（3）设a、m为实常数，0>m．若xaxf ln)(=是区间),[∞+m上的“平缓函数”，试估计a的取值范围（用m表示，不必证明．．．．）．数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题：二、填空题：9．240 10.120° 11．2xe x>12．1(0,)(10,)10+∞13 14．②④．三、解答题：OA BPQMG5图15．解：（1）（法1）∵21I I I +=)3100sin(3ππ+=t )6100sin(ππ-+t )100cos 23100sin 21(3t t ππ+= )100cos 21100sin 23(t t ππ-+t t ππ100cos 100sin 3+=)6100sin(2ππ+=t∴电流I 的最小正周期5011002==ππT ，频率501==Tf ． 方法二: ∵21I I I +=)3100sin(3ππ+=t )6100sin(ππ-+t )3100sin(3ππ+=t]2)3100sin[(πππ-++t )3100sin(3ππ+=t )3100cos(ππ+-t )6100sin(2ππ+=t ,∴电流I 的最小正周期5011002==ππT ，频率501==Tf ．（2）由（1）当ππππk t 226100+=+，即300150+=k t ，N ∈k 时，2max =I ；当π+π=π+πk t 2236100，即75150+=k t ，N ∈k 时，2min -=I ．而0≥t ，∴I 第一次达到最大值时，3001=t ；I 第一次达到最小值时，751=t ．16．解：（1）∵正三棱柱111C B A ABC -中，11==AB AA ，∴将侧面展开后，得到一个由三个正方形拼接而成的矩形""''11A A A A ,从而，折线1APQA 的长1QA PQ AP ++最短，当且仅当'A 、P 、Q 、"A 四 点共线，∴P 、Q 分别是1BB 、1CC 上的三等分点，其中311==Q C BP ． 连结AQ ，取AC 中点D ，AQ 中点E ，连结BD 、DE 、EP ．由正三棱柱的性质，平面⊥ABC 平面C C AA 11，而AC BD ⊥，⊂BD 平面ABC ， 平面 ABC 平面AC C C AA =11，∴⊥BD 平面C C AA 11．又由（1）知，BP CQ DE ==//21//，∴四边形BDEP 是平行四边形，从而BD PE //．∴⊥PE 平面C C AA 11．而⊂PE 平面APQ ，∴平面⊥APQ 平面C C AA 11．（2）由（2），同理平面⊥PQ A 1平面B B AA 11．而⊂AP 平面B B AA 11，平面 PQ A 1平面AP B B AA =11 ∴P A 1即为AP 在平面PQ A1上的射影，从而1APA ∠是直线AP 与平面PQ A 1所成的角． 在△1APA 中，11=AA ，31022=+=BP AB AP ，313212111=+=P B B A PA ，由余弦定理，130130731331021913910cos 1=⨯⨯-+=∠APA ，即直线AP 与平面PQ A 1所成角的余弦值为1301307． 方法二:取BC 中点O 为原点，OA 为x 轴，OC 为y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系xyz O -，由（1）及正三棱柱的性质，可求得：)0,0,23(A ，)1,0,23(1A ，)31,21,0(-P ， )32,21,0(Q ．从而)31,21,23(--=AP ， )32,21,23(1---=P A ，)31,21,23(1--=Q A ． 设平面PQ A 1的一个法向量为),,(z y x =n ，则⎪⎩⎪⎨⎧⊥⊥Q A P A 11n n ，所以⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0011Q A P A n n ，BCA1A 1C 1B P QDE即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-=---03121230322123z y x z y x ，解之，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=z y z x 3133，取3-=z ，得3=x ，1=y ，∴)3,1,3(-=n ．从而()()1309313312123331121323,cos 222222-=-++⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-⨯-⨯-=⨯<|n |||n AP AP AP ， 即直线AP 与平面PQ A 1所成角的正弦值为1309|,cos |=><n AP ，∴直线AP 与平面PQ A 1所成角的余弦值为1301307130912=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-.17．解：（1）由C x x f x x f +-⎪⎭⎫⎝⎛+=2332')(，得132'23)('2-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x f x x f ．取32=x ， 得13232'232332'2-⎪⎭⎫⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛f f ，解之，得132'-=⎪⎭⎫ ⎝⎛f ，∴C x x x x f +--=23)(．从而()113123)('2-⎪⎫⎛+=--=x x x x x f ，列表如下：∴)(x f 的单调递增区间是)3,(--∞和),1(∞+；)(x f 的单调递减区间是)1,3(-．（2）由（1）知，C C f x f +=+⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=27531313131)]([23极大值；C C f x f +-=+--==1111)1()]([23极小值．∴方程0)(=x f 有且只有两个不等的实数根，等价于0)]([=极大值x f 或0)]([=极小值x f ,∴常数275-=C 或1=C ． （3）由（2）知，275)(23---=x x x x f 或1)(23+--=x x x x f ．而031>⎪⎭⎫⎝⎛-f ， 所以1)(23+--=x x x x f ． 令01)(23=+--=x x x x f ，得0)1()1(2=+-x x ，11-=x ，12=x ． ∴所求封闭图形的面积()⎰-+--=1 1231dx x x x 11234213141-⎪⎭⎫⎝⎛+--=x x x x 34=．18．解：（1）)(OP OQ OP PQ OP PG OP OG -+=+=+=λλOQ OP λλ+-=)1(．（2）一方面，由（1），得OB y OA x OQ OP OG λλλλ+-=+-=)1()1(；①OABP QMG5图另一方面，∵G 是△OAB 的重心，∴OB OA OB OA OM OG 3131)(213232+=+⨯==． ② 而OA 、OB 不共线，∴由①、②，得⎪⎩⎪⎨⎧==-.31,31)1(y x λλ 解之，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=.31,331λλyx ，∴311=+y x （定值）． （3）xy OB OQ OA OP AOB OB OA POQOQ OP S T =∠⋅∠⋅=||||sin ||||21sin ||||21,由点P 、Q 的定义知121≤≤x ，121≤≤y ， 且21=x 时，1=y ；1=x 时，21=y ．此时，均有21=S T ,32=x 时，32=y ．此时，均有94=S T ．以下证明：2194≤≤S T ．由（2）知13-=x x y ，∵0)13(9)23(94139422≥--=--=-x x x x S T ，∴94≥S T ．∵0)13(2)12)(1(2113212≤---=--=-x x x x x S T ，∴21≤S T ．∴S T 的取值范围]21,94[．方法二:⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-+-=-==32)31(91)31(31132x x x x xy S T ，令31-=x t ，则⎪⎭⎫ ⎝⎛++=329131t t S T ， 其中3261≤≤t ．利用导数，容易得到，关于t 的函数⎪⎭⎫⎝⎛++=329131t t S T 在闭区间]31,61[上单调递减，在闭区间]32,31[上单调递增,∴31=t 时，9432313131min =⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫⎝⎛S T ．而61=t 或32=t 时，均有2132326131max =⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫⎝⎛S T ．∴S T 的取值范围]21,94[．19．解：（1）因为)1(23-=n n a S ，+∈N n ，所以)1(2311-=++n n a S ．两式相减，得)(2311n n n n a a S S -=-++，即)(2311n n n a a a -=++，∴n n a a 31=+，+∈N n ,又)1(2311-=a S ，即)1(2311-=a a ，所以31=a ．∴}{n a 是首项为3，公比为3的等比数列．从而}{n a 的通项公式是nn a 3=，+∈N n ．（2）设n i i A a y ∈==3，n i ≤，+∈N n ．当k i 2=，+∈N k 时，∵++=+===-110288)18(93k k k k k k k C C y …kk k k C C ++-81++⨯=--211088(24k k k k C C …1)1++-k k C ，∴B y ∈．当12-=k i ，+∈N k 时，∵++⨯=+⨯==------21110111288(3)18(33k k k k k k C C y …)81121----++k k k k C C ++⨯=----31120188(64k k k k C C …3)21++--k k C ，∴B y ∉,又∵集合n A 含n 个元素，∴在集合n A 中随机取一个元素y ，有B y ∈的概率⎪⎩⎪⎨⎧-=. , 21,, 21)(为偶数为奇数n nn n n p ．20．证：（1）对于任意的∈21,x x ]1,0[，有11121≤-+≤-x x ，1|1|21≤-+x x ．从而|||1||||)()(||)()(|21212122212121x x x x x x x x x x x f x f -≤-+-=---=-．∴函数x x x f -=2)(，]1,0[∈x 是“平缓函数”．（2）当21||21<-x x 时，由已知得21|||)()(|2121<-≤-x x x f x f ；当21||21≥-x x 时，因为∈21,x x ]1,0[，不妨设1021≤<≤x x ，其中2112≥-x x ，因为)1()0(f f =，所以=-|)()(|21x f x f |)()1()0()(|21x f f f x f -+-|)()1(||)0()(|21x f f f x f -+-≤|1||0|21x x -+-≤121+-=x x 21121=+-≤.故对于任意的∈21,x x ]1,0[，都有21|)()(|21≤-x f x f 成立．（3）结合函数x a x f ln )(=的图象性质及其在点m x =处的切线斜率，估计a 的取值范围是闭 区间],[m m -．。
2011年广东省高考理科数学模拟试题(三)
2011年广东高考全真模拟试卷理科数学（三）本试卷共4页，21小题， 满分150分． 考试用时120分钟．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若将复数ii-+11表示为a + bi （a ，b ∈R ，i 是虚数单位）的形式，则a + b =A ．0B ．1C ．－1D ．22．已知p ：14x +≤，q ：256x x <-，则p 是q 成立的A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 3．已知{}n a 是等差数列，154=a ，555=S ，则过点34(3,(4,),)P a Q a 的直线的斜率 A ．4B ．41 C ．－4D ．－144．已知()xf x a b =+的图象如图所示，则()3f =A ．2B 3C ．3D ．3或3-5．已知直线l 、m ,平面βα、，则下列命题中假命题是A ．若βα//，α⊂l ,则β//lB ．若βα//，α⊥l ,则β⊥lC ．若α//l ，α⊂m ,则m l //D ．若βα⊥，l =⋂βα,α⊂m ,l m ⊥,则β⊥m6．2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有Ａ．36种 B ．12种 C ．18种 D ．48种 7．设向量a 与b 的夹角为θ，定义a 与b 的“向量积”：a b ⨯是一个向量，它的模sin a b a b θ⨯=⋅⋅，若()()3,1,1,3a b =--=，则a b ⨯=A ．2C ．D ．48．已知函数：c bx x x f ++=2)(，其中：40,40≤≤≤≤c b ，记函数)(x f 满足条件：(2)12(2)4f f ≤⎧⎨-≤⎩为事件为A ，则事件A 发生的概率为A ．14 B ． 58 C ．38 D ．12二、填空题：本大题共7小题，其中9～13题是必做题，14～15题是选做题，每小题5分，满分30分．9．52)1)(1(x x -+展开式中x 3的系数为_________．10．两曲线x x y y x 2,02-==-所围成的图形的面积是_________．11．以点)5,0(A 为圆心、双曲线191622=-y x 的渐近线为切线的圆的标准方程是_________．12．已知函数)8(,)0)(3()0(2)(-⎩⎨⎧≤+>=f x x f x x f x 则=_________．13．已知3444815=，…若=（,a t 均为正实数），则类比以上等式，可推测,a t 的值，a t += ．▲选做题：在下面两道小题中选做一题，两题都选的只计算前两题的得分． 14．（坐标系与参数方程选做题）若直线112,:()2.x t l t y kt =-⎧⎨=+⎩为参数与直线2,:12.x s l y s =⎧⎨=-⎩（s 为参数）垂直，则k = ．15．(几何证明选讲选做题）点,,A B C 是圆O 上的点， 且04,45AB ACB =∠=，则圆O 的面积等于_____．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程．16．（本小题满分12分）已知向量)3,cos 2(2x a =→-，)2sin ,1(x b =→-，函数()f x a b =⋅，2)(→-=b x g ． （Ⅰ）求函数)(x g 的最小正周期；（Ⅱ）在∆ABC 中，c b a ,,分别是角C B A ,,的对边，且3)(=C f ，1=c ，32=ab ，且b a >，求b a ,的值．17．（本小题满分12分）某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上40件产品作为样本，称出它们的重量（单位：克），重量的分组区间为(]495,490，(]500,495，…，(]515,510，由此得到样本的频率分布直方图，如右图所示．（1）根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量．（2）在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y 为重量超过505克的产品数量，求Y 的分布列．（3）从流水线上任取5件产品，求恰有2件产品的重量超过505克的概率．18．（本小题满分14分）如图，四面体ABCD 中，O 、E 分别是BD 、BC2,CA CB CD BD AB AD ======(1) 求证：AO ⊥平面BCD ；(2) 求异面直线AB 与CD 所成角余弦的大小； (3) 求点E 到平面ACD 的距离． 19．（本小题满分14分）已知椭圆2221(01)y x b b+=<<的左焦点为F ，左右顶点分别为A,C 上顶点为B ，过F,B,C 三点作P ，其中圆心P 的坐标为(,)m n ．(1) 若椭圆的离心率2e =，求P 的方程； （2）若P 的圆心在直线0x y +=上，求椭圆的方程．20．（本小题满分14分）已知向量2(3,1),(,)a x b x y =-=-，（其中实数y 和x 不同时为零），当||2x <时，有a b ⊥，当||2x ≥时，//a b ．(1) 求函数式()y f x =；（2）求函数()f x 的单调递减区间； （3）若对(,2]x ∀∈-∞-[2,)+∞，都有230mx x m +-≥，求实数m 的取值范围．21．（本小题满分14分）设数列{n a }的前n 项和为n S ，并且满足n a S n n +=22，0>n a （n ∈N*）. （Ⅰ）求1a ，2a ，3a ；（Ⅱ）猜想{n a }的通项公式，并加以证明； （Ⅲ）设0>x ，0>y ，且1=+y x ， 证明：11+++y a x a n n ≤)2(2+n .CE。
广东省六所2010届高三第三次联考(数学理)
