(常考题)北师大版初中数学九年级数学下册第三单元《圆》检测(有答案解析)(1)

一、选择题
1．将一枚飞镖投掷到如图所示的正六边形镖盘上，飞镖落在白色区域的概率为（ ）
A ．12
B ．25
C ．35
D ．23 2．О的半径为5,cm 点Р到圆心O 的距离为7,cm 则点P 与О的位置关系是（ ） A ．在圆上 B ．在圆内 C ．在圆外 D ．不确定 3．如图，AB 是⊙O 的直径，∠BOD =120°，点C 为弧BD 的中点，AC 交OD 于点
E ，DE =1，则AE 的长为（ ）
A ．3
B ．5
C ．23
D ．25 4．如图，
O 是ABC 的外接圆，其半径为3cm ，若3BC cm =，则A ∠的度数是
（ ）
A ．10︒
B ．15︒
C ．20︒
D ．30︒
5．如图，在半径为1的⊙O 中，将劣弧AB 沿弦AB 翻折，使折叠后的AB 恰好与OB 、OA 相切，则劣弧AB 的长为（ ）
A ．12π
B ．1
3π C ．14π D ．1
6
π 6．下列关于正多边形的叙述，正确的是（ ）
A ．正七边形既是轴对称图形又是中心对称图形
B ．存在一个正多边形，它的外角和为720︒
C ．任何正多边形都有一个外接圆
D ．不存在每个外角都是对应每个内角两倍的正多边形
7．如图，AB 是
O 的直径，CD 是O 的弦，30,3ACD AD ∠=︒=，下列说法错误
的是（ ）
A ．30
B ∠=︒
B ．60BAD ∠=︒
C ．23B
D = D ．23AB = 8．已知：O 的半径为2，3OA =，则正确的图形可能为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
9．如图．PA ，PB 是⊙O 的两条切线，切点分别为A ，B ，连接OA ，OB ，OP ，AB ．若 OA =1，∠APB =60°，则△PAB 的周长为（ ）
A ．3
B ．4
C ．3
D ．3 10．如图，已知⊙O 的直径8CD =，AB 是⊙O 的弦，AB CD ⊥，垂足为M ，2OM =，则AB 的长为（ ）
A ．2
B ．23
C ．4
D ．43 11．如图，
O 的直径为10，弦AB 的长为6，P 为弦AB 上的动点，则线段OP 长的取
值范围是（ ）
A ．35OP ≤≤
B ．45OP <<
C ．45OP ≤≤
D ．35OP <<
12．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”.当AC =4，BC =3时，则阴影部分的面积为（ ）
A ．6
B ．6π
C ．5
2π D ．12
二、填空题
13．如图，四边形ABCD 是O 的内接四边形，且AC BD ⊥， OF CD ⊥，垂足分别为
E F 、，若52
OF =，则AB =_____．
14．如图，圆O 是△ABC 的外接圆，BC=2，∠BAC=30°，则圆O 的直径为___________．
15．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，60A ∠=︒，2AC =，ABC 绕顶点C 逆时针旋转60︒得到A B C ''，点A 的对应点A '恰好落在AB 上，连接A B ''，则图中阴影部分的面积为__________．
16．如图，在平面直角坐标系中，过点()11
,0A 作x 轴的垂线交直线y x =于点B ，以О为圆心，1OB 为半径作弧，交x 轴于点2A ；过点2A 作x 轴的垂线交直线y x =于点2B ，以O 为圆心，2OB 为半径作弧，交x 轴于点3A ；过点3A 作x 轴的垂线交直线y x =于点3B ，以О为圆心，3OB 为半径作弧，交x 轴于点4A ，……，按此做法进行下去，设由11A B ，12A A ，弧21A B 围成的图形面积记为1S ，由22A B ，23A A ，弧32A B 围成的图形面积记为2S ，由33A B ，34A A ，弧43A B 围成的图形面积记为3S ，……，那么2020S 为_______：
