人教A版高中数学必修1《二章 基本初等函数 2.2 对数函数 互为反函数的两个函数图象之间的关系 》导学案_25

§2.4.1 反函数
一、教材分析：
反函数是新大纲人教版高一数学上册第二章第4节的内容，第一课时要弄清反函数的概念，以及其定义域、值域与原函数的联系。

会求一些简单的函数的反函数，并掌握求反函数的步骤。

弄清函数y = f (x )， x = f -1(y ) 与 y = f -1(x )间的区别和联系。

培养学习思维的严密性和灵活性，培养学习用辩证的观点观察、分析、解决问题的能力。

二、教学目标
（1）知识与技能：了解反函数的概念，弄清函数与反函数的定义域和值域的关系，会求一些简单的函数的反函数。

（2）过程与方法：通过联系实际问题，在尝试，探索求反函数的过程中，深化对概念的认识，总结出求反函数的一般步骤、加深对函数与方程、数形结合以及有特殊到一般等数学思想方法的认识。

（3）情感态度价值观：进一步完善学生思维的深刻性，培养学生的逆向思维能力，用辩证的观点分析问题，培养抽象概括的能力。

三、教学重点：
（1）反函数的概念；
（2）反函数的求法。

四、教学难点：
反函数的概念的理解。

五、教学过程
1、课堂导入
（1）温故知新
师：前几次课我们学习了函数，有哪位同学可以告诉老师函数的概念是什么？ 生：有两个非空集合A 、B ，如果确定某个f,任意一个x A ∈，在集合B 中都能找到唯一确定的数y 与它对应，则称f ：A →B 的一个函数，记()y f x =，x A ∈。

师：函数的三要素？
生：定义域、值域、对应法则。

（2）创设情境
师：数学中处处存在着互逆现象，像原命题与逆命题等，那么在函数中有没有这种现象呢？好我们来看下面的一个情景：
炎热的夏季正是荔枝销售的旺季，市场荔枝的单价为3.5元，某客人买了x 斤，问他花了多少钱？
生A ：y=3.5x ,
师：有谁可以补充一下？
生：[0,),0x y ∈+∞≥。

师：很好。

这是一个y 关于x 的函数，[0,)x ∈+∞是这个函数的定义域，y ≥0是这个函数的值域。

如果我们知道这位客人付了y 元，那么他买了多少斤？设他买了x 斤，那么大家可以列出他们的关系式吗？
生： 3.5
y x =，定义域为：y ≥0，值域: [0,)x ∈+∞。

师：很好，前面这两个函数到底有什么关系呢？
生：这两个函数倒过来了。

师：对，后一个函数是前一个函数的逆过来函数，同理，前一个函数同样也是后一个函数的逆函数。

这说明函数间也存在互逆现象。

这就是我们这节课要讲的内容——反函数。

2、讲授新课
师：好，大家分析一下书本中反函数的定义，并找出关键的词和句。

板书：反函数定义：
函数y=f(x)(x ∈A) 中，设它的值域为 C ．我们根据这个函数中x,y 的关系，用 y 把 x 表示出来，得到 x = ϕ (y) ．如果对于y 在C 中的任何一个值，通过x = ϕ (y)，x 在A 中都有唯一的值和它对应，那么, x = ϕ (y)就表示y 是自变量，x 是自变量 y 的函数．这样的函数 x = ϕ (y)(y ∈C)叫做函数y=f(x)(x ∈A)的反函数.记作: )(1y f
x -=．考虑到
师：我们根据反函数的定义，首先对于y=f(x)(x ∈A)，这是用x 表示y 的函数，那么我们也可以根据这个函数用y 来表示x ，得到的x = ϕ (y)，那么这个关系式是不是一个函数？原因是什么？（请同学回答一下） 生A ：是。

对于y 在C 中的任何一个值，通过x = ϕ (y)，x 在A 中都有唯一的值和它对应，我们根据反函数的定义就可以知道x = ϕ (y)是一个函数。

师：很好，大家对函数的定义还是比较了解的。

那么我们可以以刚才某客人买荔枝这条题为例，我们得这两个函数有什么关系？
生：互为反函数。

师：对，那么我们还是以这条题为例研究一下原函数与反函数的定义域与值域它们之间有什么关系？大家互相讨论一下。

生：函数y=3.5x 的定义域[0,)x ∈+∞是其反函数 3.5y x =
的值域，函数y=3.5x 的值域y ≥0是其反函数 3.5
y x =的定义域。

师：有那位学生可以总结一下吗？
生：原函数y=f(x)的定义域就是它的反函数x = ϕ (y)的值域，同样的我们也可得到原函数的值域就是反函数的定义域。

师：我们根据定义绘制这样的图：（板书）
定义域 因变量 自变量 值域 师：由这个图大家很清楚的看到原函数与反函数之间的转换关系。

我们再来看用 x 表示自变量, y 表示函数”的习惯，将)(1y f x -=中的x 与y 对调写成)(1x f y -=， 同学们知道这两个函数有什么区别，我们可以从函数的定义及其三要素出发，同学们讨论一下。