广东省六所名校2010届高三第三次联考数学（理科） 2009.12.18命题：深圳实验学校高中部 高三数学备课组本试卷共4页，20小题，满分150分．考试用时120分钟． 参考公式：锥体体积Sh V 31=（其中S 是底面积，h 是高），球体体积334R V π=（其中R 是半径）． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．如图1，正方体1111D C B A ABCD -中，异面直线1BD 与D A 1 所成的角等于A ．︒30B ．︒45C ．︒60D ．︒902．要得到函数⎪⎭⎫ ⎝⎛π-=42cos x y 的图象，只要将函数x y 2sin =的图象A ．向左平移8π个单位B ．向右平移8π个单位C ．向左平移4π个单位D ．向右平移4π个单位3．设],[b a X =，],[d c Y =都是闭区间，则“直积”},|),{(Y y X x y x Y X ∈∈=⨯表示直角坐标平面上的A ．一条线段B ．两条线段C ．四条线段D ．包含内部及边界的矩形区域4．设4443342241404)(x C x C x C x C C x f +-+-=，则导函数)('x f 等于 A ．3)1(4x - B ．3)1(4x +- C ．3)1(4x + D ．3)1(4x -- 5．函数)1(log 913x x y +=在定义域内有A ．最大值41 B ．最小值41C ．最大值22D ．最小值226．公差不为零的等差数列}{n a 中，2a ，3a ，6a 成等比数列，则其公比q 为 A ．1 B ．2 C ．3 D ．47．已知向量y x b a ,,,满足1||||==b a ，0=⋅b a ，且⎩⎨⎧-=+-=y x b yx a 2，则|y ||x |+等于A ．32+B ．52+C ．53+D ．7 8．已知点),(y x 所在的可行域如图2所示．若要使目标函数BCD A1B 1C 1D 1A 1图yaxz+=取得最大值的最优解有无数多个，则a的值为A．4 B．41C．35D．53二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分．把答案填在题中横线上．9．将编号分别为1，2，3，4，5的五个红球和五个白球排成一排，要求同编号球相邻，但同色球不相邻，则不同排法的种数为（用数字作答）．10．若△ABC的三个内角满足CCBBA222sinsinsinsinsin++=，则A∠等于．11．据研究，甲、乙两个磁盘受到病毒感染，感染的量y（单位：比特数）与时间x（单位：秒）的函数关系式分别是x ey=甲和2xy=乙．显然，当1≥x时，甲磁盘受到的病毒感染增长率比乙磁盘受到的病毒感染增长率大．试根据上述事实提炼一个不等式是．12．若偶函数)(xf在]0,(-∞内单调递减，则不等式)(lg)1(xff<-的解集是．13．如图3，有一轴截面为正三角形的圆锥形容器，内部盛水的高度为h，放入一球后，水面恰好与球相切，则球的半径为（用h表示）．14．给出下列四个命题：①设∈21,xx R，则11>x且12>x的充要条件是221>+xx且121>xx；②任意的锐角三角形ABC中，有BA cossin>成立；③平面上n个圆最多将平面分成4422+-nn个部分；④空间中直角在一个平面上的正投影可以是钝角．其中真命题的序号是（要求写出所有真命题的序号）．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．15．（本小题满分12分）设有同频率的两个正弦电流)3100sin(31ππ+=tI，)6100sin(2ππ-=tI，把它们合成后，得到电流21III+=．（1）求电流I的最小正周期T和频率f；（2）设0≥t，求电流I的最大值和最小值，并指出I第一次达到最大值和最小值时的t值．2图3图16．（本小题满分12分）如图4，正三棱柱111CBAABC-中，11==ABAA，P、Q分别是侧棱1BB、1CC上的点，且使得折线1APQA的长1QAPQAP++最短．（1）证明：平面⊥APQ平面CCAA11；（2）求直线AP与平面PQA1所成角的余弦值．17．（本小题满分14分）已知函数)(xf满足Cxxfxxf+-⎪⎭⎫⎝⎛+=2332')(（其中⎪⎭⎫⎝⎛32'f为)(xf在点32=x处的导数，C为常数）．（1）求函数)(xf的单调区间；（2）若方程0)(=xf有且只有两个不等的实数根，求常数C；（3）在（2）的条件下，若031>⎪⎭⎫⎝⎛-f，求函数)(xf的图象与x轴围成的封闭图形的面积．18．（本小题满分14分）如图5，G是△OAB的重心，P、Q分别是边OA、OB上的动点，且P、G、Q三点共线．（1）设λ=，将用λ、OP、OQ表示；（2）设OAxOP=，y=，证明：yx11+是定值；（3）记△OAB与△OPQ的面积分别为S、T．求ST的取值范围．19．（本小题满分14分）已知数列}{na的前n项和)1(23-=nnaS，+∈Nn．（1）求}{na的通项公式；B CA1A1C1BPQ4图OA BPQMG5图（2）设∈n N +，集合},,|{+∈≤==N i n i a y y A i n ，},14|{+∈+==N m m y y B ．现在集合n A 中随机取一个元素y ，记B y ∈的概率为)(n p ，求)(n p 的表达式．20．（本小题满分14分）如果对于函数)(x f 的定义域内任意的21,x x ，都有|||)()(|2121x x x f x f -≤-成立，那么就称函数)(x f 是定义域上的“平缓函数”．（1）判断函数x x x f -=2)(，]1,0[∈x 是否是“平缓函数”；（2）若函数)(x f 是闭区间]1,0[上的“平缓函数”，且)1()0(f f =．证明：对于任意 的∈21,x x ]1,0[，都有21|)()(|21≤-x f x f 成立． （3）设a 、m 为实常数，0>m ．若x a x f ln )(=是区间),[∞+m 上的“平缓函数”，试估计a 的取值范围（用m 表示，不必证明．．．．）．数学（理科）参考答案及评分标准 20091218命题：深圳实验学校高中部 高三数学备课组本试卷共4页，20小题，满分150分．考试用时120分钟．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分．把答案填在题中横线上． 9． 240 ． 10． 120° ． 11．xe x 2>．12．),10()101,0(∞+ ． 13． 153h． 14． ②④ ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 15．（本小题满分12分）设有同频率的两个正弦电流)3100sin(31ππ+=t I ，)6100sin(2ππ-=t I ，把它们合成后，得到电流21I I I +=．（1）求电流I的最小正周期T和频率f；（2）设0≥t，求电流I的最大值和最小值，并指出I第一次达到最大值和最小值时的t值．解：（1）（法1）∵21III+=)3100sin(3ππ+=t)6100sin(ππ-+t)100cos23100sin21(3ttππ+=)100cos21100sin23(ttππ-+……2分ttππ100cos100sin3+=)6100sin(2ππ+=t，………………………………4分∴电流I的最小正周期5011002==ππT，频率501==Tf．………………6分（法2）∵21III+=)3100sin(3ππ+=t)6100sin(ππ-+t)3100sin(3ππ+=t]2)3100sin[(πππ-++t)3100sin(3ππ+=t)3100cos(ππ+-t……………………………2分)6100sin(2ππ+=t……………………………………………4分∴电流I的最小正周期5011002==ππT，频率501==Tf．………………6分（2）由（1）当ππππkt226100+=+，即300150+=kt，N∈k时，2max=I；当π+π=π+πkt2236100，即75150+=kt，N∈k时，2min-=I．…9分而0≥t，∴I第一次达到最大值时，3001=t；I第一次达到最小值时，751=t．………………………12分16．（本小题满分12分）如图4，正三棱柱111CBAABC-中，11==ABAA，P、Q分别是侧棱1BB、1CC上的点，且使得折线1APQA的长1QAPQAP++最短．（1）证明：平面⊥APQ平面CCAA11；（2）求直线AP与平面PQA1所成角的余弦值．解：（1）∵正三棱柱111CBAABC-中，11==ABAA，∴将侧面展开后，得到一个由三个正方形拼接而成的矩形""''11AAAA（如图），B CA1A1C1BPQ4图B CA1A1C1BPQ'A'1A"A"1A从而，折线1APQA的长1QAPQAP++最短，当且仅当'A、P、Q、"A四点共线，∴P、Q分别是1BB、1CC上的三等分点，其中311==QCBP．…………………2分（注：直接正确指出点P、Q的位置，不扣分）连结AQ，取AC中点D，AQ中点E，连结BD、DE、EP．由正三棱柱的性质，平面⊥ABC平面CCAA11，而ACBD⊥，⊂BD平面ABC，平面ABC平面ACCCAA=11，∴⊥BD平面CCAA11．………………………………………………4分又由（1）知，BPCQDE==//21//，∴四边形BDEP是平行四边形，从而BDPE//．∴⊥PE平面CCAA11．而⊂PE平面APQ，∴平面⊥APQ平面CCAA11．………………………8分（2）（法一）由（2），同理可证，平面⊥PQA1平面BBAA11．…………………10分而⊂AP平面BBAA11，平面PQA1平面APBBAA=11，∴PA1即为AP在平面PQA1上的射影，从而1APA∠是直线AP与平面PQA1所成的角．……………………12分在△1APA中，11=AA，31022=+=BPABAP，313212111=+=PBBAPA，由余弦定理，130130731331021913910cos1=⨯⨯-+=∠APA，即直线AP与平面PQA1所成角的余弦值为1301307．…………………………14分（法二）取BC中点O为原点，OA为x轴，OC为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系xyzO-，由（1）及正三棱柱的性质，可求得：)0,0,23(A，)1,0,23(1A，)31,21,0(-P，)32,21,0(Q．从而)31,21,23(--=AP，)32,21,23(1---=A，)31,21,23(1--=A．…………………10分设平面PQA1的一个法向量为),,(zyx=n，则⎪⎩⎪⎨⎧⊥⊥AA11nn，所以⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅11AAnn，B CA1A1C1BPQDEB CA1A1C1BPQB即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-=---03121230322123z y x z y x ，解之，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=z y z x 3133，………………………12分取3-=z ，得3=x ，1=y ，∴)3,1,3(-=n ．从而()()1309313312123331121323,cos 222222-=-++⨯⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-⨯-⨯-=⨯>=<|n |||n AP ，即直线AP 与平面PQ A 1所成角的正弦值为1309|,cos |=><n AP ， ∴直线AP 与平面PQ A 1所成角的余弦值为1301307130912=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-． …………14分 17．（本小题满分14分）已知函数)(x f 满足C x x f x x f +-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2332')(（其中⎪⎭⎫⎝⎛32'f 为)(x f 在点32=x 处的导数，C 为常数）．（1）求函数)(x f 的单调区间；（2）若方程0)(=x f 有且只有两个不等的实数根，求常数C ；（3）在（2）的条件下，若031>⎪⎭⎫⎝⎛-f ，求函数)(x f 的图象与x 轴围成的封闭图形的面积．解：（1）由C x x f x x f +-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2332')(，得132'23)('2-⎪⎭⎫⎝⎛+=x f x x f ．取32=x ，得13232'232332'2-⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛f f ，解之，得132'-=⎪⎭⎫⎝⎛f ，∴C x x x x f +--=23)(． ……………………………………2分从而()1313123)('2-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=--=x x x x x f ，列表如下：∴)(x f 的单调递增区间是)3,(--∞和),1(∞+；)(x f 的单调递减区间是)1,31(-．………………4分 （2）由（1）知，C C f x f +=+⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=27531313131)]([23极大值；C C f x f +-=+--==1111)1()]([23极小值．………………………………6分∴方程0)(=x f 有且只有两个不等的实数根，等价于0)]([=极大值x f 或0)]([=极小值x f ． ………8分∴常数275-=C 或1=C ． ……………………………………9分（3）由（2）知，275)(23---=x x x x f 或1)(23+--=x x x x f ．而031>⎪⎭⎫⎝⎛-f ，所以1)(23+--=x x x x f ．………………10分令01)(23=+--=x x x x f ，得)1()1(2=+-x x ，11-=x ，12=x ．……………………………12分∴所求封闭图形的面积()⎰-+--=1 1231dx x x x 11234213141-⎪⎭⎫⎝⎛+--=x x x x 34=．………………14分18．（本小题满分14分）如图5，G 是△OAB 的重心，P 、Q 分别是边OA 、OB 上的动点，且P 、G 、Q 三点共线．（1）设λ=，将用λ、、表示；（2）设x =，y =，证明：yx 11+是定值；（3）记△OAB 与△OPQ 的面积分别为S 、T ．求ST的取值范围．解：（1）)(-+=+=+=λλλλ+-=)1(．…………………………………………2分（2）一方面，由（1），得y x λλλλ+-=+-=)1()1(；① 另一方面，∵G 是△OAB 的重心， ∴3131)(213232+=+⨯==．② ……………4分而、不共线，∴由①、②，得⎪⎩⎪⎨⎧==-.31,31)1(y x λλ……………………6分解之，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=.31,331λλyx，∴311=+y x （定值）． …………………8分OAP QMG5图（3）xy OB OA AOB POQ ST ==∠⋅∠⋅=||||sin ||||21sin ||||21．……………………10分 由点P 、Q 的定义知121≤≤x ，121≤≤y ， 且21=x 时，1=y ；1=x 时，21=y ．此时，均有21=S T ．32=x 时，32=y ．此时，均有94=S T ．以下证明：2194≤≤S T ．（法一）由（2）知13-=x xy ，∵0)13(9)23(94139422≥--=--=-x x x x S T ，∴94≥S T ．…………………………12分 ∵0)13(2)12)(1(2113212≤---=--=-x x x x x S T ，∴21≤S T ． ∴S T的取值范围]21,94[．………………………………14分 （法二）⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-+-=-==32)31(91)31(31132x x x x xy S T ，令31-=x t ，则⎪⎭⎫ ⎝⎛++=329131t t S T ，其中3261≤≤t ．利用导数，容易得到，关于t 的函数⎪⎭⎫ ⎝⎛++=329131t t S T 在闭区间]31,61[上单调递减，在闭区间]32,31[上单调递增．………………………………12分∴31=t 时，9432313131min =⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫⎝⎛S T ． 而61=t 或32=t 时，均有2132326131max =⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫⎝⎛S T ． ∴S T的取值范围]21,94[．…………………………14分 注：也可以利用“几何平均值不小于调和平均值”来求最小值．19．（本小题满分14分）已知数列}{n a 的前n 项和)1(23-=n n a S ，+∈N n ． （1）求}{n a 的通项公式；（2）设∈n N +，集合},,|{+∈≤==N i n i a y y A i n ，},14|{+∈+==N m m y y B ．现在集合n A 中随机取一个元素y ，记B y ∈的概率为)(n p ，求)(n p 的表达式． 解：（1）因为)1(23-=n n a S ，+∈N n ，所以)1(2311-=++n n a S ． 两式相减，得)(2311n n n n a a S S -=-++，即)(2311n n n a a a -=++，∴n n a a 31=+，+∈N n ．…………………………3分又)1(2311-=a S ，即)1(2311-=a a ，所以31=a ． ∴}{n a 是首项为3，公比为3的等比数列．从而}{n a 的通项公式是n n a 3=，+∈N n ．………………………6分 （2）设n i i A a y ∈==3，n i ≤，+∈N n ． 当k i 2=，+∈N k 时，∵++=+===-110288)18(93k k k k k k k C C y …kk k k C C ++-81++⨯=--211088(24k k k kC C …1)1++-k k C ，∴B y ∈． ………………………9分 当12-=k i ，+∈N k 时，∵++⨯=+⨯==------21110111288(3)18(33k k k k k k C C y …)81121----++k k k k C C ++⨯=----31120188(64k k k k C C …3)21++--k k C ，∴B y ∉．…………………12分又∵集合n A 含n 个元素，∴在集合n A 中随机取一个元素y ，有B y ∈的概率⎪⎩⎪⎨⎧-=. , 21, , 21)(为偶数为奇数n nn n n p ．……………………14分20．（本小题满分14分）如果对于函数)(x f 的定义域内任意的21,x x ，都有|||)()(|2121x x x f x f -≤-成立，那么就称函数)(x f 是定义域上的“平缓函数”．（1）判断函数x x x f -=2)(，]1,0[∈x 是否是“平缓函数”；（2）若函数)(x f 是闭区间]1,0[上的“平缓函数”，且)1()0(f f =．证明：对于任意 的∈21,x x ]1,0[，都有21|)()(|21≤-x f x f 成立． （3）设a 、m 为实常数，0>m ．若x a x f ln )(=是区间),[∞+m 上的“平缓函数”，试估计a 的取值范围（用m 表示，不必证明．．．．）． 证明：（1）对于任意的∈21,x x ]1,0[，有11121≤-+≤-x x ，1|1|21≤-+x x ．…………………………2分从而|||1||||)()(||)()(|21212122212121x x x x x x x x x x x f x f -≤-+-=---=-． ∴函数x x x f -=2)(，]1,0[∈x 是“平缓函数”． ………………………4分（2）当21||21<-x x 时，由已知得21|||)()(|2121<-≤-x x x f x f ； ……………6分当21||21≥-x x 时，因为∈21,x x ]1,0[，不妨设1021≤<≤x x ，其中2112≥-x x ， 因为)1()0(f f =，所以=-|)()(|21x f x f |)()1()0()(|21x f f f x f -+-|)()1(||)0()(|21x f f f x f -+-≤|1||0|21x x -+-≤121+-=x x 21121=+-≤. 故对于任意的∈21,x x ]1,0[，都有21|)()(|21≤-x f x f 成立． ………………………10分 （3）结合函数x a x f ln )(=的图象性质及其在点m x =处的切线斜率，估计a 的取值范围是闭区间],[m m -．…………………………（注：只需直接给出正确结论）…………14分。