17．如图，半径为2的O 中有弦AB ，以AB 为折痕对折，劣弧恰好经过圆心O ，则弦AB 的长度为__________．
18．如图，在平面直角坐标系中，D 是直线6y x =-+上的一个动点，O 的半径为2，过点D 作O 的切线，切点为A ，则AD 长度的最小值为____________．
19．如图，已知O 的半径为2，ABC 内接于O ，135ACB ∠=︒，则弓形ACB （阴影部分）的面积为_____________．
20．如图，将半径为3cm 的圆形纸片沿AB 折叠后，圆弧恰好能经过圆心,O 用图中阴影部分的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为____________________cm ．(结果用含根号的式子表示)
三、解答题
21．已知关于x 的一元二次方程x 2+2mx ﹣n 2+5＝0．
（1）当m ＝1时，该一元二次方程的一个根是1，求n 的值；
（2）若该一元二次方程有两个相等的实数根．
①求m 、n 满足的关系式；
②在x 轴上取点H ，使得OH ＝|m |，过点H 作x 轴的垂线l ，在垂线l 上取点P ，使得PH ＝|n |，则点P 到点（3，4）的距离最小值是 ．
22．如图，在Rt △ABC 中∠B ＝30°，∠ACB ＝90°，AB ＝6．延长CA 到O ，使AO ＝AC ，以O 为圆心，OA 长为半径作⊙O 交BA 延长线于点D ，连结OD ，CD ．
（1）求扇形OAD 的面积．
（2）判断CD 与⊙O 的位置关系，并说明理由．
23．已知，如图，在ABC 中，90C ∠=︒，D 为BC 边中点．
（1）尺规作图：以AC 为直径作
O ，交AB 于点E （保留作图痕迹，不需写作法）； （2）连接DE ，求证：DE 为O 的切线．
24．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了以格点（网格线的交点）为顶点的ABC ∆，且90B ∠=︒．
（1）将ABC ∆绕点O 顺时针旋转90°后得到EFG ∆（其中,,A B C 三点旋转后的对应点分别是,,E F G ），画出EFG ∆．
（2）设EFG ∆的内切圆的半径为r ，EFG ∆的外接圆的半径为R ，则r R
=__________．
25．如图，点E 是ABC 的内心，AE 的延长线和ABC 的外接圆O 相交于点D ，过D 作直线//DG BC ．
（1）求证：DG 是O 的切线；
（2）求证：DE CD =；
（3）若25DE =，8BC =，求O 的半径．
26．如图，已知AB 是O 的直径，BC AB ⊥，连接OC ，弦//AD OC ，直线CD 交BA 的延长线于点E .
（1）求证：CD 是
O 的切线； （2）若2DE BC =，O 的半径为2，求线段EA 的长．
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一、选择题
1．A
解析：A
【分析】
算出白色区域的面积与整个图形的面积之比即为所求概率．
【详解】
解：如图，过点A 作AG BF ⊥于点G
∵ 六边形ABCDEF 为正六边形，∴BAF=120∠︒，=60FAG ∠︒
设正六边形的边长为a ，则32322a a AG FG a ==⨯=，
BF=2 ∴ 空白部分的面积为：2
13333322ABF
a a S S a ==⨯⨯⨯=△空白 正六边形的面积为：22333642
S a a =⨯=六 ∴飞镖落在白色区域的概率为：2
233a 14
=2
33S P S a ==空白六 故选：A
【点睛】
本题考查概率的求解，确定白色区域面积占整个图形面积的占比是解题的关键． 2．C
解析：C
【分析】
根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断；
【详解】
∵O 的半径为5cm ，点P 到圆心O 的距离为7cm ，
∴OP ＞O 的半径，
∴点P 在