生A ：他们的字母不同，可能表示的意义不同。

生B ：虽然它们的字母不同，但他们的定义域值域相同。

生C ：对应法则相同。

师：很好，有同学说字母不同，所以不应是用一个函数，这相信都是大家疑惑的地方，我们暂时撇看字母不同来说，他们的共同点正如同学们发现那样其函数三要素都是相同的对吧。

这就说明一个怎样的问题，函数)(1y f x -=的自变量是y,因变量为x ，而)(1x f y -=恰好相反，但是我们知道x,y 只是一个代号吧，正如一个人他整了型，外貌变了，那么这个人还是原来那个人吗？
生：当然是，只不过是外貌变了。

师：对，所以我们在判断两个函数是不是同一个函数时，不应以外表来判断，而是看其内在的东西。

好。

看下面的例子，判断他们是不是同一个函数。

（板书）
1、52()y x x R =+∈
2、52()x y y R =+∈
生：是，因为它们的定义域、值域都相同。

师:很好，大家都理解了反函数的定义，那接下来我们就该思考，反函数到底要怎样求，通过下面的题目大家一起总结一下求函数的反函数的步骤是什么，好大家带着问题来看题目。

（板书）请两位同学计算下面两个式子的反函数。

其他同学在在下面也做一下。

习题1、110,[1,3]5y x x =
+∈ 习题2、2x+3y=(x R x 1).x-1
∈≠且 学生板书：1、解：原函数值域：5153[,]55y ∈ 反函数：51535(10),[,]55
y x x =-∈ 2、解：原函数的值域：{y ∈R|y≠2} 反函数：31,11x y x x
-=≠-，{x ∈R|x ≠2} 师：两位同学解对了吗？
生：对了。

师：我们有请刚才这两位同学为我们总结一下求反函数的步骤。

生A ：我们根据反函数的定义知道，原函数的值域是其反函数的定义域,所以
先求原函数的值域，再反解x,即用y 来表示x ，然后把反函数的定义域写上。

师：很好，有谁想补充吗？
生B ：反解x 后，把x 改写为y ，y 改写为x 。

师：很好，两位同学都掌握了求反函数的步骤，好，老师来总结一下： （板书）
由前边的例子和反函数的定义不难看出，欲求函数y=f(x)的反函数，可按下列步骤进行：
①确定函数y=f(x)的定义域和值域；
②视y=f(x)为关于x 的方程，解方程得)(1y f
x -=; ③互换x,y 得反函数的解析式)(1x f y -=；
④写出反函数的定义域（原函数的值域）。

师：我相信大家基本掌握求反函数的步骤，值得注意的是：⑴求函数y=f(x)的反函数的一般步骤就是上述的四步，书写时③④两步可并作一步，以后熟悉了,具体的步骤可省略不写. ⑵反函数的定义域不是看反函数的解析式得到的，而是求原来函数的值域而得反函数的定义域，这一点绝不能混淆。

接下来我们再来看下面几个题目：大家做一下。

（板书）
习题3 ：
习题4：21,()y x x R =+∈
师：好，也请两位同学把答案写在黑板上。

（生板书）
习题3：原函数值域：{y ∈R|y≠-3}，反函数： {x ∈R|yx ≠-3}
习题4：原函数值域：[1,)y ∈∞
反函数：y =[1,)y ∈∞ 师：大家说他们答案对了吗？
生：第3题对了，第4题好像…..
师：第4题有一个明显的误区，大家思考一下。

生：这违反了反函数的定义，对任意1y ≥，通过对应法则2
1y x =+，有两个x 与之对应，不符合函数的定义。

师：很好，我们也可以通过它的图像来分析： 31,11x y x x
-=≠-1,3x y x +=+
从图上我们可以清晰的看到一个y对应两个x，所以不是所用的函数都有反函数的。

所以再反解x时，一定要分析原函数的特点，判断它是否满足函数的定义，如果不满足就是说原函数无反函数，如果有就按照求反函数的步骤来求反函数。

好，我们的课也接近尾声了，我们先来进行课堂总结：
三、课堂总结：
1．反函数是函数中一个重要的概念，它是从研究两个函数关系的角度产
生的，因此认识它应从三要素角度进行研究。

2．一个函数有没有反函数是由原来给出函数的性质决定的，且反函数的
性质也是由原来给出的函数性质决定的。

3．求反函数实际上就是办两件事，一是解一个关于自变量x的方程，二
是求一个函数的值域。

四、作业：
(一)复习：课本内容，熟悉巩固有关概念和方法.
(二)书面：1、课本习题P65习题六第3题(1)，(3)，第4题．
2、选做题：设函数y=f(x)的反函数为y=g(x)，求y=f(-x)的反
函数。