广东省六校高三下学期第三次联考数学(理)试题Word版含解析
广东省六校第三次联考理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合为实数，且，为实数，且，则的元素个数为A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】由题意得圆的圆心到直线的距离为，故直线和圆相切，即直线和圆有1个公共点，所以的元素个数为1．选B．2. 设等差数列的前项和为，若，，则A. B. C. D.【答案】A【解析】设等差数列的公差为，由题意得，即，解得．∴．选A．3. 若变量满足约束条件，则的取值范围是A. B. C. D.【答案】D【解析】画出不等式组表示的可行域（如图阴影部分所示）．由得，平移直线，结合图形可得，当直线经过可行域内的点A 时，直线在y轴上的截距最大，此时z取得最大值，由题意得点A的坐标为（3,0），∴．当直线经过可行域内的点B时，直线在y轴上的截距最小，此时z取得最小值，由，解得，故点B的坐标为，∴．综上可得，故的取值范围是．选D．4. 函数的部分图象大致为A. B. C. D.【答案】A【解析】设，由得，则函数的定义域为．∵，∴函数为奇函数，排除D．又，且，故可排除B．，且，故可排除C．选A．5. 设函数，其中常数满足．若函数（其中是函数的导数）是偶函数，则等于A. B.C. D.【答案】A【解析】由题意得，∵函数为偶函数，∴．又，∴．选A．6. 执行下面的程序框图，如果输入的分别为1，2，3，输出的,那么，判断框中应填入的条件为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】依次执行程序框图中的程序，可得：①，满足条件，继续运行；②，满足条件，继续运行；③，不满足条件，停止运行，输出．故判断框内应填，即．选C．7. 已知（，为虚数单位），又数列满足：当时，；当，为的虚部．若数列的前项和为，则A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意得，∴当时，，又，故当时，，∴当时，．∴．选C．8. 如图，在同一个平面内，三个单位向量满足条件：与的夹角为，且，与与的夹角为45°.若，则的值为( )A. 3B.C.D.【答案】B【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，由知为锐角，且，故，．∴点B,C的坐标为，∴．又，∴，∴，解得，∴．选B．9. 四面体中，三组对棱的长分别相等，依次为5，4，，则的取值范围是A. B. C. D.【答案】C【解析】由于四面体的三组对棱分别相等，故可构造在长方体内的三棱锥(如图所示)，其中．设长方体的三条棱长分别为，则有．（1）由②③得，又，∴，解得．（2）由②③得，又，∴，解得．综上可得．故的取值范围是．选C．点睛：由于长方体的特殊性，因此解题时构造长方体中的四面体是解答本题的关键，借助几何模型使得解题过程顺利完成，这也是解答立体几何问题的常用方法．10. 从2个不同的红球、2个不同的黄球、2个不同的蓝球共六个球中任取2个，放入红、黄、蓝色的三个袋子中，每个袋子至多放入一个球，且球色与袋色不同，那么不同的放法有( ) A. 42种 B. 36种 C. 72种 D. 46种【答案】A【解析】分以下几种情况：①取出的两球同色，有3种可能，取出球后则只能将两球放在不同色的袋子中，则共有种不同的方法，故不同的放法有种．②取出的两球不同色时，有一红一黄、一红一蓝、一黄一蓝3种取法，由于球不同，所以取球的方法数为种；取球后将两球放在袋子中的方法数有种，所以不同的放法有种．综上可得不同的放法有42种．选A．11. 已知点为双曲线的右焦点，直线与交于，两点，若，设，且，则该双曲线的离心率的取值范围是A. B. C. D.【答案】D【解析】如图，设双曲线的左焦点为，连．由于四边形为矩形，故．在中，，由双曲线的定义可得，∴．∵，∴，∴，∴．即双曲线的离心率的取值范围是．选D．点睛：求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量的方程或不等式，利用和转化为关于e的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围．12. 已知是函数与图象的两个不同的交点，则的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】由得，设，则，∴当时函数单调递减，当时函数单调递增，故．设，则，∴在上单调递增，∴，∴．∴，∴∵，故，且在上单调递减，∴，即．由，得，故在上单调递增．∴．设，可得函数在上单调递减，∴，即，又，∴，∴，即，∴，∴．综上可得，即所求范围为．选D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 已知函数是定义在上的奇函数，则__________．【答案】 ,【解析】由定积分的运算性质可得．∵函数是定义在上的奇函数，∴．又．∴．答案：14. 已知函数，若，则函数的图象恒过定点___．【答案】【解析】∵，∴函数图象的对称轴为，∴，即，∴．在中，令，则．∴函数的图象恒过定点．答案：15. 已知几何体的三视图如图所示，其中俯视图为一正方形，则该几何体的表面积为__________．【答案】【解析】由三四图可得，该几何体为如图所示的三棱锥．∵正方体的棱长为2，∴,∴，∴该几何体的表面积为．答案：16. 若函数的图象上存在不同的两点，，其中使得的最大值为0，则称函数是“柯西函数”．给出下列函数：①；②；③；④.其中是“柯西函数”的为 ___．（填上所有正确答案的序号）【答案】①④【解析】设，由向量的数量积的可得，当且仅当向量共线（三点共线）时等号成立．故的最大值为0时，当且仅当三点共线时成立．所以函数是“柯西函数”等价于函数的图象上存在不同的两点，使得三点共线．对于①，函数图象上不存在满足题意的点；对于②，函数图象上存在满足题意的点；对于③，函数图象上存在满足题意的点；对于④，函数图象不存在满足题意的点．图① 图② 图③ 图④故函数①④是“柯西函数”．答案：①④点睛：（1）本题属于新定义问题，读懂题意是解题的关键，因此在解题时得到“柯西函数”即为图象上存在两点A,B，使得O,A,B三点共线是至关重要的，也是解题的突破口．（2）数形结合是解答本题的工具，借助于图形可使得解答过程变得直观形象．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分.17. 设数列的前项和为，数列的前项和为，满足.(Ⅰ)求的值；(Ⅱ)求数列的通项公式.【答案】(Ⅰ)，，；(Ⅱ).【解析】试题分析：(Ⅰ)在中，分别令可得到，然后可得到的值．(Ⅱ)先由得到，再由可得，故可得，因此得到数列为等比数列，由此可求得数列的通项公式．试题解析：（Ⅰ）∵，，∴；∵，∴；∵，∴．（Ⅱ）∵… ① ，∴ …②，∴①-②得，，又也满足上式，∴…③ ，∴…④，③-④得，∴．又，∴数列是首项为3，公比为的等比数列．∴，∴．点睛：数列的通项a n与前n项和S n的关系是．在应用此结论解题时要注意：若当n＝1时，a1若适合，则n＝1的情况可并入n≥2时的通项a n；当n＝1时，a1若不适合，则用分段函数的形式表示．18. 某小店每天以每份5元的价格从食品厂购进若干份食品，然后以每份10元的价格出售.如果当天卖不完，剩下的食品还可以每份1元的价格退回食品厂处理.(Ⅰ)若小店一天购进16份，求当天的利润（单位：元）关于当天需求量（单位：份，）的函数解析式；(Ⅱ)小店记录了100天这种食品的日需求量（单位：份），整理得下表：日需求量以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.(i)小店一天购进16份这种食品，表示当天的利润（单位：元），求的分布列及数学期望；(ii)以小店当天利润的期望值为决策依据，你认为一天应购进食品16份还是17份？【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)(i)答案见解析；(ii)17份.【解析】试题分析：(Ⅰ) 分和两种情况分别求得利润，写成分段的形式即可得到所求．(Ⅱ)(i)由题意知的所有可能的取值为62，71，80，分别求出相应的概率可得分布列和期望； (ii)由题意得小店一天购进17份食品时，利润的所有可能取值为58，67,76,85，分别求得概率后可得的分布列和期望，比较的大小可得选择的结论．试题解析：（Ⅰ）当日需求量时，利润，当日需求量时，利润，所以关于的函数解析式为．（Ⅱ）（i）由题意知的所有可能的取值为62，71，80，并且，，．∴的分布列为：∴元．（ii）若小店一天购进17份食品，表示当天的利润(单位：元)，那么的分布列为∴的数学期望为元．由以上的计算结果可以看出，即购进17份食品时的平均利润大于购进16份时的平均利润．∴所以小店应选择一天购进17份．19. 如图，在四棱锥中，是平行四边形，，，，，，分别是，的中点．（Ⅰ）证明：平面平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值．【答案】（1）见解析（2）【解析】试题分析：（Ⅰ）运用几何法和坐标法两种方法进行证明可得结论．（Ⅱ）运用几何法和坐标法两种方法求解，利用坐标法求解时，在得到两平面法向量夹角余弦值的基础上，通过图形判断出二面角的大小，最后才能得到结论．试题解析：解法一：（Ⅰ）取中点，连，∵，∴，∵是平行四边形，，，∴，∴是等边三角形，∴，∵，∴平面，∴.∵分别是的中点，∴∥，∥，∴，，∵，∴平面，∵平面，∴平面平面.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，∴是二面角的平面角., ，，在中，根据余弦定理得，∴二面角的余弦值为．解法二：（Ⅰ）∵是平行四边形，，，∴，∴是等边三角形，∵是的中点，∴，∵∥，∴.以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.则，，，，，设，由，，可得，，，∴，∵是的中点，∴，∵，∴，∵，，∴平面，∵平面，∴平面平面.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，．设是平面的法向量，由，得，令，则．又是平面的法向量，∴，由图形知二面角为钝角，∴二面角的余弦值为.20. 已知椭圆的离心率为，、分别为椭圆的左、右顶点，点满足．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线经过点且与交于不同的两点、，试问：在轴上是否存在点，使得直线与直线的斜率的和为定值？若存在，请求出点的坐标及定值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）（2），定值为1.【解析】试题分析：.......................................，根据此式的特点可得当时，为定值．试题解析：（Ⅰ）依题意得、，，∴，解得．∵，∴，∴，故椭圆的方程为．（Ⅱ）假设存在满足条件的点.当直线与轴垂直时，它与椭圆只有一个交点，不满足题意.因此直线的斜率存在，设直线的方程为，由消去整理得，设、，则，，∵，∴要使对任意实数，为定值，则只有，此时．故在轴上存在点，使得直线与直线的斜率的和为定值．点睛：解决解析几何中定值问题的常用方法（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．（2）直接对所给要证明为定值的解析式进行推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量得到常数，从而证明得到定值，这是解答类似问题的常用方法．21. 已知函数，其中．（Ⅰ）函数的图象能否与轴相切？若能，求出实数a，若不能，请说明理由；（Ⅱ）求最大的整数，使得对任意，不等式恒成立．【答案】（1）不能（2）【解析】试题分析：（Ⅰ）假设函数的图象能与轴相切．设切点为，根据导数的几何意义得到关于的方程，然后判断此方程是否有解即可得到结论．（Ⅱ）将不等式变形为,设，则问题等价于对任意恒成立，故只需函数在R上单调递增，因此在R上恒成立即可，由可得，即为成立的必要条件，然后再证时，即可得到结论．试题解析：（Ⅰ）∵，∴．假设函数的图象与轴相切于点，则有，即．显然，将代入方程中可得．∵，∴方程无解．故无论a取何值，函数的图象都不能与轴相切．（Ⅱ）由题意可得原不等式可化为，故不等式在R上恒成立．设，则上式等价于，要使对任意恒成立，只需函数在上单调递增，∴在上恒成立．则，解得，∴在上恒成立的必要条件是：．下面证明：当时，恒成立．设，则，当时，，单调递减；当时，，单调递增．∴，即．则当时，，；当时，，．∴恒成立．所以实数的最大整数值为3．点睛：（1）解决探索性问题时，可先假设结论成立，然后在此基础上进行推理，若得到矛盾，则假设不成立；若得不到矛盾，则假设成立．（2）解答本题的关键是构造函数，将问题转化为函数单调递增的问题处理，然后转化为恒成立，可求得实数a的值．（二）选考题：共10分. 请考生在第22、23题中任选一题作答. 如果多做，则按所做的第一题计分.22. 已知直线的参数方程为（为参数，），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，射线，分别与曲线交于三点（不包括极点）.(Ⅰ)求证：；(Ⅱ)当时，若两点在直线上，求与的值.【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ).【解析】试题分析：(Ⅰ)由曲线C的极坐标方程可得点的极径，即得到，计算后即可证得结论正确．(Ⅱ)根据可求得点B,C的极坐标，转化为直角坐标后可得直线BC的直角坐标方程，结合方程可得与的值．试题解析：（Ⅰ）证明：依题意，，，，则．（Ⅱ）当时，两点的极坐标分别为，，故两点的直角坐标为，.所以经过点的直线方程为，又直线经过点，倾斜角为，故，．23. 已知函数.(Ⅰ)若，求实数的取值范围；(Ⅱ)若不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ).【解析】试题分析：（Ⅰ）由可得，根据分类讨论法解不等式组即可．（Ⅱ）根据绝对值的几何意义求得的最小值为，由可得实数的取值范围．试题解析：（Ⅰ）由可得，，①当时，不等式化为，解得，∴；② 当时，不等式化为，解得，∴；③ 当时，不等式化为，解得，∴.综上实数的取值范围是．（Ⅱ）由及绝对值的几何意义可得，当时，取得最小值．∵不等式恒成立，∴，即，解得或．∴ 实数的取值范围是.。
广东省六校2010-2011学年高三下学期第三次模拟考试(理综)缺图
广东省六校2010-2011学年高三下学期第三次模拟考试理科综合本试卷分选择题和非选择题两部分，满分为300分。
考试用时150分钟。
注意事项：1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡和答卷密封线内相应的位置上，用2B铅笔将自己的学号填涂在答题卡上。
2、选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上。
3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答卷纸上作答，答案必须写在答卷纸各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4、考生必须保持答题卡的整洁和平整。
第一部分选择题(共118 分)一、单项选择题：（本题16小题,每小题4分,共64分。
每小题给出的四个选项中, 只有一个选项最符合题目要求,选对得4分, 选错或不选得0分）1．右图为不同化学元素组成的化合物示意图，以下说法不合理的是A．若图中①为某种化合物的基本单位，则①可能是氨基酸B．若②大量积累于皮下和内脏器官周围，则②是脂肪C．若③为某种生物大分子，则其彻底水解的产物有4种D．若④主要在人体肝脏和肌肉内合成，则④最可能是糖原2.关于右面概念图的分析不合理的是A．碘离子通过①所示的过程才能进入甲状腺细胞B．图中只有①所示的过程需要消耗ATPC．①和②所示的过程都需要载体D．果脯腌制时蔗糖进入细胞与过程①和②有关3.下列有关生物实验的各项叙述中，正确的是A．鉴定蛋白质时，将双缩脲试剂A、B液混匀，然后加入组织样液中。
B．萨克斯在半叶法实验中先将叶片摘下置于暗处，消耗掉叶片中的营养物质C．观察DNA、RNA在细胞中的分布需用二苯胺对材料进行染色D．在种群密度的调查中，用样方法调查双子叶杂草的种群密度4.某科技活动小组将基因型为AaBb 水稻植株的花粉按下图所示的程序进行实验，相关叙述错误的是A．在花粉形成过程中发生了等位基因分离，非同源染色体上的非等位基因自由组合B．花粉通过组织培养形成的植株A为单倍体，其特点之一是高度不育C．秋水仙素的作用是抑制纺缍体的形成，使细胞内的染色体数目加倍D．植株B均为纯种，植株B群体中不发生性状分离5．下图为人体内体温与水平衡调节的示意图，下列叙述正确的是A．下丘脑是感觉体温变化的主要中枢，是形成冷觉、热觉的部位B．c、d激素分泌增多，可促进骨骼肌与内脏代谢活动增强，产热量增加C．寒冷刺激使下丘脑分泌促甲状腺激素释放激素，直接促进甲状腺的活动来调节体温D．上图所示的调节过程中，肾小管、肾上腺、皮肤均为效应器6.右图为某家族遗传病系谱图，下列分析正确的是A．由1号、2号、4号和5号，可推知该病为显性遗传病B．由5号、6号与9号，可推知该致病基因在常染色体上C．由图可推知2号为显性纯合子、5号为杂合子D．7号和8号婚配，其后代患病概率为1／37.下列关于有机物的说法不正确．．．的是：（）A．用饱和的Na2SO4溶液使鸡蛋清发生盐析，进而分离、提纯蛋白质B ．淀粉和纤维素的组成都可用(C 6H 10O 5)n 表示，它们互为同分异构体 C ．苯酚与苯甲酸都能发生加成反应、中和反应及氧化反应D ．食用植物油在烧碱溶液水解属于皂化反应8．N A 代表阿伏加德罗常数的数值。
广东省中山市2011届高三第三次模拟(数学理)