O 外； 故答案选C ．
【点睛】
本题主要考查了点与圆的位置关系，准确判断是解题的关键．
3．A
解析：A
【分析】
连接AD，可证∠ODA=∠OAD=∠AOD=60°，根据弧中点，得出∠DAC=30°，△ADE是直角三角形，用勾股定理求AE即可．
【详解】
解：连接AD，
∵∠BOD=120°，AB是⊙O的直径，
∴∠AOD=60°，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA =60°，
∵点C为弧BD的中点，
∴∠CAD=∠BAC=30°，
∴∠AED=90°，
∵DE=1，
∴AD=2DE=2，
AE=2222
AD DE
-=-=，
213
故选：A．
【点睛】
本题考查了圆周角的性质、勾股定理，解题关键是通过连接弦构造直角三角形，并通过弧相等导出30°角．
4．D
解析：D
【分析】
连接OB、OC，则判断△OBC是等边三角形，则∠BOC=60°，再根据圆周角定理，即可得到答案．
【详解】
解：连接OB、OC，如图：
∵3OB OC BC cm ===，
∴△OBC 是等边三角形，
∴∠BOC=60°，
∴∠BAC=30°，
故选：D ．
【点睛】
本题考查了圆周角定理，等边三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握圆周角定理进行解题．
5．A
解析：A
【分析】
如图画出折叠后AB 所在的⊙O ＇，连O ＇B ，O ＇A ，根据题意可得O ＇B ⊥OB 、O ＇A ⊥OA ，且OB=OA=O ＇B=O ＇A,得到四边形O ＇BOA 是正方形，即∠O=90°，最后根据弧长公式计算即可．
【详解】
解：如图：画出折叠后AB 所在的⊙O ＇，连O ＇B ，O ＇A
∵AB 恰好与OA 、OB 相切
∴O ＇B ⊥OB 、O ＇A ⊥OA
∵OB=OA=O ＇B=O ＇A,
∴四边形O ＇BOA 是正方形
∴∠O=90°
∴劣弧AB 的长为9011801802
n r πππ︒⨯⨯==︒． 故选择：A ．
【点睛】
本题考查了折叠的性质、正方形的判定与性质、弧长公式等知识点，其中掌握弧长公式和折叠的性质是解答本题的关键．
6．C
解析：C
【分析】
根据中心对称图形、轴对称图形的定义、多边形外角和定理、正多边形的性质对各选项逐一判断即可得答案．
【详解】
A.正七边形是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项错误，
B.任意多边形的外角和都等于360°，故该选项错误，
C.任何正多边形都有一个外接圆，故该选项正确，
D.∵正三角形的每个外角为120°，对应的每个内角为60°，
∴存在每个外角都是对应每个内角两倍的正多边形，故该选项错误，
故选：C．
【点睛】
本题考查正多边形的性质、中心对称图形、轴对称图形的定义及多边形外角和定理，熟练掌握相关性质及定理是解题关键．
7．C
解析：C
【分析】
根据圆周角定理得到∠ADB=90°，∠B=∠ACD=30°，再利用互余可计算出∠BAD的度数，然后利用含30度的直角三角形三边的关系求出BD、AB的长即可．
【详解】
解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵∠B=∠ACD=30°，
∴∠BAD=90°-∠B=90°-30°=60°，
故选项A、B不符合题意，
在Rt△ADB中，，
故选项C符合题意，选项D不符合题意，
故选：C．
【点睛】
本题考查了圆周角定理以及含30°角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
8．C
解析：C
【分析】
根据圆的半径和OA的大小确定点A与圆的位置关系，从而作出判断即可．
【详解】
∵根据图的意义，得
OA=2，与OA=3矛盾，
∴A选项错误；
∵根据图的意义，得
OA＜2，与OA=3矛盾，
∴B选项错误；
∵根据图的意义，得
OA＞2，且离圆较近，与OA=3相符，
∴C选项正确；
∵根据图的意义，得
OA＞2，且离圆较远，与OA=3不符合，
∴D选项错误；
故选C．
【点睛】
本题考查了点与圆的位置关系，熟练掌握圆心到点的距离与圆的半径的大小比较是解题的关键．
9．C
解析：C
【分析】
根据切线的性质和切线长定理证明△PAB是等边三角形，PA⊥AO，根据直角三角形性质求出PA，问题得解．
【详解】
解：∵PA，PB是⊙O的两条切线，∠APB=60°，
∴PA=PB，∠APO=1
∠APB=30°，PA⊥AO，
2
∴△PAB是等边三角形，
∵PA⊥AO，∠APO==30°，
∴OP=2OA=2，
∴
PA=
∴△PAB的周长为
故选：C
【点睛】
本题考查了切线长定理，切线的性质，等边三角形的判定，含30°角直角三角形性质，勾股定理等知识，考查知识点较多，熟知相关定理并能熟练运用是解题关键．
10．D
解析：D
【分析】
连接OB，根据勾股定理计算BM=AB=2BM计算即可．
【详解】
∵直径8CD =，AB CD ⊥，2OM =
∴BM=22OB OM -
=2242-
=23，
根据垂径定理，得
AB=2BM=43，
故选D ．
【点睛】
本题考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握连接半径构造直角三角形，灵活运用垂径定理和勾股定理求解是解题的关键．
11．C
解析：C
【分析】
由垂线段最短可知当OP ⊥AB 时最短，当OP 是半径时最长．根据垂径定理求最短长度．
【详解】
解：如图，连接OA ，作OP ⊥AB 于P ，
∵⊙O 的直径为10，
∴半径为5，
∴OP 的最大值为5，
∵OP ⊥AB 于P ，
∴AP=BP ，
∵AB=6，
∴AP=3，
在Rt △AOP 中，OP=222594OA AP -=-=；
此时OP 最短，
所以OP 长的取值范围是4≤OP≤5．
故选：C ．
本题考查了垂径定理、勾股定理，解题的关键是确定OP 的最小值，所以求OP 的范围问题又被转化为求弦的弦心距问题，而解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形，若设圆的半径为r ，弦长为a ，这条弦的弦心距为d ，则有等式r 2=d 2+（2
a ）2成立，知道这三个量中的任意两个，就可以求出另外一个． 12．A
解析：A
【分析】
先根据勾股定理求出AB ，然后根据S 阴影=S 半圆AC ＋S 半圆BC ＋S △ABC －S 半圆AB 计算即可．
【详解】
根据勾股定理可得5=
∴S 阴影=S 半圆AC ＋S 半圆BC ＋S △ABC －S 半圆AB =22211112222222AC BC AB AC BC πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++•- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
=()22
2141115343222222πππ⎛⎫⎛⎫⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
=6
故选A ．
【点睛】
此题考查的是求不规则图形的面积，掌握用勾股定理解直角三角形、半圆的面积公式和三角形的面积公式是解决此题的关键． 二、填空题
13．【分析】连接DO 并延长与⊙O 相交于点G 连接BGCG 由AC ⊥BDDG 是直径可得∠DBG=90°=∠DCG 可证AC ∥BG 可得可得AB=CG 由OF ⊥CD 可证OF ∥CG 可证△DOF ∽△DGC 由性质由OF=可
解析：【分析】
连接DO 并延长，与⊙O 相交于点G ，连接BG ，CG ，由AC ⊥BD ， DG 是直径，可得∠DBG=90°=∠DCG 可证AC ∥BG ，可得AB CG =，可得AB=CG ，由OF ⊥CD ，可证OF ∥CG ，可证△DOF ∽△DGC ，由性质
DO OF 1==DG CG 2，由OF=52，可求CG 5=2OF=2=52
⨯