中山市2011年高三第三次模拟试题理科数学本试卷共21小题，满分150分。
考试用时120分钟。
参考公式： 线性回归方程系数公式：ˆybx a =+，其中121()()()niii nii x x yy b x x ==--=-∑∑，a y bx =-．一. 选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．如果复数421ii-+（其中i 为虚数单位）的虚部等于（ ） A ．3 B ．6 C ．3- D ．22．命题“,xx e x ∃∈>R ”的否定是（ ）A ．,x x e x ∃∈<RB ．,x x e x ∀∈<RC ．,x x e x ∀∈≤RD ．,xx e x ∃∈≤R3．已知随机变量ξ服从正态分布2(3,)N σ，且(1)0.9P ξ>=，则(5)P ξ<=（ ）A ．0.9B ．0.8C ．0.1D ．0.2 4．下列命题正确的是（ ）A ．函数sin y x =在区间()0,π内单调递增B ．函数tan y x =的图像是关于直线2x π=成轴对称的图形C ．函数44cos sin y x x =-的最小正周期为2πD ．函数cos 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像是关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称的图形5．若等边ABC ∆的边长为32，平面内一点M 满足1133CM CB CA =+ ，则M AM B ⋅=（ ）A ．2-B ．2 C．- D．6．设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；②若α外一条直线l 与α内的一条直线平行，则l 和α平行；③设α和β相交于直线l ，若α内有一条直线垂直于l ，则α和β垂直；④直线l 与α垂直的充分必要条件是l 与α内的两条直线垂直。
上面命题中，其中所有真命题．．．的序号是（ ）A ．①②③④B ．②③C ．①②④D ．①②7．已知数列：1213214321,,,,,,,,,,...,1121231234依它的前10项的规律，这个数列的第2011项2011a 满足（ ）A ．20111010a <<B ．20111110a ≤< C ．2011110a ≤≤ D ．201110a >8．方程|sin |(0)x k k x=>有且仅有两个不同的实数解,()θϕθϕ>，则以下有关两根关系的结论正确的是（ ）A ．sin cos ϕϕθ=B ．sin cos ϕϕθ=-C ．cos sin ϕθθ=D ．sin sin θθϕ=-二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题）9.关于x 的二项式41(2)x x-展开式中的常数项是若y 与x 线性相关，且ˆ0.95yx a =+，则a = ； 11. 如右图，是一程序框图，则输出结果为 ； 12． 在ABC ∆中，已知(1,3)A ，A ∠的平分线的方程为2y x =+，BC 边上的高所在的直线的方程是142y x =-+，则AC 边所在的直线的方程为13. 若点集22{(,)|1},{(,)|11,11}A x y x y B x y x y =+≤=-≤≤-≤≤，则点集 {1111(,)1,1,(,)}P x y x x y y x y A ==+=+∈ {}12121122(,),,(,),(,)M x y xx x yy y x y A x y B==+=+∈∈所表示的区域的面积分别为 ； ． （二）选做题（14 ~ 15题，考生只能从中选做一题） 14．（坐标系与参数方程选做题）极坐标系下，直线2)4cos(=-πθρ 与圆2=ρ的公共点个数是________； 15．(几何证明选讲选做题）如图, ,PC DA 是O 的两条切线，AB 为O 的直径， 若2, :1:2DA CD DP ==，则AB = ________ .2342P ODCBA三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。
广东省六校联盟高三数学第三次联考试题 理
数学（理科）（满分150分） 考试时间：120分钟参考公式：柱体的体积公式V Sh =，锥体的体积公式13V Sh =.一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题只有一个正确答案，请把正确答案填涂在答题卡相应位置） 1. 设集合{}{}{}1,2,3,4,5,2,3,4,3,5U A B ===，则图中阴影部分所表示的集合为( ）A.{}2,3B.{}1,4C.{}5D.{}62. 已知复合命题()p q ∧⌝是真命题，则下列命题中也是真命题的是（ ）A.()p q ⌝∨B.p q ∨C.p q ∧D.()()p q ⌝∧⌝ 3. 已知向量()()()5,2,4,3,,a b c x y ==--=，若320a b c -+=，则c =（ ）A.()23,12--B.()23,12C.()7,0D.()7,0-4. 下列函数中，在其定义域上为奇函数的是（ ）A.xxy e e -=+B.y =C.tan y x =D.1ln1xy x+=- 5. 某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为（ ）A.263 B.83π+ C.143π D.73π 6. 已知等差数列{}n a 中，10,0a d >>，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 满足11b a =，44b a =，前n 项和为n T ，则（ ） A.44S T >B.44S T <C.44S T =D.44S T ≤7. 已知直线()1:2110l ax a y +++=，()()2:110l a x a y ++-=,若12l l ⊥，则a =（ ）A.2或12 B.13或1- C.13D.1- 8. 已知函数()f x 的定义域为D ，如果存在实数M ，使对任意的x D ∈，都有()f x M ≤，则称函数()f x 为有界函数，下列函数： ①()2,xf x x R -=∈ ②()()ln ,0,f x x x =∈+∞③()()()2,,00,1xf x x x =∈-∞+∞+； ④()()sin ,0,f x x x x =∈+∞为有界函数的是（ ）A.②④B.②③④C.①③D.①③④二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共计30分.）9. 函数()ln f x x x =在点()(),e f e 处的切线方程为___________________.U AB主视图 侧视图俯视图10. 在ABC ∆中，45,75,2A B c =︒=︒=，则此三角形的最短边的长度是________. 11. 已知递增的等差数列{}n a 满足21252,6a a a ==+，则n a =___________.12. 已知圆2220x y x +-=上的点到直线:2l y kx =-的最近距离为1，则k =______. 13. 如图，为了测量两座山峰上两点P 、Q 之间的距离，选择山坡上一段长度为P,Q 两点在同一平面内的路段AB 的 两个端点作为观测点，现测得四个角的大小分别是90PAB ∠=︒,60PAQ PBA PBQ ∠=∠=∠=︒,可求得P 、Q 两点间的距离为 米.14. 已知(){}:,23p M x y x x ∈+-+；()(){}()222:,10q M x y x y r r ∈-+<>如果p 是q 的充分但不必要条件，则r 的取值范围是_ .三、解答题（本大题共六个小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤） 15.（本小题满分12分）已知函数()sin 1f x x x ωω=+（其中0,x R ω>∈）的最小正周期为6π. （1）求ω的值； （2）设,0,2παβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，13217f πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，()1135f βπ+=，求()cos αβ+的值. 16．（本小题满分12分）寒假期间校学生会拟组织一次社区服务活动，计划分出甲、乙两个小组，每组均组织①垃圾分类宣传，②网络知识讲座，③现场春联派送三项活动，甲组计划12的同学从事项目①，14的同学从事项目②，最后14的同学从事项目③；乙组计划15的同学从事项目①，另15的同学从事项目②，最后35的同学从事项目③，每个同学最多只能参加一个小组的一项活动，从事项目①的总人数不得多于20人，从事项目②的总人数不得多于10人，从事项目③的总人数不得多于18人，求人数足够的情况下，最多有多少同学能参加此次的社区服务活动？17.（本小题满分14分）如图，将长为4，宽为1的长方形折叠成长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的四个侧面，记底面上一边(),02AB t t =<<，连接A 1B,A 1C,A 1D.（1）当长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的体积最大时，求二面角B-A 1C-D 的值；（2）线段A 1C 上是否存在一点P ，使得A 1C ⊥平面BPD ，若有，求出P 点的位置，没有请说明理由.18.（本小题满分14分）已知数列{}n a 中，1141,13n n a a a +==-+ ，数列{}n b 满足()*1,1n n b n N a =∈+. （1）求数列{}n b 的通项公式； （2）证明：222121117n b b b +++<. 19.（本小题满分14分）已知直角坐标系中，圆O 的方程为222x y r +=()0r >，两点()()4,0,0,4A B ， 动点P 满足(),01AP AB λλ=≤≤. （1）求动点P 的轨迹C 方程；（2）若对于轨迹C 上的任意一点P ，总存在过点P 的直线l 交圆O 于M,N 两点，且点M 是线段PN 的中点，求r 的取值范围.20.（本小题满分14分）已知函数()()ln f x x a ax =++. （1）求函数()f x 的单调区间和极值；（2）若()1,0a ∈-，函数()()g x a f x '=的图像上存在12,P P 两点，其横坐标满足1216x x <<<，C 1A BC D A 1B 1D 1g x的图像在此两点处的切线互相垂直，求a的取值范围. 且()六校联盟第三次联考理科数学参考答案及评分标准一、选择题：CBAD DABC二、填空题：9.20x y e --=；； 11.2n 12.0或者43-； 13.900；14. r >)r ∈+∞或者直接)+∞均可三、解答题：15. 解：⑴ ()sin 12sin()13f x x x x πωωω=+=-+ …………3分26T ππω==，所以13ω=. ………………………………………………6分 ()12sin()133f x x π=-+注：如果()2cos()16f x x πω=-++等正确结果的话相应给分即可.⑵1132sin (3)12sin 12cos 12323217f ππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--+=-+=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 所以8cos 17α= ………………………………………………………………7分()11132sin (3)12sin 1335f πβπβπβ⎛⎫+=+-+=+= ⎪⎝⎭所以3sin 5β= …………………………………………………………………8分因为,0,2παβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以154sin ,cos 175αβ====，10分 所以()13cos cos cos sin sin 85αβαβαβ+=-=-. …………………………12分16.解：设甲组x 名同学，乙组y 名同学，根据题意有：……………………1分1120251110451318450,0x y x y x y x y ⎧+≤⎪⎪⎪+≤⎪⎨⎪+≤⎪⎪⎪≥≥⎩ 整理得： 52200542005123600,0x y x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨+≤⎪⎪≥≥⎩ 可行域如图： 参加活动的总人数z x y =+，变形为y x z =-+，当经过可行域内的点，斜率为1-的直线在y 轴上Ox y 54200x y += 52200x y += 512360x y += y x =- A （24，20） ………7分，约束条件和图像各3分，不化简不扣分截距最大时，目标函数z x y =+取得最大值. 由可行域图像可知，直线y x z =-+经过54200x y +=和512360x y +=的交点A 时，在y 轴上截距最大. ……………8分解方程组54200512360x y x y +=⎧⎨+=⎩得：24,20x y == ……………………………………10分所以max 242044z x y =+=+= …………………………………………………11分答：甲组24名同学参加，乙组20名同学参加，此时总人数达到最大值44人.………12分 17.解：法一：⑴ 根据题意，长方体体积为()()2221212t t V t t t t +-⎛⎫=-⨯=-≤= ⎪⎝⎭……2分当且仅当2t t =-，即1t =时体积V 有最大值为1所以当长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的体积最大时，底面四边 形ABCD 为正方形 ……4分作BM ⊥A 1C 于M ，连接DM ，BD ……………5分因为四边形ABCD 为正方形，所以1A BC ∆与1A DC ∆全等，故DM⊥1BMD ∠即为所求二面角的平面角 ……6分因为BC ⊥平面AA 1B 1B ，所以1A BC ∆为直角三角形又11AB AC =113A B BC BM AC ⨯===，同理可得，3DM =在∆BMD 中，根据余弦定理有：6621cos 2BMD +-∠==- ………………8分 因为()0,180BMD ∠∈︒︒，所以120BMD ∠=︒即此时二面角B-A 1C-D 的值是120︒. ……………………………………………………9分 ⑵ 若线段A 1C 上存在一点P ，使得 A 1C ⊥平面BPD ，则A 1C ⊥BD ………………10分 又A 1A ⊥平面ABCD,所以A 1A ⊥BD ，所以BD ⊥平面A 1AC所以BD ⊥AC ……………………………………………………………………12分 底面四边形ABCD 为正方形，即只有ABCD 为正方形时，线段A 1C 上存在点P 满足要求，否则不存在由⑴知，所求点P 即为BM ⊥A 1C 的垂足M此时，21113A B A P AC ===……………………………………………………14分 法二：根据题意可知，AA 1, AB,AD 两两垂直，以AB 为x 轴，AD 为y 轴，AA 1为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系：⑴长方体体积为()()2221212t t V t t t t +-⎛⎫=-⨯=-≤= ⎪⎝⎭………………………2分当且仅当2t t =-，即1t =时体积V 有最大值为1 …………………………………3分AB C DA 1B 1C 1DM所以当长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的体积最大时，底面四边形ABCD 为正方形…………………4分 则()()()()()110,0,1,1,0,0,1,1,0,1,0,1,0,1,0A B C A B BC =-=， 设平面A 1BC 的法向量(),,m x y z =，则0x z y -=⎧⎨=⎩取1x z ==，得：()1,0,1m = ………………6分 同理可得平面A 1CD 的法向量()0,1,1n = ……7分 所以，1cos ,2m n m n m n⋅==⋅ ………………8分 又二面角B-A 1C-D 为钝角，故值是120︒.…………9分 （也可以通过证明B 1A ⊥平面A 1BC 写出平面A 1BC 的法向量）⑵ 根据题意有()()(),0,0,,2,0,0,2,0B t C t t D t --，若线段A 1C 上存在一点P 满足要求，不妨11A P AC λ=，可得()(),2,1P t t λλλ--()()(),2,1,,2,0BP t t t BD t t λλλ=---=--1100BP AC BD AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即：()()()()22221020t t t t t t λλλ⎧-+---=⎪⎨-+-=⎪⎩…………………………11分 解得：21,3t λ== …………………………………………………………13分即只有当底面四边形是正方形时才有符合要求的点P ，位置是线段A 1C 上1:2:1A P PC =处. ………………………………………………………14分18.解：⑴ 12241233nn n n a a a a +++=-=++ …………………………………………2分 ()()11123111112221122n n n n n n n n a a b b a a a a +++++====+=+++++ …………………6分又112b =，所以数列{}n b 是首项为12，公差为12的等差数列，2n nb = …………8分（也可以求出12341234,,,2222b b b b ====，猜想并用数学归纳法证明，给分建议为计算前2项1分，计算前3项或者更多2分，猜想通项公式2分，数学归纳法证明4分数学归纳法证明过程如下：① 当1n =时，112b =符合通项公式2n nb =； ② 假设当n k =时猜想成立，即112k k kb a ==+，21k a k =- 那么当1n k =+时12111123113k k k a k k a a k k +----===++-+，1111111211k k k b k a k+++===-+++即1n k =+时猜想也能成立综合①②可知，对任意的*n N ∈都有2n n b =. ⑵ 当1n =时，左边=21147b =<不等式成立；……………………………………9分 当2n =时，左边=2212114157b b +=+=<不等式成立； …………………………10分当3n ≥时，()2214411411n b n n n n n ⎛⎫=<=- ⎪--⎝⎭ 左边=22212111111111414()23341n b b b n n+++<++-+-++-- 11454()772n n=+-=-<不等式成立 …………………………………………………………………………14分19.