即可． 【详解】
解：如图，连接DO 并延长，与⊙O 相交于点G ，连接BG ，CG ，
∵AC ⊥BD ，DG 是直径，
∴∠DBG=90°=∠DCG，
∴BG⊥DB,
∴AC∥BG，
∴AB CG
=，
∴AB=CG，
∵OF⊥CD，
∴OF∥CG，
∴∠DOG=∠DGC
∴△DOF∽△DGC，，
∴DO OF1
==
，
DG CG2
∵OF=5
，
2
∴CG5
=2OF=2=5
⨯，
2
所以AB=CG=5．
故答案为：5．
【点睛】
本题考查平行弦的性质，圆的性质，直径所对圆周角的性质，相似三角形的判定与性质，掌握平行弦的性质，圆的性质，直径所对圆周角的性质，相似三角形的判定与性质是解题关键．
14．4【分析】延长BO交⊙O于E连接CE根据圆周角定理得到
∠E=∠A=30°∠ECB=90°根据直角三角形的性质即可得到结论【详解】解：延长BO交⊙O于E连接CE则∠E=∠A=30°∠ECB=90°∴B
解析：4
【分析】
延长BO交⊙O于E，连接CE，根据圆周角定理得到∠E=∠A=30°，∠ECB=90°，根据直角三角形的性质即可得到结论．
【详解】
解：延长BO 交⊙O 于E ，连接CE ，
则∠E=∠A=30°，∠ECB=90°，
∴BE=2BC=2×2=4．
故答案为：4．
【点睛】
本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 15．【分析】先分别求解然后根据进行求解即可【详解】由题意知在中∴∴由题意旋转角为即：且∴为等边三角形设交于点∵∴∴四边形为梯形又∵∴则在中∴∴∴故答案为：【点睛】本题考查旋转的性质以及扇形面积计算相关问 解析：23π【分析】
先分别求解ABC S ，BCB S '扇形，AA B C S ''梯形，然后根据ABC BCB AA B C S S S S '''=+-△阴影扇形梯形进行求解即可．
【详解】
由题意知，在Rt ABC 中，30ABC ∠=︒，
∴24AB AC ==，23BC = ∴112232322
ABC S AC BC =
=⨯⨯=△， 由题意，旋转角为60︒，即：60ACA BCB ''∠=∠=︒，且AC A C '=，23BC B C '==，
∴
ACA '为等边三角形，2A C '=，30A CD '∠=︒，
设A B ''交BC 于点D ，
∵60A CA D '∠=∠=︒，
∴60ACA CA D ''∠=∠=︒，
∴//AC A B ''，四边形AA B C ''为梯形，
又∵90ACB ∠=︒，
∴90CDA '∠=︒，
则在Rt CDA '△中，112
A D A C ''==，3CD = ∴()()112433322AA
B
C S AC A B C
D ''''=+=⨯+=梯形
∴()260232360BCB S ππ'⨯==扇形，
∴2323323ABC BCB AA B C S S S S ππ'''=+-=+-=-△阴影扇形梯形，
故答案为：23π-．
【点睛】
本题考查旋转的性质以及扇形面积计算相关问题，灵活对不规则图形进行转换，运用规则图形的面积进行求解是解题关键．
16．【分析】根据点A 的取法罗列出部分点A 的横坐标由此可发现规律即的横坐标为：再结合已知即可得到答案【详解】观察发现规律：的横坐标为：的横坐标为：的横坐标为：的横坐标为：的横坐标为：故答案为：【点睛】本题 解析：2017201822π-
【分析】
根据点A 的取法，罗列出部分点A 的横坐标，由此可发现规律，即n A 的横坐标为：)12n -，再结合已知即可得到答案．
【详解】 观察，发现规律：1A 的横坐标为：1，2A 23A 的横坐标为：22，⋯，
∴n A 的横坐标为：12
n - n B ∴的横坐标为：12n -
4040
20192019201720182020452122223602S ππ⨯⨯∴=-⨯⨯=⋅-
故答案为：2017201822π⋅-．
【点睛】
本题考查了一次函数图像上点的坐标特征以及规律型中的点的变换，解题关键是找出n A 的横坐标为：12n -这一规律．