解：⑴ 设(),P x y ，因为(),01AP AB λλ=≤≤，所以444x y λλ-=-⎧⎨=⎩消去λ并注意到01λ≤≤可得动点P 的轨迹C 即为线段AB ，方程为：()40,04x y x +-=≤≤ ……5分，不写出x 的范围扣1分⑵ 设()()()00,,,4,04N x y P t t t -≤≤，则004(,)22x t y tM ++- 方程组22200222004()()22x y r x t y t r ⎧+=⎪⎨++-+=⎪⎩即2220022200()(4)4x y r x t y t r ⎧+=⎪⎨+++-=⎪⎩有解 ……7分 法一：将方程组两式相减得：()()22200224430tx t y t t r +-++--= ………8分原方程组有解等价于点()0,0到直线()()222:224430l tx t y t t r +-++--=的距离小于或等于r r ≤ (9)分整理得：()()()22222221683444t t rt t r +--≤+-即()()22222816281690t t rtt r -+--+-≤也就是，22228169r t t r ≤-+≤对任意的04t ≤≤恒成立 ……………………10分根据二次函数22816y t t =-+的图像特征可知，在区间[]0,4上，当0t =或者4t =时，()2max281616tt -+=；当2t =时，()2min28168tt -+= …………………………12分所以21689r ≤≤，43r ≤≤……………………………………………………13分 特别的，当r =228x y +=与40x y +-=切于点()2,2，此时过C 上的点()2,2P没有合乎要求的直线，故r ≠r的范围为43r ⎡∈⎢⎣. ……14分法二：上述方程组有解即以()0,0为圆心，r 为半径的圆与以(),4t t --为圆心，2r 为半径的圆有公共点，故对于任意的04t ≤≤都有3r r ≤≤成立 (9)分整理得：22228169r t t r ≤-+≤对任意的04t ≤≤恒成立 ……………………10分根据二次函数22816y t t =-+图像特征可知，在区间[]0,4上，当0t =或者4t =时，()2max281616tt -+=；当2t =时，()2min28168t t -+= …………………………12分所以21689r ≤≤，43r ≤≤……………………………………………………13分 特别的，当r =228x y +=与40x y +-=切于点()2,2，此时过C 上的点()2,2P 没有合乎要求的直线，故r ≠r 的范围为43r ⎡∈⎢⎣. ……14分20.解：⑴函数()()ln f x x a ax =++的定义域为(),a -+∞，()1f x a x a'=++ ……1分当0a >时，原函数在区间(),a -+∞上有()0f x '>，()f x 单调递增，无极值； 当0a =时，原函数在区间()0,+∞上有()0f x '>，()f x 单调递增，无极值；……2分 当0a <时，令()10f x a x a '=+=+得：1x a a=-- ………………………………3分当1(,)x a a a∈---时，()0f x '>，原函数单调递增；当1(,)x a a∈--+∞时，()0f x '<，原函数单调递减 …………………………………………………………………………………4分所以()f x 的极大值为()21ln 1f a a a a ⎛⎫--=---- ⎪⎝⎭………………………………5分⑵ 由⑴知，当()1,0a ∈-时()()221,(,)11,(,)a a x a a x a ag x a f x a a a x a a x a x aa ⎧+∈---⎪⎪+'==+=⎨+⎪--∈--+∞⎪+⎩ (6)分函数图像上存在符合要求的两点，必须12116x a x a<<--<<，得：13a -<<-+ ………………………………………………………………………8分当1(,)x a a a∈---时，()2a g x a x a =++，函数在点1P 处的切线斜率为()121a k x a =-+； 当1(,)x a a ∈--+∞时，()2ag x a x a=--+，函数在点2P 处的切线斜率为()222ak x a =+；………………………………………………………………10分 函数图像在两点处切线互相垂直即为：()()22121aax a x a ⋅=++，即()()22212x a x a a ++= ………………………………11分因为121016a x a x a a a<+<+<-<+<+，故上式即为()()12x a x a a ++=- …12分 所以()()1116a a a a aa⎧-+<-⎪⎪⎨⎪-+>-⎪⎩，解得：122a -<<综合得：所求a 的取值范围是1(1,)2a ∈-. ………………………………14分。
广州市六中2010-2011学年度高三月考理科数学试题
广州市六中2010-2011学年度高三月考理科数学试题2011.2.命题人： 高三理科数学备课组一、选择题：(本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数2cos y x =的定义域为A ，值域为B ，则A B 等于（ ）A ．AB ．BC ．[1,1]-D ．A B2．复数1z i =-（i 是虚数单位），则22z z -等于（ ）A ．12i -+B ．12i -C ． 1-D ．12i +．3．等差数列{}n a 的前n 项和n S ，36S =，公差3d =，则4a = （ ）A ．12B ．11C ．9D ．84．定义运算()()a ab a b b a b ≤⎧⊕=⎨>⎩，则函数()12x f x =⊕的图象是（ ）5．下列函数中，周期为π，且在42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上为减函数的是（ ）A ．sin()2y x π=+B ．cos(2)2y x π=+C ．sin(2)2y x π=+D ．cos()2y x π=+6．已知ABC ∆和点M 满足0MA MB MC ++=．若存在实m 使得AB AC mAM +=成立， 则m =（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．57．两个正数a 、b 的等差中项是2，一个等比中项是3，则双曲线12222=-by a x 的离心率是( ) A ．3 B ．10 C ．310 D ．10或3108．已知函数()lg ,010,16,02x x f x x x ⎧≤⎪=⎨-+⎪⎩＜＞1若a,b ，c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，则abc的取值范围是（ ）A ．()1,10B ．()5,6C ．()10,12D ．()20,24二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9－13题）9．某路口的机动车隔离墩的三视图如下图所示，其中正视图、侧视图都是由半圆和矩形组成，根据图中标出的尺寸（单位：cm ）可求得隔离墩的体积为 .第9题图第10题图10．如果执行上面的框图，输入5N =，则输出的数S= .11．由1，2，3，4，5，6组成的奇偶数字相间且无重复数字的六位数的个数是 .（以具体数字作答） 12．下列四个命题：①命题“若0a =，则0ab =”的否命题是“若0a =，则0ab ≠”；②若命题22:,10,:,10p x R x x p x R x x ∃∈++<⌝∀∈++≥则；③若命题“p ⌝”与命题“p 或q ”都是真命题，则命题q 一定是真命题； ④命题“若101,log (1)log (1)a a a a a<<+<+则”是真命题。
高三下学期第三次模拟考试(数学理)
广东省六校高三下学期第三次模拟考试（数学理）2011.05.24本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分为150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1、 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡和答卷密封线内相应的位置上，用2B 铅笔将自己的学号填涂在答题卡上。
2、选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上。
3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答卷纸上作答，答案必须写在答卷纸各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
[来源:学§科§网]4、考生必须保持答题卡的整洁和平整。
第一部分 选择题(40分)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的．1、函数lg(1)y x =-的定义域为A ，函数1()3x y =的值域为B ，则A B ⋂= （ ）A . (0,1) B. 1(,1)3C. φD. R2、 复数31i i+的模等于（ ）A .12B. 2C.D. 13.若函数y f (x)=的图象和y sin(x )4π=+的图象关于点P(,0)4π对称则f (x)的表达式是 （ ） A ．)4cos(π+x B ．)4cos(π--x C ．)4cos(π+-x D ．)4cos(π-x4、在实数数列{}n a 中，已知01=a ，|1|||12-=a a ，|1|||23-=a a ，…，|1|||1-=-n n a a ，则4321a a a a +++的最大值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．4 5．设随机变量X ～ N （2，82），且P {2＜x ＜4}＝0.3，则P {x ＜0}＝（ ）．A ．0.8B ．0.2C ．0.5D ．0.4开始否输出s6．已知关于x 的不等式|2|3x x m -+-<的解集为非空集合，则实数m 的取值范围是( )A. 1m <B.1m ≤C.1m >D.1m ≥7．已知1F 、2F 是椭圆:C 12222=+by a x 的左右焦点，P 是C 上一点，2214||||3b PF PF =⋅→→，则C的离心率的取值范围是（ ）A ．]21,0( B ．]23,0( C ．)1,23[ D ． )1,21[ 8．以下三个命题：①关于x 的不等式11≥x的解为]1,(-∞ ②曲线2sin 2y x =与直线0x =，34x π=及x 轴围成的图形面积为1s ，曲线214y x π=-与直线0x =，2x =及x 轴围成的图形面积为2s ，则122s s +=③直线03=-y x 总在函数x y ln =图像的上方 其中真命题的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3第二部分 非选择题(共 110 分)二、填空题： 本大题共7小题，考生作答6小题， 每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题）9、如右图程序框图，输出s= ． （用数值作答）10、一个几何体的三视图如右图所示， 这个几何体的体积为第10题1侧视图俯视图正视图1.541111、把函数sin y x =（x R ∈）的图象上所有点向左平行移动12π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是 12. 1531()x x-二项展开式中，第__________项是常数项.13、已知函数6(3) 3 (6)() (x>6)x a x x f x a ---≤⎧=⎨⎩(),n a f n n N *=∈，{}n a 是递增数列，则实数 a 的取值范围是（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14．（《几何证明选讲》选做题）如图，⊙O 和⊙'O 都经过点A 和点B ， PQ 切⊙O 于点P ，交⊙'O 于Q 、M ，交AB[来源:] 的延长线于N ，1NM =，3MQ =，则PN = 15．（《坐标系与参数方程》选做题） 极坐标系下，圆2cos()2πρθ=+上的点与直线sin()24πρθ+=上的点的最大距离是三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知向量(cos ,sin )a αα=，(cos ,sin )b ββ=， 且2||55a b -=. （I ）求cos()αβ-的值；（II ）若202π<α<<β<π-,且5sin 13β=-,求sin α的值.17．（本小题满分12分）现有一游戏装置如图，小球从最上方入口处投入，每次遇到黑色障碍物，等可能地向左，右两边落下。
广东省六校联合体2010年高三数学高考模拟试题 理 新人教版
y 2.5 t 4 4.5 x 3 4 5 6广东省六校联合体2010年高考模拟试题理科数学1．设{|}A x y x N ==∈，2{|20}B x x x =-=，则A B =（ C ） A. φ B. {2} C. {0,2} D. {0,1,2} 2. 已知复数i z +=21，i z -=12，则21z z z ⋅=在复平面上对应的点位于( D )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．右表提供了某厂节能降耗技术改造后生产A 产品过程中记录 的产量x （吨）与相应的生产能耗y （吨标准煤）的几组对应数据． 根据右表提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程为0.70.35y x ∧=+，那么表中t 的值为（A ）A.3B.3.15C.3.5D.4.54.已知0(,)|y x y y ⎧⎫≥⎧⎪⎪Ω=⎨⎨≤⎪⎪⎩⎩，直线2y mx m =+和曲线y =有两个不同的交点，它们围成的平面区域为M ，向区域Ω上随机投一点A ，点A 落在区域M 内的概率为()P M ，若2()[,1]2P M ππ-∈，则实数m 的取值范围为( D ) A ．1[,1]2 B． C． D ．[0,1]5.已知向量(sin ,sin 1)a αα=-，(sin 1,3)b α=+-则a b -的范围是（ D ）A． B． C． D．6. 26(1)(1)ax x -+的展开式中，3x 项的系数为16-，则实数a 的值为（D ） A 、2 B 、3 C 、-2 D 、2或37．已知等差数列{a n }的前2006项的和S 2006=2008，其中所有的偶数项的和是2，则a 1003的值为(B)A ．1B ．2C ．3D ．48．在△ABC 中，sin 2cos cos cos 2sin sin A C AA C A+=-是角A 、B 、C 成等差数列的(B) A ．充分非必要条件 B ．充要条件C ．必要非充分条件D ．既不充分也不必要条件9、已知x 、y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤-+11073y x y x ，则||y x S -=的最大值是 .(3)10、设函数1cos 2y x π=的图象位于y 轴右侧所有的对称中心从左依次为,,,21n A A A ，则50A 的坐标是 。
广东省“六校联盟”高三数学第三次联考试题 理
2016届“六校联盟”高三第三次联考理科数学试题第一部分 选择题（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知集合(){}10,ln 1x M x R N x R y x x ⎧-⎫=∈≤=∈=-⎨⎬⎩⎭，则M N =I （ ） A ．∅ B. {}1x x ≥ C. {}1x x > D. {}10x x x ≥<或 2．已知两条直线,m n ，两个平面,αβ，给出下面四个命题：①//,m n m n αα⊥⇒⊥ ②//,,//m n m n αβαβ⊂⊂⇒ ③//,////m n m n αα⇒ ④//,//,m n m n αβαβ⊥⇒⊥其中正确命题的序号是（ ）A ．①③B ．①④C ．②④D ．②③ 3．下列四个条件中，p 是q 的必要不充分件的是（ ）A ．:p a b >，22:q a b >B ．:p a b >，:22a bq >C ．:p 非零向量a r 与b r 夹角为锐角，:0q a b ⋅>r rD ．2:0p ax bx c -+>，2:0c b q a x x -+>4．设函数()4ln ,03f x x x x =-->则函数()y f x =（ ）A ．在区间1(,1),(1,)e e 内均有零点.B ．在区间1(,1),(1,)e e 内均无零点.C ．在区间1(,1)e 内有零点，在区间(1,)e 内无零点 .D ．在区间1(,1)e内无零点，在区间(1,)e 内有零点.5．要得到函数y x =的图象，只需将函数)4y x π=+的图象上所有的点的（ ）A ．横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变）,再向左平行移动8π个单位长度;B ．横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变），再向右平行移动4π个单位长度;C ．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动4π个单位长度;D ．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动8π个单位长度．6．已知{}n a 是等比数列，251,42a a ==，则13221++++n n a a a a a a Λ= （ ）A ．()1218n -B ．()12124n + C. ()14124n - D. ()14216n -7．如果点P 在平面区域2202030x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩上，点Q 在曲线22(2)1x y ++=上，那么PQ 的最小值为（ ）A1 B．1 C ．2 D1 8．已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x ≤时()21x m f x -+=-（m R ∈），记()()42log 5,(log 3),a f b f c f m === ，则,,a b c 的大小关系为( ) A ．a b c << B ．b a c << C ．c a b << D ．c b a <<9．在ABC △中，已知D 是AB 边上一点，若AD DB λ=u u u r u u u r ，()1,3CD CA CB R μλμ=+∈u u u r u u u r u u u r，则λ=（ ）A ．2-B ．1-C ． 1D ．210．已知函数()()()12121f x f x xf x dx '=++⎰在区间(),12a a -上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）A. 11,43⎛⎫⎪⎝⎭ B. 11,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C. 1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ D.1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭11．一个正三棱锥的四个顶点都在直径为2的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（ ）A．．433 C ． 43 D ． 3312．已知定义在(0,)+∞上的连续函数()y f x =满足：()()xxf x f x xe '-=且()()13,20f f =-=.则函数()y f x =（ ）A ．有极小值，无极大值B ．有极大值，无极小值C ．既有极小值又有极大值D ．既无极小值又无极大值第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题: 本大题共4小题，每小题5分，满分20分13．在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，已知223a c b -=，且sin cos 2cos sin ,A C A C = 则b = .14．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()21n n S a n N*=-∈，则数列{}nna 项和n T = .15．已知某个几何体的三视图如下图所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的表面积是 2cm .正视图侧视图俯视图16. 若不等式()1na -⋅<()1911n n n +⋅-++对任意n N +∈恒成立，则实数a 的取值范围是.三、 解答题：包括必做题和选做题，第17题到第21题为必做题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17. （本小题满分12分）已知函数()cos(2)2sin()sin()344f x x x x πππ=-+-+. （1）求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程； （2）求函数()f x 在区间[,]62ππ-上的最值.18．（本小题满分12分）等差数列{}n a 各项均为正数，其前n 项和为n S ，2375a S =且1413,,a a a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）若数列{}n a 为递增数列，求证：13≤11S ＋21S ＋……＋n S 1＜43．19．(本小题满分12分)如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ,底面ABC 是直角三角形，4PA AB BC ===,O 是棱AC 的中点，G 是AOB ∆的重心，D 是PA 的中点. （1）求证：BC ⊥平面PAB ； （2）求证：DG PBC ∥平面； （3）求二面角A PC B --的大小.20．（本小题满分12分）已知点P 是圆22:1O x y +=上任意一点，过点P 作PQ y ⊥轴于点Q ,延长QP 到点M ,使QP PM =u u u r u u u u r.（1）求点M 的轨迹E 的方程；（2）过点(),0C m 作圆O 的切线l ，交（1）中曲线E 于,A B 两点，求AOB ∆面积的最大值.BPO CD AG21．（本小题满分12分）已知函数()()()2ln 1f x x ax x a R =++-∈. (1)若12a =，求曲线()yf x =在点()()00f ，处的切线方程；（2）讨论函数()yf x =的单调性；（3）若存在[)00,x ∈+∞，使()0f x <成立，求实数a 的取值范围.请考生在第（22），（23），（24）三题中任选一题做答。
(优辅资源)广东省六校联盟高三第三次联考数学理试题 Word版含答案
广东省2017届高三第三次六校联考理科数学试卷时间：120分钟 满分：150分 参考学校：深圳实验中学等六校一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U =R ，集合{|021}xA x =<<，3{|log 0}B x x =>，则U ()A B I ð=（ ） A. {|0}x x < B.{|0}x x > C.{|01}x x << D. {|1}x x > 2．设复数113i z =-，232i z =-，则21z z 在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．已知命题:,1lg p x R x x ∃∈-≥，命题1:(0,),sin 2sin q x x xπ∀∈+>， 则下列判断正确的是（ ） A . 命题p q ∨是假命题 B. 命题p q ∧是真命题 C . 命题()p q ∨⌝是假命题 D. 命题()p q ∧⌝是真命题 4．设α、β、γ为平面，m 、n 为直线，则m β⊥的一个充分条件是（ ）A. αβ⊥，n αβ=，m n ⊥ B. m αγ=，αγ⊥，βγ⊥C. αβ⊥，βγ⊥，m α⊥D. n α⊥，n β⊥，m α⊥ 5．已知函数3()sin 2()2f x x x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ，给出下面四个命题： ①函数)(x f 的最小正周期为π；②函数)(x f 是偶函数；③函数)(x f 的图象关于直线4x π=对称；④函数)(x f 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数，其中正确命题的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个6．设[)[]21,1()1,1,2x f x x x ∈-=-∈⎪⎩，则21()f x dx -⎰的值为（ ）A ．423π+ B ．32π+ C ．443π+ D ． 34π+ 7．已知sin()3cos()sin()2πθπθθ++-=-，则2sin cos cos θθθ+=（ ）A ．15B ．25C ．35D ．8．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若311a -<<，603a <<，则9S 的取值范围是（ ）A ．(3,21)-B ．(27,45)-C ．(12,45)-D ．(27,21)-9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（ ）A ．24πB ．6πC ．8πD ． 12π10. 在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有—段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安三千里，良马初日行一百零三里，日增一十三里：驽马初日行九十七里，日减半里，良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢，问：几日相逢？（ ）A ．22日B ．20日C ．18日D ．16日11．已知函数)(x f 是R 上的奇函数，且满足)()2(x f x f -=+，当[0,1]x ∈时，()21x f x =-，则方程6()log (3)f x x =-在),0(+∞上解的个数是（ ）A ．6B ．5C ．4D ．3 12．设函数()0)f x a =<的定义域为D ，若所有点(,())(,)s f t s t D ∈构成一个正方形区域，则a 的值为（ ）A ．2-B ．4-C ．8-D ．不能确定二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分．13．已知向量a ，b 满足a ·b ＝0，|a |＝1，|b |＝2，则|2a －b |＝________. 14．在平面几何中，有这样一个定理：过三角形的内心作一直线，将三角形分成的两部分的周长比等于其面积比.请你类比写出在立体几何中，有关四面体的相似性质 . 15．某港口水的深度y (m)是时间t （0≤t ≤24，单位：h ）的函数，记作()y f t =. 下面是某日水深的数据：经长期观察，()y f t =的曲线可以近似地看成函数sin y A t b ω=+的图象.一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5m 或5m 以上时认为是安全的（船舶停靠时，船底只需不碰海底即可）. 某船吃水深度（船底离水面的距离）为 6.5m ，如果该船希望在同一天内安全进出港，请问，它最多能在港内停留小时（忽略进出港所需的时间）. A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且不等式恒成立，则实数m 的最大值是___________．三、解答题:解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．侧视图17.（本小题满分10分）在ABC ∆中，角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、sin cC=.（1）证明：3A π=；（2）若6=a ，求ABC ∆的周长的取值范围.18.（本小题满分12分）设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知，12a =，且1234,3,2S S S 成等差数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设25n n b n a =-⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .19.（本小题满分12分）如图1,在直角梯形ABCD 中,90ADC ∠=︒,//CD AB ,4,2AB AD CD ===, M 为线段AB 的中点.将ADC ∆沿AC 折起,使平面ADC ⊥平面ABC ,得到几何体D ABC -,如图2所示.(Ⅰ) 求证:BC ⊥平面ACD ；(Ⅱ) 求二面角A CD M --的余弦值.20. （本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足24(1)(1)(2)(N )n n n S n a n *++=+∈．（1）求1a ，2a 的值； （2）求n a ； （3）设1n n n b a +=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：2536n T <．21.（本小题满分12分）A C D 图2 MB ACD 图1 M .第19题图已知函数()ln f x x =,()(0)ag x a x=>,设()()()F x f x g x =+． （Ⅰ）若以函数()((0,3])y F x x =∈图像上任意一点00(,)P x y 为切点的切线的斜率12k ≤恒成立，求实数a 的最小值；（Ⅱ）是否存在实数m ，使得函数2211a y g m x ⎛⎫=+-⎪+⎝⎭的图像与函数2(1)y f x =+的图像恰有四个不同的交点？若存在，求出实数m 的取值范围；若不存在，说明理由.22.（本小题满分12分）设函数()ln f x x x =． （Ⅰ）求函数()f x 的最小值；（Ⅱ）设1212,0,,0,x x p p >>且121,p p +=证明：()())(22112211x p x p f x f p x f p +≥+； （Ⅲ）设0,,,21>n x x x ，0,,,21>n p p p ，且121=+++n p p p ，如果e 2211≥+++n n x p x p x p ，证明：e )()()(2211≥+++n n x f p x f p x f p ．2017届六校联盟高三第三次联考理科数学参考答案二 填空题：本大题共4小题，每小题5分．13.14. 过四面体的内切球的球心作截面交三条棱于三点，则分成的两部分体积之比等于表面积之比； 15. 16；16. 5+三、解答题:解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分10分）解：sin sin c aC A==从而sin A A =，tan A =∵0A π<<，∴3A π=．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（Ⅱ）法一：由正弦定理得：6sin sin sin 3b c B C π===.∴b B =，c C =，2sin )sin sin()3b c B C B B π⎤+=+=+-⎥⎦31sin 12cos 22B B B B ⎫⎫==+⎪⎪⎪⎪⎭⎝⎭12sin 6B π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.∵5666B πππ<+<∴612sin 126B π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，即612b c <+≤（当且仅当3B π=时，等号成立）从而ABC ∆的周长的取值范围是(12,18]. ．．．．．．．．．．．．．．．．．10分法二：由已知：0,0b c >>，6b c a +>=由余弦定理得：222362cos()33b c bc b c bc π=+-=+-22231()()()44b c b c b c ≥+-+=+（当且仅当b c =时等号成立）∴（2()436b c +≤⨯，又6b c +>， ∴612b c <+≤，从而ABC ∆的周长的取值范围是(12,18]. ．．．．．．．．．．．．．．．．．10分18.（本小题满分12分）解：（1）∵1234,3,2S S S 成等差数列，∴213642S S S =+即1211236()42()a a a a a a +=+++，则3224,a a =∴2q =，∴*2()nn a n N =∈. ．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 （2）当1,2n =时，250n -<， 当3n ≥时，()34101232252n n T n =+⨯+⨯++-⨯,()4512201232252n n T n +=+⨯+⨯++-⨯，两式相减，得()()()()45143110822222522122225212n n n n n T n n +-+-=-+++++--⨯-=-+⨯--⨯-()134722n n +=-+-⨯()134272n n T n +∴=+-⨯()16,110,234272,3n n n T n n n +⎧=⎪∴==⎨⎪+-⨯≥⎩. ．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 19.(本小题满分12分)解：（Ⅰ）在图1中,可得AC BC ==,从而222AC BC AB +=,故AC BC ⊥取AC 中点O 连结DO ,则DO AC ⊥,又面ADE ⊥面ABC ,面ADE 面ABC AC =,DO ⊂面ACD ,从而OD ⊥平面ABC , ∴OD BC ⊥ 又AC BC ⊥,AC OD O =,∴BC ⊥平面ACD ……6分另解:在图1中,可得AC BC ==从而222AC BC AB +=,故AC BC ⊥∵面ADE ⊥面ABC ,面ADE 面ABC AC =,BC ⊂面ABC ,从而BC ⊥平面ACD（Ⅱ）以O 为原点，OA OM OD 、、所在直线分别为X Y Z 、、轴，如图所示,建立空间直角坐标系O xyz -.则(0,2,0)M ,(2,0,0)C -,D (2,CM =,(2,0,CD=设1(,,)n x y z =为面CDM 的法向量,则1100n CM n CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即00+=+=,解得y x z x =-⎧⎨=-⎩令1x =-,可得1(1,1,1)n =-又2(0,1,0)n =为面ACD 的一个法向量∴121212cos ,3||||3n n n n n n ⋅<>===∴二面角A CD M --的余弦值为3. ……12分20.（本小题满分12分）解：（1）当=1n 时，有2114(11)(+1=1+2a a ⨯+）（），解得1=8a ． 当=2n 时，有21224(21)(1)(22)a a a ⨯+++=+，解得2=27a ． ……………2分（2）（法一）当2n ≥时，有2(2)4(1)1nn n a S n ++=+, ……………①211(1)4(1)n n n a S n--++=． …………………② ①—②得：221(2)(1)41n n n n a n a a n n -++=-+，即：331(1)=n n a n a n-+． ∴1223333===1(1)(1)3n n n a a a a n n n --==+-…．∴ 3=(1)n a n +(2)n ≥．…………6分另解：33333121333121(1)42(1)(1)3n n n n n a a a n n a a n a a a n n ---+=⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=+-． 又当=1n 时，有1=8a ， ∴3=(1)n a n +．……………6分（法二）根据1=8a ，2=27a ，猜想：3=(1)n a n +．用数学归纳法证明如下：（Ⅰ）当1n =时，有318(11)a ==+，猜想成立． （Ⅱ）假设当n k =时，猜想也成立，即：3=(1)k a k +．那么当1n k =+时，有2114(11)(1)(12)k k k S k a +++++=++，即：211(12)4(1)11k k k a S k +++++=++，………………………①又 2(2)4(1)1kk k a S k ++=+， …………………………②①-②得：22223111(3)(2)(3)(2)(1)4=2121k k k k k a k a k a k k a k k k k ++++++++=--++++，解，得33+1(2)(11)k a k k =+=++．