17．【分析】如果过O作OC⊥AB于D交折叠前的于C根据折叠后劣弧恰好经过圆心O根据垂径定理及勾股定理即可求出AD的长进而求出AB的长【详解】解：如图过O作OC⊥AB于D交折叠前的于C∵的半径为又∵折叠后
解析：23
【分析】
如果过O作OC⊥AB于D，交折叠前的AB于C，根据折叠后劣弧恰好经过圆心O，根据垂径定理及勾股定理即可求出AD的长，进而求出AB的长．
【详解】
解：如图，过O作OC⊥AB于D，交折叠前的AB于C，
∵O的半径为2，
又∵折叠后劣弧恰好经过圆心O，
∴OA=OC=2，
∴OD＝CD＝1，
在Rt△OAD中，
∵OA＝2，OD＝1，
∴2222
-=-
OA OD
213
AB＝2AD＝3
故答案为：3
【点睛】
本题考查了垂径定理和勾股定理的综合运用，利用好条件：劣弧折叠后恰好经过圆心O是解题的关键．
18．4【分析】当OD与直线y=-x+6垂直时连接AOAD此时OD最小AD也最小根据等腰直角三角形的性质得到OD根据勾股定理即可得到结论【详解】解：如图∵DA为切线∴OA⊥DAOA=∴当OD最小时AD的值
解析：4
【分析】
当OD与直线y=-x+6垂直时，连接AO，AD，此时OD最小，AD也最小，根据等腰直角三角形的性质得到OD，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】
解：如图
∵DA 为切线,
∴OA ⊥DA ，2
∴当OD 最小时，AD 的值最小.
∴当OD 与直线y=−x+6垂直时，AD 的值最小，
如图，设y=−x+6交x ，y 轴于B ，C ，
B(6，0)，C(0，6)，
∴OB=OC=6.
∵∠BOC= 90°，
∴△OBC 为等腰直角三角形，
∴22OB OC +2 ，
∴OD=122 即OD 的最小值为2在Rt △OAD 中，
AD 最小值22OD OA -()()22322164-==
故答案为：4
【点睛】
本题主要考查切线的性质，掌握过切点的半径与切线垂直是解题的关键，用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题. 19．【分析】根据圆内接四边形对角互补和同弧所对的圆心角是圆周角的二倍可以求得∠AOB 的度数然后根据弓形ACB 的面积=S 扇形OAB-S △OAB 得出结果即可【详解】解：设点D 为优弧AB 上一点连接ADBDOA
解析：2π-
【分析】
根据圆内接四边形对角互补和同弧所对的圆心角是圆周角的二倍，可以求得∠AOB 的度数，然后根据弓形ACB 的面积=S 扇形OAB -S △OAB 得出结果即可．
【详解】
解：设点D 为优弧AB 上一点，连接AD 、BD 、OA 、OB ，如图所示，
∵⊙O 的半径为2，△ABC 内接于⊙O ，∠ACB=135°，
∴∠ADB=45°，
∴∠AOB=90°，
∵OA=OB=2，
∴弓形ACB 的面积=S 扇形OAB -S △OAB =29021223602
π⨯⨯-⨯⨯=2π-， 故答案为：2π-．
【点睛】
本题主要考查求弓形的面积，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
20．【分析】作OC ⊥AB 根据折叠的性质得OD 等于半径的一半即OA ＝2OD 再根据含30°的直角三角形三边的关系得∠OAD ＝30°同理∠OBD ＝30°所以∠AOB ＝120°则利用弧长公式算出弧AB 的长利用圆 解析：2
【分析】
作OC ⊥AB ，根据折叠的性质得OD 等于半径的一半，即OA ＝2OD ，再根据含30°的直角三角形三边的关系得∠OAD ＝30°，同理∠OBD ＝30°，所以∠AOB ＝120°，则利用弧长公式算出弧AB 的长，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，得到圆锥的底面圆的半径，从而结合勾股定理求高即可．
【详解】
如图，过O 点作OC ⊥AB ，垂足为D ，交⊙O 于点C ， 由折叠的性质可知，1122