∴当1n k =+时，猜想也成立．因此，由数学归纳法证得3=(1)n a n +成立． ……………6分 （3）1125436T =<, 2111325493636T =+=<, 当3n ≥时，211111=(1(11n n n b a n n n n n +=<=-+++)) 2222221*********(1)n T n n =+++++++ 22111111233445(1)(1)n n n n <++++++⨯⨯-+221111111111233445(1)1n n n n =++-+-++-+--+22111125233136n =++-<+.2536n T ∴<. ……………12分21.（本小题满分12分） 解：（I ）()()2'03x aF x x x -=<≤， ()()000201'032x a k F x x x -==≤<≤恒成立⇔200max12a x x ⎛⎫≥-+ ⎪⎝⎭ 当01x =时，20012x x -+取得最大值12. ∴12a ≥，∴min 12a = . …………………6分（II ）若222111122a y g m x m x ⎛⎫=+-=+-⎪+⎝⎭的图象与()()221ln 1y f x x =+=+的图象恰有四个不同得交点，即()2211ln 122x m x +-=+有四个不同的根， 亦即()2211ln 122m x x =+-+有四个不同的根.令()()2211ln 122G x x x =+-+，则()()()32221122'111x x x x x x x G x x x x x -+---=-==+++ 当x 变化时，()'G x 、()G x 的变化情况如下表：由表格知：()(0)2G x G ==极小值，()()()11ln 20G x G G ==-=>极大值 画出草图和验证()()1122ln 5222G G =-=-+<可知，当1,ln 22m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()y G x =与y m =恰有四个不同的交点.∴ 当1,ln 22m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，222111122a y g m x m x ⎛⎫=+-=+- ⎪+⎝⎭的图象与()()221ln 1y f x x =+=+的图象恰有四个不同的交点. …………………12分22．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）()x x f ln 1+='，由()0>'x f ，得；由()0<'x f ，得∴()f x 在()f x ∴在 ………………………………4分（Ⅱ）令()()()()112112g x p f x p f x f p x p x =+-+，不妨设12x x x ≤≤， 则()()()22112g x p f x p f p x p x '''=-+．0111211≤-=-+x p x p x x p x p ， x x p x p ≤+∴211．而()1ln f x x '=+是增函数，()()112f x f p x p x ''∴≥+．()()()221120g x p f x p f p x p x '''∴=-+≥，所以()g x 在[]12,x x 是增函数．∴()()210g x g x ≥=，即()()()112211220p f x p f x f p x p x +-+≥．∴()())(22112211x p x p f x f p x f p +≥+． ………………………………8分（Ⅲ）先证明()()()()11221122n n n n p f x p f x p f x f p x p x p x +++≥+++．当2n =时，由（Ⅱ）知不等式成立．假设当n k =时，不等式成立，即()()()()11221122k k k k p f x p f x p f x f p x p x p x +++≥+++．当1n k =+时，()112211k k k k f p x p x p x p x ++++++k k p x +++k kp x ⎫++⎪12112111111)[()()()]()111kk k k k k k k p p p p f x f x f x p f x p p p ++++++≤-++++---（112211()()()()k k k k p f x p f x p f x p f x ++=++++．精 品 文 档试 卷 所以，当1n k =+时，不等式成立，()()()()11221122n n n n p f x p f x p f x f p x p x p x ∴+++≥+++． 由（Ⅰ）()f x 在上单调递增，因此()f x 在),e (+∞上也单调递增．e 2211≥+++n n x p x p x p ，e e)()(2211=≥+++∴f x p x p x p f n n ．∴e )()()(2211≥+++n n x f p x f p x f p ． ……………………………12分说明：本参考答案只给出一种解法的评分标准，其它解法可参照本评分标准相应评分.。
广东省六校联盟高三数学第三次联考试题 理
数学（理科）（满分150分） 考试时间：120分钟参考公式：柱体的体积公式V Sh =，锥体的体积公式13V Sh =.一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题只有一个正确答案，请把正确答案填涂在答题卡相应位置）1. 设集合{}{}{}1,2,3,4,5,2,3,4,3,5U A B ===，则图中阴影部分所表示的集合为( ）A.{}2,3B.{}1,4C.{}5D.{}62. 已知复合命题()p q ∧⌝是真命题，则下列命题中也是真命题的是（ ）A.()p q ⌝∨B.p q ∨C.p q ∧D.()()p q ⌝∧⌝ 3. 已知向量()()()5,2,4,3,,a b c x y ==--=，若320a b c -+=，则c =（ ）A.()23,12--B.()23,12C.()7,0D.()7,0-4. 下列函数中，在其定义域上为奇函数的是（ ）A.xxy e e -=+B.y =C.tan y x =D.1ln1xy x+=- 5. 某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为（ ）A.263 B.83π+ C.143π D.73π 6. 已知等差数列{}n a 中，10,0a d >>，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 满足11b a =，44b a =，前n 项和为n T ，则（ ） A.44S T >B.44S T <C.44S T =D.44S T ≤7. 已知直线()1:2110l ax a y +++=，()()2:110l a x a y ++-=,若12l l ⊥，则a =（ ）A.2或12 B.13或1- C.13D.1- 8. 已知函数()f x 的定义域为D ，如果存在实数M ，使对任意的x D ∈，都有()f x M ≤，则称函数()f x 为有界函数，下列函数： ①()2,xf x x R -=∈ ②()()ln ,0,f x x x =∈+∞③()()()2,,00,1xf x x x =∈-∞+∞+； ④()()sin ,0,f x x x x =∈+∞为有界函数的是（ ）A.②④B.②③④C.①③D.①③④二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共计30分.）9. 函数()ln f x x x =在点()(),e f e 处的切线方程为___________________.U AB主视图 侧视图俯视图10. 在ABC ∆中，45,75,2A B c =︒=︒=，则此三角形的最短边的长度是________.11. 已知递增的等差数列{}n a 满足21252,6a a a ==+，则n a =___________.12. 已知圆2220x y x +-=上的点到直线:2l y kx =-的最近距离为1，则k =______. 13. 如图，为了测量两座山峰上两点P 、Q 之间的距离，选择山坡上一段长度为P,Q 两点在同一平面内的路段AB 的 两个端点作为观测点，现测得四个角的大小分别是90PAB ∠=︒,60PAQ PBA PBQ ∠=∠=∠=︒,可求得P 、Q 两点间的距离为 米.14. 已知(){}:,23p M x y x x ∈+-+；()(){}()222:,10q M x y x y r r ∈-+<>如果p 是q 的充分但不必要条件，则r 的取值范围是_ .三、解答题（本大题共六个小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤） 15.（本小题满分12分）已知函数()sin 1f x x x ωω=+（其中0,x R ω>∈）的最小正周期为6π. （1）求ω的值； （2）设,0,2παβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，13217f πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，()1135f βπ+=，求()cos αβ+的值. 16．（本小题满分12分）寒假期间校学生会拟组织一次社区服务活动，计划分出甲、乙两个小组，每组均组织①垃圾分类宣传，②网络知识讲座，③现场春联派送三项活动，甲组计划12的同学从事项目①，14的同学从事项目②，最后14的同学从事项目③；乙组计划15的同学从事项目①，另15的同学从事项目②，最后35的同学从事项目③，每个同学最多只能参加一个小组的一项活动，从事项目①的总人数不得多于20人，从事项目②的总人数不得多于10人，从事项目③的总人数不得多于18人，求人数足够的情况下，最多有多少同学能参加此次的社区服务活动？17.（本小题满分14分）如图，将长为4，宽为1的长方形折叠成长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的四个侧面，记底面上一边(),02AB t t =<<，连接A 1B,A 1C,A 1D.（1）当长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的体积最大时，求二面角B-A 1C-D 的值；（2）线段A 1C 上是否存在一点P ，使得A 1C ⊥平面BPD ，若有，求出P 点的位置，没有请说明理由.18.（本小题满分14分）已知数列{}n a 中，1141,13n n a a a +==-+ ，数列{}n b 满足()*1,1n n b n N a =∈+. （1）求数列{}n b 的通项公式； （2）证明：222121117n b b b +++<. 19.（本小题满分14分）已知直角坐标系中，圆O 的方程为222x y r +=()0r >，两点()()4,0,0,4A B ，动点P 满足(),01AP AB λλ=≤≤. （1）求动点P 的轨迹C 方程；（2）若对于轨迹C 上的任意一点P ，总存在过点P 的直线l 交圆O 于M,N 两点，且点M 是线段PN 的中点，求r 的取值范围.20.（本小题满分14分）已知函数()()ln f x x a ax =++. （1）求函数()f x 的单调区间和极值；（2）若()1,0a ∈-，函数()()g x a f x '=的图像上存在12,P P 两点，其横坐标满足1216x x <<<，C 1A BC D A 1B 1D 1g x的图像在此两点处的切线互相垂直，求a的取值范围. 且()六校联盟第三次联考理科数学参考答案及评分标准一、选择题：CBAD DABC二、填空题：9.20x y e --=；10.3； 11.2n 12.0或者43-； 13. 900；14. r >)r ∈+∞或者直接)+∞均可三、解答题：15. 解：⑴ ()sin 12sin()13f x x x x πωωω=+=-+ …………3分26T ππω==，所以13ω=. ………………………………………………6分 ()12sin()133f x x π=-+注：如果()2cos()16f x x πω=-++等正确结果的话相应给分即可.⑵1132sin (3)12sin 12cos 12323217f ππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--+=-+=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以8cos 17α= ………………………………………………………………7分()11132sin (3)12sin 1335f πβπβπβ⎛⎫+=+-+=+= ⎪⎝⎭所以3sin 5β= …………………………………………………………………8分因为,0,2παβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以154sin ,cos 175αβ====，10分所以()13cos cos cos sin sin 85αβαβαβ+=-=-. …………………………12分16.解：设甲组x 名同学，乙组y 名同学，根据题意有：……………………1分1120251110451318450,0x y x y x y x y ⎧+≤⎪⎪⎪+≤⎪⎨⎪+≤⎪⎪⎪≥≥⎩ 整理得： 52200542005123600,0x y x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨+≤⎪⎪≥≥⎩ 可行域如图： 参加活动的总人数z x y =+，变形为y x z =-+，当经过可行域内的点，斜率为1-的直线在y 轴上Ox y 54200x y += 52200x y += 512360x y += y x =- A （24，20） ………7分，约束条件和图像各3分，不化简不扣分截距最大时，目标函数z x y=+取得最大值. 由可行域图像可知，直线y x z=-+经过54200x y+=和512360x y+=的交点A时，在y轴上截距最大. ……………8分解方程组54200512360x yx y+=⎧⎨+=⎩得：24,20x y==……………………………………10分所以max242044z x y=+=+=…………………………………………………11分答：甲组24名同学参加，乙组20名同学参加，此时总人数达到最大值44人.………12分17.解：法一：⑴ 根据题意，长方体体积为()()2221212t tV t t t t+-⎛⎫=-⨯=-≤=⎪⎝⎭……2分当且仅当2t t=-，即1t=时体积V有最大值为1所以当长方体ABCD-A1B1C1D1的体积最大时，底面四边形ABCD为正方形……4分作BM⊥A1C于M，连接DM，BD ……………5分因为四边形ABCD为正方形，所以1A BC∆与1A DC∆全等，故DM⊥1BMD∠即为所求二面角的平面角……6分因为BC⊥平面AA1B1B，所以1A BC∆为直角三角形又11A B AC=113A B BCBMAC⨯===，同理可得，DM=在∆BMD中，根据余弦定理有：6621cos2BMD+-∠==-………………8分因为()0,180BMD∠∈︒︒，所以120BMD∠=︒即此时二面角B-A1C-D的值是120︒. ……………………………………………………9分⑵ 若线段A1C上存在一点P，使得 A1C⊥平面BPD，则A1C⊥BD ………………10分又A1A⊥平面ABCD,所以A1A⊥BD，所以BD⊥平面A1AC所以BD⊥AC ……………………………………………………………………12分底面四边形ABCD为正方形，即只有ABCD为正方形时，线段A1C上存在点P满足要求，否则不存在由⑴知，所求点P即为BM⊥A1C的垂足M此时，21113A BA PAC===……………………………………………………14分法二：根据题意可知，AA1, AB,AD两两垂直，以AB为x轴，AD为y轴，AA1为z轴建立如图所示的空间直角坐标系：⑴长方体体积为()()2221212t tV t t t t+-⎛⎫=-⨯=-≤=⎪⎝⎭………………………2分当且仅当2t t=-，即1t=时体积V有最大值为1 …………………………………3分AB CDA1B1C1DM所以当长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的体积最大时，底面四边形ABCD 为正方形…………………4分 则()()()()()110,0,1,1,0,0,1,1,0,1,0,1,0,1,0A B C A B BC =-=， 设平面A 1BC 的法向量(),,m x y z =，则0x z y -=⎧⎨=⎩取1x z ==，得：()1,0,1m = ………………6分 同理可得平面A 1CD 的法向量()0,1,1n = ……7分 所以，1cos ,2m n m n m n⋅==⋅ ………………8分 又二面角B-A 1C-D 为钝角，故值是120︒.…………9分 （也可以通过证明B 1A ⊥平面A 1BC 写出平面A 1BC 的法向量）⑵ 根据题意有()()(),0,0,,2,0,0,2,0B t C t t D t --，若线段A 1C 上存在一点P 满足要求，不妨11A P AC λ=，可得()(),2,1P t t λλλ--()()(),2,1,,2,0BP t t t BD t t λλλ=---=--1100BP A C BD A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即：()()()()22221020t t t t t t λλλ⎧-+---=⎪⎨-+-=⎪⎩…………………………11分 解得：21,3t λ== …………………………………………………………13分即只有当底面四边形是正方形时才有符合要求的点P ，位置是线段A 1C 上1:2:1A P PC =处. ………………………………………………………14分18.解：⑴ 12241233n n n n a a a a +++=-=++ …………………………………………2分 ()()11123111112221122n n n n n n n n a a b b a a a a +++++====+=+++++ …………………6分又112b =，所以数列{}n b 是首项为12，公差为12的等差数列，2n nb = …………8分（也可以求出12341234,,,2222b b b b ====，猜想并用数学归纳法证明，给分建议为计算前2项1分，计算前3项或者更多2分，猜想通项公式2分，数学归纳法证明4分数学归纳法证明过程如下：① 当1n =时，112b =符合通项公式2n nb =； ② 假设当n k =时猜想成立，即112k k k b a ==+，21k a k=- 那么当1n k =+时12111123113k k k a kk a a kk+----===++-+，1111111211k k k b k a k +++===-+++即1n k =+时猜想也能成立综合①②可知，对任意的*n N ∈都有2n n b =. ⑵ 当1n =时，左边=21147b =<不等式成立；……………………………………9分 当2n =时，左边=2212114157b b +=+=<不等式成立； …………………………10分当3n ≥时，()2214411411n b n n n n n ⎛⎫=<=- ⎪--⎝⎭ 左边=22212111111111414()23341n b b b n n+++<++-+-++-- 11454()772n n=+-=-<不等式成立 …………………………………………………………………………14分19.