OD OC OA ==， 由此可得，在Rt AOD △中，30OAD ∠=︒，
同理可得30OBD ∠=︒，
在AOB 中，由三角形内角和定理，得180120AOB OAD OBD ∠=︒-∠-∠=︒． ∴弧AB 的长为()12032180
cm ππ⨯=． 设围成的圆锥的底面半径为r cm ，则22ππ=r ，
∴1r cm =．
∴圆锥的高为()
22
-=．
3122cm
故答案为：22．
【点睛】
本题考查了折叠的性质，弧长公式的计算，直角三角形的性质等，掌握弧长公式的计算以及圆锥相关基本结论是解题的关键．
三、解答题
21．（1）2；（2）①m2+n2＝5；②55
【分析】
（1）把m=1，x=1代入方程得1+2-n2+5=0，然后解关于n的方程即可；
（2）①利用判别式的意义得到△=4m2-4（-n2+5）=0，从而得到m与n的关系；
②利用勾股定理得到22
m n
+5P在以O5
上，然后根据点与圆的位置关系判断点P到点（3，4）的距离最小值．
【详解】
解：（1）把m＝1，x＝1代入方程得1+2﹣n2+5＝0，
解得n＝2，
即n的值为2；
（2）①根据题意得△＝4m2﹣4（﹣n2+5）＝0，
整理得m2+n2＝5；
②∵OH＝|m|，PH＝|n|，
∴OP22
+5
m n
即点P在以O5
∴原点与点（3，4）的连线与⊙O的交点P使点P到点（3，4）的距离最小，
∵原点到点（3，422
+5，
34
∴点P到点（3，4）的距离最小值是55
故答案为55
【点睛】
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．也考查了点与圆的位置关系．
22．（1）求扇形OAD的面积为3
2
π
；（2）CD与⊙O相切，理由见解析．
【分析】
（1）求出∠OAD＝60°，得出等边三角形OAD，求出半径和圆心角，利用扇形的面积公式求得即可；
（2）求出∠ADC＝∠ACD＝1
2
∠OAD＝30°，进而求出∠ODC＝90°，即可证得CD是⊙O的
切线．
【详解】
（1）证明：∵AB＝4，∠ACB＝90°，∠B＝30°，∴AC＝1
2
AB＝2，∠BAC＝60°，
∴∠OAD＝∠BAC＝60°，
∵OD＝OA，
∴△OAD是等边三角形，
∴∠AOD＝60°，
∵AO＝AC=2，
∴S扇形AOD＝
2
36
2
3 602
ππ⨯⨯
=；
（2）CD所在直线与⊙O相切，
证明：∵△OAD是等边三角形，
∴AD＝OA，
∵AO＝AC，
∴AD=AC，
∴∠ADC＝∠ACD，
∵∠OAD＝60°，
∴∠ADC＝30°，
∴∠ODC＝60°+30°＝90°，
∴OD⊥DC，
∴CD是⊙O的切线．
【点睛】
本题考查了扇形的面积，切线的判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，等边三角形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，综合性比较强，有一定的难度．
23．（1）作图见解析；（2）见解析．
【分析】
（1）先作AC的中垂线，找到AC的中点O，然后以AC为直径作圆，与AB的交点即为所求；
（2）由题意可知DE为Rt BEC
△斜边BC上的中线，从而得到CD=DE，即
=∠∠ECD DEC ，由OC=OE 得到OEC OCE ∠=∠，再由90ACB ∠=︒即可得到OE ⊥DE ，即可得证．
【详解】
（1）作图如图所示．
（2）证明：如上图，连结OE ，CE ， AC 为直径，
90AEC ∴∠=︒， D 为BC 边中点，
DE ∴为Rt BEC △斜边BC 上的中线，
12
DE DC DB BC ∴===， ECD DEC ∴∠=∠，
OC OE =，
OEC OCE ∴∠=∠，
90OED OEC CED OCE DCE ACB ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒
OD DE ∴⊥，
DE ∴为O 的切线．
【点睛】
本题考查了尺规作图以及切线的判定，正确找到垂直条件是判断切线的关键． 24．（1）见解析；（2）
25
【分析】
（1）根据旋转的性质，作出点A 、B 、C 的对应点，依次连接即可
（2）结合图形，EG 为外接圆的直径，用勾股定理求出EG ，则可求R ，根据三角形内切圆
的性质，和切线长定理可求得r ，进而可求得答案
【详解】
解（1）EFG ∆如图所示，
（2）EFG ∆的内切圆的半径为r ，
2
EF FG EG r +-∴= 4,3EF FG ==,2222435EG EF FG =++= 43512
r +-∴== EFG ∆的外接圆的半径为R
1522R EG ∴=
= 25
r R ∴= 【点睛】
本题考查了旋转图形的画法，勾股定理，三角形内心性质，切线长定理，解题关键是熟练掌握基本知识，是中考常考题．
25．（1）见解析；（2）见解析；（3）5
【分析】
（1）连接OD 交BC 于H ，如图，利用三角形内心的性质得到∠BAD=∠CAD ，则BD CD =，利用垂径定理得到OD ⊥BC ，BH=CH ，从而得到OD ⊥DG ，然后根据切线的判定定理得到结论；
（2）利用三角形内心的性质，等腰三角形的判定和性质，同圆或等圆中等角对等弦，即可得到结论；
（3）根据垂径定理可知OD 垂直平分BC ，在Rt BHD △利用勾股定理求出DH 长，设半径为r ，在Rt BHO 中利用勾股定理即可求解
【详解】
（1）证明：连接OD 交BC 于H ，如图，
∵点E 是ABC 的内心，
∴AD 平分BAC ∠，即BAD CAD ∠=∠，
∴BD CD =，
∴OD BC ，BH CH = ∵//DG BC ，
∴OD DG ⊥，
∴DG 是O 的切线；
（2）连接BD ，如图，
∵点E 是ABC 的内心，
∴ABE CBE ∠=∠，
∵DBC BAD ∠=∠，
∴DEB BAD ABE DBC CBE DBE ∠=∠+∠=∠+∠=∠，
BDE ∴为等腰三角形
BD DE ∴=
BAD CAD BD DC
∠=∠∴= ∴DE DC =．
（3）
BD DC =，
∴OD 垂直平分BC 90BHD BHO ∴∠=∠=︒
8
142
BC BH BC =∴== 25DE BD ==∴在Rt BHD △中
2220162DH BD BH -=-=
设半径为r ，则,2OB r OH r ==-
∴在Rt BHO 中,222OB OH BH =+
()2
2242r r ∴=+-
解得=5r ∴⊙O 的半径为：5．
【点睛】
本题考查了三角形的外接圆与内心，切线的判定定理，等腰三角形的判定和性质，垂径定理，勾股定理等知识，解题关键是熟练掌握三角形内心的性质：三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．
26．（1）见解析；（2）2
2AE =．
【分析】
（1）连接OD ，通过证明△COD ≌△COB 得到90CDO CBO ∠=∠=︒即可得到结论； （2）根据全等三角形的性质，在结合平行线分线段成比例的性质，即可求解
【详解】
（1）如图，连接OD .
∵//AD OC ，
∴DAO COB ∠=∠，ADO COD ∠=∠.
又∵OA OD =，
∴DAO ADO ∠=∠，
∴COD COB ∠=∠.
∵OD OB =，OC OC =，
∴在COD △和COB △中
OD OB COD COB OC OC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴()SAS COD COB ≌
△△， ∴90CDO CBO ∠=∠=︒.
又∵点D 在
O 的切线. ∴CD 是O 的切线.
（2）∵COD COB ≌△△，
∴CD CB =.
∵2DE BC =
， ∴2ED CD =.
∵//AD OC ，
∴DE AE CE OE
=.
∵O 的半径为2，
∴
2AE AE =+， ∴
AE =
【点睛】
本题考查了圆切线的判定，以及平行线分线段成比例的性质，熟练掌握圆切线的判定定理是解题关键．。