解：⑴ 设(),P x y ，因为(),01AP AB λλ=≤≤，所以444x y λλ-=-⎧⎨=⎩消去λ并注意到01λ≤≤可得动点P 的轨迹C 即为线段AB ，方程为：()40,04x y x +-=≤≤ ……5分，不写出x 的范围扣1分⑵ 设()()()00,,,4,04N x y P t t t -≤≤，则004(,)22x t y tM ++- 方程组22200222004()()22x y r x t y t r ⎧+=⎪⎨++-+=⎪⎩即2220022200()(4)4x y r x t y t r ⎧+=⎪⎨+++-=⎪⎩有解 ……7分 法一：将方程组两式相减得：()()22200224430tx t y t t r +-++--= ………8分原方程组有解等价于点()0,0到直线()()222:224430l tx t y t t r +-++--=的距离小于或等于r r ≤ (9)分整理得：()()()22222221683444t t r t t r +--≤+-即()()22222816281690t t r tt r -+--+-≤也就是，22228169r t t r ≤-+≤对任意的04t ≤≤恒成立 ……………………10分 根据二次函数22816y t t =-+的图像特征可知，在区间[]0,4上，当0t =或者4t =时，()2max281616tt -+=；当2t =时，()2min28168t t -+= …………………………12分所以21689r ≤≤，4r ≤≤……………………………………………………13分 特别的，当r =228x y +=与40x y +-=切于点()2,2，此时过C 上的点()2,2P没有合乎要求的直线，故r ≠r的范围为4,3r ⎡∈⎢⎣. ……14分法二：上述方程组有解即以()0,0为圆心，r 为半径的圆与以(),4t t --为圆心，2r 为半径的圆有公共点，故对于任意的04t ≤≤都有3r r ≤成立 (9)分整理得：22228169r t t r ≤-+≤对任意的04t ≤≤恒成立 ……………………10分 根据二次函数22816y t t =-+图像特征可知，在区间[]0,4上，当0t =或者4t =时，()2max281616tt -+=；当2t =时，()2min28168t t -+= …………………………12分所以21689r ≤≤，4r ≤≤……………………………………………………13分 特别的，当r =228x y +=与40x y +-=切于点()2,2，此时过C 上的点()2,2P没有合乎要求的直线，故r ≠r 的范围为4,3r ⎡∈⎢⎣. ……14分20.解：⑴函数()()ln f x x a ax =++的定义域为(),a -+∞，()1f x a x a'=++ (1)分当0a >时，原函数在区间(),a -+∞上有()0f x '>，()f x 单调递增，无极值； 当0a =时，原函数在区间()0,+∞上有()0f x '>，()f x 单调递增，无极值；……2分 当0a <时，令()10f x a x a '=+=+得：1x a a=-- ………………………………3分当1(,)x a a a∈---时，()0f x '>，原函数单调递增；当1(,)x a a∈--+∞时，()0f x '<，原函数单调递减 …………………………………………………………………………………4分所以()f x 的极大值为()21ln 1f a a a a ⎛⎫--=---- ⎪⎝⎭………………………………5分⑵ 由⑴知，当()1,0a ∈-时()()221,(,)11,(,)a a x a a x a ag x a f x a a a x a a x a x a a ⎧+∈---⎪⎪+'==+=⎨+⎪--∈--+∞⎪+⎩ (6)分函数图像上存在符合要求的两点，必须12116x ax a<<--<<，得：13a -<<-+………………………………………………………………………8分当1(,)x a a a∈---时，()2a g x a x a =++，函数在点1P 处的切线斜率为()121ak x a =-+； 当1(,)x a a ∈--+∞时，()2ag x a x a=--+，函数在点2P 处的切线斜率为()222ak x a =+；………………………………………………………………10分 函数图像在两点处切线互相垂直即为：()()22121aax a x a ⋅=++，即()()22212x a x a a ++= ………………………………11分因为121016a x a x a a a<+<+<-<+<+，故上式即为()()12x a x a a ++=- …12分 所以()()1116a a a a aa⎧-+<-⎪⎪⎨⎪-+>-⎪⎩，解得：2a -<<综合得：所求a的取值范围是(a ∈-. ………………………………14分。
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广东省六校2010-2011学年高三下学期第三次模拟考试理科数学2011.05.24本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分为150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1、 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡和答卷密封线内相应的位置上，用2B 铅笔将自己的学号填涂在答题卡上。
2、选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上。
3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答卷纸上作答，答案必须写在答卷纸各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4、考生必须保持答题卡的整洁和平整。
第一部分 选择题(40分)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的．1、函数lg(1)y x =-的定义域为A ，函数1()3x y =的值域为B ，则A B ⋂= （ ）A . (0,1) B. 1(,1)3C. φD. R2、 复数31i i+的模等于（ ）A .12B. C.D.3.若函数y f(x )=的图象和y sin(x )4π=+的图象关于点P(,0)4π对称则f (x)的表达式是 （ ） A ．)4cos(π+x B ．)4cos(π--x C ．)4cos(π+-x D ．)4cos(π-x4、在实数数列{}n a 中，已知01=a ，|1|||12-=a a ，|1|||23-=a a ，…，|1|||1-=-n n a a ，则4321a a a a +++的最大值为（ ）A ．0B ．C ．2D ．4 5．设随机变量X ～ N （2，82），且P {2＜x ＜4}＝0.3，则P {x ＜0＝（ ）．A ．0.8B ．0.2C ．0.5D ．0.4第10题1侧视图俯视图正视图1.54116．已知关于x 的不等式|2|3x x m -+-<的解集为非空集合，则实数m 的取值范围是( )A. 1m <B.1m ≤C.1m >D.1m ≥7．已知1F 、2F 是椭圆:C 12222=+by a x 的左右焦点，P 是C 上一点，2214||||3b PF PF =⋅→→，则C 的离心率的取值范围是（ ）A ．21,0( B ．]23,0( C ．)1,23[ D ． )1,21[ 8．以下三个命题：①关于x 的不等式11≥x的解为]1,(-∞ ②曲线2sin 2y x =与直线0x =，34x π=及x 轴围成的图形面积为1s ，曲线y =0x =，2x =及x 轴围成的图形面积为2s ，则122s s +=③直线03=-y x 总在函数x y ln =图像的上方其中真命题的个数是（ ）A ．0B ．C ．2D ．3第二部分 非选择题(共 110 分)二、填空题： 本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30（一）必做题（9～13题）9、如右图程序框图，输出s= ． （用数值作答）10、一个几何体的三视图如右图所示， 这个几何体的体积为Zxxk 学科网ZXXK]11、把函数sin y x =（x R ∈）的图象上所有点向左平行移动12π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是 12. 15二项展开式中，第__________项是常数项.13、已知函数6(3) 3 (6)() (x>6)x a x x f x a ---≤⎧=⎨⎩(),n a f n n N *=∈，{}n a 是递增数列，则实数 a 的取值范围是 学&科&（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14．（《几何证明选讲》选做题）如图，⊙O 和⊙'O 都经过点A 和点B ， PQ 切⊙O 于点P ，交⊙'O 于Q 、M ，交AB的延长线于N ，1NM =，3MQ =，则PN = 15．（《坐标系与参数方程》选做题）极坐标系下，圆2cos()2πρθ=+上的点与直线sin()4πρθ+=上的点的最大距离是三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知向量(cos ,sin )a αα=，(cos ,sin )b ββ=， 且2||5a b -=. （I ）求cos()αβ-的值；（II ）若202π<α<<β<π-,且5sin 13β=-,求sin α的值.17．（本小题满分12分）现有一游戏装置如图，小球从最上方入口处投入，每次遇到黑色障碍物，等可能地向左，右两边落下。
游戏规则为：若小球最终落入A 槽，得10张奖票；若落入B 槽，得5张奖票；若落入C 槽，得重投一次的机会，但投球的总次数不超过3次。
学。
科。
（1） 求投球一次，小球落入B 槽的概率；（2） 设玩一次游戏能获得的奖票数为随机变量ξ ，求ξ的分布列及数学期望。
18．（本小题满分14分）如图所示，在矩形ABCD 中，4,2,AB AD E CD ==是的中点，O 为AE 的中点，以AE 为折痕将△ADE 向上折起，使D 到P 点位置，且PC PB =.（Ⅰ）求证：;PO ABCE ⊥面 （Ⅱ）求二面角E-AP-B 的余弦值.ABC19．（本小题满分14分）某旅游用品商店经销某种深圳大运会记念品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向税务部门上交a 元（36a ≤≤）的税收，预计当每件产品的售价为x 元（1116x ≤≤）时，一年的销售量为2(18)x -万件.（Ⅰ）求该商店一年的利润L(万元)与每件产品的售价x 的函数关系式；（Ⅱ）当每件产品的售价为多少元时，该商店一年的利润L 最大，并求出L 的最大值)(a Q .20．（本小题满分14分）如图，弧ADB 为半圆，AB 为半圆直径，O 为半圆圆心， 且OD AB ⊥，Q 为线段OD 的中点，已知|AB|=4，曲线C 过Q 点，动点P 在曲线C 上运动且保持|PA|+|PB|的值不变。
（Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系，求曲线C 的方程；（Ⅱ）过点B 的直线与曲线C 交于M 、N 两点，与OD 所在直线交于E 点，若1212,,:EM MB EN NB λλλλ==+求证为定值。
21．（本小题满分14分）（Ⅰ）设数列{n a }满足,,3,2,1,5,1211 =+==+n a a a n n 证明对所有的1≥n ，有（i ）141+>+n n a a ; 学_科_网Z_X_X_K] （ii ）.3131131131121<++++++n a a a（Ⅱ）设数列{n a }满足.,3,2,1,5,1211 =+>=+n a a a n n证明对所有的2011>n ，有201122011-+>n n aa .广东省六校2010-2011学年高三下学期第三次模拟考试理科数学答案1.A2. B3. B4. C 5、B 6.C 7. D 8. A 9. 91 ; 10. 9 ; 11. 1sin()212y x π=+ ; 12. 7; 13. 15(,3)7;14. 2 ; 15.1+ 16．解：（I ）∵2||5a b -=,∴22425a a b b -+=，又(cos ,sin )a αα=，(cos ,sin )b ββ=,∴221a b ==， …3分 ∴412(cos cos sin sin )15αβαβ-++= ∴222cos()5αβ--= ∴3cos()5αβ-=…6分 （II ）∵022ππβα-<<<<,∴0αβπ<-<,又由（1）得3cos()5αβ-=,∴4sin()5αβ-= 又5sin 13β=-,02πβ-<< ∴12cos 13β= …9分∴sin sin[()]sin()cos cos()sin ααββαββαββ=-+=-+-45=123533()1351365⨯+⨯-=…12分17. 解：（1）由题意可知投一次小球，落入B 槽的概率为22111()()222+=……………3分 Z+xx+k（2）落入A 槽的概率为211()24=，落入B 槽的概率为12，落入C 槽的概率为211()24=…4分ξ可取0,5,10……………5分311(0)464p ξ⎛⎫===⎪⎝⎭，……6分 21111121(5)2242432p ξ⎛⎫==+⋅+⋅= ⎪⎝⎭，……8分 21111121(10)4444464p ξ⎛⎫==+⋅+⋅= ⎪⎝⎭……10分5 121051064326416E ξ=⨯+⨯+⨯=……12分 18. 解：（1）,PA PE OA OE PO AE ==∴⊥……1分取BC 的中点F ，连OF ，PF ，∴OF ∥AB ，∴OF ⊥BC 因为PB=PC ∴BC ⊥PF ，所以BC ⊥面POF …3分 学.科. 从而BC ⊥PO …………5分，又BC 与PO 相交，可得PO ⊥面ABCE………7分 （2）作OG ∥BC 交AB 于G ，∴OG ⊥OF 如图，建立直角坐标系[;,,],O OG OF OP A （1，-1，0），B （1，3，0），C（-1，3，0），P （0，0）(2,4,0),(1,1,2),(0,4,0)AC AP AB =-=-=…9分设平面PAB 的法向量为1(,,),n x y z = 040n AP x y n AB y ⎧⋅=-++=⎪⎨⋅==⎪⎩1(2,0,1)n ⇒= 同理平面PAE 的法向量为2(1,1,0),n=……………………12分1212cos ||||n n E AP B n n ⋅--=⋅二面角E-AP-B …………………14分19. 解：（Ⅰ）商店一年的利润L(万元)与售价x 的函数关系式为：2(3)(18)L x a x =---，[11, 16]x ∈.（无定义域扣1分） ………4分（Ⅱ）2(3)(18)L x a x =---＝22(18)(3)(18)x x a x --+-2()(18)2(18)2(3)(18)L x x x x a x '=---++-＝(18)(2423)x a x -+-.令0='L 得283x a =+或18x =(不合题意，舍去). ………6分∵36a ≤≤，∴2108123a ≤+≤.在283x a =+两侧)(x L '的值由正变负.所以（1）当2108113a ≤+<，即293<≤a 时，max (11)49(8)49(8)L L a a ==-=-.（2）当2118123a ≤+≤即962a ≤≤时，23max 2221(8)(83)[18(8)]4(5)3333L L a a a a a =+=+---+=-，所以=)(a Q 3949(8),32194(5),632a a a a ⎧-≤≤⎪⎪⎨⎪-≤≤⎪⎩. ………13分答：若293<≤a ，则当每件售价为11元时，商店一年的利润L 最大，最大值()49(8)Q a a =-(万元)；若962a ≤≤，则当每件售价为2(8)3a +元时，商店一年的利润L 最大，最大值31()4(5)3Q a a =-(万元).……14分20. 解：（Ⅰ）以AB 、OD 所在直线分别为x 轴、y 轴， O 为原点，建立平面直角坐标系， ∵动点P 在曲线C 上运动且保持|P A |+|PB |的值不变． 且点Q 在曲线C 上, ∴|P A |+|PB |=|QA |+|QB |=2521222=+＞|AB |=4． ………………………3分 ∴曲线C 是为以原点为中心，A 、B 为焦点的椭圆设其长半轴为a , 短半轴为b , 半焦距为c , 则2a =25, ∴a =5, c =2, b =1．∴曲线C 的方程为52x +y 2=1 …………………………………………6分证明：（Ⅱ）设,,M N E 点的坐标分别为11220(,),(,),(0,)M x y N x y E y ，又易知B 点的坐标为(2,0)．且点B 在椭圆C 内, 故过点B 的直线l 必与椭圆C 相交． ∵1EM MB λ=， ∴110111(,)(2,)x y y x y λ-=--．∴ 11112λλ+=x ，1011λ+=y y ． …………………………………………8分将M 点坐标代入到椭圆方程中得：1)1()12(51210211=+++λλλy ， 去分母整理，得0551020121=-++y λλ． ………………………………………10分 同理，由2EN NB λ=可得：0551020222=-++y λλ． ………………………12分∴ 1λ，2λ是方程05510202=-++y x x 的两个根， ∴ 1021-=+λλ．………14分 Zxxk21. 证明: （Ⅰ）由数学归纳法知，0>n a ， 学§科§121452221+>++=+=+n n n n a a a a ，141+>∴+n n a a ……2分 对2≥k ，有 >++>+>++=+=----1)14(414145212121k k k k k a a a a a3141444211-=++++>∴--k k k k a a ，k k a 41311<+∴。